线性目标函数问题

线性规划目标函数
线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最大化或最小化问题。

线性规划的目标函数是一个线性方程，它表示了需要优化的目标的数学模型。

目标函数的形式如下：
max/min Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
其中，Z表示需要最大化或最小化的目标函数值，x1, x2, ...,
xn表示决策变量，c1, c2, ..., cn表示这些变量的系数。

线性规划目标函数的含义取决于具体问题的需求。

有时，我们希望最大化某个指标，比如产量、利润、销售额等；有时，我们希望最小化某个指标，比如成本、风险、距离等。

例如，如果我们想要最大化一个公司的利润，目标函数可以表示为：
maximize Z = p1x1 + p2x2 + ... + pnxn
其中，pi表示第i个产品的售价，xi表示第i个产品的数量。

另外，线性规划目标函数还可以包含一些约束条件，如不等式约束、等式约束等。

在确定目标函数时，我们需要考虑这些约束条件，并根据具体情况进行调整。

线性规划目标函数的确定是线性规划问题的关键步骤之一。

在确定目标函数时，我们需要考虑如何平衡不同决策变量之间的权重关系，以及如何根据约束条件的要求进行调整。

通过合理
选择目标函数，我们可以在满足约束条件的前提下，以最有效的方式实现我们的目标。

简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

借助目标函数的几何意义解线性规划问题
线性规划问题是企业决策分析中常见的问题，它利用目标函数的几何意义来求解，目标函数的几何意义就是通过特定的函数曲线使得所求的最优解能够达到的最佳的位置及形状，以达到实现优化的最大化或者最小化的目的。

下面以做公司生产原料决策为例，讲解目标函数几何意义。

企业要求以X1和X2为两种原料采购，采购成本分别为1元和2元，通过原材料加工生产制成品，售价为3元每台。

线性规划问题就是在一定的条件下，如何选择X1和X2的采购量，用更少的采购成本来达到最高的利润。

假设有约束条件，比如最多只能采购3个X1和2个X2，那么，目标函数的几何意义表示的是把X1和X2的采购量作为变量，利润作为函数的函数曲线，在X1和X2的采购量满足约束条件的前提下，把曲线微调，把利润最大化，称为最佳曲线。

因此，结合目标函数几何意义，最终企业可以从曲线最高点处，获得最优原材料采购量，比如最高点处极大值为9，则最优解是，X1=3，X2=2，则最高利润为27元。

线性规划问题可以借助目标函数的几何意义来解决，也就是说，解决线性规划问题的问主要就是把函数曲线的极大值调整到可以实现最大化或最小化的结果位置。

从而可以有效的获得最优解。

线性目标函数问题Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT课题 线性规划一、基础知识 1、若点()2,t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是2、图中的平面区域（阴影部分）用不等式组表示为3、已知实数x y 、满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤≤，则2z x y =-的最大值是______．5、已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2222x y x y +--的最小值为例题巩固线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如z ax by c =++（0b ≠）时，可把目标函数变形为a z c y xb b -=-+，则zc b-可看作在y 在轴上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.8、设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩若－2≤x ≤2，－2≤y ≤2，则z 的最小值为 ▲ 二, 非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。

近年来，在高考中出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1．比值问题当目标函数形如y a z x b -=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

2.距离问题当目标函数形如22()()z x a y b =-+-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q a b 距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

线性规划问题的求解算法和应用线性规划是一种常见的数学优化问题，求解线性规划问题具有广泛的应用。

本文将对线性规划相关算法进行介绍，并讨论线性规划在实际问题中的应用。

一、线性规划基本概念线性规划是指在一定约束条件下，优化一个线性目标函数的问题。

线性规划问题的一般形式如下：\begin{equation}\begin{aligned} \max/min & \quadc_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+...c_{n}x_{n} \\ \text{s.t.} & \quada_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...a_{1n}x_{n}\leq b_{1} \\ & \quada_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...a_{2n}x_{n}\leq b_{2} \\ & \quad ... \\ & \quad a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...a_{mn}x_{n}\leq b_{m} \\ & \quad x_{i}\geq 0(i=1,2,...,n) \end{aligned}\end{equation}其中，$c_{i}$是目标函数的系数，$a_{ij}$是约束条件的系数，$b_{i}$是约束条件的右端常数，$x_{i}$是决策变量。

线性规划的基本概念包括可行解、最优解、最优值等。

可行解是指满足约束条件的解。

最优解是指目标函数取得最优值时的决策变量取值。

最优值是指目标函数在可行解集合中取得的最大或最小值。

二、线性规划的求解方法线性规划的求解方法主要分为两种：单纯形法和内点法。

下面对这两种方法进行简要介绍。

1. 单纯形法单纯形法是目前解决线性规划问题的最主要方法。

其基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，最终找到最优解。

它的具体步骤是：选择一个基本可行解作为起始点，然后通过寻找相邻可行解的方式来不断移动，直至找到最优解。

线性规划中的目标函数。

线性规划是一种在组合优化中广泛应用的解决方案。

它是使用数学技术来解决这类问题时的首要工具，通过判断和解决系统问题，使系统能够获得最优化的效果。

简单来说，线性规划问题涉及将目标函数最大化或最小化，而且必须满足所有的约束条件。

线性规划的目标函数是求解优化问题的重要组成部分。

它用来表示被优化的总体行为，即任务的目的或受限环境的要求，多数线性规划问题的目标是要最大化或最小化函数值。

典型的目标函数可以定义为最小化求解变量在约束条件下的加权和，即最小化某一函数的结果，以实现最优效果。

最小化目标函数的目的是求出一个最优解。

实际上，它定义了优化问题的目标，其中包括最小或最大某种效果的实现。

它的设计可以非常复杂，因为它往往都有许多限制条件和变量。

不同的线性规划问题可以有不同的目标函数，其中可以明确表达出问题的要求和限制条件。

这些不同的目标函数都是为了获得最优解，即实现最小化或最大化某种特定效果而设计。

无论问题复杂与否，目标函数都是最优解的核心，所以通常会加以仔细考虑，以便最终获得较为满意的结果。

答：截钢板的方法有两种：第一张钢板截3张，
第二张钢板截9张；或第一张钢板截4张，第二
张钢板截8张，可以得所需钢板的规格。
解法 2：若 z＝2x－y 的最大值为 2，则此时目标函数为 y＝2x －2，直线 y＝2x－2 与 x－2y＋2＝0 和 x＋y＝0 分别交于 A(2,2)， B(2/3,-2/3)，mx－y＝0 经过其中一点，所以 m＝1 或 m＝-1，当 m ＝-1 时，经检验不符合题意，故 m＝1
任何一个满足 不等式组的 （x,y）
可行解
线性规 划问题
可行域
所有的
2、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是
一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关 于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最 小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函 数．
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、
18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所
需三种规格成品，且使所用钢板张数最小。
解：设需截第一种钢板 x张，第二种钢板 y张， 2 x + y 15 ， ， x + 2 y 18 则 x + 3 y 27， x N *， * y N .
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的
最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性 规划问题的最优解．
解线性规划问题的步骤：
(1)画：画出线性约束条件所表示的可行域； (2)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线； (3)求：通过解方程组求出最优解； (4)答：回答问题的答案.

乙— s in x
则原函数可看成 由函数
y=
/ 4 、 . 。，_
一i t十丁少十乙Tw
t = 2- sinx复合而成，
': sinx E 〔一1，1] ，…t= 2一sinx E [ 1,3] ，结 合图 2 可以看出当 t = 2 时，yma二二一2，当t= 1
时，y二一3，当 t = 3 时，y =
以上 4 种 目标 函数类型的处理方法对于限 制条件为非一次不等式 时 ，原则上也是可行 的 ， 只要能画出(x , y) 满足的可行域.
求值域
护 一4x + 5
例 5 求函数 y = log!' x 一 2 的值域 .
解:原函数可以变形为 y =
log,
护 一4x +
x 一2
5
(x 一2) 2+ 1
. 二， _ 、 . 1 ，
= logy, x 一 2
109 2 LCx 一 G) 十 丁一一7 j ， J— 乙
则原函 可以看成由 y = 1og2 t 与 t = u十
求 z = Ix + 2y- 4 1的最大值.
解 :先 画 出满足 条
件的可行域，如图 4 阴
，理
况分、节岭
少.洲 训么
影部 分. 将 目标 函数
,, ,
黝一倒
z= Ix + 2y- 4 1转化为
z= 万 · }x + 2y- 4 }
12+ 22
问题 化归 为求 可行 域
图4
内的点(x ,y) 到直线 x + 2y - 4 = 0 距离者倍的 最大值，观察知 c 点到直线x + 2y - 4= 0 距离

线性目标函数的最优解线性目标函数的最优解指的是在给定的线性约束条件下，找到使目标函数取得最大（或最小）值的变量取值。

线性目标函数的形式可以表示为：Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，c1, c2, ..., cn是常数，x1, x2, ..., xn是变量。

求解线性目标函数的最优解可以通过线性规划的方法来实现。

线性规划的基本思想是在满足一组线性约束条件的前提下，寻找目标函数的最优解。

假设有如下线性规划问题：Maximize Z = 2x1 + 3x2Subject to:x1 + x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 6首先，我们需要将约束条件表示为线性不等式的形式。

于是得到以下两个不等式：x1 + x2 ≤ 4 --> -x1 - x2 ≤ -42x1 + x2 ≤ 6 --> -2x1 - x2 ≤ -6接下来，通过图形法来求解这个线性规划问题。

首先，我们将不等式转化为等式，画出等式的图形，然后观察目标函数在这个图形上的取值情况。

我们可以将不等式转化为等式得到以下两个等式：-x1 - x2 = -4-2x1 - x2 = -6求解这两个等式，我们可以得到两个特解x1 = 2, x2 = 2。

接下来，通过画出这两个等式的图形，我们可以得到一个三角形域。

然后，我们观察目标函数2x1 + 3x2在这个三角形域上的取值情况。

由于我们是在一个线性规划问题中，目标函数的取值是线性的，因此目标函数在这个三角形域上的取值情况是一个平面。

通过观察我们可以发现，在这个三角形域上，目标函数的最大值会出现在这个平面上与该三角形域的某一个顶点相重合的点。

因此，我们需要遍历该三角形域的所有顶点，计算目标函数在这些顶点上的取值，从中找到使目标函数取得最大值的顶点。

计算可以得到以下四个顶点：P1(0, 0), P2(0, 4), P3(2, 0), P4(2, 2)计算目标函数在这些顶点上的取值：P1: Z(0, 0) = 2(0) + 3(0) = 0P2: Z(0, 4) = 2(0) + 3(4) = 12P3: Z(2, 0) = 2(2) + 3(0) = 4P4: Z(2, 2) = 2(2) + 3(2) = 10从中可以发现，使目标函数取得最大值的顶点是P2(0, 4)，此时目标函数的最大值为12。

目标函数的几种类型目标函数是数学优化问题中的一个重要概念，目的是通过数学表达式来描述优化问题的目标。

目标函数主要分为以下几种类型：1. 线性目标函数线性目标函数是最简单也是最常见的一种目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数系数。

线性目标函数的优化问题称为线性规划问题，其特点是目标函数和约束条件均为线性。

线性规划问题在供应链管理、运输调度等领域有广泛的应用。

2. 非线性目标函数非线性目标函数是目标函数中存在非线性项的情况，其数学表达式为：f(x) = h(x) + Σ g(x)其中，h(x)为非线性项，g(x)为线性或非线性项。

非线性目标函数的优化问题被称为非线性规划问题。

非线性规划问题在经济学、管理学等领域中常用于描述复杂的现实问题。

3. 凸函数目标函数凸函数目标函数是指目标函数满足凸性质的函数形式。

凸性质是指函数的图像位于函数的上方，即图像上任意两点之间的连线均位于函数图像的上方。

凸函数在优化问题中具有较好的性质，可以保证全局最优解的存在和唯一性，是一类重要的目标函数类型。

4. 二次型目标函数二次型目标函数是一种特殊的非线性目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = x^T Ax + b^T x + c其中，x是n维向量，A为一个n×n的矩阵，b和c为常向量。

二次型目标函数在数学建模和最优化问题中应用广泛，例如，在物流领域中可以用于描述最小化运输成本的问题。

5. 目标函数约束目标函数约束是指在目标函数中添加一些约束条件来限制决策变量的取值范围，使其满足一定的约束条件。

例如，可以在目标函数中添加等式约束、不等式约束、非线性约束等。

目标函数约束广泛应用于各个领域的最优化问题中，可以用于调整优化问题的解空间。

综上所述，目标函数具有不同的类型，包括线性目标函数、非线性目标函数、凸函数目标函数、二次型目标函数以及目标函数约束等。

④综上,z最大值为3；z最小值为-3.
y
x+y=1 x-y=0
1
C
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
y=-1
B(-1,-1)
������0（2，-1）A
[类题通法] 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理 解z的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可 行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点 或最小值点．
(2)������ = ������������++31的最值.
从目标函数的 几何意义思考
非线性目标函 数
（1）������ = (������ + 3)2+(������ + 1)2的最大值和最小值
可求得������可���目���9���行标���,���域8函���������中数.=的���的������点几������������到������何���������P2意=点义=的���可���距2���表���离22示的5=为平654
线性规划求最值的常见题型
龙海一中 徐艺凤
线性规划求最值常见的题型有
一、求线性目标函数的最值问题 二、求非线性目标函数的最值问题 三、实际问题中的最值问题
题型一、求线性目标函数的最值
x-y≥0 例1.设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0
y ≥ -1
线性目标函 数
求z=2x+y最大值与最小值。
在这里甲、乙两个电视 台的广告时间为主要变 量，公司的收益为两个 电视台获得的收益总和， 故可设两个电视台的广 告时间,列出不等式组
和建立目标函数。
间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？ [解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

线性目标函数最优解的求解方法线性规划中寻求最优解是解析几何的重点，也是难点。

现就如何利用可行域寻求最优解的常见方法作些探讨.一、 平移直线法平移法是一种最基本的方法，其基本原理是两平行直线中的一条上任意一点到另一条直线的距离相等.例1变量x 、y 满足下列条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+≥+0,0............2432...........3692..............122y x ③y x ②y x ①y x 则使z=3x+2y 的值最小的（x ，y ）是（ ）A ． ( 4.5 ,3 )B ． ( 3,6 )C ． ( 9, 2 )D ． ( 6, 4 ) 解析：作出约束条件的可行域（如图），由z=3x+2y 知223zx y +-=,于是作一系列与直线x y 23-=平行的直线，当直线223zx y +-=过图中的B 点时，2z取得最小值。

于是由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+6336922432y x y x y x ，从而知当⎩⎨⎧==63y x 时，z=3x+2y 取得最小值。

故选B 。

评析：解决线性规划中的最值问题的关键是：作出可行域，找出最优解。

二、代入检验法通过平移法可以发现，取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，其实这具有必然性.于是在有关选择题的线性规划中的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解。

例2，已知x 、y 满足约束条件：⎩⎨⎧≤+≤+3623242y x y x ，则Z=10x+15y 的最大值为（）A 195B 200C 210D 220解：解程组⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=+963623242y x y x y x 从而代入Z=10x+15y 可得Z max =195,故选A 。

评析：代入检验法在涉及最优解为近似解或整格解的问题时，是一种行之有效的方法，具有其它方法不可替代的作用.三、 比较斜率法 平移法的缺陷在于，当可行域的顶点数较多时，不易直观地判断出哪个或哪几个顶点的坐标是最优解.这时若进一步考虑直线斜率的大小，则可以确定出最优解.例3 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过360t .甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt 、yt ，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,0360942004515025y x y x y x y x 且Z=600x+1000y 作出约束条件所表示的平面区域（如左图），即可行域. 作直线l ：600x+1000y=0,即直线l ：3x+5y=0.因为94534525-<-<-<-，即k EN <k MN <k l <k FN ，所以把直线l 向上方移至m 的位置，直线经过可行域上的点M ，此时Z=600x+1000y 取最大值.解方程组⎩⎨⎧=+=+3609420045x x y x 得M 的坐标x=29360=12.3，y=291000=34.5，代入计算得Z max =291216000． 答：应生产甲产品约12.3t,乙产品34.5t ，能使利润总额达到最大.评析：这是高中新教材第二册上册第七章，“简单的线性规划”一节中的例3（P62～63）,确定了直线斜率的大小，实质是确定了直线在向上平移的过程中，在经过可行域X 围内时，即可确定最优解。

线性规划问题经常出现在高考数学试题中.此类问题通常会要求同学们从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上，画出二元一次不等式组所表示的平面区域，并求出最优解.但问题中的目标函数经常会有所变化，常见的形式有直线型、分式型、平方型，且解法各不相同.下面结合实例，谈一谈三类线性规划问题的解法.一、直线型目标函数直线型的目标函数一般形如z =ax +by (ab ≠0)，这类问题通常要求根据二元一次不等式组，求目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值.求解此类线性规划问题，一般需将函数z =ax +by 转化为直线的斜截式方程：y =-a b x +z b，根据二元一次不等式组画出可行域后，在可行域内讨论直线的截距zb的最值.通过求直线的截距zb的最值来间接求出z 的最值.例1.设x ，y 满足ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,则z =2x +y 的最大值为.解：画出ìíîïïx -y ≥0,x +y -2≤0,y ≥-2,表示的可行域，如图1中的阴影部分所示，由{x +y -2≤0,y ≥-2,可得{x =4,y =-2,平移直线y =-2x +z ，可知当直线y =-2x +z 经过点()4,-2时，该直线在纵轴上的截距最大，即在()4,-2点处，z 取大值，可得z max =2×4-2=6．由于直线的截距有正有负，所以取最值的情形有所不同.当b >0时，截距zb取最大值，此时z 也取最大值，当截距zb 取最小值时，z 也取最小值；当b <0时，截距z b 取最大值，此时z 取最小值，当截距z b取最小值时，z 取最大值．图1图2例2.某养鸡场有1万只鸡，用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg ，其中动物饲料不能少于谷物饲料的15.动物饲料每千克0.9元，谷物饲料每千克0.28元，饲料公司每周仅能保证供应谷物饲料50000kg ，问怎样混合饲料，才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg,动物饲料y kg,每周总的饲料费用为z 元，由题意可得ìíîïïïïx +y ≥35000，y ≥15x ，0≤x ≤50000，y ≥0，则z =0.28x +0.9y ，作出以上不等式组所表示的平面区域，如图2中阴影部分所示，联立x +y =35000和y =15x ，可得x =875003，y =175003，则A (875003,175003)，作一组平行直线y =-2890+10z9（即图2中虚线），当直线经过可行域内的点A (875003,175003)时，直线的纵截距最小，此时z 最小.故当x =875003，y =175003时，即将谷物饲料和动物饲料按5:1的比例混合时，成本最低.本题是一道实际应用问题.解答此类线性规划问题，需首先仔细读题，根据题意设出变量，建立关于变量的不等关系式以及目标函数.而本题中的目标函数为直线型，所以需将其转化为直线的截距式，在可行域内寻找直线的截距取最小值时的点，即可解题.一般地，线性目标函数的最优解一般会在可行域的顶点或边界处取得，我们可以重点研究可行域的顶点或边界上的点.二、分式型目标函数分式型目标函数一般形如z =y -bx -a.求解此类线性规划问题，需根据目标函数的几何意义：已知点(a ,b )与可行域内的点(x ,y )连线的斜率.当斜率取最大值时，z 取最大值；当斜率取最小值时，z 取最小值.而直线的斜率k =tan a 受倾斜角a 影响：（1）当倾斜角a 为魏上茗43当直线经过点(1,6)时，直线的斜率取得最大值，最大值为6；当直线经过点直线的斜率最小，此时yx取得最小值，最小的取值范围是éëùû95,6，所以本题选A.本题的可行域在第一象限，所以只需讨论直线的范围内的变化情况，可将直线y=zx在可行域内找出直线的倾斜角最大或即斜率取最值时的点，即可解题.图4图5例5.设实数x,y满足ìíîïïx+y-6≥0,x+2y-14≤0,2x+y-10≤0,则x2+y的最小值为____．解：x2+y2表示可行域内的点P(x,y)到原点的距离，作出不等式组表示的平面区域,如图5中的阴影部分所示，过点O作OA垂直于直线x+y-6=0，垂足为A在可行域内），所以原点到直线x+y-6=0的距离，就是点P(x,y)到原点距离的最小值，由点到直线的图3。

线性目标函数
线性目标函数是以线性表达式形式表示的目标函数，它由线性项和常数项组成。

线性目标函数通常用来描述一些简单的最优化问题，其中目标是最小化或最大化线性约束条件下的某个变量。

线性目标函数具有以下的一般形式：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn + d
其中，f(x)是目标函数，x1, x2, ... , xn是决策变量(c1, c2, ... , cn 是线性系数)，d是常数项。

线性目标函数具有以下特点：
1. 线性关系：线性目标函数的各项之间存在线性关系，即每个决策变量的系数是一个常数乘以该变量。

2. 可加性：线性目标函数是可以加和的，即各项之间可以互相叠加。

3. 线性约束：线性目标函数通常在一些线性约束条件下进行最优化，这些约束条件也是以线性方程或不等式的形式表示。

4. 可计算性：线性目标函数具有良好的可计算性，由于线性函数的特点，线性目标函数的求解方法相对比较简单，可以通过线性规划等方法求解最优解。

线性目标函数在实际应用中广泛存在，比如在生产调度、资源分配、投资组合等问题中，都可以使用线性目标函数来描述最优化问题。

同时，线性目标函数也是一种很常见的数学模型，对于一些复杂的问题，可以通过线性化的方法将其转化为线性目标函数进行求解。

总之，线性目标函数是一种简单而常见的数学模型，具有线性关系、可加性和可计算性的特点。

它在实际应用中广泛存在，并且具有一定的普适性和可解性。

专题八：线性规划问题的求解策略【高考地位】线性规划问题是高考的必考内容，其基本解题策略是定区域、化函数、找最值。

近年来，高考中的线性规划问题更趋灵活多样，体现了“活、变、新”等特点，更加深刻的考查学生解决综合性问题的能力。

在高考中以各种题型中均出现过，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一线性目标函数问题使用情景：求目标函数的最值解题模板：第一步根据已知约束条件画出其可行域；第二步平移目标函数的直线系，根据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解；第三步得出结论.例1 已知实数,x y满足不等式组2,220,xyx y⎧⎪-⎨⎪+-⎩，≥≥≤则2x y-的最大值是___________．【答案】6考点：简单的线性规划问题．【方法点睛】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值，正确作出可行域是解答此类问题的前提条件．例2 错误！未找到引用源。

已知x、y满足不等式组2303301x yx yy+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2z x y=+的最大值是．【答案】6目标函数为2z x y =+，当3,0x y ==时，2z x y =+取得最大值是6. 考点：简单的线性规划． 【名师点睛】简单的线性规划问题，首先要作出可行域，作直线:0l ax by +=，把z ax by =+中转化为a zy x b b=-+，易知zb是直线的纵截距，因此当0b >时，直线向上平移，z 增大，在0b <时，直线向下平移，z 增大，这样我们把z 的值与直线纵截距联系起来，可容易求得最优解．【变式演练1】已知变量,x y 满足约束条件Ω：21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若Ω表示的区域面积为4，则3z x y =-的最大值为___________. 【答案】7试题分析:画出不等式组表示的区域如图,因BC AC ⊥且BC AC =,故区域的面积为4)212)(3(21=--+=a a S ,解之得1=a ,平移动直线z x y -=3,结合图形可以看出当动直线经过点)2,3(B 时,动直线z x y -=3的截距z -最小,z 最大,729max =-=z ,故应填7.C(a+12,1-a2)B(2+a,2)A(-1,2)x-y=ax+y=1y=2Oyx考点：线性规划的有关知识及运用．【变式演练2】已知约束条件400x k x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为（ ）A ．0B ．1 C.1或3 D ．3 【答案】B考点：1、线性规划；2、三角形的面积.类型二 非线性目标函数问题使用情景：求非线性目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 借助目标函数的几何意义，并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟悉的问题如直线的斜率问题、两点的距离的平方等；第三步 得出结论.例3 已知不等式组0,0,4312x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则11y z x -=+的最大值为 ．【答案】3考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.例4 在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩所表示的区域上一动点, 已知点()1,2A -,则直线AM 斜率的最小值为（ ）A ．23-B ．2-C ．0D ．45【答案】B试题分析：可行域为一个四边形OBCD 及其内部,其中(0,2),(2,0),(4,6)B C D ，因此直线AM 斜率的最小值为直线AO 斜率，为2-，选B. 考点：线性规划ABC例5 若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪>⎩，则2||z y x =-的最大值为（ ）A ．-8B ．-4C ．1D ．2 【答案】D考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【变式演练3】已知实数,x y 满足401010x y y x +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩，则2y z x =的最大值是（ ）A ．13B ．9C ．2D ．11【答案】B考点：线性规划.【变式演练4】若变量y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥+022002y x y x y x ，且a x y z -=仅在点)21,1(-A 处取得最大值，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)1,2[--B ．)1,(--∞C ．)1,2(--D ．)1,1(- 【答案】C试题分析：由约束条件画出可行域如图所示，ax yz -=表示的几何意义是:点()y x ,与()0,a 连线的斜率的取值范围.当0≥a 时,通过图象旋转可知,不可能在⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1A 处取到最大值,舍去；当0<a 时,若01≤<-a ,则必然存在a x =与可行域有交点,此时无斜率,可以理解为斜率趋向于正无穷,故无最大值；当12-<<-a 时,在点A 处取到最大值,在O 处取得最小值,符合题意,故选C.考点：线性规划.【变式演练5】已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩，则22x y z x ++=的取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】考点：简单的线性规划问题．类型三 含参数线性目标函数问题使用情景：求含参数线性目标函数的最值解题模板：第一步 根据已知约束条件画出其可行域；第二步 画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类讨论； 第三步 得出结论.例6已知,x y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =-的最大值是最小值的-2倍，则a 的值是 .【答案】12试题分析：由题意得可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(,)(,2),(1,1),(1)A a a B a a C a -<，直线2z x y =-过C 点时取最大值，过B 点时取最小值，因此112(22)2a a a =--+⇒=. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.【变式演练6】错误！未找到引用源。

方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。