导数的概念及其意义、导数的运算

§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 学习目标

了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.

2.通过函数图象，理解导数的几何意义.

3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． 知识梳理

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或0'|xxy.

f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)函数y＝f(x)的导函数

f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)．

5．复合函数的定义及其导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

常用结论

1．区分在点处的切线与过点处的切线

(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．

(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．

2.1fx′＝－f′x[fx]2(f(x)≠0)．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( × )

(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )

(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )

(4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x)．( × )

教材改编题

1．函数f(x)＝ex＋1x在x＝1处的切线方程为________．

答案 y＝(e－1)x＋2

解析 f′(x)＝ex－1x2，

∴f′(1)＝e－1，

又f(1)＝e＋1，

∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，

即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，

即y＝(e－1)x＋2.

2．已知函数f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.

答案 －1e 解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，

∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－1e.

3．若f(x)＝ln(1－x)＋e1－x，则f′(x)＝________. 答案 1x－1－e1－x

题型一 导数的运算

例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( )

A.1ln x′＝－1xln2x

B．(x2ex)′＝2x＋ex

C.cos2x－π3′＝－sin2x－π3

D.x－1x′＝1＋1x2

答案 AD

解析 1ln x′＝－1ln2x·(ln x)′＝－1xln2x，

故A正确；

(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；

cos2x－π3′＝－2sin2x－π3，故C错误；

x－1x′＝1＋1x2，故D正确．

(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′π3sin x，则f π6＝________.

答案 π236＋2π3

解析 f′(x)＝2x＋f′π3cos x，

∴f′π3＝2π3＋12f′π3，

∴f′π3＝4π3，

∴f π6＝π236＋2π3.

教师备选

1．函数y＝sin 2x－cos 2x的导数y′等于( ) A．22cos2x－π4

B．cos 2x＋sin x

C．cos 2x－sin 2x

D．22cos2x＋π4

答案 A

解析 y′＝2cos 2x＋2sin 2x

＝22cos2x－π4.

2．(2022·济南模拟)已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )

A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021

C.e2 D．e

答案 B

解析 因为f′(x)＝exsin x＋excos x，

所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，

所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.

思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．

(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．

(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．

跟踪训练1 (1)若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)等于( )

A．1 B．2 C．3 D．4

答案 C

解析 当x＝1时，f(1)＋g(1)＝0，

∵f(1)＝1，得g(1)＝－1，

原式两边求导，得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，

当x＝1时，f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，

得f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2－(－1)＝3.

(2)已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________.

答案 e2

解析 f′(x)＝12x－3·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝22x－3＋ae－x－axe－x，

∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1， 则a＝e2.

题型二 导数的几何意义

命题点1 求切线方程

例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y＝2x－1x＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．

答案 5x－y＋2＝0

解析 y′＝2x－1x＋2′＝2x＋2－2x－1x＋22＝5x＋22，所以y′|x＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.

(2)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为__________．

答案 x－y－1＝0

解析 ∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，

∴设切点为(x0，y0)．

又f′(x)＝1＋ln x，

∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.

∴由 y0＝x0ln x0，y0＋1＝1＋ln x0x0，解得x0＝1，y0＝0.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

命题点2 求参数的值(范围)

例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )

A．4 B．3 C．2 D．1

答案 A

解析 ∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，

将P(1,2)代入y＝kx＋1，

可得k＋1＝2，解得k＝1，

∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝ax，

由f′(1)＝a1＝1，

解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，

∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，

∴f(1)＝ln 1＋b＝2，

解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.

(2)(2022·广州模拟)过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．

答案 (1，＋∞)

解析 由y′＝aex，若切点为(x0，0exa)，

则切线方程的斜率k＝0'|xxy＝0exa>0，

∴切线方程为y＝0exa(x－x0＋1)，

又P(1，e)在切线上，

∴0exa(2－x0)＝e，

即ea＝0ex(2－x0)有两个不同的解，

令φ(x)＝ex(2－x)，

∴φ′(x)＝(1－x)ex，

当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，

∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

∴φ(x)max＝φ(1)＝e，

又x→－∞时，φ(x)→0；

x→＋∞时，φ(x)→－∞，

∴0

解得a>1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．

教师备选

1．已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则P点的坐标为( )

A．(1,3) B．(－1,3)

C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)

答案 C

解析 设切点P(x0，y0)，

f′(x)＝3x2－1，

又直线x＋2y－1＝0的斜率为－12，

∴f′(x0)＝3x20－1＝2，

∴x20＝1，

∴x0＝±1，

又切点P(x0，y0)在y＝f(x)上，

∴y0＝x30－x0＋3，

∴当x0＝1时，y0＝3；