一个飞行管理问题数模竞赛

姓名：陈子文 学号：2010282160116模型假设假设1：假设飞机的降落是瞬间完成的，并且前一个降落不影响后面的降落（忽略机场跑道，停机位等的影响）这个假设用来简化飞机降落的动作。

假设2,：飞机完全按照已经公布的航班时间来进行降落。

假设3：忽略飞机的最早到达时间和最晚到达时间。

这个假设我们可以等求出结果了以后再验证时间是否可行。

模型XX设飞机i 的目标到达时间是M(i)，飞机i 的实际到达时间是S(i)，，飞机晚到时间是L(i)，飞机i 早（晚）到的惩罚系数是C(i)，飞机i 与飞机j 的最小时间差是Z(ij)。

不难得出S(i)= M(i)+ L(i)。

总的惩罚金额W= L(i) 10i =1∗C(i)。

而且对每个飞机i,飞机j 需要满足S i −S(j) ＞=Z(ij)。

我们需求档W 最小的时候的S(i)。

模型求解由于这个题目中的时间数据比较分散，所以可以借助一些结论进行手动计算。

结论1：惩罚系数相同时，在一种最优解中，飞机会目标到达时间的顺序依次到达。

结论2：如果2个飞机目标到达时间间隔小于飞机降落的最小间隔，则在最优解中，这2个飞机的降落间隔是等于最小时间间隔的。

这2个结论都不难证明。

忽略飞机1和飞机2（要求时间间隔长，费用少），其余飞机的到达次序为3 4 5 6 78 9 10。

我们不妨按照飞机目标到达时间进行排序列表求解：对3 4 5 6 7 8 9 10 以3为基准，以尽量满足最小间隔来得出的结果（后面为相差的时间） 98 106 123 135 143|5 151|11 159|9 180 6 7 8 9间隔为最小间隔，但是有3个晚到，集体提前会减少费用，提前但不影响整体 98 106 123 131|-4 139|1 147|7 155|5 180 5 6 7 8 9间隔为最小间隔，但是有3个晚到，集体提前会减少费用，提前但不影响整体 98 106 122|-1 130|-5 138 146|6 154|4 180这时，如5 6 7 8 9再提前，则每分钟增加30费用，我们加入1 和2，保持9以前的不变 98 106 122|-1 130|-5 138 146|6 154|4 169|14 184|4 2585 6 7 8 9 1 10间隔为最小间隔，但是有3个费用30的晚到，1个费用为10的晚到，2个费用为30的早到，1个费用为30的刚好到，集体提前4分钟会减少40费用。

2023年数维杯a题
2023年数维杯A题是关于复合式直升机的建模与优化控制问题。

主要涉及以下方面：
1. 俯仰力矩和俯仰角变化：推导俯仰力矩的表达式，基于给定参数建立俯仰角变化模型，计算5秒、10秒和20秒时的姿态角。

2. 滚转、俯仰和偏航力矩：建立滚转、俯仰和偏航力矩的表达式，建立姿态角变化模型，计算5秒、10秒和20秒时的姿态角。

3. 机动特性：设计低速和高速飞行的机动以实现平飞任务。

综上所述，这是一个需要建模、推导公式并实施计算的题目，可能涉及多种工程知识和应用技能。

如果对此类题目感兴趣，建议多学习飞行力学和控制系统相关知识。

2019年第十六届中国研究生数学建模竞赛F题多约束条件下智能飞行器航迹快速规划复杂环境下航迹快速规划是智能飞行器控制的一个重要课题。

由于系统结构限制，这类飞行器的定位系统无法对自身进行精准定位，一旦定位误差积累到一定程度可能导致任务失败。

因此，在飞行过程中对定位误差进行校正是智能飞行器航迹规划中一项重要任务。

本题目研究智能飞行器在系统定位精度限制下的航迹快速规划问题。

假设飞行器的飞行区域如图1所示，出发点为A点，目的地为B点。

其航迹约束如下：(1)飞行器在空间飞行过程中需要实时定位，其定位误差包括垂直误差和水平误差。

飞行器每飞行1m，垂直误差和水平误差将各增加个专用单位,，以下简称单位。

到达终点时垂直误差和水平误差均应小于个单位，并且为简化问题，假设当垂直误差和水平误差均小于个单位时，飞行器仍能够按照规划路径飞行。

(2)飞行器在飞行过程中需要对定位误差进行校正。

飞行区域中存在一些安全位置（称之为校正点）可用于误差校正，当飞行器到达校正点即能够根据该位置的误差校正类型进行误差校正。

校正垂直和水平误差的位置可根据地形在航迹规划前确定（如图1为某条航迹的示意图, 黄色的点为水平误差校正点，蓝色的点为垂直误差校正点，出发点为A点，目的地为B点，黑色曲线代表一条航迹）。

可校正的飞行区域分布位置依赖于地形，无统一规律。

若垂直误差、水平误差都能得到及时校正，则飞行器可以按照预定航线飞行，通过若干个校正点进行误差校正后最终到达目的地。

图1：飞行器航迹规划区域示意图(3)在出发地A点，飞行器的垂直和水平误差均为0。

(4)飞行器在垂直误差校正点进行垂直误差校正后，其垂直误差将变为0，水平误差保持不变。

(5)飞行器在水平误差校正点进行水平误差校正后，其水平误差将变为0，垂直误差保持不变。

(6)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行垂直误差校正。

(7)当飞行器的垂直误差不大于个单位，水平误差不大于个单位时才能进行水平误差校正。

飞行管理问题以各飞机调整的飞行角度平方和作为目标函数，而以每两架飞机之间的最小距离不超过8公里，各飞机飞行角度调整的值不超过30o ，为约束条件。

如此得出的是一个非线性模型。

以t 表示时间；i x 与i y 分别表示第i 架飞机的横纵坐标（问题中已经给出）；i θ表示第i 架飞机的飞行方向角（问题中已经给出）；)(t d ij 表示t 时刻第i 架飞机与第j 架飞机间的距离；v 表示飞机的飞行速度（v = 800）。

则目标函数为：∑=∆=612i if θ。

)(2t d ij = 2))cos()(cos((j j i i j i vt x x θθθθ∆+-∆++-2))sin()(sin((j j i i j i vt y y θθθθ∆+-∆++-+， 则约束条件为：=ˆij D j i j i t d ij t ≠=>≥,6,,1,,64)(min 2。

⇒=02dtdd ij =t －a b ，其中a x x y y i j i i j j i j i i j j =-+-++-+-+()(cos()cos())()(sin()sin())θθθθθθθθ∆∆∆∆，b v i i j j i i j j =+-+++-+[(cos()cos())(sin()sin())]θθθθθθθθ∆∆∆∆22。

将t 代入即可求出ij D 。

于是本问题的一个数学模型为： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠=≤∆>∆=∑=ji j i D t s f i ij i i,6,,1,6||64..min 612πθθ，引入记号：T),,(61θθθ∆∆=∆ ，Tg g g ),,(151 =（g 是由64-ij D 按j i j i ≠=,6,,1, 构成的向量，在下面的程序中计算），则模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=vub vlb g t s f θθθ0..'min （10.1）其中TTvub vlb )1,1,1,1,1,1(6,)1,1,1,1,1,1(6ππ=-=。

全国数学建模大赛是我国高校学子间的一场盛会，也是对学生数学建模能力的一次全面考验。

而在近年来，Python编程语言作为一种应用广泛的编程语言，在数学建模大赛中也展现出了其强大的应用能力。

下面，我们将逐一介绍几个在全国数学建模大赛中用Python编程取得优异成绩的经典案例。

一、航班调度优化航班调度一直是航空公司面临的重要问题之一，合理的航班调度可以最大程度地提高航空公司的运营效率和利润。

在数学建模大赛中，有学生利用Python编程对航班调度进行了优化，通过对航班起降时间、航班间隔、飞机维修等因素进行科学的建模与分析，提出了一套高效的航班调度方案，并最终获得了比赛的一等奖。

二、交通拥堵预测交通拥堵一直是城市管理中的难题，如何预测和缓解交通拥堵成为了各地政府和交通部门的重要任务。

在数学建模大赛中，有队伍利用Python编程对城市的交通流量、道路状况、车辆类型等数据进行建模，运用相关的数学模型和算法，成功地预测了未来一段时间内的交通拥堵情况，并提出了一系列有效的缓解措施，最终获得了比赛的优秀奖项。

三、疫情传播模拟近年来，新冠疫情的爆发给全球范围内带来了严重的影响，疫情传播的模拟和预测成为了疫情防控工作中的重要环节。

在数学建模大赛中，有团队利用Python编程对疫情传播进行了模拟，通过对人口流动、病毒传播途径、人裙免疫情况等因素进行综合分析，成功地建立了一套逼真的疫情传播模型，并提出了科学有效的疫情防控措施，最终斩获了比赛的金奖。

四、气象数据分析气象预测一直是气象部门和民众关注的焦点，有效地利用气象数据进行分析和预测可以对城市管理和民生产生重要影响。

在数学建模大赛中，有队伍运用Python编程对气象数据进行了深入的分析，通过对气象数据的趋势、变化规律、环境影响等方面进行科学建模和预测，取得了优异的比赛成绩，为气象预测提供了新的思路和方法。

总结可以看出，Python编程在全国数学建模大赛中发挥了重要作用，学生们利用Python编程对各种实际问题进行了深入的分析与研究，提出了一系列科学有效的解决方案，展现出了其强大的应用能力和潜力。

湖南省首届研究生数学建模竞赛题目航班计划的合理编排摘要:本文从提高飞机利用率，降低运行成本，提高航空公司经济效益等角度出发，来研究航班计划的合理编排。

我们先后建立了，相关性分析模型，0-1整数规划模型，改进的0-1整数规划，鲁棒性评价模型等模型，并运用matlab，spss等相关软件对各模型进行求解，进而对题中各问题给出了相应的解答。

针对问题1，首先对附件1中的数据进行了检查，并合理地更改了一些不合理的数据，例如对附件1中餐食费为0的数据我们进行了合理的更改（见附录附表1）。

其次，为了找到影响航班收益的主要因素，我们求出了各航线的收益，建立了相关性分析模型，并给出了附件1中各因素与航班收益的相关系数。

通过对相关系数排序，我们找出了8各主要因素（见表1）。

同时基于这8个主要因素，我们对亏损航线提出了相应的整改措施。

针对问题2，首先根据问题中的假设条件，我们将求解航空公司收益最大化问题转化为了求解飞机利用率最高的问题。

为使飞机利用率最高，我们假设每架飞机每天的最大飞行时间为17.5小时，并针对西安、天津两个独立基地以及A320、E190两种机型分别建立了4个0-1整数规划模型，并将其转化为NP-hard 问题求解。

我们利用动态规划算法，通过matlab软件求解，计算出航空公司最少需要再去租4架A320机型和2架E190机型的飞机。

同时，我们还制定了下个月的航班计划（见附录附表1），并计算出公司的最大收益为4237.1万元。

针对问题3，在问题2的基础上，我们进一步考虑了飞机累计飞行130小时就必须在维修基地停场维修24小时的条件，进而建立了改进的0-1整数规划模型。

通过对模型进行求解，我们计算出在问题2的基础上至少需要增加A320机型和E190机型的飞机各2架，同时列出了一份各飞机停场排班表（见表11-14）。

针对问题4，首先给出了评价航班计划“鲁棒性”的评判标准。

基于该评判标准，我们对问题2中制定的航班计划的“鲁棒性”进行了评价。

中国研究生创新实践系列大赛“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛学校参赛队号1.队员姓名 2.3.中国研究生创新实践系列大赛“HW杯”第十六届中国研究生数学建模竞赛题目多约束条件下智能飞行器航迹快速规划摘要：本文研究了多约束条件下智能飞行器航迹快速规划问题，这是一个多目标约束问题。

本文首先针对附件中的校正节点数据进行数据处理，构建从起点 A 到终点 B 的邻接距离网络，将航迹快速规划问题转化为0-1 多目标整数规划问题。

接着通过系统建模建立0-1 多目标整数规划模型，并通过自适应改进型Dijkstra 算法和自适应型蚁群算法，综合求解多目标规划模型，给出多约束条件下智能飞行器航迹快速规划的方案。

针对问题一，本文通过构架0-1 多目标整数规划模型，以航迹长度尽可能小和经过校正区域进行校正的次数尽可能少为目标，通过动态规划中的分阶段优化方法，给出航迹快速规划的方案。

在第一阶段利用自适应改进型Dijkstra 算法和蚁群算法得出当前满足约束条件的最优路径和最佳误差校正点。

第二阶段，在满足约束条件的基础上，应用贪婪算法在实际情况中对航行轨迹进一步优化。

针对问题一，本文求出附件一的最优航行轨迹为：起点A → 503 → 69 → 237 → 155 → 338 → 457 → 555 → 436 → 终点B，飞行器最短的航迹长度为104.9 × 103m，经过校正区域进行校正的次数为8 次；附件二的最优航行轨迹为：起点A → 163 → 114 → 8 → 309 → 305 → 123 → 45 → 160 ⟶92 → 93 ⟶61 ⟶ 292 ⟶终点B，飞行器最短的航迹长度为109.34 × 103m，经过校正区域进行校正的次数为12 次。

针对问题二，与第一问不同的是，问题二增加了飞行器在实际飞行过程中有200 米的最小转弯半径约束。

本文通过系统分析最小转弯半径约束对飞行器实际飞行路程和能否成功到达的影响，重新构建邻接距离网络和多目标规划模型。

数学建模竞赛是什么数学建模竞赛，就是在每年叶子黄的时候(南方的树叶好像一年到头都是绿的)开始的一项数学应用题比赛。

大家都做过数学应用题吧，不知道现在的教育改革了没有，如果没有大变化，大家都应该做过，比如说[树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只]，这样的问题就是一道数学应用题(应该是小学生的吧)，正确答案应该是9只，是吧？这样的题照样是数学建模题，不过答案就不重要了，重要是过程。

真正的数学建模高手应该这样回答这道题。

“树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？”“是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。

”“枪声有多大？”“80－100分贝。

”“那就是说会震的耳朵疼？”“是。

”“在这个城市里打鸟犯不犯法？”“不犯。

”“您确定那只鸟真的被打死啦？”“确定。

”“OK，树上的鸟里有没有聋子？”“没有。

”“有没有关在笼子里的？”“没有。

”“边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。

”“有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。

”“算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。

”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。

”“有没有傻的不怕死的？”“都怕死。

”“会不会一枪打死两只？”“不会。

“所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。

”“如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。

”不是开玩笑，这就是数学建模。

从不同的角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才是数学建模的高手。

然后，数学建模高手的搭挡----论文写作高手(暂称为写手吧)，会把以上的思想用最好的方式表达出来。

一般的写手会直接把以上的文字放到论文里就成了。

但是专职的数学建模论文的写手不会这样做，她们会先分析这些思想，归整好条理；然后，她们会试着用图画来深入浅出的表达这些思想，或者再使用一些表格；这些都是在Word中进行，当然，如果有不喜欢Microsoft 的朋友或是国粹主义者喜欢用WPS什么的当然也可以。

C题：无人机能源系统设计一、背景介绍无人机在各个领域的应用越来越广泛，而能源问题是制约无人机发展的关键因素之一。

为了提高无人机的续航能力和可靠性，我们需要设计一个合理的能源系统。

本次竞赛要求参赛者根据给定的无人机参数和任务要求，设计一个高效的能源系统，并说明其工作原理和关键技术。

二、问题分析根据给定的参数和任务要求，我们需要考虑以下问题：1. 无人机类型和参数：我们需要确定无人机的类型（如固定翼、多旋翼等），并了解其基本参数（如电机功率、电池容量等）。

2. 任务要求：我们需要明确任务的具体要求，如飞行时间、飞行高度、巡航速度等，并根据任务要求选择合适的电池类型和容量。

3. 能源系统关键技术：我们需要了解并掌握能源系统的关键技术，如电池管理、能量转换效率、充电方式等。

三、方案设计基于问题分析，我们提出以下方案：1. 电池类型和容量选择：根据任务要求，我们选择合适的电池类型（如锂离子电池）和容量。

考虑到无人机飞行时间和任务要求，我们选择大容量、高能量密度的电池。

2. 电池管理系统：为了保证电池的安全和使用寿命，我们采用先进的电池管理系统（BMS），实时监测电池的状态（如电压、温度等），并实现均衡充电和放电。

3. 能源转换效率：提高能源转换效率是降低无人机能耗的关键。

我们采用高效的电机和控制器，并优化动力系统的设计和参数，以提高能源转换效率。

4. 充电方式：为了方便使用和维护，我们采用无线充电或快速充电技术，缩短充电时间，提高使用便利性。

四、工作原理我们的能源系统工作原理如下：1. 无人机起飞后，通过电机驱动无人机飞行。

2. 电池管理系统实时监测电池状态，并根据需要调整充电电流和放电功率。

3. 在飞行过程中，我们通过优化动力系统的设计和参数，降低能耗，提高飞行时间。

4. 当飞行时间接近任务要求时，我们通过快速充电或无线充电技术，缩短充电时间，确保无人机能够完成任务。

五、关键技术及创新点我们的能源系统有以下关键技术：1. 先进的电池管理系统：实时监测电池状态，实现均衡充电和放电，延长电池使用寿命。

2023年五一数学建模a题【最新版】目录一、2023 年五一数学建模 A 题概述二、A 题：无人机定点投放问题1.问题背景2.建立数学模型3.考虑的因素4.解题思路三、A 题的实际应用及意义四、总结正文一、2023 年五一数学建模 A 题概述2023 年五一数学建模竞赛即将来临，这是一场考验参赛者智慧、勇气和合作精神的比赛。

本次竞赛共设有三道题目，分别为 A 题、B 题和 C 题，难度和开放度各不相同。

本文将重点关注 A 题：无人机定点投放问题，为参赛者提供一些思路和方法。

二、A 题：无人机定点投放问题1.问题背景无人机定点投放问题属于传统物理类建模竞赛题目，主要涉及到数据获取和资料搜集的关键问题。

在现实生活中，无人机在执行空中物资投放和爆破任务时，需要准确地控制投放位置，以保证物资能够准确地送达目标地点。

因此，建立一个合适的数学模型来描述这一过程十分重要。

2.建立数学模型为了解决无人机定点投放问题，我们需要建立一个描述无人机飞行、投放物资以及物资落地过程的数学模型。

首先，我们可以将无人机的质量、球形物资的质量、无人机飞行速度、空气阻力系数等因素纳入模型。

然后，通过运用物理学中的运动学和动力学知识，可以得到无人机投放距离与上述因素之间的关系。

3.考虑的因素在建立数学模型时，我们需要考虑以下因素：(1) 无人机质量：无人机质量会影响其飞行速度和稳定性。

(2) 球形物资质量：物资质量会影响投放时的惯性力和空气阻力。

(3) 无人机飞行速度：飞行速度会影响投放物资的初速度和落地速度。

(4) 空气阻力系数：空气阻力会影响无人机的飞行速度和投放物资的落地速度。

(5) 投放高度：投放高度会影响投放物资的落地速度和落地点。

4.解题思路(1) 确定物理模型：根据问题描述，确定合适的物理模型，例如自由落体运动和抛物线运动。

(2) 建立数学模型：根据物理模型，建立描述无人机飞行、投放物资以及物资落地过程的数学模型。

(3) 求解方程：根据数学模型，求解方程，得到无人机投放距离与上述因素之间的关系。

对于航空公司航班调度问题的数学建模分析航空公司航班调度问题是一项复杂且关键的任务，直接影响旅客的出行体验和航空公司的运营效率。

为了有效解决这一问题，我们可以运用数学建模分析，从多个不同的角度出发，优化航班调度策略。

首先，我们可以使用图论来建立航班网络模型，将不同的机场和航班连接起来。

每个机场可以表示为图中的节点，而航班则可以表示为节点之间的边。

通过构建这样的模型，我们可以计算不同机场之间的最短路径，以便为航班提供最优的路线选择。

然后，我们可以运用线性规划来确定航班的安排和分配。

我们可以将航班调度问题转化为数学优化问题，以最大化航空公司的收益或最小化旅客的等待时间。

通过定义准确的约束条件，包括每个航班的起飞与降落时间、乘客的航班转机需求等等，可以利用线性规划算法求解最优调度方案。

此外，我们还可以利用排队论来分析和优化航班的出发和降落过程。

排队论是一种研究排队系统的数学方法，可以帮助我们分析航班出发和降落的时间间隔，以减少航班之间的冲突和延误。

通过合理安排航班的进出顺序和间隔时间，可以降低旅客的等待时间，并提高航空公司的运行效率。

另外，航班调度问题还可以运用模拟方法来进行分析和优化。

我们可以建立航班调度的模拟模型，模拟不同调度策略下的航班运行情况，并评估其对航空公司和旅客的影响。

通过模拟实验，可以找到最佳的调度方案，并预测其在真实环境中的表现。

最后，为了提高航空公司航班调度的效率和准确性，我们可以利用数据挖掘和机器学习技术来分析大量的历史数据，并构建预测模型。

这些预测模型可以帮助我们预测航班的需求、人员配置和天气等因素，从而为航班调度提供更准确的参考信息。

综上所述，航空公司航班调度问题的数学建模分析可以从多个角度出发，包括图论、线性规划、排队论、模拟方法和数据挖掘等。

通过运用这些方法，可以优化航班的路线选择、安排和分配，提高航空公司的运营效率，提升旅客的出行体验。

飞行管理摘要本文主要研究了避免飞机撞击的飞行管理问题。

在边长为160km 的正方形区域内，为了保证欲进入该区域的飞机避免碰撞，对刚进入该区域的飞机记录其数据，然后立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。

若发生碰撞，则做出调整。

本文对避免碰撞的飞行管理有一定的意义。

避免碰撞的飞行管理是一个在一定约束条件下的最优化问题，但是约束条件是非线性的，难以化为线性规划问题。

由此本文将其转化为求极值，引用惩罚函数将该问题化为无约束极值问题求解。

通过步长加速法求极值，得到一个局部最优解。

本文运用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，确定出相对速度和相对位置，求出相撞的三种可能。

建立相对运动模型，确定每个可调的方向角，使它在不违反判据cos 82r αβθ+⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭所规定的限制下实现子目标。

本文运用惩罚函数法将非线性规划问题转化为无约束极值问题求解。

进而运用步长加速法求极值，由于步长加速法求出的是局部最优解，为了尽量求出全局最优解，本文选用几组不同的初值代入，求出极小值，再从中选出最优者。

取刚进入的飞机左偏1度为初始值，得出一个解为第三架飞机左偏约2.68度，第六架飞机左偏约0.94度，总改变角为约3.629693度。

即各机新方向角为243度，236度，223.18度，159度，230度，52.94度。

关键词 非线性规划 相对运动 步长加速法 飞行管理一、问题重述在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。

区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。

当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。

如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角。

以避免碰撞。

现假定条件如下：1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里。

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度。

飞行管理问题摘要让飞机在某正方形区域内安全飞行，便于进行飞行管理，所以在飞机飞行过程中，要适当调整各架飞机的方向角（调整幅度尽量小），以避免发生碰撞。

本文通过对两两飞机飞行过程最小临界距离大于8km为入手点，以t时刻后飞机所处状态为研究对象。

通过点的向量平移，找出临界距离（8km）视为界点，再通过两点距离公式列出一元二次不等式，转化为一元二次方程根的情况，判断t的取值。

当∆＜0时，说明方程无实数解，即该两飞机不会碰撞。

当∆≥0时，说明方程有实数解，且可以求出对应的t值，看t是否在规定区域范围内（0≤t≤0.283h）。

若t不在范围内，说明两飞机在规定区域不会发生碰撞，而在区域范围外会发生碰撞（不在我们考虑范围内）若t在所规定范围，说明两飞机会在区域范围内发生碰撞，此时应调整各架飞机的方向角。

方向角的调整虽然在30o内有足够空间（相应的可行解就很多），但又要求所调整的幅度尽可能小（就要求我们求出相应的最优解），故当调整一架飞机方向角后，应该对应判断该飞机与其余各飞机是否会发生碰撞。

最后，我们对模型的优缺点和改进方向作了分析。

关键词向量平移最短临界距离方向角调整幅度一、问题重述（略）二、模型假设：（1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8km（2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30o（3）所有飞机飞行速度均为每小时800km（4）进入该区域的飞机在到达该区域边缘时，与区域内的距离应在60km以上（5）最多需要考虑6架飞机（6）不必考虑飞机离开此区域后的状况（7）飞机调整方向角后，不受偏转弧度的影响（8）每架飞机在调整角度后都沿调整后的方向角飞出区域外（9）新进入的飞机在进入区域的瞬间，不考虑计算机记录时的时间间隔飞机所飞行的距离（即该时间间隔忽略不计）（10）每架飞机都视为质点三、符号说明：i,=1,2,3,4,5,6）ji,表示飞机编号（jx表示第i架飞机所处位置的横坐标iy表示第j架飞机所处位置的纵坐标iθ表示第i架飞机的初始方向角iθ∆表示第i架飞机所调整的方向角it表示各架飞机飞行过程达到最短临界距离所用时间S表示t时刻后第i架飞机与第j架飞机的距离（i≠j）ijA表示第i架飞机初始记录的点的坐标iB表示第i架飞机经t时刻后的点的坐标ia表示第Ai点经过t时刻后所平移的向量i四、模型建立与求解由假设（1），我们简单分析两架飞机的情形，最终直接运用于多架飞机的情形，题目要求飞机间两两不碰撞。

综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程。

(2)用多种方法可以证明n 支球队“各队每两场比赛最小相隔场次r 的上界”(如n =5时上界为1)是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ，如: 设赛程中某场比赛是i ，j 两队， i 队参加的下一场比赛是i ，k 两队(k ≠j )，要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ，则上述两场比赛之间必须有除i ，j ，k以外的2r 支球队参赛，于是32+≥r n ，注意到r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r 。

(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的，即对任意的n 编排出达到该上界的赛程。

如对于n =8， n =9可以得到:可以看到，n =8时每两场比赛相隔场次数只有2，3，4，n =9时每两场比赛相隔场次数只有3，4，以上结果可以推广，即n 为偶数时每两场比赛相隔场次数只有22-n ，12-n ，2n ，n 为奇数时只有23-n ，21-n 。

(4)衡量赛程优劣的其他指标如平均相隔场次 记第i 队第j 个间隔场次数为ij c ，2,2,1,,,2,1-==n j n i ，则平均相隔场次为∑∑=-=-=n i n j ij c n n r 121)2(1 r 是赛程整体意义下的指标，它越大越好。

可以计算n =8，n =9的r ，并讨论它是否达到上界。

相隔场次的最大偏差 定义||,r c M a x f ij j i -=∑-=--=21|)2(|n j ij r n c Max gf 为整个赛程相隔场次的最大偏差，g 为球队之间相隔场次的最大偏差，它们都是越小越好。

可以计算n =8，n =9的f ，g ，并讨论它是否达到上界。

参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ，可以认为α和β无关， ()()βαβαh g f -=),(，g ，h 取尽量简单的形式，如αα=)(g ;0)(=βh (030≤β)，0)(h h =β)30(0>β。

一、历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A 非线性交调的频率设计拟合、规划93B 足球队排名图论、层次分析、整数规划94A 逢山开路图论、插值、动态规划94B 锁具装箱问题图论、组合数学95A 飞行管理问题非线性规划、线性规划95B 天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A 最优捕鱼策略微分方程、优化96B 节水洗衣机非线性规划97A 零件的参数设计非线性规划97B 截断切割的最优排列随机模拟、图论98A 一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B 灾情巡视的最灾情巡视的最佳佳路线图论、组合优化99A 自动化车动化车床床管理随机优化、计随机优化、计算算机模拟99B 钻井布局0-1规划、图论00A DNA 序列分类模式识别式识别、、Fisher 判别判别、、人工神经网络00B 钢管订购和运输组合优化、组合优化、运输运输运输问题问题01A 血管三维重建曲线拟合、线拟合、曲面重建曲面重建01B 工交车调度问题多目标规划02A 车灯线光源光源的优化的优化非线性规划02B 彩票彩票问题问题问题 单目标目标决决策 03A SARS 的传播传播 微分方程、微分方程、差差分方程分方程03B 露天矿生产矿生产的车的车的车辆安辆安辆安排排 整数规划、整数规划、运输运输运输问题问题问题 04A 奥运会临时超市网点奥运会临时超市网点设计设计设计 统计分析、数计分析、数据处据处据处理、优化理、优化理、优化 04B 电力市场电力市场的的输电阻塞输电阻塞管理管理管理 数据拟合、优化拟合、优化 05A 长江长江水水质的评价和预测评价和预测 预测评价预测评价、数、数、数据处据处据处理理 05B DVD 在线租赁租赁 随机规划、整数规划随机规划、整数规划二、赛题发展的特点1.对选手对选手的计的计的计算算机能力提出了更高能力提出了更高的的要求：要求：赛题的解赛题的解赛题的解决依赖决依赖决依赖计计算机，题目的数题目的数据较据较据较多多，手工，手工计计算不能完成，如03B ，某些，某些问题问题问题需要需要需要使用使用使用计计算机软件，01A 。

飞行管理问题数学建模
飞行管理是指对航空公司、机场、空管等多个方面的飞行运营进行协调和管理，以确保航班的安全、高效运行。

数学建模可以在飞行管理中发挥重要的作用，帮助优化飞行计划、航班调度、飞行路径等，以提高运营效益和减少成本。

下面列举一些可能的数学建模问题，涉及飞行管理的不同方面：
1. 航班调度优化：如何合理安排航班的起降时间，以最大程度地减少延误和拥堵，并确保航班之间的连接性？
2. 航班路径规划：如何确定最优的飞行路线，以减少飞行距离、节省燃料消耗，并考虑天气和空中交通的影响？
3. 机场地面运行优化：如何合理安排航班在机场的停机位、登机口，以最小化转场时间和提高旅客舒适度？
4. 航空器资源分配：如何合理分配航空器的使用，以满足不同航班需求，最大化利用飞机资源，减少空闲时间？
5. 空中交通流量管理：如何预测和调度空中交通，以减少航班之间的冲突，提高飞行安全和效率？
6. 航空公司运营成本优化：如何制定最佳的运营策略，以降低航空公司的运营成本、提高盈利能力？
针对以上问题，可以使用数学建模方法，包括线性规划、整数规划、动态规划、图论等，来建立相应的数学模型，并借助求解算法进行分析和优化。

同时，在实际建模过程中，还需要考虑到各种约束条件和实际操作的复杂性，确保建立的模型具有实际可行性和有效性。

数学建模知识——之参考资料一、数学建模竞赛中应当掌握的十类算法1．蒙特卡罗算法该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。

2．数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

3．线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现。

4．图论算法这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。

5．动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。

6．最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。

7．网格算法和穷举法网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。

8．一些连续离散化方法很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。

9．数值分析算法如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

10．图象处理算法赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。

二、数学软件的主要分类有哪些？各有什么特点？数学软件从功能上分类可以分为通用数学软件包和专业数学软件包，通用数学包功能比较完备，包括各种数学、数值计算、丰富的数学函数、特殊函数、绘图函数、用户图形届面交互功能，与其他软件和语言的接口及庞大的外挂函数库机制（工具箱）。