江西省2020版高考数学二模试卷(理科)A卷
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第 1 页 共 16 页 江西省2020版高考数学二模试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、
一.选择题 (共12题；共24分)
1.
（2分） (2016高三下·娄底期中)
若复数z=i（3﹣2i）（i是虚数单位），则
=（
）
A . 2﹣3i
B . 2+3i
C . 3+2i
D . 3﹣2i
2. （2分） (2018高二上·锦州期末) 命题“ ，则 ”的逆否命题是（ ）
A . 若 ，则
B . 若 ，则
C . 若 ，则
D . 若 ，则
3. （2分） 等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是（ ）
A .
B .
C .
D .
4. （2分） 将的图像向右平移个单位后所得的图像的一个对称轴是（ ）
A .
B . 第 2 页 共 16 页 C .
D .
5.
（2分） (2017高二下·蕲春期中)
设随机变量X～N（1，σ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（﹣1＜X≤3）=0.9544，那么向正方形OABC中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）
（附：随机变量X～N（1，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544）
A . 15078
B . 14056
C . 13174
D . 12076
6. （2分） 设函数f(x)的定义域为D，若 ， 且满足 ， 则称是函数f(x)的一个次不动点。设函数与的所有次不动点之和为S，则：
A . S<0
B . S=0
C . 0
D . S>1
7. （2分） 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ） 第 3 页 共 16 页
A . 2
B .
C .
D . 3
8. （2分） 函数 在 上是（ ）
A . 减函数
B . 增函数
C . 先减后增
D . 无单调性
9. （2分） (2019高二上·开福月考) 如图在一个60º的二面角的棱上有两个点 ， ，线段 ，
分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱 ，且 ， ，则 的长为（ ）
A .
B . 第 4 页 共 16 页 C . 2
D .
10.
（2分） (2019高二上·榆林期中) 已知数列{an}的前 项和
，则这个数列的通项公式为（ ）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：
①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是 ；②当 时，直线 与黑色阴影部分有公共点；③当 时，直线 与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（ ）
A . ①
B . ②
C . ③
D . ①② 第 5 页 共 16 页 12. （2分）
如果f(x)为偶函数，且f(x)导数存在，则的值为
（
）
A . 2
B . 1
C . 0
D . -1
二、 填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2017高二下·杭州期末) 在平行四边形ABCD中，AD= ，AB=2，若 = ，则 •
=________．
14. （1分） 若 的二项展开式中，所有项的系数之和为﹣512，则展开式中的常数项是________．
15. （1分） 一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为 ， 则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是________
16. （1分） (2017·黄陵模拟) 在区间[0，1]上任取两个实数a，b，则函数f（x）= x2+ax﹣b在区间[﹣1，1]上有且仅有一个零点的概率为________．
三、 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共5题；共45分)
17. （5分） (2018·河北模拟) 如图所示，在三棱锥 中，平面 平面 ， ，
， ， .
第 6 页 共 16 页 （1）
证明：
平面
；
（2） 若二面角 的平面角的大小为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. （10分） (2012·湖南理) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次性购物量 1至4件 5 至8件 9至12件 13至16件 17件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（1） 确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；
（2） 若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）
19. （10分） (2017·房山模拟) 如图1，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，将△BCD沿对角线BD折起到△B'CD的位置，使平面BC'D⊥平面ABD，E是BD的中点，FA⊥平面ABD，且FA=2 ，如图2．
（1） 求证：FA∥平面BC'D；
（2） 求平面ABD与平面FBC'所成角的余弦值；
（3） 在线段AD上是否存在一点M，使得C'M⊥平面FBC？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
20. （10分） (2016·四川理) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l：y=﹣x+3与椭圆E有且只有一个公共点T．
（1） 求椭圆E的方程及点T的坐标； 第 7 页 共 16 页 （2）
设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数λ，使得|PT|2=λ|PA|•|PB|，并求λ的值．
21.
（10分） (2019高三上·吉安月考)
已知函数 ．
（1）
设 ，求函数 的单调增区间；
（2） 设 ，求证：存在唯一的 ，使得函数 的图象在点 处的切线l与函数
的图象也相切；
（3） 求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式 成立．
四、 选做题 (共2题；共20分)
22. （10分） (2020高二下·吉林期中) 已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系 .
（1） 若曲线 ： （t为参数）与曲线 相交于两点A，B，求 ；
（2） 若M是曲线 上的动点，且点M的直角坐标为 ，求 的最大值.
23. （10分） (2020·鹤壁模拟) 己知 ，函数 .
（1） 若 ，解不等式 ；
（2） 若函数 ，且存在 使得 成立，求实数 的取值范围. 第 8 页 共 16 页 参考答案
一、
一.选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、 填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、 第 9 页 共 16 页 16-1、
三、 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共5题；共45分)
17-1、
17-2、
18-1、 第 10 页 共 16 页 18-2、
19-1、
19-2、 第 11 页 共 16 页 19-3、
20-1、 第 12 页 共 16 页 20-2、
21-1、 第 13 页 共 16 页 21-2、 第 14 页 共 16 页 21-3、
四、 选做题 (共2题；共20分) 第 15 页 共 16 页 22-1、
22-2、
23-1、
23-2、 第 16 页 共 16 页
