导数的概念及运算

课堂艺术　

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立关系。从空问分布上看有包含　

关系、相邻关系、叠加关系、平面　与剖面关系、点线面体的关系等。　

从时间变化上看，有承前、超前、　

同步等不同情况。在学习与复习　过程中应善于分析、比较，结合地　

图理解地理事物的时空分布特　

点，并作横向、纵向、多向的思维　

联系，而且要能在运动条件下进　

行思考。　

（二）地理内容的学习和理解　

离不开地理图表，进而使地理知　

识的掌握落实到地图上　

地理知识的学习与掌握必须　借助地图这一工具，只有落实到　

地图上的内容才是真正掌握的内　

容。例如，中国地理的学习和掌　握就离不开中国政区图、中国地　

形图、中国气候图（气温图、降水　

图）、中国河流图、中国湖泊图、中　

国资源图、中国交通图、中国农业　

图、中国工业图、中国人口城市　

图、中国分区地图等，这些图还经　

常要叠加到一起，以便更好地了　

解各地地理要素问的关系。在区　域地理学习中，有些内容的记忆　

是很困难的，如中国主要煤矿、油　

田、天然气、水电站、核电站等能　

源基地，必须落实到地图上才行。　

（三）借助地理图表整理地理　知识结构，结合地图把握重难点　

在地理学习中，需要建立地　

理知识结构，逐步形成地理能力，　

以图为载体和线索，梳理地理知　识，形成具有空问特点的知识结　

构是非常必要的。　

恰当的地图教学首先从识图　

开始，教师引导学生观察图的结　构，然后再逐项逐条紧扣教学内　

容启发设问，让学生通过位置以　

及相关现象的分析，读出图中的　

地理内容和地理特点，并在老师　

的指导下进一步作地理成因分析　

和地理规律分析。对多种要素叠　

加的图，则采用分要素化繁为简，　

分解教学，最后再叠加恢复地图　原貌的方式，进行综合分析。即　

借助地图，强化记忆。　

总之，在教学过程中，学生通　

过识图、拼图、填图、绘图、思图、　

联想分析图的反复训练，使手、　

口、脑并用，其观察力、记忆力、动　

手能力、逻辑思维能力、语言表达　

能力等诸多能力都得到培养、锻　

炼和提高。实践证明，学习地理　

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一、知识回顾

⒈导数的概念：

⑴曲线的切线；

⑵瞬时速度；

⑶导数的概念及其几何意义．

○1．设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即：xxfxxfxfx)()(lim)(0000/000limxxxfxfxx

○2函数)(xfy的导数)('xf，就是当0x时，函数的增量y与自

变量的增量x的比xy的极限，即

xxfxxfxyxfxx)()(limlim)('00．

○3函数)(xfy在点0x处的导数的几何意义，就是曲线)(xfy在点

))(,(00xfx处的切线的斜率．

⒉常用的导数公式：

⑴0'C(C为常数)； ⑵1)'(nnnxx(Qn)；

⑶xxcos)'(sin； ⑷xxsin)'(cos；

⑸*xxx22seccos1)'(tan； ⑹*xxx22cscsin1)'(cot；

⑺xxee)'(； ⑻aaaxxln)'(；

⑼xx1)'(ln； ⑽exxaalog1)'(log．

⒊导数的运算法则：

高考学习网－中国最大高考学习网站 | 我们负责传递知识！ ⑴两个函数四则运算的导数：

①'')'(vuvu； ②'')'(uvvuuv； ③)0(''2'vvuvvuvu．

⑵复合函数的导数：xuxuyy'·''．

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的概念及运算

知识清单：

考点1 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

1．概念

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时转变率limΔ x→0

fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔ x→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔ x→0 ΔyΔx＝limΔ x→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

2．几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度确实是位移函数s(t)对时刻t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

考点2 大体初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sinx f′(x)＝cosx

f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx

f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a>0且a≠1)

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax f′(x)＝1xln a(a>0且a≠1)

f(x)＝ln x f′(x)＝1x

考点3 导数的运算法那么

假设y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，那么

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．

考点4

复合函数的导数

设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，那么复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

[必会结论]

1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一样也不同．