列出线性约束条件及目标函数

线性规划教学目标：1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；3．了解线性规划问题的图解法。

教学重点：线性规划问题。

教学难点：线性规划在实际中的应用。

教学过程：1．复习回顾：上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这一知识来解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略）2．讲授新课：例1：设z＝2x＋y，式中变量满足下列条件：，求z的最大值和最小值.解：变量x，y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．（如右图）．作一组与l0：2x＋y＝0平行的直线l：2x＋y＝t.t∈Ｒ可知：当l在l0的右上方时，直线l上的点（x，y）满足2x＋y＞0，即t＞0，而且，直线l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（５，２）的直线l2所对应的t最大，以经过点B （１，１）的直线l1所对应的t最小．所以zmax＝2×5＋2＝12 zmin＝2×1＋1＝3说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z＝2x＋y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．Ex：P841，2，3例2：在x≥0，y≥0，3x＋y≤3及2x＋3y≤6的条件下，试求x－y的最值。

解：画出不等式组的图形设x－y＝t，则y＝x－t由图知直线l：y＝x－t过A（1，0）时纵截距最小，这时t＝1；过B（0，2）时纵截距最大，这时t＝－2. 所以，x－y的最大值为1，最小值为－2。

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。

它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。

线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。

二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。

1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。

决策变量的取值会影响目标函数的值。

2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。

线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。

3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。

线性规划中的约束条件也是线性的。

三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。

1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。

2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。

3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。

四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。

2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。

3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。

4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。

五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。

2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。

高二数学线性规划试题1.若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围（）A．[2,6]B．[2,5]C．[3,6]D．（3,5]【答案】A【解析】作出可行域如图：，并作出，然后平移到过点A（2，0）时z取最小值为：，平移到过点C（2，2）时z取最大值为：，所以z的取值范围为：[2，6]；故选A．【考点】线性规划．2.已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则x－y的取值范围是( ). A．[－2，－1]B．[－2,1]C．[－1,2]D．[1,2]【答案】C【解析】设，即，作出可行域和目标函数基准线；当直线过点时，最大，即取得最小值为-1；当直线过点时，最小，即取得最大值为2；即x－y的取值范围是.【考点】简单的线性规划.3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋y的最大值为．【答案】5【解析】约束条件表示一个三角形ABC及其内部，其中因此直线过点时，目标函数z＝2x＋y取最大值为5.【考点】线性规划4.已知实数满足条件，则的最大值为．【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知点目标函数经过点时取得最大值，且最大值为．【考点】简单的线性规划．5.若实数满足不等式组，则的最小值为。

【答案】【解析】由不等式组作可行域如图，可行域内点的横纵坐标均为非负值，且不同时为0，可知在点C（0,1）处去最小值，将点C 代入，可知最小值为-1．【考点】简单线性规划．．6.若变量、满足约束条件，则的最大值为 .【答案】1【解析】可行域为如图所示三角形内部（包括边界）则【考点】线性规划问题7.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？最大日产值为多少?【答案】该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，则该厂日产值最大，最大日产值为124万元.【解析】根据已知条件列出线性约束条件，和目标函数。

第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案．要点梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[友情提示]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b >0时，截距zb 取最大值时，z 也取最大值；截距z b 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距zb 取最大值时，z 取最小值；截距zb取最小值时，z 取最大值.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0，0)B .(－1，1)C .(－1，3)D .(2，－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案 C3.不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分，x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0表示的平面区域如图所示.由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得点A 坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5.答案 －55.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z ＝y x ＝y －0x －0，表示区域内的点与原点连线的斜率，易知z max ＝k OA ，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12，32，k OA ＝3212＝3，∴z max ＝3.答案 3题型分类 考点突破考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为( ) A .－3B .1C.43D .3解析 (1)(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇒⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.画出平面区域后，只有C 符合题意.(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－1，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1－m ，y ＝1＋m ，即A (1－m ，1＋m ). 由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y ＋2m ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝23－43m ，y ＝23＋23m ，即B ⎝⎛⎭⎫23－43m ，23＋23m ，所围成的区域为△ABC ，则S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝12(2＋2m )(1＋m )－12(2＋2m )·23(1＋m )＝13(1＋m )2＝43， 解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域. 2.求平面区域的面积：(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.【变式练习1】 若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.答案 π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2－1】设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为()A .0B .1C .2D .3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3，故选D.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (1)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A .4B .9C .10D .12(2)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋5y ≥4，则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x 2＋y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3， －1)与原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA 的斜率最大，此时x y 取得最小值，所以⎝⎛⎭⎫x y min ＝1k OA ＝32.答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2－3】 已知实数x ，y 满足：⎩⎨⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( ) A .1B .2C .4D .8解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，选B.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.【变式练习2】 (1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是()A .0B .2C .5D .6(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于()A.54B .－56C .1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)C (2)C考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤： (1)分析题意，设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【变式练习3】 一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶，利润为z 元，则得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，6x ＋5y ≤22，3x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝200x ＋100y .作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z ＝200x ＋100y 经过可行域上点B 时，z 取得最大值，解方程组⎩⎨⎧4x ＋y ＝10，6x ＋5y ＝22，得点B 的坐标(2，2)，故z max ＝200×2＋100×2＝600. 答案 600错误! 课后练习A 组 (时间：30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A .1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.答案D2.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为()A .1B .3C .5D .9解析 画出可行域，设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋z 2，当直线y ＝－12x ＋z2过B (3，3)时，z 取得最大值9，故选D. 答案 D3.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是()A .－15B .－9C .1D .9解析 作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B (－6，－3)处取得最小值z min ＝－12－3＝－15.故选A.答案 A4.设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是()A .[－3，0]B .[－3，2]C .[0，2]D .[0，3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3)处取得最小值z ＝0－3＝－3，在点B (2，0)处取得最大值z ＝2－0＝2.答案 B5.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，x ＋y ≥0，x ＋2y －4≥0，则z ＝x －2y 的最大值为()A .－12B .－1C .0D.32解析 作出可行域，如图阴影部分，作直线l 0：x －2y ＝0，平移直线l 0，可知经过点A 时，z ＝x －2y 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，x －y －1＝0，得A (2，1)，所以z max ＝2－2×1＝0， 故选C.答案 C6.若1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1，则x －2y 的最大值与最小值之和是( ) A .0B .－2C .2D .6解析 1≤log 2(x －y ＋1)≤2，|x －3|≤1即变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x －y ＋1≤4，2≤x ≤4，即⎩⎨⎧x －y －3≤0，x －y －1≥0，2≤x ≤4，作出可行域(图略)，可得x －2y 的最大值、最小值分别为4，－2，其和为2. 答案 C7.若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为()A.13B.23C .1D .2解析 若z ＝3x －y 的最大值为2，则此时目标函数为y ＝3x －2，直线y ＝3x －2与3x －2y ＋2＝0和x ＋y ＝1分别交于A (2，4)，B ⎝⎛⎭⎫34，14，mx －y ＝0经过其中一点，所以m ＝2或m ＝13，当m ＝13时，经检验不符合题意，故m ＝2，选D. 答案 D8.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D .5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方，由图知C ，D 间的距离最小，此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案 D 二、填空题9.若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.10.已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1，1). 设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3. 答案 311.(一题多解)已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x －3y ＝a (x ＋y )＋b (x －y )，则由待定系数法可得⎩⎨⎧a ＋b ＝2，a －b ＝－3，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝52，所以z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y ).又⎩⎨⎧－2＜－12（x ＋y ）＜12，5＜52（x －y ）＜152，所以两式相加可得z ∈(3，8). 法二 作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直线2x －3y ＝0，当相应直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3，1)时，z取得最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈(3，8).12.x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 答案 2或－1B 组 (时间：15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元D .18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12得A (2，3).则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D14.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，z ＝|2x －2y －1|，则z 的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤53，5B .[0，5)C .[0，5]D.⎣⎡⎭⎫53，5解析 作出可行域如图所示：易求得A ⎝⎛⎭⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎫13，23，C (2，－1)，令u ＝2x －2y －1，则y ＝x －u ＋12，当直线y ＝x－u ＋12过点C (2，－1)时，u 有最大值5，过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，u 有最小值－53，因为可行域不包括x ＝2的边界，所以z ＝|2x －2y －1|的取值范围是[0，5).故选B. 答案 B15.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a 的取值范围是________. 解析 画出x ，y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞16.已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ，x －2y －3≤0y ＋1≥0，，则z ＝y ＋1x 的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z ＝y ＋1x 表示区域内的点(x ，y )与A (0，－1)连线的斜率k ，由图可知，k min ＝0，k max ＝k AP ，P 为切点，设P (x 0，ln x 0)，k AP ＝1x 0，∴ln x 0＋1x 0＝1x 0，∴x 0＝1，k AP ＝1，即z ＝y ＋1x 的取值范围为[0，1].答案 [0，1]。

线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。

它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。

线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。

例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。

3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。

三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。

标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。

单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。

1. 初始化：选择一个初始可行解。

2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。

3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。

4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。

五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。

2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。

3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。

4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。

5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。

高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一部分，是线性代数的重要内容之一。

线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过线性规划可以求解出一组满足一定约束条件的最优解。

线性规划的基本形式是在一组线性约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值。

线性规划的目标函数和约束条件都是线性的，这使得线性规划问题能够用简洁的数学模型来描述。

线性规划的数学模型可以用如下的标准格式来表示：最大化（或最小化）目标函数：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件：x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数项。

线性规划的求解过程一般分为以下几个步骤：1. 确定决策变量：根据实际问题确定需要优化的变量，将其表示为x₁、x₂、...、xₙ。

2. 建立目标函数：根据实际问题确定需要最大化或最小化的目标函数，并将其表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ。

3. 建立约束条件：根据实际问题确定约束条件，并将其表示为线性不等式的形式，即a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂，...，aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ。

4. 确定非负约束条件：由于线性规划问题的解必须满足变量的非负性，即x₁≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0。

5. 求解最优解：将线性规划问题转化为数学模型后，可以利用线性规划的求解方法，如单纯形法、对偶理论等，求解出目标函数的最大值或最小值，以及相应的决策变量的取值。

线性规划经典例题一、问题描述某公司生产两种产品A和B，每个产品的生产需要消耗不同的资源。

现在公司希望通过线性规划来确定每种产品的生产数量，以最大化利润。

已知产品A每个单位的利润为10元，产品B每个单位的利润为15元。

同时，产品A每个单位需要消耗2个资源X和3个资源Y，产品B每个单位需要消耗4个资源X和1个资源Y。

公司总共有40个资源X和30个资源Y可供使用。

二、数学建模1. 假设产品A的生产数量为x，产品B的生产数量为y。

2. 目标函数：最大化利润。

利润可以表示为10x + 15y。

3. 约束条件：a) 资源X的约束条件：2x + 4y ≤ 40b) 资源Y的约束条件：3x + y ≤ 30c) 非负约束条件：x ≥ 0，y ≥ 0三、求解过程1. 根据数学建模中的目标函数和约束条件，可以得到如下线性规划模型：最大化：10x + 15y约束条件：2x + 4y ≤ 403x + y ≤ 30x ≥ 0，y ≥ 02. 使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

通过计算，得到最优解为x = 6，y = 6，利润最大化为180元。

四、结果分析根据最优解，可以得知最大利润为180元，其中产品A的生产数量为6个，产品B的生产数量为6个。

同时，资源X还剩余28个，资源Y还剩余24个。

五、灵敏度分析对于线性规划问题，灵敏度分析可以帮助我们了解目标函数系数和约束条件右端项的变化对最优解的影响。

1. 目标函数系数的变化：a) 如果产品A的利润提高到12元，产品B的利润保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 8，y = 4，利润最大化为168元。

b) 如果产品A的利润保持不变，产品B的利润提高到20元，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

新的最优解为x = 4，y = 7，利润最大化为190元。

2. 约束条件右端项的变化：a) 如果资源X的数量增加到50个，资源Y的数量保持不变，重新求解线性规划模型可以得到新的最优解。

不等式法解线性规划问题有些线性规划问题，可以避开用作出可行域的解题方法，而可借助待定系数法，使问题转化为求不等式中变量组合的范围问题．下面介绍几例．例1 某企业生产A B ，两种产品，A 产品的单位利润为60元，B 产品的单位利润为 80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A 产品在加工车间和装配车间各需要经过0.8h 和2.4h ，每件B 产品在两个车间都需要经过1.6h ．在一定时期中，加工车间最大加工时间为240h ，装配车间最大生产时间为288h ．已知销售没有问题，在此时期中应如何搭配生产A 产品和B 产品，企业可获得最大利润？解：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，企业获得的利润为z ．依题意有0.8 1.62402.4 1.6288x y x y x y **+⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ，，，，≤≤，且6080z x y =+． 要求z 的最大值，不妨设6080(0.8 1.6)(2.4 1.6)x y x y k x y λ+=+++， 得75600.8 2.4280 1.6 1.625.2k k k λλλ⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，，，75256080(0.8 1.6)(2.4 1.6)22z x y x y x y ∴=+=+++ 75252402881260022⨯+⨯=≤． 当且仅当0.8 1.62402.4 1.6288x y x y +=⎧⎨+=⎩，，即30135x y =⎧⎨=⎩，时取等号，此时max 12600z =．故应生产A 产品30件，B 产品135件，可使企业获得最大利润，最大利润为12600元． 例2 某厂使用两种零件A B ，装配两种产品X Y ，，该厂的生产能力是月产X 最多 2500件，月产Y 最多1200件，而组装一件X 需要4个A ，2个B ，组装一件Y 需6个A ，8个B ．某个月该厂能用A 最多14000个，B 最多12000个，已知产品X 每件利润1000元，产品Y 每件利润2000元，欲使该月利润最高，需组装产品X Y ，各多少件，最高利润为多少万元？解：设月生产产品X Y ，分别为x 件，y 件，该月产品利润为z ，则025000250001200012004614000237000281200046000.x x y y x y x y x y x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨++⎪⎪⎪⎪++⎩⎩，①，，　②，，③，　④≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤ 目标函数10002000z x y =+，即1000(2)z x y =+．设2(23)(4)x y x y k x y λ+=+++，易得2155k λ==，． 212(23)(4)55x y x y x y ∴+=+++2170006000400055⨯+⨯=≤． 10004000400z ∴=⨯=（万元）． 等号成立的条件是23700046000x y x y +=⎧⎨+=⎩，， 即20001000x y =⎧⎨=⎩，符合条件①，②．∴最优解为(20001000)，，即组装产品2000X 件，产品1000Y 件时，月利润最高，最高利润400万元．用不等式法解线性规划问题的一般步骤是：（1）列出线性约束条件及目标函数；（2）用待定系数法构造变量组合；（3）解出“＝”成立的条件．。

线性规划经典例题一、问题描述假设有一家面包店，每天需要生产两种类型的面包：A型和B型。

生产一块A型面包需要3分钟，而生产一块B型面包需要4分钟。

面包店每天可供给的总生产时间为480分钟。

A型面包的利润为5元，B型面包的利润为4元。

面包店希望最大化每天的利润。

二、数学建模为了解决这个问题，我们可以使用线性规划模型来进行数学建模。

首先，我们需要定义决策变量和目标函数，然后列出约束条件。

1. 决策变量：设x为A型面包的生产数量，y为B型面包的生产数量。

2. 目标函数：面包店的每日利润可以表示为目标函数，即最大化利润。

根据题意，A型面包的利润为5元，B型面包的利润为4元，因此目标函数可以表示为： maximize Z = 5x + 4y3. 约束条件：a) 生产时间约束：每天可供给的总生产时间为480分钟，而生产一块A型面包需要3分钟，生产一块B型面包需要4分钟。

因此，生产时间约束可以表示为：3x + 4y ≤ 480b) 非负约束：由于面包的生产数量不能为负数，所以需要添加非负约束条件：x ≥ 0y ≥ 0三、线性规划求解通过将目标函数和约束条件带入线性规划模型，我们可以求解出最优解。

1. 构建线性规划模型：maximize Z = 5x + 4ysubject to:3x + 4y ≤ 480x ≥ 0y ≥ 02. 求解最优解：使用线性规划求解方法，可以得到最优解。

假设最优解为(x*, y*)，则最大利润为Z* = 5x* + 4y*。

四、数值计算为了求解最优解，我们可以使用线性规划求解器或手工计算。

1. 使用线性规划求解器：可以使用诸如MATLAB、Python的SciPy库或在线线性规划求解器等工具来得到最优解。

2. 手工计算：为了方便计算，我们可以使用图形法来解决这个问题。

首先，我们将约束条件3x + 4y ≤ 480绘制成直线，然后确定可行解的区域。

接下来，我们将目标函数5x + 4y = Z绘制成直线，并通过移动直线找到最大利润的点。

目标函数、决策变量和约束条件详解在优化问题中，目标函数、决策变量和约束条件是三个核心概念，它们都是对问题本质的抽象和描述。

本文将详细解释这三个概念，并通过具体例子来说明其定义、用途和工作方式。

目标函数（Objective function）目标函数是优化问题中的一个数学函数，用于衡量我们希望优化的目标的性能。

它是我们希望最大化或最小化的问题特定指标。

目标函数通常与决策变量有关，其定义方式可以是线性的、非线性的、连续的或离散的。

具体来说，目标函数用数学语言描述了问题的目标，它可以是一个最大化问题（maximization）或一个最小化问题（minimization）。

例如，对于一个最小化问题，我们可以将目标函数记为：Minimize: f(x)其中，f(x)是目标函数，x是决策变量。

目标函数可以是多元的，也就是说它可能涉及多个决策变量。

在这种情况下，目标函数可以写成：Minimize: f(x1, x2, ..., xn)目标函数的输出值被解释为问题的性能指标，通过最小化或最大化目标函数，我们可以找到问题的最优解。

决策变量（Decision variables）决策变量是在优化问题中由决策者（或算法）控制的变量。

它们是问题的解决方案的一部分，通过对这些变量的不同取值进行优化，我们可以找到问题的最优解。

决策变量通常在问题的上下文中具有特定的含义。

例如，在一个物流问题中，决策变量可以是货物的运输路径、运输方式或货物从一个地点到另一个地点的数量等。

为了描述决策变量，我们需要定义其取值范围。

取值范围可以是连续的或离散的，取决于问题的特性和要求。

例如，如果决策变量表示某个物体的长度，可以定义为一个连续变量。

而如果表示某台机器的运行状态，可以定义为一个离散变量。

决策变量通常用符号来表示，在目标函数和约束条件中被引用。

例如，如果我们要优化一个具有两个决策变量的问题，可以记作：Minimize: f(x1, x2)其中，x1和x2就是我们要求解的决策变量。

线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为变量。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性约束条件。

约束条件通常表示为a1x1 + a2x2 + ... + anx ≤ b，其中ai为系数，b为常数。

3. 变量：线性规划中的变量是需要优化的未知数，通常表示为x1, x2, ..., xn。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解称为最优解。

二、线性规划的求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法求解。

首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域中找到使目标函数最大或最小的解。

2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，通常使用单纯形法求解。

单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动到更优的解来寻找最优解。

3. 整数规划：当变量需要取整数值时，称为整数规划。

整数规划问题通常较难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。

三、线性规划的应用1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，包括生产数量、原材料采购等。

2. 仓储管理：线性规划可以用于优化仓储管理，包括货物的存放位置、调度等。

3. 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，包括货物的调度、最佳路径选择等。

4. 金融投资：线性规划可以用于优化投资组合，确定最佳的资产配置方案。

5. 能源管理：线性规划可以用于能源管理，包括能源生产、分配等。

四、线性规划的局限性1. 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不成立。

2. 单一目标：线性规划只能优化一个目标函数，对于多目标问题需要进行权衡和转化。

线性规划的基本概念与解法线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种运筹学中的数学方法，用于寻找最优解决方案的问题。

它在各个领域中得到广泛应用，包括经济学、管理学、工程学等。

本文将介绍线性规划的基本概念和解法，并探讨其实际应用。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是求解一个线性函数的最大值或最小值。

这个线性函数称为目标函数，通常以z表示。

例如，z=c1x1+c2x2+…+cnxn，其中c1、c2…cn为常数，x1、x2…xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的约束条件是一组线性不等式或等式。

通常以Ax≤b或Ax=b的形式表示，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

可行解存在于约束条件所定义的空间中。

4. 最优解：在所有可行解中，目标函数取得最大值或最小值时的解称为最优解。

最优解可以是唯一的，也可以有多个。

二、解法方法1. 图形法：当线性规划问题为二维或三维时，可以利用图形的方法求解。

通过绘制目标函数的等高线或平面与约束条件的交点，找到目标函数的最优解。

2. 单纯形法：单纯形法是一种基于迭代的线性规划求解方法，适用于高维问题。

该方法通过不断改变基变量的取值，寻找使目标函数达到最优值的解。

3. 内点法：内点法是一种与单纯形法相比更为高效的求解线性规划问题的方法。

该方法通过在可行域内部搜索最优解，避免了对可行域的边界进行逐个检验的过程。

三、实际应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用。

以下是几个常见的应用领域：1. 生产计划：线性规划可以用于确定生产计划中的最佳生产数量和产品组合，以最大化利润或最小化成本。

2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源分配，例如分配有限的人力、物资和资金，以实现最佳利用和效益。

3. 供应链管理：线性规划可以用于优化供应链中的库存管理、运输计划和物流调配，以降低成本并提高响应速度。

4. 金融投资：线性规划可以用于投资组合优化，以确定最佳的资产配置，以及风险控制和收益最大化。

3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 线性规划的有关概念及图解法学习目标 1.了解线性规划的意义.2.理解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.3.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.引例 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0.①该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y ②的最大值.以此为例，尝试通过下列问题理解有关概念. 知识点一 线性约束条件及目标函数1.在上述问题中，不等式组①是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，故又称线性约束条件.2.在上述问题中，②是要研究的目标，称为目标函数.因为它是关于变量x ，y 的一次解析式，这样的目标函数称为线性目标函数. 知识点二 线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. 知识点三 可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解(x ，y )叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解.在上述问题的图中，阴影部分叫可行域，阴影区域中的每一个点对应的坐标都是一个可行解，其中能使②式取最大值的可行解称为最优解.1.可行域内每一个点都满足约束条件.(√)2.可行解有无限多个，最优解只有一个.(×)3.不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.(×)类型一 最优解问题命题角度1 问题存在唯一最优解例1 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，4x ≤16，4y ≤12，x ≥0，y ≥0，该不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，求2x ＋3y 的最大值.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 设区域内任一点P (x ，y )，z ＝2x ＋3y ， 则y ＝－23x ＋z3，这是斜率为－23，在y 轴上的截距为z3的直线，如图.由图可以看出，当直线y ＝－23x ＋z 3经过直线x ＝4与直线x ＋2y －8＝0的交点M (4,2)时，截距z3的值最大，此时2x ＋3y ＝14.反思与感悟 图解法是解决线性规划问题的有效方法，基本步骤(1)确定线性约束条件，线性目标函数； (2)作图——画出可行域；(3)平移——平移目标函数对应的直线z ＝ax ＋by ，看它经过哪个点(或哪些点)时最先接触可行域或最后离开可行域，确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 跟踪训练1 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围. 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图阴影部分所示)即为可行域.设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线.－13z 是直线在y 轴上的截距， 当直线截距最大时，z 的值最小， 由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大， 即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 点坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小， 即z 最大.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 点坐标为(2，－1).∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]. 命题角度2 问题的最优解有多个例2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y 的最大值有无数个最优解，求实数a 的值.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题解 约束条件所表示的平面区域如图(阴影部分)，由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ＝0时，最优解只有一个，过A (1,1)时取得最大值；当a ＞0，y ＝－ax ＋z 与x ＋y ＝2重合时，最优解有无数个，此时a ＝1； 当a <0，y ＝－ax ＋z 与x －y ＝0重合时，最优解有无数个，此时a ＝－1. 综上，a ＝1或a ＝－1.反思与感悟 当目标函数取最优解时，如果目标函数与平面区域的一段边界(实线)重合，则此边界上所有点均为最优解.跟踪训练2 给出平面可行域(如图阴影部分所示)，若使目标函数z ＝ax ＋y 取最大值的最优解有无穷多个，则a 等于( )A.14B.35C.4D.53考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 B解析 由题意知，当直线y ＝－ax ＋z 与直线AC 重合时，最优解有无穷多个，则－a ＝5－21－6＝－35，即a ＝35，故选B.类型二 生活中的线性规划问题例3 营养专家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 各多少kg? 将已知数据列成下表：考点 实际生活中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设每天食用x kg 食物A ，y kg 食物B ，总成本为z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝28x ＋21y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，把目标函数z ＝28x ＋21y 变形为y ＝－43x ＋z21，它表示斜率为－43，且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当截距最小时，z 的值最小.由图可知，当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距最小，即z 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ＝5，14x ＋7y ＝6，得M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫17，47. 所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 17 kg ，食物B 47 kg.反思与感悟 (1)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)在y 轴上的截距zb 是关于z 的正比例函数，其单调性取决于b 的正负.当b >0时，截距z b 越大，z 就越大；当b <0时，截距zb 越小，z 就越大.(2)求解的最优解，和目标函数与边界函数的斜率大小有关.跟踪训练3 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.考点 生活实际中的线性规划问题题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 4,1解析 设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1). 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润.1.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A.－52B.0C.53D.52考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值答案 C解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示.设z ＝x ＋2y ，即y ＝－12x ＋12z ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53. 2.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A.6B.7C.8D.23 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示.由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A.－3B.3C.－1D.1 考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C.[－1,6]D.⎣⎡⎦⎤－6，32 考点 线性目标最优解 题点 求目标函数的取值范围 答案 A解析 作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝3x －y ，可得y ＝3x －z ，则－z 为直线y ＝3x －z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合图形可知，当直线y ＝3x －z 平移到B 时，z 最小，平移到C 时，z 最大，可得B ⎝⎛⎭⎫12，3，z min ＝－32，C (2,0)，z max ＝6，∴－32≤z ≤6. 5.给出平面区域如图阴影部分所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为________.考点 线性规划中的参数问题 题点 无数个最优解问题 答案 35解析 将z ＝ax ＋y 变形，得y ＝－ax ＋z .当它与直线AC 重合时，z 取最大值的点有无穷多个. ∵k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.1.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤(1)寻找线性约束条件，线性目标函数；(2)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ；(3)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；(4)求值——解有关的方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.2.作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解.3.在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.一、选择题1.若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域内，则2x －y 的最小值为( ) A.－6 B.－2 C.0 D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分(含边界)所示，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 2.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A.9B.157C.1D.715考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z .当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0，得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.3.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A.－7B.－4C.1D.2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)所示，令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知， 当直线l 0过D 点时，z 取得最小值.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0，得D (5,3). ∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.4.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A.3，－11B.－3，－11C.11，－3D.11,3考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时，z 有最小值，经过点B 时，z 有最大值.易求得A (3,5)，B (5,3).∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11. 5.已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2 考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示.易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B.6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，若z ＝ax ＋y 的最小值是2，则a 的值为( )A.1B.2C.3D.4考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 答案 B解析 作出可行域，如图中阴影部分所示，又z ＝ax ＋y 的最小值为2，若a >－2，则(1,0)为最优解，解得a ＝2；若a ≤－2，则(3,4)为最优解，解得a ＝－23，舍去，故a ＝2.7.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y确定.若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( ) A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 由线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，当目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.8.已知A (2,5)，B (4,1).若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A.－1 B.3 C.7 D.8 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 C解析 作出线段AB ，如图所示，作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B (4,1)时，2x －y 取最大值，为2×4－1＝7. 二、填空题9.已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________.(答案用区间表示) 考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示. 在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值， z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值， z max ＝2×1＋3×2＝8. 所以z ∈[3,8].10.在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，z ＝2x －y 的最小值是________.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 －7解析 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界.三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)， x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一族与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.11.某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，则所需租赁费最少为________元. 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用 答案 2 300解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N ，y ∈N .目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域(图略)，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300. 三、解答题12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4，x －y ≥－1，x －2y ≤2，求z ＝x ＋y 的取值范围.考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值解 作出约束条件表示的可行域，如图所示，z ＝x ＋y 表示直线y ＝－x ＋z 过可行域时，在y 轴上的截距，当目标函数平移至过可行域内的A 点时，z 有最小值.联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x －2y ＝2，解得A (2,0).z min ＝2，z 无最大值.∴x ＋y ∈[2，＋∞).13.某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180 t 支援物资的任务.该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车与4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元.请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 考点 生活实际中的线性规划问题 题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆.列表分析数据.由表可知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，24x ＋30y ≥180，0≤x ≤8，0≤y ≤4，x ，y ∈N ，且目标函数z ＝320x ＋504y .作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示.可知当直线z ＝320x ＋504y 过A (7.5,0)时，z 最小，但A (7.5,0)不是整点，继续向上平移直线z ＝320x ＋504y ，可知点(8,0)是最优解.这时z min ＝320×8＋504×0＝2 560(元)，即用8辆A 型车，成本费最低.所以公司每天调出A 型卡车8辆时，花费成本最低. 四、探究与拓展14.若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355B. 2C.322 D. 5考点 线性目标最优解 题点 求线性目标函数的最值 答案 B解析 画出不等式组所表示的平面区域如图(阴影部分)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，得A (1,2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得B (2,1).由题意可知当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两条直线为满足条件的距离最小的一对直线，即|AB |＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.故选B.15.已知变量x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，求a 的取值范围.考点 线性规划中的参数问题 题点 线性规划中的参数问题 解 依据约束条件，画出可行域.∵直线x ＋2y －3＝0的斜率k 1＝－12，目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)对应直线的斜率k 2＝－a ， 若符合题意，则需k 1＞k 2.即－12＞－a ，得a ＞12.。

线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、工程学、运筹学等等。

本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型表示、求解方法以及应用案例。

一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。

2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi，其中aij为系数，bi为常数。

3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。

二、模型表示线性规划可以通过数学模型来表示，通常包括以下几个要素：1. 决策变量：表示问题中需要决策的变量，通常用x1, x2, ... , xn表示。

2. 目标函数：表示问题的目标，可以是最大化或者最小化一个线性函数。

3. 约束条件：表示问题中的限制条件，通常是一系列线性不等式或者等式。

4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束，即xi ≥ 0。

三、求解方法线性规划可以使用多种方法进行求解，其中最常用的方法有：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的图形来确定最优解。

2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算来寻觅最优解。

3. 整数规划法：适合于决策变量需要取整数值的线性规划问题，通过引入整数约束条件来求解。

四、应用案例线性规划在实际应用中具有广泛的应用，以下是一些典型的应用案例：1. 生产计划问题：某工厂需要决定每种产品的生产数量，以最大化利润为目标，同时满足生产能力和市场需求的约束条件。

2. 运输问题：某物流公司需要确定货物的运输路线和运输量，以最小化运输成本为目标，同时满足供应商和客户的需求。