【优选整合】人教A版高中数学必修一 3.2.1 几类不同增长的函数模型 教案

优质资料---欢迎下载“几种不同增长的函数模型”教学设计一、 教材分析（一） 、教学内容本节课的内容是高中数学必修1第三章《函数的应用》的第二节“几种不同增长的函数模型”第一课时，根据课程设置要求，“几种不同增长的函数模型”需用2个课时，因此我把教材中的例题1和例题2作为第一课时。

（二）教材的地位和作用本节课要求学生通过实例分析，体会“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的含义及其在实际生活中的应用。

它既是第二章基本初等函数知识的延续，又为函数模型的应用打下了基础，起着承前起后的作用。

（三）、教学目标和要求1、知识目标：利用计算工具，比较指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异，结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同函数增长的含义。

2、能力目标：通过对几种不同增长的函数模型的分析，体会它们间的差异，培养学生利用图表分析问题的能力和数据处理能力；了解函数模型的广泛应用；培养学习数学的兴趣。

3、情感目标：通过对几种不同增长的函数模型的探究，体验指数函数、对数函数、幂函数与现实世界的密切联系及其在刻划现实生活中的作用。

（四）、教学重难点：重点: 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长；应用函数模型解决简单问题。

难点：学生对指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的认识还很少所以让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难；如何选择适当的函数模型分析解决实际问题是另一个困难。

二、教学方法：问题探究和启发式相结合的教学方法． 三、教学工具：电脑多媒体四、教学过程1、复习、引入：在《基本初等函数》中我们学习了哪几种函数？ 2、创设问题情境一： （展示细胞生长故事的课件）12222324回顾：某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分裂x 次后，得到的细胞个数y 与x 的函数关系是。

第一次第二次第三次第四次引导学生观察，思考，回答问题。

课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：1．借助计算器或计算机制造数据表格和函数影象，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在理论运用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。

2．经过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数影象分析成绩和解决成绩；引导先生充分体验将理论成绩“数学化”解决的过程，从而理解“数学建模”的思想方法解决成绩的有效性。

3．鼓励先生搜集一些社会生活中普遍运用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴味。

教学重点：将理论成绩转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例领会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决理论成绩。

技术手腕：计算机辅助教学。

教学方法：启发探求式。

教学过程一、创设情境，引入课题（1）先看一张图片，这是甚么动物？（2）关于兔子有这样一段故事：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断添加，不到100年，兔子们占据了全部澳大利亚，数量达到75亿只．（3）请看画面。

（4）可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的次要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．（5）普通而言，在理想条件（食品或养料充足，空间条件充裕，气候合适，没有敌害等）下，种群在必然时期内的增长大致符合“J”型曲线；在无量环境（空间无量，食品无量，有捕食者存在等）中，种群增长到必然程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期的增长.（6）生活中的增长景象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长外形发展的。

课题：3.2.1几类不同增长函数模型一、教材分析1、教材的地位和作用几类不同增长的函数模型是函数应用问题的基础，又是十分贴近生活的常见问题，教科书对几类不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例让学生仔细体会直线上升、指数爆炸与对数增长，进而认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异。

函数模型本身来源于现实，并用于解决实际问题，所以必须寻找更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值。

本节课是在学习了基本初等函数之后的后续内容，是对学生应用函数解决实际问题能力的进一步加强，也是对前面所学的函数知识的一种完善，有助于培养学生的学以致用的数学应用意识，让学生感受到“数学无处不在，数学就在我们生活周围”。

2、教学内容安排本节内容安排两个课时，第一课时：教科书选取了投资回投和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快。

第二课时：注重在知识教学中，让学生经历掌握数学思想和方法的过程，经历进行数学思考的过程，进一步体会到指数函数、对数函数、幂函数的增长差异。

接下来，我将重点说说第一节课的设计，并对整堂课作系统介绍。

3、教学重点、难点第一课时通过问题的提出、模型的建立、问题的解决这一过程展开，因此确定本节课的教学重点为：教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

由于学生对从现实生活中发现数学问题，训练较少，加上学生学习的现有函数模型的有限，确定本节课的教学难点为：教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

而这个难点容易让学生展开讨论、探索、合作交流，加以教师适时点拨、引导来逐步突破。

二、教学目标根据教材和教学大纲要求，确定如下：1、知识目标：能够借助计算器或计算机制作数据表格和函数图象，对几种常见函数类型的增长情况进行比较，在实际应用的背景中理解它们的增长差异。

3.2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型[读教材·填要点]1．三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长的速度先慢后快先快后慢相对平稳2.(1)在区间(0，＋∞)上，函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n(n >0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x 的增大，y ＝a x (a >1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x 0，当x >x 0时，有a x >x n>log a x .[小问题·大思维]1．对函数y 1＝100x ，y 2＝log 100x ，y 3＝x 100，y 4＝100x，当x 越来越大时，增长速度最快的应该是哪一个函数？提示：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y 4＝100x增长速度最快．2．你能举例说明“指数爆炸”增长的含义吗？提示：如1个细胞分裂x 次后的数量为y ＝2x，此为“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从图象上看出，存在x 0，当x >x 0时，数量会增加得特别快，足以体现“爆炸”的效果．3．若x ∈(0,1)，则2x，x 12，lg x 的大小关系是什么？提示：在同一坐标系内画出函数y ＝2x，y ＝x 12和y ＝lg x 的图象即可得出结论，即2x>x 12>lg x函数模型的增长差异[例1] 一天，李先生打算将1万元存入银行，当时银行提供两种计息方式：一是单利，即只有本金生息，利息不再产生利息，年利率为4%；二是复利，即第一年所生的利息第二年也开始计息，年利率为3.6%.已知利息税率为20%(即所产生的利息中应扣除作为利息税上交国家的部分)，问李先生应选用哪种计息方式？[自主解答] 若年利率为r ，则扣除利息税后，实际利率为0.8r .按单利计息，则第n 年的本息为10 000(1＋n ×0.8×0.04)＝10 000(1＋0.032n )(元)； 按复利计息，则第n 年的本息为10 000(1＋3.6%×0.8)n＝10 000×1.028 8n(元)， 列表如下(单位：元)年数 1 2 3 4 5 单利 10 320 10 640 10 960 11 280 11 600 复利 10 288 10 584 10 889 11 203 11 525 年数 6 7 8 9 10 单利 11 920 12 240 12 560 12 880 13 200 复利11 85712 19912 55012 91213 2838年，则应选用复利计息．——————————————————不同的函数模型能刻画现实世界不同的变化规律：1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；4而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律.因此，抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化的函数模型来解决实际问题.——————————————————————————————————————1．下面给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：由图象可知，该函数模型应为指数函数． 答案：A函数模型的应用[例2] 某地西经柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本为Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 50 110 250 种植成本Q150108150(1)根据上表中的数据，从下列函数中选取一个解析式来描述西红柿种植成本Q 与上市时间的变化关系： Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t，Q ＝a log b t .(2)利用你所选择的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． [自主解答] (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg. ——————————————————应用题目提供的信息解决实际问题时最重要的是：如何正确选择函数模型，由所给的数据直接发现函数模型一般来说是很困难的．我们可以根据各类函数的不同性质，特别是各类函数在一定范围内的增长差异性，直接选择可能的模型，再将个别数据代入进行筛选，从而确定正确的函数模型．——————————————————————————————————————2．电信局为了满足客户的不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN ∥CD )试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B 才会比方案A 优惠． 解：由图可知M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD .设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )，则 f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98 0≤x ≤60，310x ＋80 x >60f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168 0≤x ≤500，310x ＋18 x >500.(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元． (2)因为f B (x ＋1)－f B (x ) ＝310(x ＋1)＋18－310x －18＝310＝0.3(元)(x >500)， 所以，方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x ≤60时， 有f A (x )<f B (x )．当x >500时，f A (x )>f B (x )，当60<x ≤500时，由f A (x )>f B (x )，得x >8803，即当通话时间在(8803，＋∞)时，方案B 较方案A 优惠.解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！某工厂转换机制，两年内生产产值的月增长率都是a ，则这两年的年增长率是多少？ [错解] 设第一年年末的产值为b ，则第二年年末的产值是b (1＋a )11，依题意得所求增长率是b 1＋a11－b b＝(1＋a )11－1.[错因] 本题错解的原因是对增长率问题的公式y ＝N (1＋p )x未能理解透彻而造成指数写错．或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误．[正解] 不妨设第一年一月份产值为b .则二月份产值为b (1＋a )，十二月份产值为b (1＋a )11， 年产值总量M 1＝b [1＋(1＋a )＋(1＋a )2＋…＋(1＋a )11] 第二年一月份产值为b (1＋a )12， 二月份产值为b (1＋a )13. …十二月份产值为b (1＋a )23，年产值总量M 2＝b (1＋a )12[1＋(1＋a )＋…＋(1＋a )11]．所以这两年增长率为M 2－M 1M 1＝(1＋a )12－1.1．以固定的速度向图(1)形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是下列选项的( )解析：水的高度增长越来越快．答案：B2．1992年底世界人口数达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，设2013年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的函数解析式为( )A．y＝54.8(1＋x%)19B．y＝54.8(1＋x%)21C．y＝54.8(x%)19D．y＝54.8(x%)20解析：由题意，1993年底人口为54.8(1＋x%)，1994年底人口为54.8(1＋x%)2，…，故2013年底人口为54.8(1＋x%)21.答案：B3．根据统计资料，某种能源生产自1998年以来发展很快，下面是我国能源生产总量的几个统计数据：年份1998年2003年2008年总量8.6亿吨10.4亿吨12.9亿吨有关专家预测，到2013年该能源生产总量将达到16.1亿吨，则专家选择作为模型进行预测的函数类型为( )A．一次函数B．二次函数C．指数函数D．对数函数解析：可画散点图容易看出是二次函数．答案：B4．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x a(0<a <1)．反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③5．如图所示，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m ，边坡的倾角为45°，水深h m ，则横截面中有水面积A m 2与水深h m 的函数关系式为________．解析：关键是求梯形上底．由已知得梯形上底为2＋2h ，所以A ＝12[2＋(2＋2h )]h ＝h2＋2h (h >0)．答案：A ＝h 2＋2h (h >0)6．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方．这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励时才符合学校的要求．一、选择题1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数解析：一次函数保持均匀的增长，不能体现题意； 二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”；因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．答案：D2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋lo g16x解析：用排除法，当x＝1时，否定B项；当x＝2时，否定D项，当x＝3时，否定A 项．答案：C3．某地为加强环境保护，决定使每年的绿地面积比上一年增长10%，那么从今年起，x 年后绿地面积是今年的y倍，则函数y＝f(x)的大致图象是( )解析：设今年绿地面积为m，则有my＝(1＋10%)x m，∴y＝1.1x.答案：D4．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )A．a>b B．a<bC．a＝b D．无法判断解析：∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－1100)．∴b＝a×99100，∴b<a.答案：A二、填空题5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2.∴y ＝e 2t ln 2.当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.答案：2ln 2 1 0246．在不考虑空气阻力的情况下，火箭(除燃料外)的质量m kg 、火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg 的函数关系是v ＝2 000ln(1＋Mm)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.解析：设M ＝tm ，则有2 000ln(1＋t )＝12 000， 即ln(1＋t )＝6解得t ＝e 6－1. 答案：e 6－17．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·(0.5)x＋b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________．解析：∵y ＝a ·(0.5)x＋b ，且当x ＝1时，y ＝1，当x ＝2时，y ＝1.5，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ×0.5＋b 1.5＝a ×0.25＋b 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75万件． 答案：1.75万件8．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应．此时R ＝________.解析：D ＝a A －A ＝－(A －a2)2＋a 24， ∴当A ＝a 2即A ＝a 24时，D 最大．此时R ＝a A ＝a 22.答案：a 24 a 22 三、解答题9．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．解：设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，甲旅游收费为y 1，乙旅游收费为y 2，旅游原价为a ， 甲旅行社收费：y 1＝a ＋12(x ＋1)a ＝12ax ＋32a .乙旅行社收费：y 2＝23(x ＋2)a ＝23ax ＋43a .∵(12ax ＋32a )－(23ax ＋43a )＝16(1－x )a . ∴当x ＝1时，两旅行社收费相等 当x ＞1时，甲旅行社更优惠．10．据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时， 身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一条经过坐标原点的抛物线(图中标出数字为已知条件)，且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空中的最高点距水面1023米，入水处距池边4米，同时运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这个抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为335米，问此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由；(3)某运动员按(1)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？解：(1)由题意可设抛物线方程为y ＝a (x －h )2＋k ，则可知k ＝23，图象必过(0,0)(2，－10)两点．则有⎩⎪⎨⎪⎧0＝ah 2＋23，－10＝a 2－h2＋23，移项作比得h h －2＝±14，h >0， 解之得h ＝25，a ＝－256， ∴y ＝－256(x －25)2＋23. (2)当运动员在空中距池边的水平距离为335米， 即x ＝335－2＝85时，y ＝－256×(85－25)2＋23＝－163，所以此时运动员距水面距离为10－163＝143<5，故此次跳水会出现失误． (3)设要使跳水成功，调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m (m >2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，－256m －2－252＋23≥－5得2<m ≤12＋345. 所以运动员此时距池边的水平距离最大为12＋345米．。

课题几类不同增长的函数模型（1）教学目标：1. 能够找出简单实际问题中的函数关系式，2. 初步体会应用函数模型解决实际问题.3. 能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.4．进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.体会函数模型在数学和其他学科中的重要性.5.体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.教学重点难点：1．重点：利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题..2．难点：将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.教法与学法：1．教法选择：在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合2．学法指导：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.教学过程：一、设置情境，激发探索点作铺垫⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.生分析问题的能力虑问题的思路.实验探索辨析研讨①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比较并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x 1 2 3 4 5 6y=x 1 2 3 4 5 6y=x2 1 4 9 16 25 36y=(1+5%)x 1.05 1.01 1.16 1.22 1.28 1.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐。

§3.2.1 几类不同增长的函数模型一、教学目标:1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性.2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用.3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.二、 教学重点、难点：1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、 学法与教学用具：1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索.2．教学用具：多媒体.四、教学设想：（一）引入实例，创设情景.教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导.（二）互动交流，探求新知.1. 观察数据，体会模型.教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流.2. 作出图象，描述特点.教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据.（三）实例运用，巩固提高.1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流.2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异.3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。

§3.2.1几类不同增长的函数模型教案【教学目标】1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.【教学重难点】教学重点：将实际问题转化为数学问题，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。

材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。

（三）典型例题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？(1)请你分析比较三种方案每天回报的大小情况思考：各方案每天回报的变化情况可用什么函数模型来反映(2)你会选择哪种投资方案？思考：选择投资方案的依据是什么？反思：①在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？②根据此例的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点.解析：我们可以先建立三种投资方案所对应的模型，在通过比较他们的增长情况，为选择方案的依据。

3.2.1几类不同增长的函数模型（教学设计）教学目标：知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法：能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题． 一、新课导入：材料：澳大利亚兔子数“爆炸”在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．二、师生互动，新课讲解：例1（课本P95例1），假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 2）分析解答（略）（见P95--97）3）根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？例2：（课本P97例2）某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：x y 25.0= 1log 7+=x y x y 002.1=．问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1）本例涉及了哪几类函数模型？2）本例的实质是什么？3）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 解答：（课本P97—98）幂函数、指数函数、对数函数的增长差异分析：你能否仿照前面例题使用的方法，探索研究幂函数)0(>=n x y n、指数函数)1(>=a a y x 、对数函数)1(log >=a x y a 在区间),0(+∞上的增长差异，并进行交流、讨论、概括总结。

3.2.2 几类不同增长的函数模型（一）教学目标1．知识与技能利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.2．进程与方法在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.3．情感、态度与价值观在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.（二）教学重点与难点重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.例1 有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小.【解析】设单位购买x台影碟机，在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x，则总费用在乙商场购买，费用y = 600x.（1）当0＜x＜10时，(800x– 20x2)＞600x∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买.（2）当x = 10时，(800x– 20x2) = 600x∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样.（3）当10＜x≤18时，(800x– 20x2)＜600x∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买.（4）当x≥18时，600x＞440x∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买.答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买.【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题.例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：y = ax + b，y = ax2 + bx + c，y = a+ b，y = ab x + c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型.由题意知A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）.（1）设模拟函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有，解得所以得y=0.1x+1.因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.（2）设y = ax2 + bx + c，将A、B、C三点代入，有，解得，所以y= – 0.05x2+0.35x+0.7.因此由此法计算4月份产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴x=3.5），不合实际.（3）设y=+b，将A，B两点的坐标代入，有，解得，所以y=.因此把x = 3和4代入，分别得到y=1.35和1.48，与实际产量差距较大.（4）设y = ab x + c，将A，B，C三点的坐标代入，得，解得，所以y= – 0.8×(0.5)x+1.4.因此把x= 4代入得y= –0.8×0.54+1.4=1.35.比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性. 经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用y= –0.8×0.54+1.4模拟比较接近客观实际.【评析】本题是对数据进行函数模拟，选择最符合的模拟函数.一般思路要先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适合的几种函数类型后，再加以验证.函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，必须借助计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须与实际结合起来.。