导数的概念、几何意义及其运算

§3.1 导数的概念及运算

1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4．基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax (a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x 5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2 (g(x)≠0)．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

1 导数的概念，计算，几何意义

（一）知识点

1.平均变化率：

函数()fx从1x到2x的平均变化率为 ，若21xxx21yyy则，平均变化率可表示为 。

2．导数的概念：

函数()yfx的导数'()fx，就是当0x时，函数的增量y与自变量的增量x的比yx（平均变化率） 的 ，

即'()fx＝ ＝ ．

3．导函数：

函数()yfx在区间(,)ab内 的导数都存在，就说()fx在区间(,)ab内 .其导数也是(,)ab内的函数，叫做()fx的 ，记作'()fx或'xy，

函数()fx的导函数'()fx在0xx时的导函数值 ，就是)(xf在0x处的导数.

4．导数的几何意义：

设函数()yfx在点0x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxM 处的 。相应的切线方程为 （点斜式） 。

5．求导数的方法：

(1) 八个基本求导公式

()c为常数'c＝ ； ()'nx＝ ； (sin)'x＝ ，

(cos)'x＝ ()'xa＝ ， ()'xe＝

(log)'ax＝ ， (ln)'x＝

2 (2) 导数的四则运算

(()())fxgx＝ [()]Cfx＝

(()())fxgx＝ ， ()()()fxgx＝

导数的概念及运算、几何意义

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或

y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.

(2)导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

(3)函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．

2．导数公式及运算法则

(1)基本初等函数的导数公式

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) )(xf＝0

f(x)＝xn(n∈Q) )(xf＝nxn－1

f(x)＝sin x )(xf＝cos_x

f(x)＝cos x )(xf＝－sin_x

f(x)＝ax )(xf＝axln_a

f(x)＝ex )(xf＝ex

f(x)＝logax )(xf＝1xln a

f(x)＝ln x )(xf＝1x

(2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝)(xf±g′(x)；

②[f(x)·g(x)]′＝)(xfg(x)＋f(x)g′(x)；

③])()([xgxf＝f′xgx－fxg′x [gx]2(g(x)≠0)．

特殊情况[c·f(x)]′＝c·)(xf．

(3)复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1))(0xf与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)

(2))(0xf是导函数)(xf在x＝x0处的函数值．(√)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)