中考数学重点：分式与二次根式

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）

【考纲要求】

1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；

2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1．分式

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

（M为不等于零的整式）.

3．最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．

（4）分式有无意义的条件：在分式中，

①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．

③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．

考点二、分式的运算

1．基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:

（1）加减运算 ±=

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.

（2）乘法运算

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.

（3）除法运算

衔接点03 有意义的根式和分式及相关计算

【基础内容与方法】

1.分式有意义的条件

对于分式，分母不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义。即若0B,式子AB有意义；若0B，则式子AB无意义；若A=0且0B，则0AB，即分式的值为0的条件．

2.对于根式，我们主要是指二次根式，一般地，我们把形如a的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a是一个非负数，且0a．

考点一：二次根式的概念

例1：在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】根据二次根式的定义作答．

【解答】解：（x＞0），，符合二次根式的定义．

（y＝﹣2），（x＞0）无意义，不是二次根式．

属于三次根式．

x+y不是根式．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．

考点练习：

1．在式子①②③x2④⑤（x≤1）中，二次根式有 3 个．

【分析】根据二次根式的定义填空即可．

【解答】解：因为形如（a≥0）叫二次根式，

所以①②⑤都符合要求，而③二次根号，④中的被开方数小于0，

即二次根式有3个，

故答案为3．

【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单．

考点二：二次根式有意义的条件

例2：（1）当x满足

x＞0

时，代数式有意义；

【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不等于零可得x＞0．

【解答】解：由题意得：x＞0，

故答案为：x＞0．

【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．

（2）要使式子有意义，则x的取值范围是 x≥﹣2，且x≠﹣1 ．

【分析】首先保证被开方数x+2≥0，再保证分母x+1≠0，解出不等式即可．

数学知识点二次根式与分式的运算

数学知识点：二次根式与分式的运算

在数学中，二次根式与分式是常见的运算形式。二次根式表示被开方数的平方根，而分式则表示数之间的比值。正确地运用二次根式与分式的运算规则，能够更高效地解决问题。本文将详细介绍二次根式与分式的运算方法和规则。

一、二次根式的运算

二次根式是形如√a的表达式，其中a为非负实数。在运算二次根式时，常见的操作有合并同类项、分解因式、有理化等。

1. 合并同类项

合并同类项是将同一根号内的数合并，然后再进行开方。例如：

√9 + √4 = √(9+4) = √13

2. 分解因式

分解因式是将根号内的数按照倍数的形式分解，以便于提取出根号外的因式。例如：

√12 = √(4×3) = √4 × √3 = 2√3

3. 有理化

有理化是将二次根式中含有根号的分母进行处理，使其变为分母不含根号的形式。例如： 1/√2 = (1/√2) × (√2/√2) = √2/2

二、分式的运算

分式是形如a/b的表达式，其中a为分子，b为分母。分式的运算包括四则运算、化简、通分、约分等。

1. 四则运算

分式的四则运算与整数的四则运算类似，根据需要进行加、减、乘、除的操作。例如：

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

2. 化简

化简是将分式的分子与分母进行约分，使其达到最简形式。例如：

4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2

3. 通分

通分是将分式的分母化为相同的公共分母，以便于进行加减运算。例如：

(1/2) + (1/3) = (3/6) + (2/6) = 5/6

4. 约分

约分是将分数的分子与分母进行化简，使其达到最简形式。例如：

4/8 = (4÷4) / (8÷4) = 1/2

三、综合运算 在实际问题中，常常需要综合运用二次根式与分式的运算。例如：

例1：计算 √(5+2√6) × √(5-2√6) 的值。

2. 代数式（分类） 2.1. 整式（包含题目总数：15）； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；

2.1.1. 整式的有关概念 用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．

只含有数与字母的积的代数式叫单项式．

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：ba2314这种表示就是错误的，应写成：ba2313．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：cba235是六次单项式．

几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 单项式和多项式统称整式．

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．

注意：

(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入．

(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．

2.1.2. 同类项、合并同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．

注意：

(1)同类项与系数大小没有关系；

(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．

2.1.3. 去括号法则去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．

去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．

2.1.4. 整式的运算法则整式的加减法：

整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．