2019学年高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理学案北师大版选修1_2
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11.1 归纳推理
学习目标1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理
在数学发展中的作用．
知识点归纳推理
思考(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；
(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
以上属于什么推理？
答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事
物的全部对象都具有这些特征的推理．
梳理归纳推理的定义及特征
定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个
事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理
特征(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．
(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的
1．归纳推理得到的结论可作为定理应用．( ×)
2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)
3．由归纳推理得出的结论一定是正确的．( ×)
类型一归纳推理在数与式中的应用
例1 (1)观察下列等式：
1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22
×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23
×1×3×5，
2…
照此规律，第n个等式可为_______________________________________________．
(2)已知f(x)＝x
1－x，设f
1(x)＝f(x)，f
n(x)＝f
n
－1(f
n
－1(x))(n>1，且n∈N
＋)，则f
3(x)的表
达式为________，猜想f
n(x
)(n
∈N
＋)的表达式为________．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数对(组)中的应用
答案(1)(n
＋1)(n
＋2)…（n
＋n
)＝2n
×1×3×…×(2n
－1) (2)f
3(x
)＝x
1－4xf
n(x
)＝
x
1－2n－1
x
解析(1)观察规律可知，左边为n
项的积，最小项和最大项依次为(n
＋1)，(n
＋n
)，右边为
连续奇数之积乘以2n
，则第n个等式为(n＋1)(n＋2)…（n＋n)＝2n
×1×3×…×(2n－1)．
(2)∵f(x)＝x
1－x，∴f
1(x)＝x
1－x.
又∵f
n(x
)＝f
n
－1(f
n
－1(x
))，
∴f
2(x)＝f
1(f
1(x))＝x
1－x
1－x
1－x＝x
1－2x，
f
3(x
)＝f
2(f
2(x
))＝x
1－2x
1－2×x
1－2x＝x
1－4x，
f
4(x
)＝f
3(f
3(x
))＝x
1－4x
1－4×x
1－4x＝x
1－8x，
f
5(x
)＝f
4(f
4(x
))＝x
1－8x
1－8×x
1－8x＝x
1－16x，
∴根据前几项可以猜想f
n(x
)＝x
1－2n
－1
x.
引申探究
在本例(2)中，若把“f
n(x
)＝f
n－1(f
n－1(x
))”改为“f
n(x
)＝f
(f
n－1(x
))”，其他条件不变，试
猜想f
n(x
) (n
∈N
＋)的表达式．
解∵f
(x
)＝x
1－x，∴f
1(x
)＝x
1－x.
3又∵f
n(x
)＝f
(f
n－1(x
))，
∴f
2(x)＝f(f
1(x))＝x
1－x
1－x
1－x＝x
1－2x，
f
3(x
)＝f
(f
2(x
))＝x
1－2x
1－x
1－2x＝x
1－3x，
f
4(x)＝f(f
3(x))＝x
1－3x
1－x
1－3x＝x
1－4x.
因此，可以猜想f
n(x
)＝x
1－nx.
反思与感悟已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；
(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征；
(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；
(4)运用归纳推理得出一般结论．
跟踪训练1 已知：1>1
2；1＋1
2＋1
3>1；1＋1
2＋1
3＋1
4＋1
5＋1
6＋1
7>3
2；1＋1
2＋1
3＋…＋1
15>2；…．
根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数对(组)中的应用
解1＝21
－1,3＝22
－1,7＝23
－1,15＝24
－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n
－1，
而不等式右端依次分别为1
2，2
2，3
2，4
2，…，n
2.
归纳得一般性结论：1＋1
2＋1
3＋…＋1
2n
－1>n
2(n∈N
＋)．
类型二归纳推理在数列中的应用
例2 已知数列{a
n}中，a
1＝1，且a
n＋1＝a
n
1＋a
n(n
＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公
式．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数列中的应用
解当n
＝1时，a
1＝1，
4当n
＝2时，a
2＝1
1＋1＝1
2，
当n＝3时，a
3＝1
2
1＋1
2＝1
3，
当n
＝4时，a
4＝1
3
1＋1
3＝1
4，
…，
归纳得数列{a
n}的通项公式为a
n＝1
n(n＝1,2,3，…)．
反思与感悟用归纳推理解决数列问题的方法
在求数列的通项和前n
项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注
意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．
跟踪训练2 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，则运用归纳推理得到第11
行第2个数(从左往右数)为( )
1
1
1
21
2
1
31
61
3
1
41
121
121
4
1
51
201
301
201
5
……
A.1
90B.1
110C.1
132D.1
11
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在数阵(表)中的应用
答案B
解析由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为1
10，
第11行的第一个数为1
11，第11行的第2个数为1
10－1
11＝1
110.
5类型三归纳推理在图形中的应用
例3 如图(1)是一个水平摆放的小正方体木块，图(2)，图(3)是由(1)中的小正方体木块叠
放而成的．按照这样的规律摆放下去，第7个图形中，小正方体木块的总个数是________．
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在图形中的应用
答案91
解析记第n
个图形中木块的总数为a
n，观察前三个图形中的木块数可知，a
1＝1，a
2＝1＋
(1＋4)＝1＋5＝6，a
3＝1＋5＋(5＋4)＝1＋5＋9＝15，按照题中的规律放下去，可知，第7
个图形中小木块的总个数为1＋5＋9＋…＋25＝91.
反思与感悟归纳推理在图形中的应用策略
跟踪训练3 如图，在所给的四个选项中，能使两组图呈现一定的规律性的为( )
考点归纳推理的应用
题点归纳推理在图形中的应用
答案A
解析观察第一组中的三个图，可知每一个黑色方块都从右向左循环移动，每次向左移动一
格，由第二组的前两个图，可知整体图形再次向左移动一格，第三个图，左边没有格的情况
下，应从最右边出现，故选A.
