2.2.1 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

新课探究
由于方程25x2+50x - 11 =0 的二次项系数不为1
，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两
边同除以25，将二次项系数化为1，得
配方，得 因此
x2 2x 11 0. 25
x2 2x 12 12 11 0， 25
x 1 2 36 . 25
由此得 解得
x 1 6 或x 1 6，
配方，得
x2 + 2 x-1 0
3
x2
+
2 3
x
1 3
2
1 3
2
-1
0
因此
x+
1 3
2
10 9
由此得
x+ 1 10 或x+ 1 10
33
33
解得
x1
10 3
-1
，x2
10 1 3
(3) 4x2-x -9=0;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2- 1 x- 9 0
44
x2
=0.4 x2 2x 2.5 0.4 x2 2x 12 12 2.5
0.4 x 12 1.4
【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以 二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方 根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．
(1) 2x2=3x - 1;
解：将二次项系数化为1，得
配方，得
x2 3 x+ 1 0

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调配方法的步骤和二次项系数的转换这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与配方法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示配方法的基本原理。
五、教学反思
在本次教学中，我发现学生们对于配方法求解二次项系数不是1的一元二次方程这一知识点，普遍存在一些疑惑和难点。首先，学生在理解配方法的基本原理上还存在一定的困难，尤其是将二次项系数化为1的过程，以及为何要添加和减去同一个数。在接下来的教学中，我需要更加细致地解释这一过程，通过具体例题和图示，让学生直观地感受到配方法的优势。
-二次项系数的转换：将非1的二次项系数转换为1是学生理解的难点，需要通过具体例题和练习逐步突破。
-实际问题中的方程提取：从实际问题中抽象出一元二次方程，对学生的抽象思维能力要求较高，是教学难点之一。
-举例：
*难点解析：在2x^2 - 4x + 1 = 0的求解过程中，学生可能会对为何要添加和减去(4/2)^2 = 4这一步骤感到困惑，需要教师详细解释其目的。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“配方法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
其次，学生在实际应用方面也遇到了挑战。他们往往难以从实际问题中抽象出一元二次方程，这说明我们在培养学生数学抽象素养方面还需加强。在以后的教学中，我会多设计一些与实际生活相关的案例，让学生在实践中提高这一能力。

用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程示例文章篇一：《用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程》嗨，小伙伴们！今天咱们来一起研究一个超级有趣的数学问题——用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程。

这就像是一场奇妙的数学冒险呢！我先给大家举个例子吧，比如说方程2x² - 5x + 3 = 0。

这可不像我们之前学的那些简单的方程哦。

那怎么来解这个方程呢？我们第一步要做的，就像是给这个方程来个“大变身”。

我们先把二次项系数2提出来，方程就变成了2(x² - 5/2x) + 3 = 0。

这时候呀，括号里的式子就像是一个小宝贝，我们要把它打扮得漂漂亮亮的。

我们要在括号里加上一个数，又要减去这个数，这样方程才不会变哦。

这个数怎么找呢？对于x² - 5/2x来说，我们看一次项系数- 5/2，把它除以2再平方，那就是(- 5/2÷2)²=( - 5/4)² = 25/16。

这时候方程就变成了2(x² - 5/2x + 25/16 - 25/16)+3 = 0。

这就好比我们给小宝贝穿上了一件漂亮的衣服，又脱了一点东西，但是整体还是一样的。

我们把括号里的式子变形一下，变成2[(x - 5/4)² - 25/16]+3 = 0。

然后展开括号，就是2(x - 5/4)² - 25/8+3 = 0。

接着计算，2(x - 5/4)² - 25/8+24/8 = 0，也就是2(x - 5/4)² - 1/8 = 0。

这时候我们把- 1/8移到等号右边，得到2(x - 5/4)² = 1/8。

再两边同时除以2，(x - 5/4)² = 1/16。

最后求x，x - 5/4 = ±1/4。

如果x - 5/4 = 1/4，那x = 6/4 = 3/2；如果x - 5/4 = - 1/4，那x = 4/4 = 1。

移项：
x2 8 x 1 0 3
x2 8 x 1 3
配方得：
(x 4)2 25 39
向雷锋学习
• 开方得：
x 4 5 33
• 得：
x1
1 3
,
x2
3
例2：解方程： 3x2 -6x +4 = 0.
解：两边同除以3得：
配方得 ：
(x 1)2 1
所以此方程无解
3
注意：当p<0时，方程没有实数根。
x2 p( p 0) (x n)2 p( p 0)
配方法的应用
典例精析
例3.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必
定大于零.
解：
k 2 3k 5 k 2 3k ( 3)2 ( 3)2 5 22
(k 3)2 11 24
因为 所以
(k 3)2 0 2
两边开平方得 ： x 1 7
4
4
所以 ：
x1
2, x2
3 2
课堂小结
方法
在方程两边都配上（一次项系数）2 2
配方法
步骤
一移常数项；
二配方[配上 ]； （一次项系数）2 2
三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
布置作业
（一）习题2.4知识技能的第一题 （二）把方程配方 x2 3x p 0 得到
（x m)2 1 2
（1）求常数p,m的值 （2）求方程的解
当
x
5 6 时有最大值
37 12
归纳总结
配方法的应用
类别
解题策略

坚持做好每个学习步骤
武亦文的高考高分来自于她日常严谨的学习 态度，坚持认真做好每天的预习、复习。 “高中三年，从来没有熬夜，上课跟着老师 走，保证课堂效率。”武亦文介绍，“班主 任王老师对我的成长起了很大引导作用，王 老师办事很认真，凡事都会投入自己所有精 力，看重做事的过程而不重结果。每当学生 没有取得好结果，王老师也会淡然一笑，鼓 励学生注重学习的过程。”
x-
22 6
2
=
196 36
.
解得x1
=
4 3
，x
2
=6.
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
.
解得x1

数式 x2＋7x－4 的值大，并求出当 x 为何值时，两代数式的 差最小．
能力提升练 解：(3x2＋3x)－(x2＋7x－4)＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2＞0， ∴不论 x 取何值，代数式 3x2＋3x 的值总比代数式 x2＋7x－4 的 值大． ∵2(x－1)2≥0， ∴当 x＝1 时，2(x－1)2 取最小值为 0，即 2(x－1)2＋2 的最小值 为 2. ∴当 x＝1 时，两代数式的差最小．
基础巩固练
基础巩固练
A．两人都正确
【点拨】两人的做法都正确．本
B．嘉嘉正确，琪琪不正确 题易错点：只会将二次项系数
C．嘉嘉不正确，琪琪正确 化为 1 配方，从而否定琪琪将
D．两人都不正确
二次项系数化为完全平方数的
思路，导致误选 B.
【答案】A
基础巩固练 5．【原创题】方程 ax2＋bx＋c＝0 配方后得到方程(2x－3)2＝－
( D) A．2(x－6)2＝43 C．2(x－3)2＝16
B．(x－6)2＝43 D．(x－3)2＝16
【点拨】∵2x2－12x－9＝5，∴2x2－12x＝14， ∴x2－6x＝7，则 x2－6x＋9＝7＋9，即(x－3)2＝16.
基础巩固练
4．【易错题】在解方程 2x2＋4x＋1＝0 时，对方程进行配方，文 本框①中是嘉嘉做的，文本框②中是琪琪做的，对于两人的 做法，说法正确的是( )
能力提升练
14．当 x 为何值时，代数式 5x2＋7x＋1 和代数式 x2－9x＋15 的 值相等？
解：依题意有 5x2 ＋7x ＋1＝x2 －9x＋15.
整理，得 4x2＋16x＝14，配方，得(x＋2)2＝125.
解得 x＝－4±2
30，∴x1＝－4＋2

探讨：方程②应如何求解呢？
设计问题引人入境，激发学生探究的兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流新知
【探究】用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
观察方程3x2＋18x＋24＝0，它与我们上一节课所解的方程有什么不同？你有什么想法？
先让学生回答这个方程与上一节课我们所解的方程有什么不同，再动员学生思考如何把这个方程转化为上一节课我们所解的方程类型，教师提醒后，找一位同学尝试板书，然后教师投影演示．
3．用配方法解下列方程：
(1)3x2－5x＝2；(2) x2－x－4＝0.
当堂检测，及时反馈学习效果.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在探究新知环节中，教师应加强引导和示范．学生接触新知识基础性差，所以教师教授解答过程和方法时，应给予学生必要的板书演示．
②[讲授效果反思]
变式一 解方程：3x2－6x＋4＝0.
变式二 解方程：(1)2x2＋1＝3x；(2)－3x2＋6x－3＝0.
学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程，形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想.
【拓展提升】
例2用配方法求解下列问题：
(1)2x2－7x＋2的最小值；(2)－3x2＋5x＋1的最大值．
通过配方转化为利用直接开平方法解一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法．
情感态度
通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神．
教学重点
会用配方法解一元二次方程．
教学难点
能够熟练地进行配方．
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程

2．2 一元二次方程的解法
2．2.1 配方法
第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
对于二次项系数不是1的一元二次方程，先要在方程两边 ___同__时__除__以__二__次__项__系__数_____，将它转化为二次项系数为___1___的一 元二次方程，再用__配__方___法求解．
3．(易错题)用配方法解方程 2x2－43x－2＝0，应把它先变形为
(D)
A．(x－23)2＝89 C．(x－13)2＝89
B．(x－23)2＝0 D．(x－13)2＝190
4．(2014·聊城)用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
此方程可变形为( A ) A．(x＋2ba)2＝b2－4a42 ac B．(x＋2ba)2＝4a4c－a2 b2 C．(x－2ba)2＝b2－4a42 ac D．(x－2ba)2＝4a4c－a2 b2
5．用配方法解方程 3x2－6＝－9x，正确的解法是(
A．(x＋32)2＝147，x＝－32±
17 2
B．(x－32)2＝147，x＝32±
17 2
C．(x＋32)2＝－147，原方程无解
D．(x＋32)2＝343，x＝－32±
33 2
A)
6．用配方法解下列方程：
(1)2x2－8x＋1＝0；
4＋ 14
4－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(2)2x2－7x＋6＝0；
解：x1＝2，x2＝32
(3)3x2＋8x－3＝0；
解：x1＝13，x2＝－3
(4)23x2＋13x－2＝0； 解：x1＝32，x2＝－2
ห้องสมุดไป่ตู้(5)0.4y2＋0.8y－1＝0；
14－2

x²+6x +9=7 +9Biblioteka 即(x+3)²=16
两边开平方得， x+3=±4
x+3=4或x+3=-4
所以
x1=1 ,x2=-7
总结:一元二次方程③④⑤的特点是：方程的 左边是或者可以转化为(x+m)²=n(≧0)的形 式，解题思路是两边直接开平方便可求出 方程的解。
活动二
练习：用配方法求解一元二次方程 3x²+8x+1=0 -3x²+4x+1=0
小球何时能达到10m高？
总结：利用配方法求解二次项系数不为1的一元 二次方程的一般步骤：
1、系数化1：两边同时除以二次项系数
2、移项：把常数项移到方程的右边
3、配方：方程两边都加上一次项系数一半的平 方
4、变形：左边写成(x+m)²=n(≧0)的形式，右边 合并同类项
5、开方：两边同时开平方
6、求解：解一元一次方程
用配方法解一元二次方程
鄠邑区白庙初级中学 闫育平
复习
1、什么是配方法？ 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
思考
• 如何求出一元二次方程3x²+18x-21=0呢？
活动一
解3x²+18x-21=0 解：两边同时除以3，得
x²+6x-7=0 移项，得 x²+6x=7 方程两边同时加上 一次项系数一半的平方，得
解x²+12x+11=0
解：移项，得 x²+12x=-11 方程两边同时加上 一次项系数一半的平方，得
x²+12x +6²=-11 +6²
即(x+6)²=25

B.总不小于9
C.总不小于-9
D.为任意实数
变式：试用配方法说明：无论k取何实数，多项式k²-4k+5的
值必定大于零.
解:k²-4k+5=k²-4k+4+1=(k-2)²+1.
因为(k-2)²≥0,所以(k-2)²+1≥1.
所以无论k取何实数，多项式k²-4k+5的值必定大于零.
)
二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤：
③写成(x+m)²=n(n≥0)的形式；
④直接开平方法解方程）
小组讨论 （4min）
用配方法证明：无论x为何实数，代数式2x²-6x+9的值恒大于0.
1.思考若证明一个代数式的值恒大于0，需把代数式整理成什么形式？
一个完全平方式与一个正数的和的形式
2.小组讨论完成本题的解答过程.
证明：


自主探究 （10min）
（2）观察方程2x²+2x=5，它与上面我们所解的方程有什么不同？你有
什么想法？ （这个方程不是一般形式且它的二次项系数不为
1，只要把方程中的二次项系数化为1 即可）
（3）如何解方程2x²+2x=5，你能写出它的解答过程吗？

解：方程两边同时除以2，得 + =

得 +
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax²+bx+c=0（a≠0）的形式；
②将常数项移到方程的右边，方程两边同时除以二次项的系数，使二次
项系数化为1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

归纳总结ຫໍສະໝຸດ 类别配方法的应用 解题策略
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以
式中的配方 一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，
① x2 + 6x + 8 = 0 ; ② 3x2 +18x +24 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8 ,
配方，得 （x + 3）2 = 1.
开平方, 得
x + 3 = ±1.
解得
x1 = -2 , x2= -4.
想一想怎么来解 3x2 +18x +24 = 0.
33
33
1
x1= 3 , x2 = -3 .
例3：一个小球从地面上以15m/s的初速度竖直向上弹出，它
在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：
h=15t - 5t2. 小球何时能达到10m高？
解：将 h = 10代入方程式中.
15t - 5t2 = 10.
两边同时除以-5,得 t2 - 3t = -2,
例2：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0.
解：两边同除以3,得
x2 + 8 x - 1=0. 3
配方,得
x2 + 8 x + ( 4 ) 2 - ( 4 )2 - 1 = 0,
3

第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．(重点)2．能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程．(难点)【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k ≥0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如（x+n ）2=d(d ≥0)的过程.一、情境导入如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m 2，道路的宽为多少？二、合作探究探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程用配方法解方程：－12x 2＋52x －54＝0. 解：方程两边同除以－12，得x 2－5x ＋52＝0. 移项，得x 2－5x ＝－52.配方，得x 2－5x ＋(52)2＝－52＋(52)2， 即(x －52)2＝154. 所以x －52＝152或x －52＝－152. 所以x 1＝5＋152，x 2＝5－152. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方．探究点二：配方法的应用【类型一】 利用配方法求代数式的值已知a 2－3a ＋b 2－b 2＋3716＝0，求a －4b 的值． 解：原等式可以写成：(a －32)2＋(b －14)2＝0. ∴a －32＝0，b －14＝0，解得：a ＝32，b ＝14. ∴a －4b ＝32－4×14＝－12. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键．【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系请用配方法说明：不论x 取何值，代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．解：∵x 2－5x ＋7＝x 2－5x ＋(52)2＋7－(52)2 ＝(x －52)2＋34，而(x －52)2≥0， ∴(x －52)2＋34≥34. ∴代数式x 2－5x ＋7的值恒为正．方法总结：对于代数式是一个关于x 的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值．三、板书设计用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：(1)把原方程化为一般形式；(2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数；(3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项；(4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(5)用直接开平方法解方程．通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，发现解二次项系数不是1的一元二次方程的方法，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识．培养学生发现问题的能力，通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯．。

221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
221第3课时用配方 法解二次项系数不 为1的一元二次方程
221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 221第3课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程Fra bibliotek感谢观看