高中数学必修第二章平面向量教案完整版

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念

1、数量与向量得区别:

数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;

向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、

2、向量得表示方法:

①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示;

③用有向线段得起点与终点字母:;

④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、

3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、

向量与有向线段得区别:

(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;

(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、

4、零向量、单位向量概念:

①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、

注意0与0得含义与书写区别、

②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、

说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、

5、平行向量定义:

①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、

说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、

6、相等向量定义:

长度相等且方向相同得向量叫相等向量、

说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;

(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、

7、共线向量与平行向量关系:

平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、

说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、

§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义 A(起点) B

(终点) a O A

B a a

a b b b 二、探索研究:

１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、

２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)

如图,已知向量a、ｂ、在平面内任取一点,作＝a,＝ｂ,则向量叫做a与ｂ得与,记作a＋ｂ,即 a＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a

探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;

(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;

(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、

(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n个向量连加

３.例一、已知向量、,求作向量+

作法:在平面内取一点,作 ,则、

４.加法得交换律与平行四边形法则

问题:上题中+得结果与+就是否相同？ 验证结果相同

从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)

２)向量加法得交换律:+=+

５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+)

证:如图:使, ,

则(+) +=,+ (+) =

∴(+) +=+ (+)

从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、

第3课时

§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义

1． 用“相反向量”定义向量得减法 a A B C

a+b a+b a a

b b a

ｂ ｂ ａa (1) “相反向量”得定义:与a长度相同、方向相反得向量、记作 a

(2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、(a) = a、

任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (a) = 0

如果a、b互为相反向量,则a = b, b = a, a + b = 0

(3) 向量减法得定义:向量a加上得b相反向量,叫做a与b得差、

即:a  b = a + (b) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、

2． 用加法得逆运算定义向量得减法:

向量得减法就是向量加法得逆运算:

若b + x = a,则x叫做a与b得差,记作a  b

3． 求作差向量:已知向量a、b,求作向量

∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a

作法:在平面内取一点O,

作= a, = b

则= a  b 即a  b可以表示为从向量b得终点指向向量a得终点得向量、

4． 探究:

１）如果从向量a得终点指向向量b得终点作向量,那么所得向量就是b  a、

２)若a∥b, 如何作出a 

b

§2、3、1 平面向量基本定理

复习引入:

1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ

(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=

2.运算定律

结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ

3、 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、

平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、

探究: O a

b

B a

b ab

ab A

A B

B B’

O ab a

a b

b O A O B ab

ab

B A O b (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;

(2) 基底不惟一,关键就是不共线;

(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;

(4) 基底给定时,分解形式惟一、 λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量

§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算

一、复习引入:

1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;

(2)基底不惟一,关键就是不共线;

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式惟一、 λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量

二、讲解新课:

1.平面向量得坐标表示

如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得

…………○1

我们把叫做向量得(直角)坐标,记作

…………○2

其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、

特别地,,,、

如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、

设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、

2.平面向量得坐标运算

(1) 若,,则,

两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、

设基底为、,则

即,同理可得

(2) 若,,则

一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、 ==( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

(3)若与实数,则、

实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、

设基底为、,则,即

第6课时

§2、3、4 平面向量共线得坐标表示

一、复习引入:

1.平面向量得坐标表示

分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得

把叫做向量得(直角)坐标,记作

其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、

2.平面向量得坐标运算

若,,

则,,、

若,,则

二、讲解新课:

∥ ()得充要条件就是x1y2-x2y1=0

设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中、

由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0

探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵ ∴x2, y2中至少有一个不为0

(2)充要条件不能写成 ∵x1, x2有可能为0

(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥ ()

§2、4平面向量得数量积

一、 平面向量得数量积得物理背景及其含义

一、复习引入:

1. 向量共线定理 向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、

2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2

3.平面向量得坐标表示 分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得

把叫做向量得(直角)坐标,记作

4.平面向量得坐标运算

若,,则,,、

若,,则

5.∥ ()得充要条件就是x1y2-x2y1=0

6.线段得定比分点及λ

P1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,

使 =λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:

λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1

7、 定比分点坐标公式:

若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、

8、 点P得位置与λ得范围得关系:

①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、

②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、

9、线段定比分点坐标公式得向量形式:

在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,

可得=、

10.力做得功:W = |F||s|cos,就是F与s得夹角、

二、讲解新课:

1.两个非零向量夹角得概念

已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、

说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;

(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;

(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;

(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0≤≤180

C