圆的方程复习教案

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-- 圆的方程复习教案

知识梳理

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

2、圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.

特例:圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是：222ryx.

3、点与圆的位置关系：

1. 设点到圆心的距离为d,圆半径为r：

(1）点在圆上 ； (2）点在圆外 d＞ｒ； (3)点在圆内 d＜r．

２.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.

①M在圆C内22020)()(rbyax

②M在圆C上22020)()rbyax（

③M在圆C外22020)()(rbyaxﻫ

3.涉及最值：

(１)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值

minPBBNBCr

maxPBBMBCr

(2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

minPAANrAC

maxPAAMrAC

4、圆的一般方程：022FEyDxyx . MMM--

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-- 当0422FED时,方程表示一个圆,其中圆心2,2EDC,半径2422FEDr．

当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.

当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.

注：(１）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.

圆的直径或方程:已知0))(())((),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA

５、直线与圆的位置关系: 直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

（1)相离没有公共点0dr

(２)相切只有一个公共点0dr

(3）相交有两个公共点0dr

ﻫ

相离 相切 相交

(其中:22BACBbAad)

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断:

（１）当方程组有2个公共解时(直线与圆有2个交点）,直线与圆相交；

(2)当方程组有且只有1个公共解时(直线与圆只有1个交点）,直线与圆相切；

（３）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；ﻫ

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为Δ,圆心Ｃ到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：

(1) 相切Δ＝0（2)相交d0； （3)相离d>rΔ<0。

6、两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1,Ｏ２,半径分别为ｒ１，r2，dOO21。

(１)条公切线外离421rrd；ﻫ（2)条公切线外切321rrd;

(３）条公切线相交22121rrdrr;ﻫ(4)条公切线内切121rrd; --

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-- (5）无公切线内含210rrd；

外离 外切 相交 内切 内含

7、圆切线：

①切线条数:点在圆外——两条;点在圆上——一条；点在圆内——无ﻫ

②求切线方程的方法及注意点．．．(．点在圆外)

如定点00,Pxy,圆：222xaybr，[22200xaybr］

第一步：设切线l方程00yykxx

第二步:通过drk,从而得到切线方程

特别注意:以上解题步骤仅对k存在有效,当k不存在时,应补上——千万不要漏了！

如:过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程.

答案：3410xy和1x

②求切线方程的方法及注意点（．．．．点在圆上）

1） 若点00xy，在圆222xyr上,则切线方程为200xxyyr

会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.

2） 若点00xy，在圆222xaybr上,则切线方程为

200xaxaybybr

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析,我们知道:过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数．

③求切线长:利用基本图形，22222APCPrAPCPr

求切点坐标:利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk

８、直线与圆相交 --

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-- (１)求弦长及弦长的应用问题

垂径定理．．．．及勾股定理——常用

弦长公式：222121212114lkxxkxxxx（暂作了解,无需掌握)

（2)判断直线与圆相交的一种特殊方法(一种巧合）:直线过定点，而定点恰好在圆内.

（３)关于点的个数问题

例:若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为１，则半径r的取值范围是． 答案：4,6

（*）9、圆的参数方程

222cos0sinxrxyrryr,为参数

222cos0sinxarxaybrrybr，为参数

例题精讲

基本圆方程：

【题型一、圆方程判断】

【例1】2220xyaxaya表示圆,则a的取值范围

变式训练:方程022FEyDxCyBxyAx表示一个圆的充要条件是（ )

(A)0,BCA (Ｂ)0,0BCA (Ｃ)04, 0, 022FEDBCAﻫ（D）04,0,022AFEDBCA

【题型二、几种基本求圆方程的方法】

１、简单圆方程求法:

【例2】方程x２2＋20表示圆心为C(2，2)，半径为2的圆,则a、ｂ、c的值依次为( ) ﻫ （A）2、４、４； （B)-2、4、4; (C）2、-４、4； （D)2、－4、-4

2、圆心在某直线上：

【例3】过点A（1,-1）、Ｂ(-１，1)且圆心在直线２=0上的圆的方程是( )ﻫA、(３)2+(１)2=4 B、(3)2+(1)2=4 ﻫC、(1)2+（１)2=4 D、（１)2＋(1)2=４(答案：)

3、过三点：

【例４】求下列各圆的 方程：(1）圆心为点(5,3)M,且过点(8,1)A(2)过三点(2,4),(1,3),(2,6)ABC

ﻫﻫ【题型三、点圆关系】

【例5】点4)()()1,1(22ayax在圆的内部，则a的取值范围是( )ﻫ（Ａ) 11a （Ｂ) --

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-- 10a (C) 11aa或 (D) 1a

【题型四、线圆关系】

类型一：

【例6】若圆222)5()3(ryx上有且只有两点到直线234yx的距离为1， 则半径r的取值范围是( ） A 6,4 B 6,4 C 6,4 D 6,4

【例7】能够使得圆x22-24１=0上恰有两个点到直线20的距离等于1的ｃ的一个值为（ )ﻫA.2

Ｂ.5 C．３ D．35

【例8】圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离等于1的点的个数有( )

(Ａ）１ （B)２ (C)３ (D)4

类型二:

【例9】直线0534yx与圆02422myxyx无公共点的充要条件是( ）

A.50m B．51m C.1m D.0m

变式训练

1. 若圆)0(022222kykxyx与两坐标轴无公共点,那么实数k的取值范围是（ ）ﻫA．20k B.21k C. 10k D．2k

2. 直线0234yx与圆01242222ayaxyx总有两个交点，则a应满足( ）ﻫ(A）73a (B)46a (Ｃ)37a (D)1921a

ﻫ

类型三：

【例10】圆012222yxyx上的动点Q到直线0843yx距离的最小值为 .(配方:11122yx

【题型五、与圆有关的交线问题】ﻫ知直线求弦长：

【例11】直线x-３=0被圆（2）2+(ｙ-２）2＝２截得的弦长等于( )

Ａ．26 B.3 Ｃ.23 Ｄ.6

知弦中点求直线：

【例12】若P(2,-1)为25y1)-(x22圆的弦AB的中点,则直线AB的方程是（ ） ﻫA. 03yx B. 032yx Ｃ. 01yxﻩD． 052yx

知弦长求直线：

【例１３】求过点P(6,-4）且被圆2220xy截得长为62的弦所在的直线方程．

涉圆交线综合分析： --

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-- １、经过两点(2,4),(3,1)PQ，且在ｘ轴上截得的弦长为6的圆的方程。 已知圆心在x轴上,半径是5,且以点A(5,4)为中点的弦长为25,则这个圆的方程是

2、已知圆C与y轴相切，圆心在直线30xy上，且被直线yx截得的弦长为27，求圆的方程。

3、已知直线03:kykxl与圆M：092822yxyx.

4、求证：直线l与圆M必相交; 当圆M截直线l所得弦长最小时,求k的值.（配方:81-y4)-(x22;

【题型六、与圆有关的切线问题】

判断圆切线：

【例１４】圆)0()()(222rrbyax与两坐标轴都相切的条件是( ）

A、222rba B、rba C、222rba Drbra||||或

求切线方程：

【例15】自点 1)3()2()4,1(22yxA作圆的切线,则切线长为（ ),切线方程为： 。ﻫ

涉圆切线综合分析:

1、一个圆经过点P（２，-1)和直线x－1相切且圆心在直线-2ｘ上,求它的方程。

2、求过点1,2A和1,10B且与直线012yx相切的圆的方程。

3、由直线2xy,4xy及x轴围成的三角形的内切圆的圆心是 （ )

(A)323 , 1 (B)323 , 1 （Ｃ)232 , 1 (D)232 , 1