【配套K12】2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 第3章 三角函数、解三角

小初高试卷教案类

K12小学初中高中 第三节 三角函数的图像与性质

[考纲传真] (教师用书独具)1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间－π2，π2内的单调性．

(对应学生用书第51页)

[基础知识填充]

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图像

定义域 R R 错误!

值域 [－1,1] [－1,1] R

单调性 递增区间：错误!，k∈Z，递减区间：错误!，k∈Z 递增区间：

[2kπ－π，2kπ]，

k∈Z，

递减区间：

[2kπ，2kπ＋π]，

k∈Z 递增区间

kπ－π2，kπ＋π2，

k∈Z

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

对称性 对称中心(kπ，0)，k∈Z 对称中心kπ＋π2，0，k∈Z 对称中心kπ2，0，k∈Z 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z)

周期性 2π 2π π

[知识拓展] 1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π2＋kπ(k∈Z)；

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

2．f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．

(1)f(x)为奇函数的充要条件：φ＝kπ＋π2，k∈Z.

(2)f(x)为偶函数的充要条件：φ＝kπ，k∈Z.

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．( )

(2)函数y＝sin x的图像关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．( )

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )

(5)y＝sin |x|是偶函数．( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期为( )

A．4π B．2π

C．π D．π2

C [函数f(x)＝sin2x＋π3的最小正周期T＝2π2＝π.故选C．]

3．函数y＝tan 2x的定义域是( )

A．x x≠kπ＋π4，k∈Z

B．x x≠kπ2＋π8，k∈Z

C．x x≠kπ＋π8，k∈Z

D．x x≠kπ2＋π4，k∈Z 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 D [由2x≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ2＋π4，k∈Z，

所以y＝tan 2x的定义域为x x≠kπ2＋π4，k∈Z.]

4．函数y＝sin12x＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是( )

A．－2π，－5π3 B．－2π，－5π3和π3，2π

C．－5π3，π3 D．π3，2π

C [令z＝12x＋π3，函数y＝sin z的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，由2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是－5π3，π3，故选C．]

5．(教材改编)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．

－22 [由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，

所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.]

(对应学生用书第52页)

三角函数的定义域与值域

(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝cos 2x＋6cosπ2－x的最大值为( )

A．4 B．5

C．6

D．7

(2)函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为________．

(1)B (2)x|2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z [(1)∵f(x)＝cos 2x＋6cosπ2－x＝cos 2x小初高试卷教案类

K12小学初中高中 ＋6sin x

＝1－2sin2x＋6sin x＝－2sin x－322＋112，

又sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，f(x)取得最大值5.故选B．

(2)要使函数有意义，则有

 sin x＞0，cos x－12≥0，即 sin x＞0，cos x≥12，

解得 2kπ＜x＜π＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，

∴2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.

∴函数的定义域为

x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.]

[规律方法] 1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式组，常借助三角函数线或三角函数图像来求解.

2.求三角函数最值或值域的常用方法

直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.

化一法：把所给三角函数化为y＝Aωx＋φ＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.

换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解.

[跟踪训练] (1)已知函数y＝2cos x的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则b－a的值是( )

A．2 B．3 C．3＋2 D．2－3

(2)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x，x∈[0，π]的值域为________．

(1)B (2)[－1,1] [(1)∵x∈π3，π，∴cos x∈－1，12，∴y＝2cos x的值域为[－2,1]，

∴b－a＝3.

(2)设t＝sin x－cos x， 小初高试卷教案类

K12小学初中高中 则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

即sin xcos x＝1－t22，且－1≤t≤2.

∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－1时，ymin＝－1.

∴函数的值域为[－1,1]．]

三角函数的单调性

(1)函数f(x)＝sin－2x＋π3的单调减区间为________.

【导学号：79140111】

(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π2上单调递减，则ω＝________.

(1)kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z) (2)32 [(1)由已知函数为y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin2x－π3的单调增区间即可．

由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，

得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.

故所求函数的单调减区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．

(2)∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，

∴当0≤ωx≤π2，即0≤x≤π2ω时，y＝sin ωx是增函数；

当π2≤ωx≤3π2，即π2ω≤x≤3π2ω时，y＝sin ωx是减函数．

由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在0，π3上单调递增，

在π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.]

[规律方法] 1.求三角函数单调区间的两种方法

代换法：求形如y＝Aωx＋φω＞的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一小初高试卷教案类

K12小学初中高中 个整体，通过解不等式求解.若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错.

图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间.

2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

[跟踪训练] (1)函数y＝|tan x|在－π2，3π2上的单调减区间为________.

【导学号：79140112】

(2)已知函数f(x)＝sin2x＋π6＋cos 2x，则f(x)的一个单调递减区间是(

)

A．π12，7π12 B．－5π12，π12

C．－π3，2π3 D．－π6，5π6

(1)－π2，0和π2，π (2)A [(1)如图，观察图像可知，y＝|tan x|在－π2，3π2上的单调减区间为－π2，0和π2，π.

(2)由题意得f(x)＝sin2x＋π6＋cos 2x＝32sin 2x＋12cos 2x＋cos 2x＝3sin2x＋π3，由π2＋2kπ≤2x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π12＋kπ≤x≤7π12＋kπ，k∈Z，令k＝0，得函数y＝f(x)的一个单调递减区间为π12，7π12，故选A．]

三角函数的奇偶性、周期性、对称性

◎角度1 三角函数的奇偶性与周期性

(1)在函数：①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos2x＋π6；④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为( )

A．②④ B．①③④

C．①②③ D．①③

(2)函数y＝1－2sin2x－3π4是( )