2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题(含解析)_2

2019-2020学年高一数学上学期12月月考试题（含解析）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若全集，，，则集合( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

全集，，，

，.

故选B.

2.已知向量，且，则的值为()

A. 6 B. －6 C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

两向量平行，內积等于外积． 【详解】，所以选A.

【点睛】本题考查两向量平行的坐标运算，属于基础题．

3.若角是第三象限角，则点所在象限为( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

角是第三象限角，所以，

所以点在第四象限.

故选D.

4.已知函数，则( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

函数，

有，.

故选B.

5.要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）

A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位

C. 向左平移个单位

D. 向右平移个单位

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数图像的平移变换规律：左加右减即可得答案．

【详解】，

故要得到的图象，

只需将函数的图象向右平移个单位，

故选D．

【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，该类题目要注意平移方向及平移对象．

6.已知函数，则的最大值为( )

A. 3 B. 1 C. D.

【答案】A

【解析】

函数. 当时有最大值3.

故选A.

7.函数零点所在的区间是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由函数，易知函数为减函数，

又，

由零点存在性定理可知函数的零点所在的区间是.

故选B.

8.函数的定义域为( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

函数中，有：，即,有.

解得,.

所以函数的定义域为.

故选C.

9.已知函数，则函数的单调减区间为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

函数为减函数，且,

令，有，解得

又为开口向下的抛物线，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，

根据复合函数“同增异减”的原则函数的单调减区间为.

故选C.

点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.

当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；

当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；

当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.

简称为“同增异减”.

10.函数的图象是( )

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由偶函数排除B、D,排除C.故选A.

考点：函数的图象与性质．

11.函数的部分图象如图所示，则函数表达式为

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用给定的三角函数的图象，求解，又由最小正周期，求解，最后代入，确定的值，即可得到答案．

【详解】由图知，当时， ， ，所以 ，

所以 ．当 时， ，解得，当 时， ，所以函数表达式为，故选D．

【点睛】本题主要考查了三角函数的解析式的求解，其中确定三角函数中的参数的方法：（1） 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定．

12.设是上的周期为2的函数，且对任意的实数，恒有，当时，，若关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，则实数的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

由，知是偶函数，当时，，且是上的周期为2的函数，

作出函数和的函数图象，关于的方程(且)恰有五个不相同的实数根，即为函数和的图象有5个交点， 所以，解得.

故选D.

点睛：对于方程解个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数(且)图象恒过点，则点坐标为________.

【答案】

【解析】

令，即，有.

所以.

故答案为.

14.计算的值为 .

【答案】

【解析】

. 故答案为.

点睛：本题主要考查对数的运算、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）

15.已知函数(其中、是常数)，且，则____________.

【答案】3

【解析】

由函数，得.

所以，所以.

又，所以.

故答案为3.

16.下面有四个命题：

①终边在轴上的角的集合是.

②三角形中，，，，则. ③函数的单调递减区间为.

④函数的图象关于点中心对称.

其中所有正确的命题的序号是 .

【答案】②③

【解析】

对于①，当时，，表示的是正半轴上的角，故①不正确；

对于②，三角形中，，，，所以，

，故②正确；

对于③，函数的图象是将函数的图象x轴下方的图象关于x轴对称，并保留x轴上方的图象而来，所以单调递减区间为，故③正确；

对于④，令，解得，得对称中心为.

而当时，，故④不正确.

故答案为②③.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知集合，.

(1)求集合；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

【详解】(1)由题意得，故.

(2)∵，∴

∴，故取值范围是.

18.已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】（1）（2）3

【解析】

【详解】（1）由于角终边在射线上，可设终边上一点 ，则，，

，，此时.

(2)， ∵，∴原式.

19.在平面直角坐标系中，点，，.

(1)设实数满足，求的值；

(2)若以线段，为邻边作平行四边形，求向量与所夹角的余弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用向量的坐标运算得，根据条件得，即可得解；（2）由和求得向量和的坐标表示，进而利用坐标运算得向量模长和数量积，由即可得解.

【详解】(1)由题设知，，

，

由得，

即，所以.

(2)由题设知，

则，，

故，，

设向量与所夹角为， 故所求余弦值.

20.已知的最小正周期为.

(1)求的值，并求的单调递增区间；

(2)求在区间上的值域.

【答案】（1），（2）

【解析】

试题分析：（1）由最小正周期为，得，由，，即可解得的单调递增区间；

（2）由，得，进而可得值域.

试题解析：

解：(1)由的最小正周期为，得，

∵，∴，

，令，则，

的单调递增区间为，

由得，

故的单调递增区间为. (2)因为，所以，

的取值范围是，故的值域为.

点睛：研究三角函数的性质，最小正周期为，最大值为.

求对称轴只需令，求解即可，

求对称中心只需令，单调性均为利用整体换元思想求解.

21.如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知且设，绿地面积为.

(1)写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域．

(2)当为何值时，绿地面积最大？

【答案】（1）y＝－2x2＋（a＋2）x，0

【解析】

【详解】（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)．

∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x．

由，得

∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定义域为．

（2）当，即a<6时，则x＝时，y取最大值．

当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4 ．

综上所述：当a<6时，AE＝时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4．

22.已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(2)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）（2）见解析（3）