初中数学完全平方公式题型总结

1 / 4 完全平方公式典型题型

一、公式及其变形

1、 完全平方公式：222()+2abaabb （1）222()2abaabb （2）

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

222)()]([)(bababa 222)()]([)(bababa

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2、公式变形 (1)+（2）得:2222()()2ababab

(12)）（得: 22()()4ababab

abbaabbaba2)(2)(2222，abbaba4)()(22

3、三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(2222

二、题型

题型一、完全平方公式的应用

例1、计算（1）（－21ab2－32c）2； （2）（x－3y－2）（x＋3y－2）；

练习1、(1)（x－2y）（x2－4y2）（x＋2y）；（2）、（a－2b＋3c－1）（a＋2b－3c－1）；

题型二、配完全平方式

1、若kxx22是完全平方式，则k =

2、.若x2－7xy+M是一个完全平方式，那么M是

3、如果4a2－N·ab＋81b2是一个完全平方式，则N=

4、如果224925ykxyx是一个完全平方式，那么k=

题型三、公式的逆用

1．（2x－______）2＝____－4xy＋y2． 2．（3m2＋_______）2＝_______＋12m2n＋________． 2 / 4 3．x2－xy＋________＝（x－______）2． 4．49a2－________＋81b2＝（________＋9b）2．

完全平方公式的变形与应用提高培优

完全平方公式222222()2,()2abaabbabaabb在使用时常作如下变

形：

(1) 222222()2,()2abababababab

(2) 2222()()4,()()4abababababab

(3) 2222()()2()ababab

(4) 22221[()()]2ababab

(5) 221[()()]2ababab

(6) 2222221[()()()]2abcabbccaabbcca

例1 已知长方形的周长为40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形

面积之和是多少？

解设长方形的长为α，宽为b，则α+b=20，αb=75.

由公式(1)，有：

α2+b2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250.

(答略，下同) 例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方

形面积.

解设长方形长为α，宽为b，则α-b=4，αb=12.

由公式(2)，有：

(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为

两个整数的平方和.

证明设整数为x，则x=α2+b2(α、b都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α2+b2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4 将长为64cm的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形

面积之和最小？

解设绳被分成的两部分为x、y，则x+y=64.

设两正方形的面积之和为S，则由公式(4)，有：

S=(x4)2+(y4)2=116(x2+y2)

=132[(x+y)2+(x-y)2]

=132[642+(x-y)2].

∵(x-y)2≥０，

∴当x=y即(x-y)2=0时，S最小，其最小值为64232=128(cm2).

例5 已知两数的和为10，平方和为52，求这两数的积.

解设这两数分别为α、b，则α+b=10，α2+b2=52. 由公式(5)，有：

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初中数学 完全平方公式（学案）

一、学习目标

1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算

2．了解完全平方公式的几何背景

二、学习重点：会用完全平方公式进行运算

三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算

四、学习设计

（一）预习准备

（1）预习书p47-49

（2）思考：和的平方等于平方的和吗？

（3）预习作业：

（1）(32)(32)abab （2）(32)(32)abab＝

（3）2(1)(1)(1)ppp （4）2(2)m

（5）2(1)(1)(1)ppp （6）2(2)m

（7）2()ab （8）2()ab

（二）学习过程

观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而221,422ppmm，恰好是两个数乘积的二倍．（3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用．

因此我们得到完全平方公式：

两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍．

公式表示为：2()ab 2()ab

口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减）

例1．应用完全平方公式计算：

（1）2(4)mn （2）21()2y （3）2()ab （4）2(2)xy

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变式训练1：

1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正：

（1）22(21)221aaa （2）22(21)41aa

（3）22(1)21aaa

完全平方公式

尊敬的各位评委老师大家好，我是3号考生，今天我是讲的题目是完全平方公式。下面开始我的试讲。

同学们上课，请坐。同学们，上一节课我们已经学习了平方差的公式，哪位同学来回顾一下。穿蓝色衣服的这位同学你来说。嗯，他说平方差公式是a加b的和乘a减b的差等于a的平方减去b的平方。正确，看来同学们已经掌握了平方差公式这一知识点。这节课我们就来继续研究探讨另一个同等重要的，而且应用也极其广泛的公式——完全平方公式。

在正式探究之前呢，大家先计算一下下列多项式的积，然后说一说你发现了什么规律。大家好了吗？好，时间到。哪位同学来说一说你们的计算结果分别是什么？来，这里靠窗这位同学你来说。嗯，他说呀第一题等于p2+2p+1，那接着后面，等于m2+4m+4,接着,等于p2-2p+1。第四题等于，好，大家一起说，回答非常准确。那现在请同学们认真观察，我们看一看他们之间有什么样的规律呢，同桌俩小声交流一下。好，我看看有个同学举手啦，来举手最高这位同学你来说一说。他说呀观察以上的算式，第一和第二题是同种类型，都是求两项和的平方；第三和第四题就是另外一种类型，都是求两项差的平方，概括的非常全面。还有谁要补充一下呢？来同桌你来说。他说这四个式子结果都是3项，一二题是和之中的两项的平方的和再加上它们积的两倍，而34题是两个数的差，也就是说差之中的两项的平方的和再减去它们积的两倍。

好，现在呀老师把上面的题要换上一些字母了，大家认真的观察。好，我要将P和m分别换成是a，还有数字1和2换成b，也就是说我们此时题目变成了什么呢，（a+b）2和的平方，然后又变成了（a-b）2差的平方。那你们说结果会怎么样呢？好。请同学们快速动手计算一下结果。好，第三排的男生，你来说结果是什么？他说呀利用多项式相乘，（a+b）2整理后，结果是a2+2ab+b2。（a-b）2整理后，结果是a2-2ab+b2好，你说的慢一点，老师写在黑板上。好，这也就是得到了这两个式子。那么同学们请思考一下，这两个式子有没有什么规律呢？就是a+b和的平方，等于a2加上2ab加上b2。a减b差的平方是等于……那我们能否用文字语言来说一说，也就是说两个数的和的平方等于它们的平方和加上它们积的二倍，那两个数的差的平方就等于他们的平方的和再减去它们积的二倍。我们这里有一个小的口诀来帮助大家来记忆：首平方，尾平方，首尾乘积2倍放中央，符号同前方。其实完全平方公式是多项式乘法（a+b）(p+q)中p=a,q=b的特殊形式。所以呢，尽管老师把探究中的字母和数字都变换了，同学们还是能够写出完全平方公式的。