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竖直面内圆周运动问题的分析

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竖直面内圆周运动问题的分析

有三种典型的情况：

（1） 绳（单轨，无支撑）：

绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力。

这种情况下有mgRmvmgF2

所以小球通过最高点的条件是gRv，通过最高点的临界速度minvgR 当临界vv(实际上小球还没滑到最高点就脱离了轨道)。

（2）外轨（单轨，有支撑），只能给物体支持力，而不能有拉力。

有支撑的小球，但弹力只可能向上，如车过桥．在这种情况下有：gRvmgRmvFmg,2，否则车将离开桥面，做平抛运动．

（3）杆（双轨，有支撑）：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图3所示。

①过最高点的临界条件：0v。

②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即Rmvmg2，gRv＝，杆或轨道内壁对小球没有力的作用。

当0

当gRv时，小球受到重力和杆向下的拉力（或轨道内壁上侧对球竖直向下的压力），这二力的合力提供向心力。

因此，gRv＝是小球在最高点受到杆的拉力还是支持力的分界速度，是受到轨道内壁下侧的弹力还是内壁上侧的弹力的分界速度。

【例7】(04甘肃理综)如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。现给球一初速度，使球和杆一起绕O轴在竖直面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对小球的作用力，则F（ ）

A．一定是拉力 B．一定是推力

C．一定等于0 D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于0

【解析】本题是物体在竖直面内圆周运动的典型模型――轻杆模型（有支撑的情况），杆可以对物体有拉力，也可以有推力，对物体的弹力还可以为零，答案D。

【答案】D

【例8】(西城二模理综（物理部分）2007.5)如图4－36所示的是杂技演员表演的“水流星”．一根细长绳的一端，系着一个盛了水的容器．以绳的另一端为圆心，使容器在竖直平面内做半径为R的圆周运动．N为圆周的最高点，M为圆周的最低点．若“水流星”通过最低点时的速度gRv5．则下列判断正确的是（ ）

A．“水流星”到最高点时的速度为零

B．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

C．“水流星”通过最高点时，水对容器底没有压力

D．“水流星”通过最高点时，绳对容器有向下的拉力

解析：假设水能够通过最高点，则到达到最高点时的速度设为v1，由机械能守恒定律得：22111222mvmvmgR，得1vgR，而当容器甲 杆＝v

乙 图3 R v

O G F

图4－37 M N

v O

R

图4－36 恰好能上升到最高点时的临界条件1vgR，此时水对容器的压力为0时，C正确．

【答案】C

【例9】（07年潍坊理科综合考试物理试题）如图4－37所示，小物块位于半径为R的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度gRvo2，则物块 （ ）

A．立即做平抛运动 B．落地时水平位移为R2

C．落地速度大小为2gR D．落地时速度方向与地面成45°角

解析：物体恰好不受轨道的支持力的情况下（物体在最高点做圆周运动）的临界条件是，最高点速度为gR，因为gRvo2＞gR，所以物体将从最高点开始做平抛运动，A正确；由平抛运动的规律可得：R＝212gt，x=v0t，所以可得x=2R，B答案正确；落地时竖直分速度2yvgR，合速度222xyvvvgR，其方向与地面成45°角，CD正确．

【答案】ACD．

应用万有引力定律解题的两条基本思路

思路1 利用在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力．

公式：G2MmR=mg0 (g0表示天体表面的重力加速度）。

注意：①在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GM＝g0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用巨大，此时通常称为黄金代换式．

②利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道重力加速度：

表面重力加速度：02MmGmgR，0g2GMR

在离地面高为h的轨道处重力加速度：2hGMmmgRh，hg2GMRh

思路2 利用万有引力提供向心力．

将万有引力、牛顿第二定律相结合，得到一个基本方程marMmG2

式中a表示向心加速度.而向心加速度又有rva2、ra2、va、224Tra、ga这样几种表达形式，由此出发可以得到天体运行的线速度、角速度、周期、向心加速度和轨道半径的关系：

①由222rvmrMmG可得：v=rGMv

; r越大，v越小．

②由rmrMmG22可得：3rGM r越大，ω越小．

③由rTmrMmG222可得：GMrT32 r越大，T越大． ④由向marMmG2可得：a向2GMr; r越大，a向越小．

直线运动的图象

用图像研究物理现象、描述物理规律是物理学的重要方法，运动图像主要有：x -t、v-t、a-t等图像．

位移图像（x-t） 速度图像（v-t） 加速度图像（a-t）

匀速直线运动

匀加速直线运动

（a>0，x有最小值） 抛物线（不要求）

匀减速直线运动

（a<0，x有最大值） 抛物线（不要求）

备注 位移图线的斜率表示速度 ①斜率表示加速度

②图线与横轴所围面积表示位移，横轴上方“面积”为正，下方为负．

匀变速直线运动的图象

图象的优点，首先在于它的直观性，利用图象解题首先要学会识图．识图就是在题干中给出一个图象后，通过“看”来寻找规律和解题的突破口．那么，看什么呢？为方便记忆，可总结为“六看”：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．

①“轴”：先要看清坐标系中横轴、纵轴所代表的物理量，即图像是描述的哪两个物理量间的关系，如是位移－时间关系？还是速度－时间关系？同时要注意单位和标度．

②“线”：“线”上的一个点，一般反映两个量的瞬时对应关系．如x－t图像上一个点对应某一时刻的位置，v－t图像上一个点对应某一瞬时速度；“线”上的一段一般对应一个物理过程，如x－t图象为倾斜的直线表明质点做匀速直线运动；v－t图像中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直线运动．

③斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应．用于求解定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题．如x－t图像的斜率表示速度大小，v－t图像的斜率表示加速度大小．

④面积：图象和坐标轴所夹的面积也往往表示另一个物理量．这要看两轴所代表的物理量的乘积有无实际意义，这可以从物理公式分析，也可以从单位的角度分析．如x和t乘积无意义，我们在分析x－t图象时就不用考虑“面积”；而v和t的乘积vtx， v－t图象下的面积就表示位移．

⑤截距：表示横、纵坐标两物理量在初始(或“边界”)条件下的物理量的大小．由此往往能得到一个很有意义的物理量．

⑥看“特殊点”：如交点，拐点（转折点）等．如x-t图象的交点表示两质点相遇；而v-t图象的交点只表示两质点速度相等．

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竖直面内圆周运动的临界问题

竖直面内圆周运动的临界问题

竖直面内圆周运动的临界问题

1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管)约束模型”.

2.绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型 杆模型

常见

类型

均是没有支撑的小球

均是有支撑的小球

过最高点的临界条件 由mg＝mv2r得v临＝gr 由小球恰能做圆周运动得v临＝0 讨论

分析 (1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝mv2r，绳、圆轨道对球产生弹力FN

(2)不能过最高点时，v

(2)当0

(3)当v＝gr时，FN＝0

(4)当v>gr时，FN＋mg＝mv2r，FN指向圆心并随v的增大而增大

1(多选)如图所示甲、乙、丙、丁是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R，下列说法正确的是( )

A.甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力

B.乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力

C.丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力

D.丁图中，轨道车过最高点的最小速度为gR

2长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，小球通过最高点时的速度为3

m/s，g取10 m/s2，则此时小球将( )

A.受到18 N的拉力 B.受到38 N的支持力

C.受到2 N的拉力 D.受到2 N的支持力

3(多选)如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝ m，最低点处有一小球(半径比r小很多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足(取g＝10

竖直面内的圆周运动(解析版)

竖直面内的圆周运动(解析版)

竖直面内的圆周运动

一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型

1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑

实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等

图示

异

同

点 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上

受力示意图

力学方程 mg＋FN＝mv2R mg±FN＝mv2R

临界特征 FN＝0

mg＝mv2minR

即vmin＝gR v＝0

即F向＝0

FN＝mg

过最高点的条件 在最高点的速度v≥gR v≥0

【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则( )

A．小球的质量为aRb

B．当地的重力加速度大小为Rb

C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上

D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD

【典例2】用长L ＝ 0.6 m的绳系着装有m ＝ 0.5 kg水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。G ＝10 m/s2。求：

(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？

(2) 若过最高点时速度为3 m/s，此时水对桶底的压力多大？

【答案】 (1) 2.45 m/s

(2) 2.5 N 方向竖直向上

【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。这是最小速度即是过最高点的临界速度v0。

以水为研究对象， mg＝mv20L

过山车模型(学生版)--竖直面内三种圆周运动模型

过山车模型(学生版)--竖直面内三种圆周运动模型

竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型过山车模型

【知识点精讲】

过山车模型

图示最高点无支撑最高点有支撑

最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图

力学特征mg+FN=mv2rmg±FN=mv2r

临界特征FN=0，vmin=gr竖直向上的FN=mg，v=0

过最高点条件v≥grv≥0

速度和弹力关系讨论分析

　①恰好过最高点时，v=gr，mg

=mv2r，FN=0，绳、轨道对球无弹

力

②能过最高点时，v≥gr，FN+

mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力

FN③不能过最高点时，v

达最高点前小球已经脱离了圆轨道

做斜抛运动①当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿

半径背离圆心

②当0

mv2r，FN背离圆心，随v的增大而减小

③当v=gr时，FN=0

④当v>gr时，FN+mg=mv2r，FN指

向圆心并随v的增大而增大

【方法归纳】

(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．

(2)确定临界点：抓住球-绳模型中球恰好能过最高点时v=gR及球-杆模型中球恰好能过最高点时v=

0这两个临界条件．

(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．

(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合=F向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．【最新高考题精练】

1如图所示，图1是某游乐场中水上过山车的实物图片，图2是其原理示意图。在原理图中半径为R=8m的圆形轨道固定在离水面高h=3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为

圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通

过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整

个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s=12m，假设运动中不计空气阻力，重力加

例析竖直平面内圆周运动的临界问题

例析竖直平面内圆周运动的临界问题

例析竖直平面内圆周运动的临界问题

摘 要：高中物理中，临界问题很多，其中圆周运动的临界问题一直是高考的热点问题，此类问题分为竖直平面与水平面内的圆周运动，本文就竖直平面内圆周运动的规律及共性的问题以例题的形式总结，并分析其解题思路。

关键词：竖直平面；圆周运动；临界条件；平衡位置

物理试题中常常遇到不明确提出临界值而必须通过运用知识去分析临界条件，挖掘临界值，这对多数学生比较困难的。学生处理这类问题往往具有“似曾相识又无从下手”的通病，本文以竖直平面圆周运动为背景材料进行归类分析如下：

例1：如图所示，长l的不可伸长的细绳连接质量为m的小球后绕o点在竖直平面内做圆周运动。阻力不计，要保证小球做完整圆周运动，则小球在最低点速度至少多大？（假设绳能承受足够大的拉力）

解析：要保证小球做圆周运动，则小球一直不脱轨。小球脱轨的原因是受重力作用。由于绳子拉力作用，小球在水平线bc以下各点均不脱轨，而在最高点小球速度最小，所需向心力最小，而重力沿半径分量最大，所以最高点是小球最易脱轨的位置。因此保证作圆周运动考虑的临界位置是圆周运动中最难达到的位置，即为运动速度最小位置。

小球在最高点受力分析如图所示，

由牛顿第二定律得 当 v= (式中v指最高点最小速度)从最低点至最高点小球机械能守恒，则有 mv02=mg×2l+ mv2

v0= 因此v0至少为

例2：例题1中，将细绳改成轻杆，则小球做完整的圆周运动时，小球在最低点速度至少多少？

解析：小球做圆周运动时上升过程中由于重力做负功，动能减小，最高点速度最小因此保证做完整的圆周运动的临界位置为最高点。

由于轻杆在最高点既能产生拉力，又能产生拉力，当轻杆对小球竖直向上的支持力其大小等于小球的重力时，合外力最小f合＝0，因此最高点最小速度v=0。从最低点到最高点小球机械能守恒，则有 mv02=mg×2l+0 v0=2 ，因此v0至少为2