【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)： 课时分层训练14 导数与

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 课时分层训练(十四) 导数与函数的单调性

A组 基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为( )

A．(－1,1) B．(0,1)

C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)

B [y＝12x2－ln x，y′＝x－1x＝x2－1x

＝x－x＋x(x＞0)．

令y′＜0，得0＜x＜1，∴单调递减区间为(0,1)．]

2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图2­11­3所示，则下列叙述正确的是(

)

图2­11­3

A．f(b)＞f(c)＞f(d)

B．f(b)＞f(a)＞f(e)

C．f(c)＞f(b)＞f(a)

D．f(c)＞f(e)＞f(d)

C [依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增加的，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．]

3．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为( )

A．(－∞，2) B．(－∞，2]

C.－∞，52 D.－∞，52

D [∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，

当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，

即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋1x恒成立． 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 令g(x)＝x＋1x，g′(x)＝1－1x2，

∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，

∴m≤2＋12＝52，故选D.]

4．(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是( )

A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2

C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x

A [若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．

对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．

经验证，选项B，C，D均不符合题意．

故选A．]

5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( ) 【导学号：00090066】

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

B [由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上是增加的，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.]

二、填空题

6．函数f(x)＝ln xx的单调递增区间是________．

(0，e) [由f′(x)＝ln xx′＝1－ln xx2＞0(x＞0)，

可得 1－ln x＞0，x＞0，解得x∈(0，e)．]

7．若函数y＝ax＋sin x在R上是增加的，则a的最小值为________．

1 [函数y＝ax＋sin x在R上单调递增等价于y′＝a＋cos x≥0在R上恒成立，即a≥－cos x在R上恒成立，因为－1≤－cos x≤1，所以a≥1，即a的最小值为1.]

8．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________． 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 －1，12 [因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－1e－x

＝－x3＋2x－ex＋1ex＝－f(x)，

所以f(x)＝x3－2x＋ex－1ex是奇函数．

因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，

所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．

因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2ex·e－x＝3x2≥0，

所以f(x)在R上是增加的，

所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，

所以－1≤a≤12.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ln x＋kex(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间. 【导学号：00090067】

[解] (1)由题意得f′(x)＝1x－ln x－kex，

又f′(1)＝1－ke＝0，故k＝1. 5分

(2)由(1)知，f′(x)＝1x－ln x－1ex.

设h(x)＝1x－ln x－1(x＞0)，

则h′(x)＝－1x2－1x＜0，

即h(x)在(0，＋∞)上是减少的. 8分

由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；

当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，

单调递减区间是(1，＋∞). 12分

10．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－43处取得极值． 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 (1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．

[解] (1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 2分

因为f(x)在x＝－43处取得极值，

所以f′－43＝0，

即3a·169＋2·－43＝16a3－83＝0，

解得a＝12. 5分

(2)由(1)得g(x)＝12x3＋x2ex，

故g′(x)＝32x2＋2xex＋12x3＋x2ex

＝12x3＋52x2＋2xex

＝12x(x＋1)(x＋4)ex. 8分

令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.

当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；

当－40，故g(x)为增函数；

当－1

当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．

综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数. 12分

B组 能力提升

(建议用时：15分钟)

1．(2018·江淮十校联考)设函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是( )

A．1＜a≤2 B．a≥4

C．a≤2 D．0＜a≤3

A [易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－9x，由f′(x)＝x－9x＜0，解得0＜x＜3.因为函数f(x)＝12x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上是减少的，所以 a－1＞0，a＋1≤3，小初高试卷教案类

K12小学初中高中 解得1＜a≤2，选A]

2．(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．

【导学号：00090068】

(－2,0)∪(2，＋∞) [令g(x)＝fxx，则g′(x)＝xfx－fxx2＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝f－x－x＝－fx－x＝fxx＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔ x＞0，gx＞0或 x＜0，gx＜0，解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]

3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax＋b.

(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；

(2)若φ(x)＝mx－x＋1－f(x)在[1，＋∞)上是减少的，求实数m的取值范围．

[解] (1)由已知得f′(x)＝1x，∴f′(1)＝1＝12a，a＝2.

又∵g(1)＝0＝12a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. 5分

(2)∵φ(x)＝mx－x＋1－f(x)＝mx－x＋1－ln x在[1，＋∞)上是减少的，

∴φ′(x)＝－x2＋m－x－1xx＋2≤0在[1，＋∞)上恒成立，

即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，

则2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞). 9分

∵x＋1x∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.

故实数m的取值范围是(－∞，2]. 12分