列出线性约束条件及目标函数
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线性规划教学目标:1.解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念;2.在线性约束条件下求线性目标函数的最优解;3.了解线性规划问题的图解法。
教学重点:线性规划问题。
教学难点:线性规划在实际中的应用。
教学过程:1.复习回顾:上一节,我们学习了二元一次不等式表示的平面区域,这一节,我们将应用这一知识来解决线性规划问题.所以,我们来简要回顾一下上一节知识.(略)2.讲授新课:例1:设z=2x+y,式中变量满足下列条件:,求z的最大值和最小值.解:变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(如右图).作一组与l0:2x+y=0平行的直线l:2x+y=t.t∈R可知:当l在l0的右上方时,直线l上的点(x,y)满足2x+y>0,即t>0,而且,直线l往右平移时,t随之增大,在经过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中,以经过点A(5,2)的直线l2所对应的t最大,以经过点B (1,1)的直线l1所对应的t最小.所以zmax=2×5+2=12 zmin=2×1+1=3说明:例1目的在于给出下列线性规划的基本概念.线性规划的有关概念:①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x、y的约束条件,这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数:关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,叫线性目标函数.③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解:满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.Ex:P841,2,3例2:在x≥0,y≥0,3x+y≤3及2x+3y≤6的条件下,试求x-y的最值。
解:画出不等式组的图形设x-y=t,则y=x-t由图知直线l:y=x-t过A(1,0)时纵截距最小,这时t=1;过B(0,2)时纵截距最大,这时t=-2. 所以,x-y的最大值为1,最小值为-2。
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法,用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下,寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成:决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量,通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数,通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的,可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件,通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解,常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题,通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线,找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题,通过迭代计算,从初始可行解出发,逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法,通过在可行域内不断搜索,逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用,以下是一些常见的应用领域:1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配,以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题,确定各个供应点到需求点的最优运输方案,以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合,确定不同资产的投资比例,以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理,确定员工的最优分配方案,以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用,但也存在一些局限性:1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的,这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解,而在某些问题中可能存在多个最优解。
高二数学线性规划试题1.若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围()A.[2,6]B.[2,5]C.[3,6]D.(3,5]【答案】A【解析】作出可行域如图:,并作出,然后平移到过点A(2,0)时z取最小值为:,平移到过点C(2,2)时z取最大值为:,所以z的取值范围为:[2,6];故选A.【考点】线性规划.2.已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域上运动,则x-y的取值范围是( ). A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-1,2]D.[1,2]【答案】C【解析】设,即,作出可行域和目标函数基准线;当直线过点时,最大,即取得最小值为-1;当直线过点时,最小,即取得最大值为2;即x-y的取值范围是.【考点】简单的线性规划.3.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最大值为.【答案】5【解析】约束条件表示一个三角形ABC及其内部,其中因此直线过点时,目标函数z=2x+y取最大值为5.【考点】线性规划4.已知实数满足条件,则的最大值为.【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域,如图所示.由图可知点目标函数经过点时取得最大值,且最大值为.【考点】简单的线性规划.5.若实数满足不等式组,则的最小值为。
【答案】【解析】由不等式组作可行域如图,可行域内点的横纵坐标均为非负值,且不同时为0,可知在点C(0,1)处去最小值,将点C 代入,可知最小值为-1.【考点】简单线性规划..6.若变量、满足约束条件,则的最大值为 .【答案】1【解析】可行域为如图所示三角形内部(包括边界)则【考点】线性规划问题7.某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多56吨,供电至多450千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大?最大日产值为多少?【答案】该厂每天安排生产甲产品5吨,乙产品7吨,则该厂日产值最大,最大日产值为124万元.【解析】根据已知条件列出线性约束条件,和目标函数。
第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【最新考纲】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.【高考会这样考】 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围);2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围;3.利用线性规划方法设计解决实际问题的最优方案.要点梳理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念[友情提示]1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:(1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;(2)特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时,要注意:当b >0时,截距zb 取最大值时,z 也取最大值;截距z b 取最小值时,z 也取最小值;当b <0时,截距zb 取最大值时,z 取最小值;截距zb取最小值时,z 取最大值.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式Ax +By +C >0表示的平面区域一定在直线Ax +By +C =0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z =ax +by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax +by -z =0在y 轴上的截距.( )解析 (1)不等式x -y +1>0表示的平面区域在直线x -y +1=0的下方. (4)直线ax +by -z =0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.下列各点中,不在x +y -1≤0表示的平面区域内的是( ) A .(0,0)B .(-1,1)C .(-1,3)D .(2,-3)解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C. 答案 C3.不等式组⎩⎨⎧x -3y +6≥0,x -y +2<0表示的平面区域是( )解析 x -3y +6≥0表示直线x -3y +6=0及其右下方部分,x -y +2<0表示直线x -y +2=0左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0,则z =3x -2y 的最小值为________.解析不等式组⎩⎨⎧x +2y ≤1,2x +y ≥-1,x -y ≤0表示的平面区域如图所示.由z =3x -2y 得y =32x -z 2,当直线y =32x -z2过图中点A 时,纵截距最大,此时z 取最小值.由⎩⎨⎧2x +y =-1,x +2y =1解得点A 坐标为(-1,1),此时z =3×(-1)-2×1=-5.答案 -55.若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y +1≥0,x -2≤0,x +y -2≥0,则z =yx的最大值为________.解析 作出不等式组表示的平面区域,如图所示阴影部分,z =y x =y -0x -0,表示区域内的点与原点连线的斜率,易知z max =k OA ,由⎩⎨⎧x -y +1=0,x +y -2=0,得A ⎝⎛⎭⎫12,32,k OA =3212=3,∴z max =3.答案 3题型分类 考点突破考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)不等式(x -2y +1)(x +y -3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的()(2)若不等式组⎩⎨⎧x +y -2≤0,x +2y -2≥0,x -y +2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A .-3B .1C.43D .3解析 (1)(x -2y +1)(x +y -3)≤0⇒⎩⎨⎧x -2y +1≥0,x +y -3≤0或⎩⎨⎧x -2y +1≤0,x +y -3≥0.画出平面区域后,只有C 符合题意.(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m <2,则m >-1,由⎩⎨⎧x +y -2=0,x -y +2m =0,解得⎩⎨⎧x =1-m ,y =1+m ,即A (1-m ,1+m ). 由⎩⎨⎧x +2y -2=0,x -y +2m =0,解得⎩⎨⎧x =23-43m ,y =23+23m ,即B ⎝⎛⎭⎫23-43m ,23+23m ,所围成的区域为△ABC ,则S △ABC =S △ADC -S △BDC =12(2+2m )(1+m )-12(2+2m )·23(1+m )=13(1+m )2=43, 解得m =-3(舍去)或m =1.故选B. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域. 2.求平面区域的面积:(1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域;(2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和.【变式练习1】 若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组⎩⎨⎧x -y ≥0,x +y ≥0,y ≥2x -6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为________.解析 作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示,平面区域N 的面积为12×3×(6+2)=12,区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2=π2,故所求概率P =π212=π24.答案 π24考点二 求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1 求线性目标函数的最值【例2-1】设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x +3y ≤3,x -y ≥1,y ≥0,则z =x +y 的最大值为()A .0B .1C .2D .3解析 根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分(含边界),则当目标函数z =x +y 经过A (3,0)时取得最大值,故z max =3+0=3,故选D.答案 D命题角度2 求非线性目标函数的最值【例2-2】 (1)若变量x ,y 满足⎩⎨⎧x +y ≤2,2x -3y ≤9,x ≥0,则x 2+y 2的最大值是()A .4B .9C .10D .12(2)已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≤x -1,x ≤3,x +5y ≥4,则xy 的最小值是________.解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),x 2+y 2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A (3, -1)与原点的距离最大,所以x 2+y 2的最大值是10,故选C.(2)作出不等式组表示的平面区域,如图所示,又xy 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率的倒数.由图知,直线OA 的斜率最大,此时x y 取得最小值,所以⎝⎛⎭⎫x y min =1k OA =32.答案 (1)C (2)32命题角度3 求参数的值或范围【例2-3】 已知实数x ,y 满足:⎩⎨⎧x +3y +5≥0,x +y -1≤0,x +a ≥0,若z =x +2y 的最小值为-4,则实数a =( ) A .1B .2C .4D .8解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当直线z =x +2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫-a ,a -53时,z 取得最小值-4,所以-a +2·a -53=-4,解得a =2,选B.答案 B规律方法 1.先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值. 2.当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题,常见代数式的几何意义:(1)x 2+y 2表示点(x ,y )与原点(0,0)的距离,(x -a )2+(y -b )2表示点(x ,y )与点(a ,b )的距离;(2)yx 表示点(x ,y )与原点(0,0)连线的斜率,y -b x -a 表示点(x ,y )与点(a ,b )连线的斜率.3.当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件.【变式练习2】 (1)已知x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y +3≤0,3x +y +5≤0,x +3≥0,则z =x +2y 的最大值是()A .0B .2C .5D .6(2)若实数x ,y 满足⎩⎨⎧2x -y +2≥0,2x +y -6≤0,0≤y ≤3,且z =mx -y (m <2)的最小值为-52,则m 等于()A.54B .-56C .1D.13解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示,故目标函数z =x +2y 经过点C (-3,4)时取最大值z max =-3+2×4=5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,z =mx -y (m <2)的最小值为-52,可知目标函数的最优解过点A ,由⎩⎨⎧y =3,2x -y +2=0,解得A ⎝⎛⎭⎫12,3,∴-52=m2-3,解得m =1.答案 (1)C (2)C考点三 实际生活中的线性规划问题【例3】 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙材料1 kg ,用5个工时;生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2 100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg ,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产A 产品x 件,B 产品y 件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x +0.5y ≤150,x +0.3y ≤90,5x +3y ≤600,x ≥0,x ∈N *,y ≥0,y ∈N *,目标函数z =2 100x +900y .作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max =2 100×60+900×100=216 000(元).答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答.【变式练习3】 一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料,生产一桶甲饮料需要白糖4千克,果汁18千克,用时3小时;生产一桶乙饮料需要白糖1千克,果汁15千克,用时1小时.现库存白糖10千克,果汁66千克,生产一桶甲饮料利润为200元,生产一桶乙饮料利润为100元,在使用该机器用时不超过9小时的条件下,生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.解析 设生产甲、乙两种饮料分别为x 桶、y 桶,利润为z 元,则得⎩⎪⎨⎪⎧4x +y ≤10,18x +15y ≤66,3x +y ≤9,x ≥0,y ≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧4x +y ≤10,6x +5y ≤22,3x +y ≤9,x ≥0,y ≥0.目标函数z =200x +100y .作出可行域(如图阴影部分所示),当直线z =200x +100y 经过可行域上点B 时,z 取得最大值,解方程组⎩⎨⎧4x +y =10,6x +5y =22,得点B 的坐标(2,2),故z max =200×2+100×2=600. 答案 600错误! 课后练习A 组 (时间:30分钟)一、选择题1.不等式组⎩⎨⎧y ≤-x +2,y ≤x -1,y ≥0所表示的平面区域的面积为()A .1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ,由题意知x B =1,x C =2.由⎩⎨⎧y =-x +2,y =x -1,得y D=12,所以S △BCD =12×(x C -x B )×12=14.答案D2.若x ,y 满足⎩⎨⎧x ≤3,x +y ≥2,y ≤x ,则x +2y 的最大值为()A .1B .3C .5D .9解析 画出可行域,设z =x +2y ,则y =-12x +z 2,当直线y =-12x +z2过B (3,3)时,z 取得最大值9,故选D. 答案 D3.设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x +3y -3≤0,2x -3y +3≥0,y +3≥0,则z =2x +y 的最小值是()A .-15B .-9C .1D .9解析 作出不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点B (-6,-3)处取得最小值z min =-12-3=-15.故选A.答案 A4.设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧3x +2y -6≤0,x ≥0,y ≥0,则z =x -y 的取值范围是()A .[-3,0]B .[-3,2]C .[0,2]D .[0,3]解析 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示),结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0,3)处取得最小值z =0-3=-3,在点B (2,0)处取得最大值z =2-0=2.答案 B5.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y -1≤0,x +y ≥0,x +2y -4≥0,则z =x -2y 的最大值为()A .-12B .-1C .0D.32解析 作出可行域,如图阴影部分,作直线l 0:x -2y =0,平移直线l 0,可知经过点A 时,z =x -2y 取得最大值,由⎩⎨⎧x +2y -4=0,x -y -1=0,得A (2,1),所以z max =2-2×1=0, 故选C.答案 C6.若1≤log 2(x -y +1)≤2,|x -3|≤1,则x -2y 的最大值与最小值之和是( ) A .0B .-2C .2D .6解析 1≤log 2(x -y +1)≤2,|x -3|≤1即变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2≤x -y +1≤4,2≤x ≤4,即⎩⎨⎧x -y -3≤0,x -y -1≥0,2≤x ≤4,作出可行域(图略),可得x -2y 的最大值、最小值分别为4,-2,其和为2. 答案 C7.若x ,y 满足⎩⎨⎧x +y ≥1,mx -y ≤0,3x -2y +2≥0且z =3x -y 的最大值为2,则实数m 的值为()A.13B.23C .1D .2解析 若z =3x -y 的最大值为2,则此时目标函数为y =3x -2,直线y =3x -2与3x -2y +2=0和x +y =1分别交于A (2,4),B ⎝⎛⎭⎫34,14,mx -y =0经过其中一点,所以m =2或m =13,当m =13时,经检验不符合题意,故m =2,选D. 答案 D8.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y +1≤0,y ≤1,x >-1,则(x -2)2+y 2的最小值为()A.322B. 5C.92D .5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z =(x -2)2+y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方,由图知C ,D 间的距离最小,此时z 最小.由⎩⎨⎧y =1,x -y +1=0得⎩⎨⎧x =0,y =1,即C (0,1),此时z min =(x -2)2+y 2=4+1=5,故选D. 答案 D 二、填空题9.若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥0,则z =3x -4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z =3x -4y ,得y =34x -z4,作出直线y =34x ,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A (1,1)处取最小值,故z min =3×1-4×1=-1.10.已知O 是坐标原点,点M 的坐标为(2,1),若点N (x ,y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤2,x ≥12,y ≥x 上的一个动点,则OM →·ON →的最大值是________.解析 依题意,得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,其中A ⎝⎛⎭⎫12,12,B ⎝⎛⎭⎫12,32,C (1,1). 设z =OM →·ON →=2x +y ,当目标函数z =2x +y 过点C (1,1)时,z =2x +y 取得最大值3. 答案 311.(一题多解)已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是________(答案用区间表示).解析 法一 设2x -3y =a (x +y )+b (x -y ),则由待定系数法可得⎩⎨⎧a +b =2,a -b =-3,解得⎩⎨⎧a =-12,b =52,所以z =-12(x +y )+52(x -y ).又⎩⎨⎧-2<-12(x +y )<12,5<52(x -y )<152,所以两式相加可得z ∈(3,8). 法二 作出不等式组⎩⎨⎧-1<x +y <4,2<x -y <3表示的可行域,如图中阴影部分所示.平移直线2x -3y =0,当相应直线经过x -y =2与x +y =4的交点A (3,1)时,z取得最小值,z min =2×3-3×1=3;当相应直线经过x +y =-1与x -y =3的交点B (1,-2)时,z 取得最大值,z max =2×1+3×2=8.所以z ∈(3,8).12.x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x +y -2≤0,x -2y -2≤0,2x -y +2≥0.若z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为________.解析 如图,由y =ax +z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距,故当a >0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =2;当a <0时,要使z =y -ax 取得最大值的最优解不唯一,则a =-1. 答案 2或-1B 组 (时间:15分钟)13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元 B .16万元 C .17万元D .18万元解析 设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨,每天所获利润为z 万元,则有⎩⎨⎧3x +2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,目标函数z =3x +4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:可得目标函数在点A 处取到最大值.由⎩⎨⎧x +2y =8,3x +2y =12得A (2,3).则z max =3×2+4×3=18(万元). 答案 D14.已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧x -2y +1≥0,x <2,x +y -1≥0,z =|2x -2y -1|,则z 的取值范围是()A.⎣⎡⎦⎤53,5B .[0,5)C .[0,5]D.⎣⎡⎭⎫53,5解析 作出可行域如图所示:易求得A ⎝⎛⎭⎫2,32,B ⎝⎛⎭⎫13,23,C (2,-1),令u =2x -2y -1,则y =x -u +12,当直线y =x-u +12过点C (2,-1)时,u 有最大值5,过点B ⎝⎛⎭⎫13,23时,u 有最小值-53,因为可行域不包括x =2的边界,所以z =|2x -2y -1|的取值范围是[0,5).故选B. 答案 B15.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x +2y -3≤0,x +3y -3≥0,y -1≤0,若目标函数z =ax +y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a 的取值范围是________. 解析 画出x ,y 满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数z =ax +y 仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y =-ax +z 的斜率应小于直线x +2y -3=0的斜率,即-a <-12,∴a >12. 答案 ⎝⎛⎭⎫12,+∞16.已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≤ln x ,x -2y -3≤0y +1≥0,,则z =y +1x 的取值范围为________.解析 作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分.z =y +1x 表示区域内的点(x ,y )与A (0,-1)连线的斜率k ,由图可知,k min =0,k max =k AP ,P 为切点,设P (x 0,ln x 0),k AP =1x 0,∴ln x 0+1x 0=1x 0,∴x 0=1,k AP =1,即z =y +1x 的取值范围为[0,1].答案 [0,1]。
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法,用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下,找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数:线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数,称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,其中c1,c2,...,cn为系数,x1,x2,...,xn为变量。
2. 约束条件:线性规划的变量需要满足一系列约束条件,通常是一组线性等式或不等式。
例如,Ax ≤ b,其中A为系数矩阵,x为变量向量,b为常数向量。
3. 可行解:满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解:在所有可行解中,使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点:1. 目标函数为最小化形式:minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式:Ax = b3. 变量的非负性约束:x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解,其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量,直到找到最优解。
1. 初始化:选择一个初始可行解。
2. 进行迭代:根据当前解,确定一个非基变量进入基变量集合,并确定一个基变量离开基变量集合,以改进目标函数值。
3. 改进解:通过迭代计算,逐步改进解的质量,直到找到最优解。
4. 终止条件:当无法找到更优解时,算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用,以下是一些常见的应用案例:1. 生产计划:确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题:确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配:确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合:确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度:确定如何安排作业以最小化总工时。
高中线性规划高中线性规划是高中数学课程中的一部分,是线性代数的重要内容之一。
线性规划是一种优化问题的数学建模方法,通过线性规划可以求解出一组满足一定约束条件的最优解。
线性规划的基本形式是在一组线性约束条件下,求解一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的,这使得线性规划问题能够用简洁的数学模型来描述。
线性规划的数学模型可以用如下的标准格式来表示:最大化(或最小化)目标函数:Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ非负约束条件:x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0其中,Z表示目标函数的值,c₁、c₂、...、cₙ为目标函数的系数,x₁、x₂、...、xₙ为决策变量,a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数,b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的常数项。
线性规划的求解过程一般分为以下几个步骤:1. 确定决策变量:根据实际问题确定需要优化的变量,将其表示为x₁、x₂、...、xₙ。
2. 建立目标函数:根据实际问题确定需要最大化或最小化的目标函数,并将其表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ。
3. 建立约束条件:根据实际问题确定约束条件,并将其表示为线性不等式的形式,即a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁,a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂,...,aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ。
4. 确定非负约束条件:由于线性规划问题的解必须满足变量的非负性,即x₁≥ 0, x₂ ≥ 0, ..., xₙ ≥ 0。
5. 求解最优解:将线性规划问题转化为数学模型后,可以利用线性规划的求解方法,如单纯形法、对偶理论等,求解出目标函数的最大值或最小值,以及相应的决策变量的取值。