【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业78套(14—17)

【高考调研】2017届高考理科数学一轮课时作业（14—17）第三章 导数及应用课时作业(14)1．y ＝ln 1x 的导函数为( )A ．y ′＝－1xB ．y ′＝1xC ．y ′＝lnxD ．y ′＝－ln(－x) 答案 A解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1x.2．(2016·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x，所以y ′|x ＝1＝5＋11＝6.所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D.3．若曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－1，1) B ．(－1，－1) C ．(1，1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 答案 C解析 y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1. 4．(2016·衡水调研卷)设f(x)＝xlnx ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 答案 B解析 由f(x)＝xlnx ，得f ′(x)＝lnx ＋1.根据题意知lnx 0＋1＝2，所以lnx 0＝1，因此x 0＝e.5．设正弦函数y ＝sinx 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定 答案 A解析 ∵y ＝sinx ，∴y ′＝(sinx)′＝cosx.k 1＝cos0＝1，k 2＝cos π2＝0，∴k 1>k 2.6．(2016·云南师大附中适应性考试)曲线y ＝a x 在x ＝0处的切线方程是xln2＋y －1＝0，则a ＝( ) A.12B ．2C ．ln2D ．ln 12答案 A解析 由题知，y ′＝a x lna ，y ′|x ＝0＝lna ，又切点为(0，1)，故切线方程为xlna －y ＋1＝0，∴a ＝12，故选A.7. (2016·浙江十二校联考)函数f(x)的导函数f ′(x)的图像是如图所示的一条直线l ，l 与x 轴的交点坐标为(1，0)，则f(0)与f(3)的大小关系为( )A ．f(0)<f(3)B ．f(0)>f(3)C ．f(0)＝f(3)D ．无法确定答案 B解析 由题意知f(x)的图像是以x ＝1为对称轴，且开口向下的抛物线，所以f(0)＝f(2)>f(3)．选B.8．若函数f(x)＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 答案 B解析 f ′(x)＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x)为奇函数且f ′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2. 9．f(x)与g(x)是定义在R 上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f ′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足( ) A ．f(x)＝g(x) B ．f(x)＝g(x)＝0 C ．f(x)－g(x)为常数函数 D ．f(x)＋g(x)为常数函数 答案 C 10．(2016·《高考调研》原创题)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f ′(2 016)＝( ) A ．1 B ．2C.12 016D.2 0172 016 答案 D解析 令e x ＝t ，则x ＝lnt ，所以f(t)＝lnt ＋t ，故f(x)＝lnx ＋x.求导得f ′(x)＝1x ＋1，故f ′(2 016)＝12 016＋1＝2 0172 016.故选D.11．(2015·广东文)若曲线y ＝ax 2－lnx 在点(1，a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．答案 12解析 因为y ′＝2ax －1x ，依题意得y ′|x ＝1＝2a －1＝0，所以a ＝12.12．已知y ＝13x 3－x －1＋1，则其导函数的值域为________．答案 [2，＋∞)13．(2013·江西文)若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________． 答案 2解析 由题意y ′＝αx α－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.14．已知函数f(x)＝f ′(π4)cosx ＋sinx ，所以f(π4)的值为________．答案 1解析 因为f ′(x)＝－f ′(π4)sinx ＋cosx ，所以f ′(π4)＝－f ′(π4)sin π4＋cos π4，所以f ′(π4)＝2－1.故f(π4)＝f ′(π4)cos π4＋sin π4＝1.15．(2016·广东肇庆一模)曲线f(x)＝e xx －1在x ＝0处的切线方程为________．答案 2x ＋y ＋1＝0解析 根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f ′(x)＝（x －1）（e x ）′－e x （x －1）′（x －1）2＝（x －2）e x （x －1）2，故切线的斜率为k ＝f ′(0)＝（0－2）e 0（0－1）2＝－2，则直线的方程为y －(－1)＝(－2)(x －0)⇒2x ＋y ＋1＝0，故填2x ＋y ＋1＝0. 16．(2016·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1，0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．答案 12log 2e解析 ∵y ′＝1xln2，∴k ＝1ln2.∴切线方程为y ＝1ln2(x －1)．∴三角形面积为S △＝12×1×1ln2＝12ln2＝12log 2e.17．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上的一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则实数c 的值为________． 答案 4解析 ∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5.又P(－2，6＋c)，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4.18．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝2x 2. (1)求x<0时，f(x)的表达式；(2)令g(x)＝lnx ，问是否存在x 0，使得f(x)，g(x)在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．答案 (1)f(x)＝－2x 2(x<0) (2)存在，x 0＝12解析 (1)当x<0时，－x>0， f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x 2.∴当x<0时，f(x)的表达式为f(x)＝－2x 2.(2)若f(x)，g(x)在x 0处的切线互相平行，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，当x>0时，f ′(x 0)＝4x 0＝g ′(x 0)＝1x 0，解得，x 0＝±12.故存在x 0＝12满足条件．1．(2016·济宁模拟)已知f(x)＝x(2 014＋lnx)，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln2D ．e 答案 B解析 由题意可知f ′(x)＝2 014＋lnx ＋x·1x＝2 015＋lnx.由f ′(x 0)＝2 015，得lnx 0＝0，解得x 0＝1.2．(2014·大纲全国理)曲线y ＝xe x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( ) A ．2e B ．e C ．2 D ．1 答案 C解析 y ′＝e x －1＋xe x －1＝(x ＋1)e x －1，故曲线在点(1，1)处的切线斜率为y ′|x ＝1＝2.3．(2016·衡水调研卷)曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1 答案 D解析 由题意得y ＝1＋2x －2，所以y ′＝－2（x －2）2，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由点斜式得所求切线方程为y ＝－2x ＋1.4．(2016·江西九江模拟)已知直线y ＝－x ＋1是函数f(x)＝－1a·e x 图像的切线，则实数a ＝________． 答案 e 2解析 设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a ·ex 0＝－1，∴ex 0＝a ，又－1a·ex 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，∴a ＝e 2.5．(2016·安徽毛坦厂中学月考)设曲线y ＝x n ＋1(x ∈R *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点横坐标为x n ，令a n ＝lgx n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________． 答案 －2解析 由题意可得，y ′|x ＝1＝n ＋1，则所求切线方程为y ＝(n ＋1)x －n ，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.由对数运算法则可知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg(x 1·x 2·x 3·…·x 99)＝lg 1100＝－2.6．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解析 ∵直线过原点，则k ＝y 0x 0(x 0≠0)．由点(x 0，y 0)在曲线C 上，则y 0＝x 03－3x 02＋2x 0， ∴y 0x 0＝x 02－3x 0＋2. 又y ′＝3x 2－6x ＋2，∴在(x 0，y 0)处曲线C 的切线斜率应为k ＝f ′(x 0)＝3x 02－6x 0＋2. ∴x 02－3x 0＋2＝3x 02－6x 0＋2. 整理得2x 02－3x 0＝0.解得x 0＝32(x 0≠0)．这时，y 0＝－38，k ＝－14.因此，直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标是(32，－38)．课时作业(15)1．当x>0时，f(x)＝x ＋4x的单调减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2) 答案 B解析 f ′(x)＝1－4x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2<0，又∵x>0，∴x ∈(0，2)，∴选B.2．函数f(x)＝1＋x －sinx 在(0，2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 答案 A解析 ∵f ′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0，2π)上递增．3．已知e 为自然对数的底数，则函数y ＝xe x 的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1] 答案 A解析 令y ′＝(1＋x)e x ≥0.∵e x >0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，选A.4．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)＝12x 3＋ax ＋4，则“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 f ′(x)＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．5．若函数y ＝a(x 3－x)的递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜1 答案 A解析 y ′＝a(3x 2－1)，解3x 2－1＜0，得－33＜x ＜33.∴f(x)＝x 3－x 在(－33，33)上为减函数．又y ＝a·(x 3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a ＞0.6．函数f(x)＝lnx －ax(a>0)的单调递增区间为( )A ．(0，1a )B ．(1a ，＋∞)C ．(－∞，1a) D ．(－∞，a)答案 A解析 由f ′(x)＝1x －a>0，得0<x<1a.∴f(x)的单调递增区间为(0，1a)．7．如果函数f(x)的导函数f ′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是( )答案 A 8．(2016·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R 内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，设a ＝f(0)，b ＝f(12)，c ＝f(3)，则( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．c<b<aD ．b<c<a 答案 B解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x ＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)． 又x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x)<0，可知f ′(x)>0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f(12)，即c<a<b.9．(2016·南京市金陵中学月考)已知函数f(x)(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，2] C ．(－∞，－1)和(1，2) D ．[2，＋∞) 答案 C解析 根据函数f(x)(x ∈R )的图像上任一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(x 0－2)(x 02－1)(x －x 0)，可知其导数f ′(x)＝(x －2)(x 2－1)＝(x ＋1)(x －1)(x －2)，令f ′(x)<0，得x<－1或1<x<2.因此f(x)的单调减区间是(－∞，－1)和(1，2)． 10．(2013·浙江文)已知函数y ＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y ＝f ′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )答案 B解析 由函数f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图像自左至右是先上升后下降，可知函数y ＝f(x)图像的切线的斜率自左向右先增大后减小，故选B. 11．(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0，1) B ．(－1，0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1，0) D ．(0，1)∪(1，＋∞) 答案 A解析 令F(x)＝f （x ）x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F ′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x>0时，xf ′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝f （x ）x在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝f （x ）x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.12．若函数f(x)的导函数为f ′(x)＝x 2－4x ＋3，则函数f(x ＋1)的单调递减区间是________． 答案 (0，2) 13．(2016·保定模拟)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)＝5＋cosx ，x ∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x 2)<0，则实数x 的取值范围为________． 答案 (1，2)解析 ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1，1)．又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)<f(x 2－1)，∴－1<1－x<x 2－1<1，解得1<x<2，∴实数x 的取值范围是(1，2)．14．若函数f(x)的定义域为R ，且满足f(2)＝2，f ′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为________．答案 (2，＋∞)解析 令g(x)＝f(x)－x ，∴g ′(x)＝f ′(x)－1.由题意知g ′(x)>0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．15．已知函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k 的值为________；(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k 的取值范围是________．答案 (1)13 (2)0<k ≤13解析 (1)f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ，由题意知f ′(4)＝0，解得k ＝13.(2)由f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x ≤0并结合导函数的图像可知，必有－2（k －1）k ≥4，解得k ≤13.又k>0，故0<k ≤13.16．已知函数f(x)＝x －2x＋1－alnx ，a>0.讨论f(x)的单调性．答案 当0<a ≤22时，单调递增区间为(0，＋∞)；当a>22时，单调递减区间为(a －a 2－82，a ＋a 2－82)，单调递增区间为(0，a －a 2－82)，(a ＋a 2－82，＋∞) 解析 由题意知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x)＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g(x)＝x 2－ax ＋2，二次方程g(x)＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a<22时，对一切x>0都有f ′(x)>0. 此时f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x)＝0，对其余的x>0都有f ′(x)>0.此时f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a>22时，方程g(x)＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.＋∞)上单调递增．17．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g(x)＝f(x)e x ，讨论g(x)的单调性．答案 (1)a ＝12(2)g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数解析 (1)对f(x)求导得f ′(x)＝3ax 2＋2x ，因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0，即3a ×169＋2×(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g(x)＝(12x 3＋x 2)e x .g ′(x)＝(12x 3＋52x 2＋2x)e x ＝12x(x ＋1)(x ＋4)e x .令g ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x<－4时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－4<x<－1时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数； 当－1<x<0时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当x>0时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数．综上，知g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数．1．(2014·陕西理)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35x B ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x答案 A解析 设所求函数解析式为y ＝f(x)，由题意知f(5)＝－2，f(－5)＝2，且f ′(±5)＝0，代入验证易得y ＝1125x 3－35x 符合题意，故选A.2．(2016·湖南十三校第二次联考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f(x)＝sin2x B ．f(x)＝xe x C ．f(x)＝x 3－x D ．f(x)＝－x ＋lnx 答案 B解析 f(x)＝xe x 的导函数为f ′(x)＝(1＋x)e x ，易知f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，所以该函数在区间(0，＋∞)上为增函数．故选B.3．(2016·山西太原质量检测)已知函数f(x)＝x(e x －1ex )，若f(x 1)<f(x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 12<x 22 答案 D解析 因为f(－x)＝－x(e －x －1ex )＝x(e x－1e x )＝f(x)，且易知f(x)的定义域为R ，所以f(x)为偶函数．由f(x 1)<f(x 2)，得f(|x 1|)<f(|x 2|)(*)．由已知可得，f ′(x)＝e x －1e x ＋x(e x ＋1ex )＝e 2x（x ＋1）＋x －1ex.当x ≥0时，e 2x (x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，此时f ′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由(*)式得|x 1|<|x 2|，即x 12<x 22，故选D. 4．(2016·河北唐山一模)直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋lnx 交于点A ，B ，则|AB|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C.324 D.32 答案 D解析 令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a 2－1.设方程x ＋lnx ＝a 的根为t ，即t ＋lnt ＝a ，则|AB|＝|t －a2＋1|＝|t －t ＋lnt 2＋1|＝|t 2－lnt 2＋1|.设g(t)＝t 2－lnt 2＋1(t>0)，则g ′(t)＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t)＝0，得t ＝1，当t ∈(0，1)时，g ′(t)<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t)>0，所以g(t)min ＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32. 5．(2015·四川)已知函数f(x)＝－2xlnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a>0. (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 解析 (1)由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， g(x)＝f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)，所以g ′(x)＝2－2x ＝2（x －1）x.当x ∈(0，1)时，g ′(x)<0，g(x)单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增．(2)由f ′(x)＝2(x －1－lnx －a)＝0，解得a ＝x －1－lnx.令φ(x)＝－2xlnx ＋x 2－2x(x －1－lnx)＋(x －1－lnx)2＝(1＋lnx)2－2xlnx ， 则φ(1)＝1>0，φ(e)＝2(2－e)<0. 于是存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0.令a 0＝x 0－1－lnx 0＝u(x 0)，其中u(x)＝x －1－lnx(x ≥1)．由u ′(x)＝1－1x≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u(1)<a 0＝u(x 0)<u(e)＝e －2<1，即a 0∈(0，1)． 当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f(x 0)＝φ(x 0)＝0. 再由(1)知，f ′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f ′(x)<0，从而f(x)>f(x 0)＝0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0，从而f(x)>f(x 0)＝0； 又当x ∈(0，1]时，f(x)＝(x －a 0)2－2xlnx>0. 故x ∈(0，＋∞)时，f(x)≥0.综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．6．(2016·山东师大附中)已知函数f(x)＝x －ax－lnx ，a>0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)>x －x 2在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．答案 (1)0<a<14时，单调递增区间为(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)，单调递减区间为(1－1－4a 2，1＋1－4a 2)；a ≥14时，单调递增区间为(0，＋∞)(2)0<a ≤1解析 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由于f ′(x)＝1＋a x 2－1x ＝x 2－x ＋ax 2，令m(x)＝x 2－x ＋a ，①当Δ＝1－4a ≤0，即a ≥14时，f ′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数；②当Δ＝1－4a>0，即0<a<14时，由x 2－x ＋a>0，得0<x<1－1－4a 2或x>1＋1－4a 2.所以f(x)在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数．综上知，当0<a<14时，f(x)在(0，1－1－4a 2)，(1＋1－4a 2，＋∞)上是增函数，在(1－1－4a 2，1＋1－4a2)上是减函数． 当a ≥14时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(2)f(x)>x －x 2，即x 2－ax－lnx>0，因为x ∈(1，＋∞)，所以a<x 3－xlnx.令g(x)＝x 3－xlnx ，h(x)＝g ′(x)＝3x 2－lnx －1，h ′(x)＝6x －1x ＝6x 2－1x，在(1，＋∞)上h ′(x)>0，得h(x)>h(1)＝2，即g ′(x)>0，故g(x)＝x 3－xlnx 在(1，＋∞)上为增函数，g(x)>g(1)＝1，所以0<a ≤1. 7．(2016·郑州一中月考)已知函数f(x)＝e x sinx. (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0，π2]时，f(x)≥kx ，求实数k 的取值范围．解析 (1)f ′(x)＝e x sinx ＋e x cosx ＝e x (sinx ＋cosx)．令y ＝sinx ＋cosx ＝2sin(x ＋π4)．当x ∈(2k π－π4，2k π＋3π4)，k ∈Z ，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x ∈(2k π＋3π4，2k π＋7π4)，k ∈Z ，f ′(x)<0，f(x)单调递减．函数f(x)的单调递增区间为(2k π－π4，2k π＋3π4)，k ∈Z ；函数f(x)的单调递减区间为(2k π＋3π4，2k π＋7π4)，k ∈Z .(2)令g(x)＝f(x)－kx ＝e x sinx －kx ，即g(x)≥0恒成立， 而g ′(x)＝e x (sinx ＋cosx)－k ，令h(x)＝e x (sinx ＋cosx)，∴h ′(x)＝e x (sinx ＋cosx)＋e x (cosx －sinx)＝2e x cosx.∵x ∈[0，π2]，h ′(x)≥0，∴h(x)在[0，π2]上单调递增，1≤h(x)≤e π2.结合(1)，得当k ≤1时，g ′(x)≥0，g(x)在[0，π2]上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，符合题意；当k ≤e π2时，g ′(x)≤0，g(x)在[0，π2]上单调递减，g(x)≤g(0)＝0，与题意不符；当1<k<e π2时，g ′(x)为一个单调递增函数，而g ′(0)＝1－k<0，g ′(π2)＝e π2－k>0，由零点存在性定理，必存在一个零点x 0，使得g ′(x 0)＝0，当x ∈[0，x 0)时，g ′(x)≤0，从而g(x)在x ∈[0，x 0)上单调递减，从而g(x 0)≤g(0)＝0，与题意不符， 综上所述，k 的取值范围为(－∞，1]． 8．设函数f(x)＝x(e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f(x)的单调区间；(2)若当x ≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围．答案 (1)增区间(－∞，－1]，[0，＋∞)，减区间[－1，0] (2)(－∞，1]解析 (1)当a ＝12时，f(x)＝x(e x －1)－12x 2，f ′(x)＝e x －1＋xe x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x)＞0；当x ∈(－1，0)时，f ′(x)＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减． (2)f(x)＝x(e x －1－ax)．令g(x)＝e x －1－ax ，则g ′(x)＝e x －a. 若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x ≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.若a ＞1，则当x ∈(0，ln a)时，g ′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x ∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.综上得a 的取值范围为(－∞，1]．9．设a 为实数，函数f(x)＝(x －a)2＋|x －a|－a(a －1)．当a ≥2时，讨论f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内的零点个数．解析 令F(x)＝f(x)＋4x＝⎩⎨⎧x[x －（2a －1）]＋4x，x ≥a ，（x －1）（x －2a ）＋4x ，0<x<a ，则F(x)在(0，＋∞)上的图像是连续不断的一条曲线．当a ＝2时，此时f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，0<x<2.当x ≥2时，因为F ′(x)＝2x －3－4x 2＝2(x －2)＋(1－4x2)≥0，所以F(x)在[2，＋∞)上单调递增． 又F(2)＝0，故有唯一零点x ＝2.当0<x<2时，由于f(x)>－2，4x>2，因此F(x)>0，从而F(x)没有零点．当a>2时，①当0<x<a 时，因为F ′(x)＝2x －(2a ＋1)－4x 2＝2(x －a)－(x 2＋4x2)<0，所以F(x)在(0，a)上为减函数．又F(1)＝4>0，F(a)＝a ＋4a－a 2<a ＋2－a 2<2a －a 2<0，所以由函数零点的存在性定理，知F(x)在(0，a)上有唯一零点．②当x ≥a 时，因为F ′(x)＝2x －(2a －1)－4x 2＝2(x －a)＋(x 2－4x2)>0，所以F(x)在[a ，＋∞)上为增函数．由①知，F(a)<0，又F(2a －1)＝42a －1>0，所以由函数零点的存在性定理，知F(x)在[a ，＋∞)内有唯一零点；综上，可得当a ＝2时，f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内有唯一零点；当a>2时，f(x)＋4x在区间(0，＋∞)内有2个零点．课时作业(16)1．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2<x<2)有( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极大值为－27，无极小值 答案 C解析 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x －3)(x ＋1)， ∴y ′＝0时，x ＝3或x ＝－1. ∵－2<x<2，∴x ＝－1时，y ＝5.x ＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值． 2．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln2 B ．－1ln2 C ．－ln2 D ．ln2 答案 B解析 由y ＝x·2x ，得y ′＝2x ＋x·2x ·ln2.令y ′＝0，得2x (1＋x·ln2)＝0.∵2x ＞0，∴x ＝－1ln2.3．函数f(x)＝(x －1)(x －2)2在[0，3]上的最小值为( ) A ．－8 B ．－4C ．0 D.427答案 B解析 f ′(x)＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x)＝0⇒x 1＝43，x 2＝2，结合单调性，只要比较f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.故f(x)在[0，3]上的最小值为f(0)＝－4.故选B.4．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．以上都不对 答案 A解析 f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5. ∴最小值是－37，选A.5．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．m>0 B ．m<0 C ．m>1 D ．m<1 答案 B解析 y ′＝e x ＋m ，则e x ＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x <0.6．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图像可能是( )答案 C解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知，当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.7．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1. 综上，b 的取值范围为0＜b ＜1. 8．(2016·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1 答案 D解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.9．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6 答案 A解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，设⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0， 可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)．10．(2016·昌平一模)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________．答案 3解析 f ′(x)＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，由f(x)在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.11．下列关于函数f(x)＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②③解析 若f(x)＝(2x －x 2)e x >0，则0<x<2，①正确；∵f ′(x)＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确．12．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2， ∵f(x)在x ＝2处有极大值， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0 （x>2），f ′（x ）>0 （x<2）.解得c ＝6. 13．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m<－12解析 因为函数y ＝e x ＋2mx(x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m>1，即m<－12.14．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，32 解析 令y ′＝3x 2－2a ＝0，得x ＝± 2a3(a>0，否则函数y 为单调增函数)．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0，1)内有极小值，则 2a 3<1，∴0<a<32.15．函数f(x)＝xlnx(x>0)的最小值是________．答案 －1e解析 对函数f(x)＝xlnx 求导，得f ′(x)＝lnx ＋1.当0<x<1e时，f ′(x)<0，即f(x)＝xlnx 在(0，1e )上单调递减；当x>1e 时，f ′(x)>0，即f(x)＝xlnx 在(1e，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)＝xlnx 在x ＝1e 处取得最小值，即f(1e )＝1e ln 1e ＝－1e.16．已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (1)13<a<1 (2)m ≤2解析 (1)因为函数f(x)＝1＋lnx x ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnxx2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋23>1，解得13<a<1.(2)当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1，即为（x ＋1）（1＋lnx ）x ≥m.记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x ，∴g ′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnx x 2.令h(x)＝x －lnx ，则h ′(x)＝1－1x，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0， ∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2. 17．(2014·江西文)已知函数f(x)＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a<0. (1)当a ＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值．答案 (1)单调递增区间为(0，25)，(2，＋∞) (2)a ＝－10解析 (1)当a ＝－4时，由f ′(x)＝2（5x －2）（x －2）x＝0，得x ＝25或x ＝2.由f ′(x)>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，25或x ∈(2，＋∞)． 故函数f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x)＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a<0，由f ′(x)＝0，得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－a10时，f(x)单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a 10，－a2时，f(x)单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－a2，＋∞时，f(x)单调递增． 易知f(x)＝(2x ＋a)2x ≥0，且f ⎝⎛⎭⎫－a2＝0. ①当－a2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1，4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1，4]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝0，不符合题意． ③当－a2>4，即a<－8时，f(x)在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8，得a ＝－10或a ＝－6(舍去)．当a ＝－10时，f(x)在(1，4)上单调递减，f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意． 综上有a ＝－10.1．函数f(x)＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是( )A ．0B.1eC.4e4 D.2e2 答案 B2．(2016·上海徐汇区诊断)已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为( )A ．f(－a 2)≤f(－1)B ．f(－a 2)<f(－1)C ．f(－a 2)≥f(－1)D ．f(－a 2)与f(－1)的大小关系不确定 答案 A解析 由题意可得f ′(x)＝32x 2－2x －72.由f ′(x)＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤f(－1)．3．若函数f(x)＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x)＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x 2x.令f ′(x)＝0，得x ＝12.当x>12时，f ′(x)<0；当x<12时，f ′(x)>0.∴x ＝12时取极大值，f(12)＝1e ·12＝12e.4．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，令f ′(－3)＝0，得a ＝5.5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a<－13B ．a>－13C ．a<－3D ．a>－3 答案 C解析 ∵y ′＝ae ax ＋3，由y ′＝0，得x ＝1a ln(－3a)．∴－3a>0，∴a<0.又∵y ＝e ax ＋3x ＝0有正根，∴必有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，0<－3a <1，得a<－3.故选C. 6．若y ＝alnx ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________．答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.7．已知函数f(x)＝4lnx ＋ax 2－6x ＋b(a ，b 为常数)，且x ＝2为f(x)的一个极值点，则实数a的值为________． 答案 1解析 由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．∵f ′(x)＝4x＋2ax －6，∴f ′(2)＝2＋4a －6＝0，即a ＝1.8．(2016·保定调研卷)设函数f(x)＝x ＋ax 2＋blnx ，曲线y ＝f(x)过P(1，0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值；(2)令g(x)＝f(x)－2x ＋2，求g(x)在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值解析 (1)f ′(x)＝1＋2ax ＋bx(x>0)，又f(x)过点P(1，0)，且在点P 处的切线斜率为2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝0，f ′（1）＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f(x)＝x －x 2＋3lnx ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g(x)＝2－x －x 2＋3lnx ，x>0.则g ′(x)＝－1－2x ＋3x ＝－（x －1）（2x ＋3）x.当0<x<1时，g ′(x)>0；当x>1时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g(x)的最大值为g(1)＝0，g(x)没有最小值．9．设f(x)＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．答案 (1)极小值点为x 1＝32，极大值点为x 2＝12(2)(0，1]解析 对f(x)求导得f ′(x)＝e x ·1＋ax 2－2ax（1＋ax 2）2.(1)当a ＝43时，若f ′(x)＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.又当x ∴x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R 上的单调函数，则f ′(x)在R 上不变号．结合(1)与条件a>0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，由Δ＝4a 2－4a ＝4a(a －1)≤0，得0<a ≤1. 即实数a 的取值范围是(0，1]．10．已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，12)上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案 (1)a ≤3 (2)a>2 2解析 (1)f ′(x)＝－2x ＋a －1x，∵f(x)在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时，－2x ＋a －1x ≤0恒成立，即a ≤2x ＋1x恒成立．设g(x)＝2x ＋1x ，则g ′(x)＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时，1x 2>4，∴g ′(x)<0，∴g(x)在(0，12)上单调递减，g(x)>g(12)＝3，∴a ≤3.(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f ′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－8>0，a>0⇒a>2 2.∴当a>22时，f ′(x)＝0有两个不等的实数根． 不妨设x 1<x 2，由f ′(x)＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x<x 1时f ′(x)<0，x 1<x<x 2时f ′(x)>0，x>x 2时f ′(x)<0，∴当a>22时f(x)既有极大值f(x 2)又有极小值f(x 1)．课时作业(17)1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14答案 C解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)dx ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋14x 4－30x K |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563.故选C.2．⎠⎜⎛-π2 π2 (1＋cosx)dx 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D 解析 ⎠⎜⎛-π2π2 (1＋cosx)dx ＝2⎠⎛0π2(1＋cosx)dx ＝2(x ＋sinx)|π20＝2(π2＋1)＝π＋2. 3．(2014·陕西理)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1答案 C解析⎠⎛01(2x ＋e x)dx ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，因此选C. 4．求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x)dxB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)dxC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y)dyD ．S ＝⎠⎛01(y －y)dy答案 B5．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋m(m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f(x)dx 等于( ) A ．2B.163 C ．6 D ．7答案 B解析 f(x)＝(x ＋1)2＋m －1，∵f(x)的最小值为－1，∴m －1＝－1，即m ＝0.∴f(x)＝x 2＋2x.∴⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(x 2＋2x)dx ＝(13x 3＋x 2)|21＝13×23＋22－13－1＝163.6．若⎠⎛01(2x ＋k)dx ＝2，则k 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B7．若F ′(x)＝x 2，则F(x)的解析式不正确的是( )A ．F(x)＝13x 3 B ．F(x)＝x 3C ．F(x)＝13x 3＋1D ．F(x)＝13x 3＋c(c 为常数)答案 B8.⎠⎛35x 2＋1xdx 等于( ) A ．8－ln 53 B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 53答案 B解析 ⎠⎛35x 2＋1x dx ＝⎠⎛35xdx ＋⎠⎛351x dx ＝12x 2 |Ｋ53＋lnx |Ｋ53＝12(52－32)＋ln5－ln3＝8＋ln 53，故选B. 9．m ＝⎠⎛01e x dx 与n ＝⎠⎛1e 1xdx 的大小关系是( )A ．m>nB ．m<nC ．m ＝nD ．无法确定答案 A解析 m ＝⎠⎛01e xdx ＝e xK|10＝e －1，n ＝⎠⎛1e 1xdx ＝lnx K |e 1＝1，则m>n.10.⎠⎛－22e |x|dx 值等于( ) A ．e 2－e －2 B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2答案 C11．(2016·南昌一模)若⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝3＋ln2(a>1)，则a 的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 A解析 由题意可知⎠⎛1a (2x ＋1x )dx ＝(x 2＋lnx)|a1＝a 2＋lna －1＝3＋ln2，解得a ＝2. 12．如图所示，由函数f(x)＝e x －e 的图像，直线x ＝2及x 轴所围成阴影部分的面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1答案 B解析 f(x)＝e x －e ＝0时，x ＝1，∴S ＝⎠⎛12(e x －e)dx ＝(e x －ex)|12＝e 2－2e.13．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝lnx |21＝ln2<lne ＝1，S 3＝e x|21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.14．设a>0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a ，则a ＝________．答案 94解析 S ＝⎠⎛0a xdx ＝23x32|a 0＝23a 32＝a ，解得a ＝94.15．(2016·安徽六校联考)已知a ＝⎠⎛0πsinxdx ，则二项式(1－a x )5的展开式中x －3的系数为________．答案 －80 解析 由a ＝⎠⎛πsinxdx ＝－cosx |π0＝－(cos π－cos0)＝2，则x －3的系数为C 53(－a)3＝10×(－2)3＝－80. 16. (2015·福建)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于____________．答案512解析 由已知得阴影部分面积为4－⎠⎛12x 2dx ＝4－73＝53.所以此点取自阴影部分的概率等于534＝512.1．设f(x)＝x 3＋x ，则⎠⎛－22f(x)dx 的值等于( )A ．0B ．8C ．2⎠⎛02f(x)dxD.⎠⎛02f(x)dx答案 A解析 ⎠⎛－22f(x)dx ＝(14x 4＋12x 2)|2－2＝0.2．下列值等于1的是( )A.⎠⎛01xdxB.⎠⎛01(x ＋1)dxC.⎠⎛011dxD.⎠⎛0112dx 答案 C解析 ⎠⎛011dx ＝x |10＝1.3．(2015·福建莆田一中期末)曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ．⎠⎛0π2(sinx －cosx)dx B ．2⎠⎛0π4(sinx －cosx)dx C ．⎠⎛0π2(cosx －sinx)dx D ．2⎠⎛0π4(cosx －sinx)dx 答案 D解析 当x ∈[0，π2]时，y ＝sinx 与y ＝cosx 的图像的交点坐标为(π4，22)，作图可知曲线y＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝0，x ＝π4所围成的平面区域的面积；另一部分是曲线y ＝sinx ，y ＝cosx 与直线x ＝π4，x ＝π2所围成的平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可知选D. 4．(2015·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|dx B ．|⎠⎛02(x 2－1)dx|C.⎠⎛02(x 2－1)dxD.⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx答案 A解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx ，选A.5．(2016·陕西五校二联)定积分⎠⎛－11(|x|－1)dx 的值为________．答案 －1解析 ⎠⎛－11(|x|－1)dx ＝⎠⎛01(x －1)dx ＋⎠⎛－1(－x －1)dx ＝(12x 2－x)|10＋(－12x 2－x)|－1＝－1.。