分式与二次根式(中考第一轮复习)

1 分式与二次根式

一、知识梳理

知识点1： 分式的概念（分式有无意义、分式值为0等的条件）

（1）整式A除以整式B，可以表示成BA的形式，如果B中含有字母，那么称BA叫做分式，

对于任意一个分式，分母都不为零。

（2）分式有意义：分式的分母≠0。

（3）分式值为0：。

（4）分式在分子、分母同号时值为正；分式在分子、分母异号时值为负。

知识点2：分式的基本性质（通分、约分）

分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，即MBMABMAMBA

（M为不为0的整式）.它是分式通分和约分的根据。

知识点3：分式的运算（加减、乘除、混合运算）

（1）分式的乘除法：实质是分式的约分。

（2）分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

（3）分式的加减法：①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；

②异分母分式相加减，先通分化为同分母分式，再加减。

（4）分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号，先算括号内的。

（5）在进行分式的各种运算时：

①分子、分母中的多项式能因式分解的，应先进行因式分解；

②分式运算的结果要化成最简分式或整式。

二、专题精讲

题型1：分式有意义及分式的值为0、正、负的条件

例1：若分式293xx的值是零，则x=______。

分析：分式值为0的条件是，因此有两个条件限制了字母的取值。

【答案】 x=3 2 例2：同时使分式2568xxx有意义，又使分式223(1)9xxx无意义的x的取值范围是（ ）

A. x≠－4且x≠－2 B. x=－4或x=2

C. x=－4 D. x=2

分析：分式有意义的条件是分母≠0，使分式无意义的条件为分母=0

【答案】 D

例3：当a取何值时，下列各分式值为正？

（1）

（2）

分析：分式在分子、分母同号时值为正。

解:（1） 则时分式值为正；

（2） 则时分式值为正。

题型2：分式的性质

例1：如果把分式2xyx中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）

A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 不变 D. 扩大2倍

分析： 分式的基本性质

（1）在运用分式的基本性质进行通分或约分时，容易漏掉分子或分母中的某一项，从而出现运算错误．

（2）分式本身、分子和分母三个当中，任意改变其中的两个符号，分式值不变，这也是一个易点．

【答案】 C

例2：判断下列变形是否正确.

22(1)aabb （ ） (2)(0)bbccaac （ ）

1(3)1bbaa （ ） 2(4)211xxxx （ ）

分析：在应用分式的基本性质解题时，要特别注意性质中“都”和“同”这两个字的含义，有不少同学解这类问题时，忽视这一点，犯了上述不应该犯的错误，望引起高度重视。 3 【答案】 × √ × ×

例3：下列分式是最简分式的（

）

Ａ．baa232 B．aaa32 C．22baba

D．222baaba

分析：最简分式；分式的基本性质；约分

【答案】 C

例4：已知两个分式：A＝442x，B＝xx2121，其中x≠±2．下面有三个结论：

①A＝B； ②A、B互为倒数； ③A、B互为相反数．

请问哪个正确?为什么?

解析：本题考察的知识点是分式的运算，涉及到分式的通分、加减法则.

解题思路1：先对Ｂ进行通分,再比较与Ａ的关系.（如下）

解题思路2：对于本题可以先取一个符合条件的数值判断分式之间的关系，然后再有目的进行变形.比如取x=0

代入，A=-1,B=1，故互为相反数.

答案：A、B互为相反数

因为：Ｂ=xx2121

=424222xxxx

=442x

=-Ａ 故选③.

方法技巧：掌握分式通分的基本运算，灵活运用加减法则.

题型3：分式的运算

例1：计算：

分析：运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除、分式除法运算。

解:原式= 232463c27()8cabab=263243c827ababc=4827abc

例2： 1112aaaa

解：解法1：原式=1)1)(1(1)1)(1()1()1)(1(12aaaaaaaaaaaa 4 解法2：原式=1111111)1)(1(1aaaaaaaaaa

评析：异分母分式的加减法可通分后再加减，若能先约分的则先约分化简，一般可起到简便的效果。

例3：化简)2(121yxxyxyxx

解法1：原式=122221212)21)((121]2)(22[121xxxxxxxyxyxxxyxxxyxyxx

解法2：原式=1121212121xxyxyxxyxyxx

评析：本题可按运算顺序先算括号再乘除后加减，或先利用乘法分配率起到简便运算功效。要注意xy可化为1xy的形式，要注意符号的变化。

例4：先化简再求值：，其中，。

分析：按运算顺序先乘除后加减，利用因式分解的系列方法和除法法则变形，再约分化简。

解：原式= 2)()12(2)ababababab（= 2(2)12)()ababababab（= (2)1)abab（= )bab（

将3a ，2b 代入上式得， )bab（=232=62

所以，原式的值为62。

三、专题过关

1. （★） ，求的值。

2.（★★） 若分式的值为负数，则满足 。

3.（★）当字母取何值时，下列分式有意义：

（1） （2） （3）

5

4.（★）下列分式中的字母取何值时，分式值为0？

（1） （2） （3） （4）

5.（★）要使分式有意义，a取值必须满足（ ）

A．a≠0 B．a≠3 C．a≠-1 D．a≠3且a≠-1

6. （★★）分式有意义的条件是（ ）

A．x≠0 B．x≠-1且x≠0 C．x≠-2且x≠0 D．x≠-1且x≠-2

7. （★★） 计算：

（1） （2）

（3） （4）÷

8. 若，求的值。

三、学法提炼 6 1、解题方法

(1)分式有意义及分式的值为0、正、负的条件:

① 分式有意义：分式的分母≠0

②分式值为0：。

③ 分式在分子、分母同号时值为正；分式在分子、分母异号时值为负。

(2) 分式的乘除法：实质是分式的约分。

(3)分式的乘方：把分子、分母各自乘方。公式：，n为正整数。

(4) 分式的加减法：

①同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：；

②异分母分式相加减，先通分化为同分母分式再加减：。

(5)分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后加减，如有括号先算括号内的。

2、注意事项

在混合运算中要注意优化运算顺序，在法则、定律允许的前提下，尽量先进行乘除最后加

减；此外，运算结果应是最简分式或整式。

专题

一、知识梳理

知识点1：二次根式的概念 （二次根式、最简二次根式、同类二次根式、）

(1) 二次根式的概念

一般地，形如a（a≥0）的式子叫做二次根式

注：1）二次根式必须含有根号“”；

2）ａ可以是数，也可以是代数式；但ａ必须是非负数或代数式值是非负数；

3）形如ｂa的式子也是二次根式；

（2）最简二次根式： 7 最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；

②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．

（3）同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式

知识点2：二次根式的性质（双重非负性）

性质一：2a＝a（a≥0），同时理解当a<0时，2a＝－a

性质二：（a）2＝a（a≥0），反之:a＝（a）2（a≥0）

知识点3：二次根式的运算（乘除法法则、加减运算、分母有理化）

1. 二次根式的加减运算

（1）法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

（2）步骤：①先化简，②再合并（被开方数相同的二次根式）.

（3）注意：①在进行二次根式的加减运算的时候,首先要将不是最简二次根式的化简为最简二次根式。

②合并同类二次根式与整式中的合并同类项类似，只需把同类二次根式前面的有理数(或有理式)

相加减就行了。

2. 利用乘法分配律进行混合运算

（1）对于二次根式的混合运算可以依照多项式的乘法应遵循的运算顺序和运算法则.

（2）能合并化简的一定要合并化简.

3. 利用乘法公式进行二次根式的混合运算

对于二次根式的混合运算应先观察式子的特点，能用乘法公式进行计算的可用乘法公式进行计算.

4. 基本运算公式

0,0•baabba

0,0•babaab

0,0bababa

5. 分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

二、专题精讲