浙江省金华市十校2019-2020学年高二上学期期末联考数学试题Word版含解析

2019学年金华十校高一上期末试卷1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{,}M N 23=I ，则M N ⋃=（ ） A. {1,3}B. {2,3}C. {1,2}D. {1,2,3}2.下列函数中，在R 上单调递增的是（ ） A. 23xxy =+B. 23xx y --=+C. 22x xy -=+D. 33x xy -=+3.下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A. sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4.若4log 3a =，2log 5b =，则23log 5的值为（ ） A.12a b - B. 2a b -C.2a bD.2a b5.函数()()ln 1f x x =-的大致图象是（ ）A. B. C.D.6.把函数sin 2cos2y x x =+的图象通过平移得到sin 2cos 2y x x =-的图象，这个平移可以是（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度 D. 向右平移2π个单位长度 7.已知tan m α=，α是第二象限角，则sin α=（ ）A.C.8.已知32a =，456log 5log 6log 7b =⨯⨯，2log 3c =，则（ ） A. b a c <<B. a b c <<C. a c b <<D. b c a <<9.已知对任意正实数x ，()()24f x f x =，且[]1,2x ∈时，()1322f x x =--，则当[]9,23x ∈时，（ ） A. ()max 128f x =，使得()32f x =的x 为12和18 B. ()max 128f x =，使得()32f x =的x 为18 C. ()max 112f x =，使得()32f x =的x 为12和18 D. ()max 112f x =，使得()32f x =的x 为1210.设函数()2f x ax bx c =++(,,a b c ∈R ，且0a >)，则（ ）A. 若02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点 B. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 无零点 C. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点 D .若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 有两个零点11.计算:（1）1sin 6228π⋅=__________.（2）2238log log 18log 19+-=__________.12.函数12cos 323y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期是__________，y 取最大值时x 的集合为__________. 13.已知函数()2,0lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()10f f ⎡⎤=⎣⎦__________;若()1f a =，则a =__________. 14.已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，α为第一象限角，则sin α=_______，2cos cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.15.已知函数()21,011,02x xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()223f a f a >+，则实数a 的取值范围是__________. 16.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =--，,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域为[]1,1-，则θ的取值范围是__________.17.已知定义在[)1,+∞的函数()f x tx x=+，对满足121x x -≤的任意实数1x ，2x ，都有()()121f x f x -≤，则实数t 的取值范围为__________.18.已知集合{}220A x x x =-≤，{}21,B x a x a a R =+≤≤-∈ （1）当1a =-时，求()R C A B ⋃;（2）若A B =∅I ，求a 的取值范围. 19.函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 20.已知()32sin cos 32f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递增区间; （2）若()35f α=，且0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.21.已知函数()21log 1f x x a ⎛⎫=+⎪+⎝⎭是奇函数，a R ∈. （1）求a值;（2）对任意的(),0x ∈-∞，不等式()()221log 2xxf m +>-恒成立，求实数m 的取值范围.22.已知函数(){}()22min 2,6841f x x x a x ax a a =--++>，其中{},,min ,,.p p q p q q p q ≤⎧=⎨>⎩（1）当2a =时，求函数()f x 在[]0,8上的最大值和最小值; （2）若方程()94f x =恰好有3个不同解()123123,,x x x x x x <<. （i ）求实数a的取值范围;（ii ）比较12x x +与3x 的大小.2019学年金华十校高一上期末试卷1.已知集合{1,2,}M a =，{,2}N b =，{,}M N 23=I ，则M N ⋃=（ ） A. {1,3} B. {2,3}C. {1,2}D. {1,2,3}【答案】D 【解析】{}{}{}{}1,2,,,2,2,3,3,3,1,2,3.M a N b M N a b M N Q ==⋂=∴==∴⋃=本题选择D 选项.2.下列函数中，在R 上单调递增的是（ ） A. 23x x y =+ B. 23x x y --=+C. 22x x y -=+D. 33x x y -=+【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性逐一判断.【详解】A.显然23xxy =+在R 上单调递增；B.显然23xx y --=+在R 上单调递减；C.令2x t =，则1y t t =+，其不是单调函数，故22x xy -=+也不是单调函数；D.令3x t =，则1y t t=+，其不是单调函数，故33x xy -=+也不是单调函数；故选：A.【点睛】本题考查函数单调性的判断，增函数＋增函数是增函数，减函数＋减函数是减函数，是基础题. 3.下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A. sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 将6x π=-逐一代入选项计算，能取最值的即可.【详解】A.将6x π=-代入sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为12，故6x π=-不是sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴； B.将6x π=-代入sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得函数值为0，故6x π=-不是sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一条对称轴；C.将6x π=-代入cos 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6x π=-不是cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；D.将6x π=-代入cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，得函数值为1，故6x π=-是cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴； 故选：D .【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+对称轴的判断，充分利用在对称轴取到最值来解决问题，是基础题. 4.若4log 3a =，2log 5b =，则23log 5的值为（ ） A.12a b - B. 2a b -C.2a bD.2a b【答案】B 【解析】 【分析】由4log 3a =，得2log 32a =，再利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由4log 3a =，得2log 32a =，所以2223log log 3log 525a b =-=-， 故选：B.【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题. 5.函数()()ln 1f x x =-的大致图象是（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域排除选项，然后利用函数的单调性判断即可.【详解】函数()()ln 1f x x =-的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，排除A ，C ； 又当1x >时，函数单调递增，故排除B ， 故选：D .【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，是基础题.6.把函数sin 2cos2y x x =+的图象通过平移得到sin 2cos 2y x x =-的图象，这个平移可以是（ ）A. 向左平移4π个单位长度 B. 向右平移4π个单位长度 C. 向左平移2π个单位长度 D. 向右平移2π个单位长度 【答案】B【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式变形两个函数的表达式为()sin y A ωx φ=+，然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位.【详解】sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭向右平移4π个单位得22sin 2cos 2444y x x y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的化简，三角函数的图象的变换，注意化简为同名函数()sin y A ωx φ=+是解题的关键，属于中档题.7.已知tan m α=，α是第二象限角，则sin α=（ ）A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】由α为第二象限角，得0m <，利用同角三角函数间基本关系求出2sin α的值，即可确定出sin α的值. 【详解】解：∵α是第二象限角，且tan m α=，∴0m <，sin 0α>，则22222222sin tan sin sin cos tan 11m m αααααα===+++.sin α=故选：C .【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键. 8.已知32a =，456log 5log 6log 7b =⨯⨯，2log 3c =，则（ ） A. b a c <<B. a b c <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】将,,a b c 转化为以2为底的对数式，然后比较真数的大小即可.【详解】23log 2a ==，45642log 5log 6log 7log 7log b =⨯⨯==22log 3log c ==>>，则b a c <<， 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，关键是要转化为同底的形式，是基础题. 9.已知对任意正实数x ，()()24f x f x =，且[]1,2x ∈时，()1322f x x =--，则当[]9,23x ∈时，（ ） A. ()max 128f x =，使得()32f x =的x 为12和18 B. ()max 128f x =，使得()32f x =的x 为18 C. ()max 112f x =，使得()32f x =的x 为12和18 D. ()max 112f x =，使得()32f x =的x 为12 【答案】C 【解析】 【分析】由[]1,2x ∈时，()1322f x x =--，求出[]2,4x ∈，[]4,8x ∈，[]8,16x ∈，[]16,32x ∈，[]9,23x ∈时的解析式，即可画出[]9,23x ∈时的函数图像，根据图像可得结果. 【详解】因为()42x f x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当[]2,4x ∈时，有()13442222x x f x f ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当[]4,8x ∈时，有()134162242x x f x f ⎛⎫⎛⎫==--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当[]8,16x ∈时，有()1364282x f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭； 当[]16,32x ∈时，有()132562162x f x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 则当[]9,23x ∈时图像，如图所示，()()max 1233232561122162f x f ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，要()32f x =，则[]9,16x ∈或[]16,23x ∈， 则136432282x ⎛⎫--=⎪⎝⎭或13256322162x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得：x 为12和18， 故选：C .【点睛】本题考查函数解析式的求解，数形结合研究函数性质的问题，关键是要把函数图像画出来，是中档题.10.设函数()2f x ax bx c =++(,,a b c ∈R ，且0a >)，则（ ）A. 若02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点 B. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 无零点 C. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则()()f f x 一定有零点 D. 若02b f f a ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()f f x 有两个零点【答案】D 【解析】 【分析】根据选项条件，逐一画图判断，能画出反例的即可排除. 【详解】对于A ，如图02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()min 2b f x f f a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，当min2b f a ≥-，()()()min 0f f x f f ≥>，此时()()f f x 无零点；对于B ，()min 2b f x f f a ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，如图时，()min 0f f >，如图()()f f x 在()min ,2b f x f a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，02b f a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，此时()()f f x 有零点；对于C ，反例图如选项A ，此时()()f f x 无零点；对于D ，设()()()10ff x f x x =⇒=，()2f x x =，又因为1min 22b x f f x a ⎛⎫<-=< ⎪⎝⎭，所以()1f x x =无解，()2f x x =有两解， 故选：D.【点睛】本题考查函数图像的应用，考查二次函数的性质，考查学生运用图像画反例的能力，是一道难度较大的题目.11.计算:（1）1sin 6228π⋅=__________.（2）2238log log 18log 19+-=__________. 【答案】 (1). 4 (2). 4【解析】【分析】利用指数幂的运算，对数的运算性质计算即可.【详解】（1）113sin 26222282224π⋅=⋅==；（2）2232288log log 18log 1log 180log 16499⎛⎫+-=⋅-== ⎪⎝⎭. 故答案为：4；4.【点睛】本题考查指数幂的运算，对数的运算性质，是基础题.12.函数12cos 323y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则函数的最小正周期是__________，y 取最大值时x 的集合为__________. 【答案】 (1). 4π (2). 24,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】 利用公式2T πω=即可计算周期，令1223x k ππ-=，即可求出y 取最大值时x 的集合. 【详解】最小正周期2412T ππ==，y 取最大值时1224233x k x k ππππ⇒-=⇒=+， 即24,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故答案为：4π；24,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查三角函数的性质，是基础题.13.已知函数()2,0lg ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则()10f f ⎡⎤=⎣⎦__________;若()1f a =，则a =__________. 【答案】 (1). 0 (2). -1或10.【解析】【分析】第一空直接将10x =代入函数计算即可；第二空分0a >，0a ≤讨论，解方程计算. 【详解】第一空：由题意，得()10lg101f ==，则()()101lg10f f f ⎡⎤===⎣⎦.第二空：若()1f a =，当0a >时，()lg 1f a a ==，解得10a =；当0a ≤时，()21f a a ==，解得1a =-或1a =(舍去). 故答案为：0；-1或10. 【点睛】本题考查分段函数的求值问题，注意每一段自变量的取值范围，是基础题. 14.已知1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，α为第一象限角，则sin α=_______，2cos cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】 (1).6 (2). 109 【解析】【分析】第一空先求出cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，再通过sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和的正弦公式展开计算； 第二空利用公式将2cos ,cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都用sin 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭表示出来，再带值计算即可. 【详解】第一空：由题意1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，α为第一象限角， 则6πα-还是第一象限角，cos 63πα⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 于是sin sin sin cos cos sin 6666ππππαααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132326=⨯+=； 第二空：由诱导公式，得21cos cos sin sin 326663πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由倍角公式，得217cos 212sin 123699ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以21710cos cos 233399ππαα⎛⎫⎛⎫-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：6；109. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，倍角公式的应用，对公式的理解及灵活应用是关键，是中档题.15.已知函数()21,011,02x xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()223f a f a >+，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】1a <-或3a >【解析】【分析】先确定函数()f x 的单调性，再利用单调性去掉不等式()()223f af a >+中的f ，得到关于a 的不等式，解不等式即可. 【详解】明显21,0x y x =-≥以及11,02xy x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭均为单调递增函数， 又00110212⎛⎫-+=≤- ⎪⎝⎭， 则分段函数()f x 为R 上单调增函数，若()()223f a f a >+，则有223a a >+，解得1a <-或3a >.故答案为：1a <-或3a >.【点睛】本题考查单调性的判断及应用，是基础题.16.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =--，,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域为[]1,1-，则θ的取值范围是__________.【答案】[]0,π【解析】【分析】设sin cos x x t ⎡+=∈⎣，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.【详解】设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则21sin cos 2t x x -=， 则()221111122t y t t -=-=--≥-. 当1y =时，则1t =-，得22x k ππ=-或2x k ππ=-，k Z ∈； 当1y =-时，则1t =，得22x k ππ=+或2x k =π，k Z ∈； 又,2x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，若()f x 的值域为[]1,1-， 则θ的取值范围是[]0,π.故答案为：[]0,π.【点睛】本题考查二次函数型的复合函数的值域问题，本题是根据值域研究定义域，注意内层函数的值域作为外层函数的定义域，是一道难度较大的题目.17.已知定义在[)1,+∞的函数()f x t x x=+，对满足121x x -≤的任意实数1x ，2x ，都有()()121f x f x -≤，则实数t 的取值范围为__________.【答案】04t ≤≤【解析】【分析】不妨设12x x >，则 1201x x <-≤，则不等式()()121f x f x -≤转化为121212122112x x x x x x t x x x x x x +≤≤+--恒成立，进而转化为最值问题求解即可.【详解】解：当12x x =时，()()1201f x f x =-≤，明显成立；当12x x ≠时，不妨设12x x >，则 1201x x <-≤，()()()()21121212121211t x x t f x f x x x x x x x x x -∴-=-+=-⋅-≤恒成立， 121211t x x x x ∴-≤-恒成立，即211212111t x x x x x x ≤-≤--， 整理得121212122112x x x x x x t x x x x x x +≤≤+--恒成立， 121x x -≤Q ，211x x ∴≥-，()()()()121221121111121122224x x x x x x x x x x x x ≥-+-=-=+⨯--=∴， 当且仅当2111x x =-=，即211,2x x ==时等号成立，故4t ≤，又121x x -≤Q ，2101x x ∴>-≥-，12121212210x x x x x x x x x x ≤-∴++=-，当且仅当211x x -=-时，等号成立，故0t ≥， 综上所述04t ≤≤.故答案为：04t ≤≤.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，先进行参变分离，然后转化为最值问题，考查学生综合分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.18.已知集合{}220A x x x =-≤，{}21,B x a x a a R =+≤≤-∈（1）当1a =-时，求()R C A B ⋃;（2）若A B =∅I ，求a 的取值范围.【答案】（1）()(),02,-∞+∞U （2）12a >-【解析】【分析】（1）代入1a =-，求出集合,A B ，可得()R C A B ⋃；（2）分B =∅，B ≠∅讨论求解a 的取值范围.【详解】（1）∵[]0,2A =，当1a =-时，[]1,2B =，则()0,2A B =U ,∴()()(),02,R C A B =-∞+∞U U ;（2）A B =∅Q I ,当B =∅时，则12a a -<+，得12a >-; 当B ≠∅时，则12a ≤-时，得10a -<或22a +>，解得0a >，不满足要求， 综上所述，12a >-. 【点睛】本题考查集合的基本运算，注意不要遗漏A B =∅I 时，B =∅的情况，是基础题.19.函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 【答案】（1）ωπ=，6π=ϕ，023x =-（2）最大值1；最小值3 【解析】 【分析】（1）由()102f =求出ϕ，由706f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求出ω，由()01f x =-求出0x ； （2）由题可得()sin 6g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，可得132663x ππππ-≤-≤-，利用三角函数的性质可得最值.【详解】（1）由题图得()102f =，∴1sin 2ϕ= ∵02πϕ<<， ∴6π=ϕ 又77sin 0666f πω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴766k πωπ-+=，得1677k ωππ=-,k Z ∈ 又12732,264ππωω⋅<<⋅，得6372πωπ<<， ωπ∴=；又()00sin 16f x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且0706x -<<， ∴062x πππ+=-，得023x =-， 综上所述: ωπ=，6π=ϕ，023x =-； （2）()()cos sin cos 6g x f x x x x ππππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭sin cos cos sin cos 66x x x πππππ=+-1cos sin 26x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， ∴132663x ππππ-≤-≤-， 所以当362x πππ-=-时，()max 1g x =;当263x πππ-=-，()min g x =【点睛】本题考查由图像得三角函数的解析式，以及函数最值的求解，是基础题.20.已知()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（1）求()f x 的单调递增区间;（2）若()35f α=，且0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）*5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N （2）- 【解析】【分析】（1）由题变形得()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再令*+222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈N ，可得()f x 的单调递增区间;（2）由题意可得3sin 235πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而可得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用cos cos 21234πππαα⎛⎫⎛⎫2+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭通过两角差的余弦公式展开求解即可.【详解】（1）()12sin cos 2sin cos 32f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos x x x =+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 令 *+222,232k x k k πππππ-≤+≤+∈N ，解得*5,1212k x k k ππππ-+≤≤+∈N .所以()f x 的单调递增区间为*5,,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N . （2）因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以52336πππα<+<， 因为()35f α=，即3sin 235πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，若2332πππα<+≤，则sin 232πα⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，又352⎛⎤∉ ⎥ ⎝⎦， 故52236πππα<+<， 所以由平方关系得4cos 35πα⎛⎫2+=- ⎪⎝⎭，所以43cos cos 21234525210πππαα⎛⎫⎛⎫2+=+-=-⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦型三角函数单调性，以及两角和与差的余弦公式，其中将未知角用已知角表示cos cos 21234πππαα⎛⎫⎛⎫2+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是关键，是基础题。

浙江省金华十校2019-2020学年高一上学期期末调研考试数学试题Word版含解析浙江省金华十校2019-2020学年上学期期末调研考试高一数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.在正方形中，点为边的中点，则（）A. B.C. D.3.最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是（）A. B.C. D.4.以下给出的对应关系，能构成从集合到集合的函数的是（）A. B. C. D.5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B. 先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变.C. 先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.D. 先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位6.函数的图象大致为（）A. B. C. D.7.已知在梯形中，，且，，点为中点，则（）A. 是定值B. 是定值C. 是定值D. 是定值8.已知函数，角A，B，C为锐角的三个内角，则A. 当，时，B. 当，时，C. 当，时，D. 当，时，9.在平面内，已知向量，，，若非负实数满足，且，则（）A. 的最小值为B. 的最大值为C. 的最小值为D. 的最大值为10.若对任意实数，均有恒成立，则下列结论中正确的是（）A. 当时，的最大值为B. 当时，的最大值为C. 当时，的最大值为D. 当时，的最大值为二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.计算：_____；_______．12.函数的定义域为_________；函数的值域为_______．13.已知，则_______；______．14.已知两个向量，，若，则______；若，的夹角为，则______．15.关于的方程在的解是_______.16.已知函数，若函数有有三个零点（），则_______.17.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18.设集合，.（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围.19.如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于点，轴正半轴与单位圆交于点，已知.（1）求；（2）求的最大值.20.设平面向量，，.（1）求的值；（2）若，求的值.21.已知，函数满足为奇函数；（1）求实数的关系式；（2）当时，若不等式成立，求实数可取的最小整数值.22.已知．（1）若，求在上的最大值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.浙江省金华十校2019-2020学年上学期期末调研考试高一数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出，利用并集概念即可求解。

金华十校2019-2020 学年第二学期期末调研考试高二技术试题卷考生须知：本试题卷分两部分，第一部分信息技术，第二部分通用技术。

全卷共17页，第一部分1至9页，第二部分10至17页。

满分100分，考试时间90分钟。

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

3.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

第一部分信息技术（共50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分。

每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不得分）1.下列有关信息和信息表达的描述，正确的是（）A．文字、语言、图形、声音、网络都是常见的信息表达技术B．某计算机的CPU主频是3.90GHZ，体现了的存储容量大的特征C．万维网采用SMTP协议将浏览器发出的请求发送到Web服务器D．超链接可以实现不同网页间的链接，也可以链接到电子邮箱地址2.下列有关多媒体信息加工和多媒体技术的说法，正确的是（T）A．一幅未经压缩的位图图像，内容越复杂，存储容量越大B．某软件能自动朗读文本内容，该功能主要应用了多媒体技术中的语音识别技术C．图像中某个区域的颜色、亮度、饱和度等相同，由此产生的数据重复称为空间冗余D．矢量图放大后不会产生“锯齿形失真”，巨幅广告的图像一般都采用矢量图3.使用Word软件编辑文档，部分界面如图所示，下列就法正确的是（）A．文中的图片的文字环绕方式为“四周型环绕”B．若接受所有修订，则第3行前半行文字将变为“服的时间都可能被感染，但是”C．删除批注内容“摘自鲁迅杂文（中国人失掉自信力了吗》”，该“批注[A1]：”也删除D．第6行“不”字下方有波浪线，表示启用了拼写和语法有检查，这是人工智能技术4.观察字符内码如下图所示，以下说法正确的是（A．图中有4个ASCII码，5个区位码B．字符“40”的十六进制编码为“34 30”C．存储字符“3”需要1bitD．“°C”存储时占用了4字节5.在Goldwave中进行操作，当前操作界面如下图所示，下列说法正确的是（）A．图中44100HZ，表示采用44100量化级别B．这是一个双声道的无损压缩的音频格式文件C．执行“删除”操作后，再选择左声道插人35秒静音，音频文件存储容量变大D．执行“淡入”命令后，执行“更改音量”命令降低音量，文件存储容量不变6.有一段时长为40分钟，1920* 1080，32位真彩色，采用PAL制的未经压缩的A VI无声视频，此段视频通过5G网络下载（5G网络理论下载速度可达到10Cbps），所需的时间约为（）A．796s B．398s C．49s D．16s7.下列有关VB属性说法正确的是（）A．计时器每隔3秒Timer事件发生一次，则Interval属性应设置为3B．设置标签框字体的颜色应在Font属性中设置C．图像框（imagel）中图片的加载可以通过Picture属性设置D．确定一个控件在窗体上位置的属性是Width和Height8.某算法部分流程如图1所示，执行此部分流程后，下列说法正确的是（）A．此流程使用枚举算法（枚举i的值），虚线框部分是分支结构B．流程中sum←sum+i与i←i+1调换下位置，输出的sum，c，i的值都不变C．最终i的值是401，i←i+1执行数是200次D．将流程图修改为如图2所示，程序运行结果会发生变化。

浙江省金华市师范大学附属中学2019-2020学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 复数（为虚数单位）的虚部是A．B．C．D．参考答案：2. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A3. 已知,那么复数在平面内对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D.第四象限参考答案：A4. 840和1764的最大公约数是（）A．84 B． 12 C． 168 D． 252参考答案：A5. 已知动点P（x，y）在椭圆C： =1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】依题意知，该椭圆的焦点F（3，0），点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，当PF最小时，切线长PM最小，作出图形，即可得到答案．【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，且=0，即PM⊥MF，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|=．故选：A．【点评】本题考查椭圆的标准方程、圆的方程，考查作图与分析问题解决问题的能力，属于中档题．6. 已知角终边一点，则的值为A．B．C．D．参考答案：B7. 若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是( )A．α内所有的直线都与a异面B．直线a与平面α有公共点C．α内所有的直线都与a相交D．α内不存在与a平行的直线参考答案：B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：∵直线a不平行于平面α，∴α内所有的直线都与a异面或相交，故A和C均错误；直线a与平面α至少有一个公共点，故B正确；当a?α时，α内存在与a平行的直线，故D不正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8. 在复平面内，复数（1﹣2i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）2 =12﹣4i+（2i）2=﹣3﹣4i，∴复数（1﹣2i）2对应的点的坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9. 奇函数的定义域为，且满足，已知，则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D10. 观察(x2)＇=2x,(x4)＇=4x3,(cosx)＇= -sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，焦点坐标在x轴上，离心率为，b=2，则双曲线的标准方程是▲ .参考答案：12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AC＝2，O为AC中点，抛物线的一部分在矩形内，点O为抛物线顶点，点B，D在抛物线上，在矩形内随机投一点，则此点落在阴影部分的概率为________．参考答案：略13. 与向量=（4，-3）同向的单位向量是___________;参考答案：(,-)略14. 圆心为且与直线相切的圆的方程是▲ .参考答案：15. 如果数列{a n}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，a n－a n－1，…，是首项为1，公比为3的等比数列，那么a n等于________．参考答案：16. 已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围为____________．参考答案：略17. 直线l与椭圆相交于两点A，B，弦AB的中点为（-1，1），则直线l的方程为 .参考答案：3x-4y+7=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。

金华十校2019-2019学年第一学期期末考试高三数学（文科）试题卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式S=4πR2 V=Sh球的体积公式其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高.V=43πR3 棱台的体积公式其中R表示球的半径V=13h(S1S2)棱锥的体积公式其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表示棱V=13Sh 台的高.其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高. 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)= P(A)+ P(B)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合M={-1,0,1}，N={y|y=cos x，x∈R}，则M∩N=A.{0}B.{1}C.{0,1}D.{-1,0,1}2．若复数2i()1iaa+-R∈是纯虚数(i是虚数单位)，则a的值为A．-2 B．2 C．1 D．-13. “2<x<3”是“x(x-5)<0”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若α//β，m⊄β，m//α，则m//βC．若α⊥β，m⊥α，则m//βD．若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥n5. 已知向量a=(cosθ,sinθ)，向量=b，则|2a-b|的最大值和最小值分别为A．,0 B．4,0 C．16,0 D．4,47. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是8． 已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的14，则双曲线的离心率是A ．2B ．4C D 9. 对于函数()tan bf x a x c x =++（其中a ,b ∈R ，c ∈Z ），选取a ,b ,c 的一组值计算f (1)和f (-1)，所得出的正确结果一定不可能是A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和210. 已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C ，.若54OA OB OC -+=0，则AB BC=A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分.11．某校同时开办3场专题报告，甲、乙两位同学各报名参加其中一场，已知他们参加各场报告 是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一场报告会的概率为 ▲ ．13. 函数2sin 22sin 6y x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ▲ ．14．已知函数y =f (x )在点(2,f (2))处的切线为由y =2x -1，则函数g (x )=x 2+f (x )在点(2,g (2))处的切线方程为 ▲ ． 15．若两点A (3，2)和B (-1，4)到直线mx +y +3=0的距离相等，则实数m 等于 ▲ ．16．函数2()||f x x x t =+-在区间[-1，1]上最大值为2， 则实数t = ▲ ．17. 等差数列{a n }中，已知a 2≥6, a 4≤4，则a 5的取值范围是__▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共7218．（本小题满分14分） 在锐角△ABC 中，已知：AB =5，AC =6，O 为△ABC 外接圆的圆心． (Ⅰ)若S △ABC =12，求BC 边的长；(Ⅱ)求AO BC ⋅的值．19. （本小题满分14分） 如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B =90°，D 为棱BB 1的中点. (Ⅰ)求证：面D A 1C ⊥面AA 1C 1C ； (Ⅱ)若1AAAB =A -A 1D -C 的大小.20．（本题满分14分） 已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -1，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n =1- b n .(Ⅰ)求{b n }的通项公式；(Ⅱ)在{a n }中是否存在使得125n a +是{b n }中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由． 21．(本小题满分15分)已知函数f (x )=12x 2-m ln x +(m -1)x ，m ∈R ．(Ⅰ)若函数f (x )在x =2处取得极值，求m 的值； (Ⅱ)当m = -2 时，讨论函数f (x )+ x 的单调性；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求证：对任意的x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2，有2121()()1f x f x x x ->--.22．(本小题满分15分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （0，1）．过抛物线上的异于顶点的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与y 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．(Ⅰ)求抛物线的标准方程；(Ⅱ)判断直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。

2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．22．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．16．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．√356B ．16C ．2√65D ．158．（3分）已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，满足f'（x）﹣f（x）＞0，则（）A．G（x）＝e x f（x）是增函数，ef（2020）＞f（2019）B．G（x）＝e x f（x）是减函数，ef（2020）＜f（2019）C．F(x)=f(x)e x是增函数，f（2020）＞ef（2019）D．G(x)=f(x)e x是减函数，f（2020）＜ef（2019）9．（3分）已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点F1，F2，两曲线在第﹣一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝8，椭圆和双线线的离心率分别为e1，e2，则2e1+1e2的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（4，7）C．（2，4）D．（2√2，4）10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E、N分别为边AB，BC的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1与A不重合），若M、K分别为线段A1D，A1C 的中点，则在MDE折起过程中，（）A．DE可以与A1C垂直B．不能同时做到MN∥平面A1BE且BK∥平面A1DEC．当MN⊥A1D时，MN⊥平面A1DED．直线A1C、BK与平面BCDE所成角分别为θ1，θ2，θ1，θ2能够同时取得最大值二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）设两直线l1：（3﹣m）x+4y＝1与l2：2x+（5﹣m）y＝1，若l1∥l2，则m＝；若l1⊥l2，则m＝．12．（3分）已知函数f（x）＝xe2x﹣1，则函数f（x）的极小值为，零点有个．13．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为；外接球体积为．14．（3分）已知抛物线y 2＝ax 的准线方程为x ＝﹣1，则a ＝ ，若过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则|y 1|+4|y 2|的最小值为 ． 15．（3分）已知函数f(x)=12x 2−4x +3lnx 在区向间(t ，t +32)上是单调函数，则实数t 的取值范围 ．16．（3分）如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，∠DAB ＝60°，AC 和BD 交于点O ，AB ＝AF ，点P 为线段CE 上任意﹣点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围是 ．17．（3分）已知抛物线y =12x 2的焦点为F ，A 是抛物线上两点，且|AF |+|BF |＝n ，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为C （0，4），则n ＝ ． 三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知点P （1，2），圆C ：x 2+y 2﹣6y ＝0．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA →⋅OP →（O 为坐标原点）的取值范围．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是菱形，CA ＝CB ，∠BAA 1＝60°． （1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面ABB 1A 1⊥平面CGA 1；（2）若M 、N 、Q 分别是线段A 1B 1、CB 1、CB 的中点，求证：直线C 1A 1∥平面MNQ ．20．已知四棱锥P ﹣ABCD ，BC =CD =12DA ，BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，PC =√2． （1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若BC ＝1，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大时，求二面角B ﹣PC ﹣D 的大小． 21．已知函数f （x ）＝2ax ﹣ln （x +1），a ∈R ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）当a ＜32时，若对任意的x ∈（﹣1，+∞），均有f(x)≥ln 12a ，求实数a 的取值范围． 22．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点(2√33，√2)在椭圆C 上，且△F 1AF 2的面积为√2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y ＝kx +1与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得∠OEB ＝∠OED ，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段F 1F 2上一点，若△PQF 1与△PQF 2的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．2019-2020学年浙江省金华市十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知向量a →=(−2，4，3)，b →=(1，−2，x)，若a →⊥b →，则x ＝（ ） A ．−32B ．103C ．﹣2D ．2【解答】解：由a →⊥b →，可得a →⋅b →=0，即﹣2﹣8+3x ＝0， 解得x =103． 故选：B ．2．（3分）已知x ，y ∈R ，则“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由x 2+y 2＜1，可得﹣1＜x ＜1，且﹣1＜y ＜1． 则可得到（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，故充分性成立；反之若（x ﹣1）（y ﹣1）＞0，可取x ＝y ＝2，显然得到不x 2+y 2＜1，故必要性不成立， ∴“x 2+y 2＜1”是“（x ﹣1）（y ﹣1）＞0”成立的充分不必要条件． 故选：A ．3．（3分）已知直线a ，b 和平面α．则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α B ．若a ⊥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥αD ．若a ⊥b ，b ⊥α，则a ⊂α【解答】解：A 选项，由线面平行的判定定理知，应该是a ∥α或a ⊂α，即A 错误； B 选项，应该是a ∥α或a ⊥α或a ⊂α，即B 错误； C 选项，由线面垂直的性质定理可知，C 正确； D 选项，应该a ⊂α或a ∥α，即D 错误． 故选：C ．4．（3分）已知m ＜1且m ≠0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1与x 24+y 23=1必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【解答】解析：若m ＜0，则1﹣m ＞﹣m ＞0，则二次曲线x 21−m−y 2m=1表示焦点在x轴上的椭圆，此时c 2＝a 2﹣b 2＝1﹣m ﹣（﹣m ）＝1，故焦点坐标为（±1，0）， 因此与椭圆x 24+y 23=1具有相同的焦点，故选：D ．5．（3分）在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点A （cos130，sin130），B （cos70，sin70）的直线距离为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．1【解答】解：k AB=sin70−sin130cos70−cos130=cos20−cos40sin20+sin40=cos20−2cos 220+1sin20+2sin20⋅cos20=1−cos20sin20=sin10cos10， 根据诱导公式可知：B （sin20，cos20），所以经过A ，B 两点的直线方程为：y −cos20=sin10cos10(x −sin20) 即sin10x ﹣cos10y +cos10cos20﹣sin10sin20＝0，即sin10x −cos10y +√32=0，所以原点O 到直线的距离为d =√32√sin 10+cos 10=√32，故选：C ．6．（3分）若f （x ）＝3（x ﹣1）f '（1）+x 2，则f （2）﹣f '（2）＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：求导f '（x ）＝3f '（1）+2x ，令x ＝1，则f '（1）＝3f '（1）+2．解得f '（1）＝﹣1， 因此f （x ）＝﹣3（x ﹣1）+x 2，f '（x ）＝2x ﹣3， 所以f （2）＝﹣3+4＝1．f '（2）＝1， 故f （2）﹣f '（2）＝0， 故选：B ．7．（3分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =2π3，线段AD ，BD 的中点分别E ，F ．现将MBD 沿对角线BD 翻折，当二面角A ﹣BD ﹣C 的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）。

金华十校2023-2024学年第一学期调研考试高二数学试题卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线：230x y -+=与直线：220x ay +-=互相平行，则=a （）A .1B.4C.4- D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行得到方程，解出验证即可.【详解】因为两直线平行，则有()1220a ⨯--⨯=，解得4a =-，经验证此时两直线不重合，故选：C .2.已知等差数列{}n a 中，3109a a +=，则12S =（）A.24 B.36C.48D.54【答案】D 【解析】【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解.【详解】由题意()()3113121012669542a a S a a +==+=⨯=.故选：D.3.如果函数()y x =在2x =处的导数为1，那么()()ΔΔ2l Δm 2i x f x f x→+-=（）A.1B.12C.13D.14【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数()y x =在2x =处的导数为1，根据导数的定义可知()()Δ0Δ22lim 1Δ22x f x f x →+-=+-，故选：A .4.过点()1,2P -且与直线230x y ++=垂直的直线方程是（）A.250x y -+=B.230x y +-=C.240x y -+= D.20x y -=【答案】C 【解析】【分析】由题意设直线方程为：20x y m -+=，将点()1,2P -代入求解.【详解】解：由题意设直线方程为：20x y m -+=，因为该直线过点()1,2P -，所以()2120m ⨯--+=，解得4m =，所以直线方程为：240x y -+=，故选：C5.圆C ：222245(0)x y x y r r +-+=->与圆22:6D x y +=的位置关系不可能（）A.内含B.内切C.相交D.外切【答案】D 【解析】【分析】由题可得两圆半径与圆心，后由圆心距与两圆半径间关系可得答案.【详解】由题可得圆C ：()()22212x y r -+-=，则其圆心()1,2，半径为r ；圆22:6D x y +=，则其圆心为()0,0.r <+，故两圆可能内含，内切，相交，不可能外切，外离.故选：D6.已知v为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A.1v n l ⇔α∥∥ B.12n n αβ⊥⇔⊥C.12n n αβ⇔⊥∥ D.1v n l ⊥⇔⊥α【答案】B 【解析】【分析】由直线方向向量与平面法向量的位置关系得两平面的位置关系，由此即可得解.【详解】由题意112121,,//,v n l n n n n v n l ααααββ⇔⊥⊥⇔⊥⇔⇔⊥⊥∥∥或l ⊂α.故选：B.7.法国天文学家乔凡尼·多美尼卡·卡西尼在研究土星及其卫星的运动规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹，并称为卡西尼卵形线（CassiniOval ）小张同学受到启发，提出类似疑问，若平面内动点与两定点所成向量的数量积为定值，则动点的轨迹是什么呢？设定点M 和N ，动点为H ，若2MH NH ⋅=，则动点H 的轨迹为（）A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据向量数量积运算求得H 的轨迹方程，从而确定正确答案.【详解】设2MN c =，以线段MN 的中点O 为平面直角坐标系原点，MN 为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则()(),0,,0M c N c -，设(),H x y ，则()()222,,2MH NH x c y x c y x c y ⋅=+⋅-=-+= ，即2222x y c +=+，所以H 的轨迹是以原点为圆心，半径为.故选：B8.已知直线():1l y kx m k =+≠±与双曲线221x y -=有唯一公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于()(),0,0,A x B y 两点，则当M 运动时，点(),P x y 到()()C D 、两点距离之和的最小值为（）A.4- B.4C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意首先得点P 在双曲线22144x y -=上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解.【详解】联立221y kx m x y =+⎧⎨-=⎩，化简并整理得()2221210k x kmx m -+++=，由题意()()()222Δ24110km k m =--+=，化简得221m k =-，解得22,11M M Mkm mx y kx m k k --==+=--，所以过点M 且与l 垂直的直线方程为22111km my x k k k ⎛⎫=-+- ⎪--⎝⎭，在该直线方程中分别令0,0y x ==，依次解得2222,0,0,11mk m A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以22222222222224441111P P A B mk m k x y x y k k k k --⎛⎫⎛⎫-=-=-=-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，即点P 在双曲线22144x y -=上面运动，双曲线22144x y -=的图象如图所示：若P 在右支上面，可以发现点()C 为22144x y-=的右焦点，不妨设其左焦点为()Q -，所以2444PC PD PQ PD a QD +=+-≥-==，等号成立当且仅当点P 与点E 重合，其中点E 为线段QD 与双曲线右支的焦点，若P 在左支上面，如图所示：所以2444PC PD PQ PD a QD +=++≥+==，等号成立当且仅当点P 与点F 重合，其中点F 为线段QD 与双曲线左支的焦点，综上所述，点(),P x y 到()()C D 、4-.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是求出点P 的运动轨迹方程，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列导数运算正确的（）A.()e e xx'= B.211x x'⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()ln x x'=⎡⎤⎣⎦12 D.()()e 1exxx x '=+【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数的运算法则依次讨论各选项即可得答案.【详解】对A ，()e e x x '=，故A 正确；对B ，211x x '⎛⎫=-⎪⎝⎭，B 错误；对C ，()ln x x x'=⋅=⎡⎤⎣⎦11222，C 正确；对D ，()e ee (1)e x xxx x x x '=+=+，D 正确.故选：ACD10.已知等差数列{}n a 的公差为3-，若70a >，80a <，则首项1a 的值可能是（）A.18B.19C.20D.21【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得71181161807210a a d a a a d a =+=->⎧⎨=+=-<⎩，所以11821a <<.故选：BC.11.已知抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，焦点为F ，点()()1122,,A x y B x y 是抛物线上的两点，抛物线在,A B 两点的切线交于点P ，则下列结论一定正确的（）A.抛物线的方程为：24x y =B.11AF y =+C.当直线AB 过焦点时，三角形OAB 面积的最小值为1D.若()1222AB y y =++，则AFB ∠的最大值为2π3【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由抛物线准线列方程求出参数p 即可判断；对于B ，由抛物线定义即可判断；对于C ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合点到直线距离公式得三角形OAB 面积表达式，进一步由基本不等式即可判断；对于D ，设出直线AB 方程，联立抛物线方程，由韦达定理求弦长，结合已知得223t k =+或22133t k =-+，进一步由余弦定理基本不等式可得()min 1cos 2AFB ∠=-，由此即可判断.【详解】对于A ，抛物线2Γ:2x py =的准线方程为1y =-，所以12p-=-，解得2p =，所以抛物线的方程为：24x y =，故A 正确；对于B ，因为点()11,A x y 在抛物线上，所以由抛物线定义可知11AF y =+，故B 正确；对于C ，由题意抛物线焦点坐标为()0,1，显然过焦点的直线AB斜率存在，如图所示：不妨取直线AB 的方程为1y kx =+，且120x x <<，联立抛物线方程24x y =，得2440x kx --=，所以212124,4,16160x x k x x k +==-∆=+>，所以()21212242y y k x x k +=++=+，()2121141AB y y k =+++=+，点()0,0O 到直线1y kx =+的距离为d =，所以三角形OAB面积为122S AB d ==≥，等号成立当且仅当0k =，即三角形OAB 面积的最小值为2，故C 错误；对于D ，显然直线AB 斜率存在，不妨取直线AB 的方程为y kx t =+，且120x x <<，如图所示：联立抛物线方程24x y =，得2440x kx t --=，所以2212124,4,161600x x k x x t k t k t +==-∆=+>⇒+>，所以()()21222121212242,16x x y y k x x t k t y y t +=++=+==，AB ===，因为()12322AB y y =++，所以()2242222k t ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，==，即223t k =+或22133t k =-+，而()()()()()22222212121231124cos 2211y y y y AF BF ABAFB AF BFy y +++-+++-∠==++()()()()2212121131318114442y y y y +++=-≥-=-++，等号成立当且仅当21220y y k t t ==+=>，解得0k =，此时22330t k =+=>或22110333t k =-+=>，且此时满足()2Δ16160k t t =+=>，即()min 1cos 2AFB ∠=-，所以AFB ∠的最大值为2π3，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是联立直线方程与抛物线方程，由弦长公式结合已知得,k t 关系，事实上这是非常有必要的，表面上直接由余弦定理基本不等式可得1cos 2AFB ∠≥-，但,k t 是验证基本不等式等号是否成立的重要条件.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为6cm ，重量为360g 的实心玩具，则下列说法正确的是（）A.将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B.将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C.将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D.将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD 【解析】【分析】利用补体法求得正方体棱长判断A ，利用对称性得球的直径判断B ，求解两平行平面的距离判断C ，先求出几何体的体积，通过与水密度的大小比较即可判断D.【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，对于A ，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为6cm AB =，所以正方体的棱长为622cm 2，正确；对于B ，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即212R =，解得6R =，所以包装盒的半径最小为6cm ，错误；对于C ，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面EMQ 与平面BCG 的距离，证明求解过程如下：如图，不妨记正方体为22221111A B C D A B C D -，1122//A D B C ，1122A D B C =，故四边形1122A D C B 是平行四边形，所以1221//A B C D ，又E ，Q 分别为12A A ，22A B 的中点，所以12//EQ A B ，同理21//BG C D ，所以//EQ BG ，又EQ ⊄平面BCG ，BG ⊂平面BCG ，所以//EQ 平面BCG ，同理//EM 平面BCG ，又EM EQ E ⋂=，EM ，EQ ⊂平面EMQ ，所以平面//EMQ 平面BCG ，设对角线21A C 分别交平面EMQ 和平面BCG 于点1M ，1N ，因为12C C ⊥平面2222A B C D ，MQ Ì平面2222A B C D ，所以12C C MQ ⊥，连接2211,A C A C ，因为,M Q 分别为2222,D A B A 的中点，故22A C MQ ⊥，又12C C ，22A C ⊂平面1221A A C C ，12222C C A C C = ，所以MQ ⊥平面1221A A C C ，又21A C ⊂平面1221A A C C ，所以21A C MQ ⊥，同理21A C EQ ⊥，又MQ EQ Q ⋂=，MQ ，EQ ⊂平面EMQ ，所以21A C ⊥平面EMQ ，又平面//EMQ 平面BCG ，所以21A C ⊥平面BCG ，故11M N 即为平面EMQ 与平面BCG 的距离，则11212111M N A C A M N C =--，由正方体棱长为21A C =由题意得222EA MA QA ===EMQ 为等边三角形，故264EMQ S =⨯= ，根据22E A MQ A EMQ V V --=，得21111323A M ⨯⨯=⨯，解得21A M =，根据对称性知2111A M N C =，所以11212111M N A C A M N C =--=则平面EMQ 与平面BCG 的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D ，该几何体的体积为(311832V =-⨯⨯⨯=因为玩具的密度为0.707≈，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD【点睛】方法点睛：求空间距离方法，一是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；二是利用等体积法求解；三是作出辅助线，在三角形中结合余弦定理等方法进行求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线()2122f x x x =+在点()()22f ,处的切线斜率为________．【答案】4【解析】【分析】函数求导后，求得()2f '，即为所求.【详解】因为()2122f x x x =+，所以()2f x x '=+，则()2224f ='+=，故答案为：4.14.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数6m =，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称8步“雹程），数列{}n a 满足冰雹猜想，其递推关系为：1a m =（m 为正整数），11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时若41a =，则m 所有可能的取值为________．【答案】1和8【解析】【分析】根据11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，利用递推求解.【详解】解：因为11,,231,.n n n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，且41a =，所以3422a a ==或()341103a a =-=（舍去）；2324a a ==或()2311133a a =-=（舍去）；1228a a ==或()121113a a =-=，故答案为：1和815.如图，在四面体ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，且1,2AE AH CF CG M EB HD FB GD ====是EG 和FH 的交点，以{},,AB AC AD 为基底表示AM ，则AM =________．【答案】111636AB AC AD++【解析】【分析】由题意首先得四边形EFGH 为平行四边形，进一步结合线段比例分解向量成基底向量的线性组合即可求解.【详解】因为12AE AH CF CG EB HD FB GD ====，所以1//,3EH BD EH BD =，同理1//,3FG BD FG BD =，所以四边形EFGH 为平行四边形，所以()11113232AM AE EM AB EG AB E G A AC C =+=+=+++()61111113216366AB AB AC CA AD AB AC AD =+++-++=.故答案为：111636AB AC AD ++.16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为5,3F 为椭圆C 的一个焦点，若F 关于直线y kx =的对称点恰好在椭圆C 上，则斜率k 的取值构成的集合为________．【答案】112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】求出点F 关于直线y kx =的对称点Q 的坐标，代入椭圆C 的方程中，整理计算可得参数.【详解】过点F 且与直线y kx =垂直的直线l 为1c y x k k =-+，两直线的交点22,11c ck M k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，从而点()22212,11c k ck Q k k ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭.点Q 在椭圆C 上，则()()()22222222222214111k c k c a a c k k -+=-++，53e = 即()()()2222222154519411k k k k -⨯+⨯=++则24251k k =+,则4241740k k -+=，()()224140k k --=，2k =±或12k =±.故答案为：112,2,,22⎧⎫--⎨⎬⎩⎭四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A ：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B ：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作．（1）若此人选择在一家公司连续工作n 年，第n 年的月工资是分别为多少？（2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（101.05 1.6≈）．【答案】（1）公司A ：3002700n +（元）；公司B ：13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈（2）从公司B 得到的报酬较多【解析】【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司A 、B 第n 年的月工资；（2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断.【小问1详解】选择在公司A 连续工作n 年，第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元,则他第n 年的月工资是：3000(1)3003002700n n +-⨯=+（元）()N*n ∈；选择在公司B 连续工作n 年，第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%．则他第n 年的月工资13720(10.05)n -⨯+（元）()N*n ∈．【小问2详解】若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司A 、公司B 得到的报酬分别为：公司A ：()()1230003000130030009300⎡⎤⨯++⨯+++⨯⎣⎦()19912300010123005220002+⨯=⨯⨯+⨯⨯=（元）．公司B ：()101291.0511237201 1.05 1.05 1.051237205356801.051-⨯⨯+++⋯+=⨯⨯≈-（元），因为535680522000>，故从公司B 得到的报酬较多.18.如图，已知圆柱下底面圆的直径6AB =，点C 是下底面圆周上异于,A B 的动点，圆柱的两条母线3CD BE ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面BCDE ；（2）求四棱锥A BCDE -体积的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）18【解析】【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即可；（2）应用棱锥体积公式结合基本不等式求出最大值即可.【小问1详解】DC 为圆柱的母线，DC ∴⊥平面ABC ，又AC ⊆平面,ABC DC AC ∴⊥．①AB 是下底面圆的直径，AC BC ∴⊥．②①②及,BC DC C DC =⊂ 平面BCDE ,BC ⊂平面BCDE ，AC ∴⊥平面BCDE ，又AC ⊆平面,ACD ∴平面ACD ⊥平面BCDE ．【小问2详解】在Rt ABC △中，设,AC x BC y ==，则2236x y +=，()22111318332V y CD x xy xy x y =⋅⋅=⋅⋅=≤+=．当且仅当32x y ==时，不等式取“=”号．故A BCDE V -的最大值为18．19.已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线1:2130l x y +-=相切，过点()2,3B 斜率为k 的直线2l 与圆A相交于,M N两点，（1）求圆A 的方程；（2）当MN =2l 的方程．【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=（2）3y =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，继而可写出所求圆的方程；（2）设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，利用勾股定理求得AQ 的值,再根据圆心到直线的距离，建立方程，解出即可.【小问1详解】设圆A 的半径为r ，圆A 与直线1:2130l x y +-=相切，r ∴==所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=．【小问2详解】设直线2l 的方程为()23y k x =-+，即320kx y k -+-=，设点Q 是MN 的中点，连接,AQ AM ，则AQ MN ⊥，MN AM ==则1AQ ===,又由1AQ ===，得2860k k -=，解得0k =或34k =所以直线2l 的方程为3y =或3460x y -+=．20.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2,60AB BAD =∠=︒，对角线,AC BD 交于点,O PO ⊥平面ABCD ，平面α是过直线AB 的一个平面，与棱,PC PD 交于点,E F ，且14PE PC =．（1）求证：//EF CD ；（2）若平面α交PO 于点T ，求PTPO的值；（3）若二面角E AB C --的大小为45︒，求PO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）25PT PO =；（3）536PO =.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定、性质推理即得.（2）利用平面的基本事实证得,,A T E 三点共线，作EG PO ⊥于G ，利用平行关系推理计算即得.（3）作出二面角E AB C --的平面角，结合（2）的信息计算即得.【小问1详解】四棱锥P ABCD -的底面是菱形，//AB CD ，又AB ⊂平面α，CD⊄平面α，则//CD 平面α，而平面α 平面PCD EF =，CD ⊂平面PCD ，所以//EF CD .【小问2详解】由,E A ∈平面α，,E A ∈平面PAC ，得平面α 平面PAC AE =，而T PO ∈，PO ⊂平面PAC ，于是T ∈平面PAC ，又T ∈平面α，则T AE ∈，即,,A T E 三点共线，由PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则PO AC ⊥，如图，在PAC △中，过点E 作PO 的垂线，垂足为G ，于是//GE AC ，设PO t =，由14PE PC =，得13,44PG t GO t ==，14GE GE AO CO ==，14GT GE TO AO ==，从而113355420GT GO t t ==⋅=，所以1324205PT PG GT t t t =+=+=，即25PT PO =．【小问3详解】过点O 作ON AB ⊥于点N ，连接TN ，由PO ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则TO AB ⊥，而,,TO ON O TO ON =⊂ 平面TON ，则AB ⊥平面TON ，而TN ⊂平面TON ，于是TN AB ⊥，则有TNO ∠为二面角E AB C --的平面角，即45TNO ∠=︒，在菱形ABCD 中，由2,60AB BAD =∠=︒，得2NO =，则2TO =，由（2）得3352TO PO ==，所以536PO =.21.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设142n n nn n a b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足11111,12n n n c c c a ++==+，求证：121113n c c c ++⋯+>-【答案】（1）2n a n =（2）()111212n n +-+⋅（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由2n S n n =+，利用数列的通项和前n 项和关系求解；（2）()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅，利用裂项相消法求解.（3）由111n n nc c c +-=-，利用分组求和法求解.【小问1详解】当2n ≥时，2n S n n =+ ．①，()21(1)1n S n n -∴=-+-②，①-②得：2112n a n n =-+=，当1n =时，12a =也符合上式，所以2n a n =；【小问2详解】()()()114241122222212n n n n n n n n a n b a a n n n n ++++===-+⋅+⋅ ，12n n T b b b ∴=+++ ，()()22311111111112222232122212n n n n n n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅-⋅⋅⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()111212n n +=-+⋅．【小问3详解】()11111211222n n n c c a n n ++=+=⋅++=+ ，③11n n c n c -∴=+，④③-④得：()111111,n n n n n nc c c c c c +-+--=∴=-，112221nn nn n i i i i c c c +-====-∑∑∑，()()341112321n n n n n c c c c c c c c c c -+--=+++++-+++++ ，11214n n n n c c c c c c ++=+--=+-，44>-=．故121111143n c c c c ++⋯+>+-=-.22.已知F 为拋物线2:2(0)E y px p =>的焦点，O 为坐标原点，M 为E 的准线l 上一点，直线MF 的斜率为1,OFM - 的面积为116．已知()()3,1,2,1P Q ，设过点P 的动直线与抛物线E 交于A B 、两点，直线,AQ BQ 与E 的另一交点分别为,C D．（1）求拋物线E 的方程；（2）当直线AB 与CD 的斜率均存在时，讨论直线CD 是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2y x =（2）直线CD 过定点3,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得MN MF p ==，2p OF =，结合OFM △的面积为116列方程即可求解；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，():31AB x t y -=-，联立抛物线方程得1212,3y y t y y t ⋅+==-，设()()3344,,,C x y D x y ，则()3434y y y x y y +=+，结合(),2,1,A Q C 三点共线得13121y y y -=-，同理24221y y y -=-，得出3434,y y y y +关于t 的表达式即可求解.【小问1详解】设准线l 与x 轴的交点为N ，直线MF 的斜率为1,MN MF p -∴==，又2pOF =，1111,222162OFM p S OF MN p p ∴=⋅⋅=⋅⋅=∴= ．故抛物线E 的方程为：2y x =．【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，过点()3,1P 的直线方程为：()31x t y -=-．则联立()231y x x t y ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，整理得：230y ty t -+-=，由韦达定理可得：()()221212Δ43280,,3t t t y y t y y t =--=-+>+=⋅=-．又设()()3344,,,C x y D x y ，所以直线CD 斜率为3434223434341y y y y k x x y y y y --===--+，直线CD 方程为()233341y y x y y y -=-+，即CD 的直线方程为：()3434y y y x y y +=+，由,,A Q C 三点共线可得：31131122y y x x --=--，即()()()()13311212y x y x --=--，所以()()()()2213311212y y y y --=--，所以22223131131322y y y y y y y y --=--，因为13y y ≠，所以化简可得：13121y y y -=-，同理，由,,B Q D 三点共线可得：24221y y y -=-，可得()()()()121221342112124324323222111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+---++=+===---++-+-，()()()()1212213421121242423221111132y y y y t t y y t y y y y y y y y t t -++-+----⋅=⋅===---++-+-，综上可得CD 的直线方程为：2122t t y x +-=+，变形可得：()1122t y x y -=--，所以直线CD 过定点3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

2019-2020学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1}，{1B =-，0，2}，则()(U A B =I ð )A ．{2-，1-，1，2}B ．{0}C ．∅D ．U2．（3分）在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，120B =︒，3c =，则(b = )A ．7B ．4C ．19D ．53．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…，则z x y =+的最大值是( )A ．0B ．1C ．6D ．74．（3分）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有( ) A ．12个B ．24个C ．36个D ．72个5．（3分）已知a ，b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（3分）在同一直角坐标系中，函数a y x =，||log ()(0)a y x a a =-≠的图象不可能的是( )A ．B ．C ．D ．7．（3分）已知随机变量ξ的分布列如表：记“函数()3sin ()2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ，则( ) A ．2()23E a ξ=-，1()3P A =B ．2()3E ξ=，1()3P A = C ．22()3E ξ=，2()3P A =D ．2244()233E a a ξ=-+，2()3P A =8．（3分）已知点(2,1)A-，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为( ) AB 1C ．3D ．59．（3分）正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21nn n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则( ) A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B ．n a 的最小值必定为1C ．当n a 是奇数时，2n n a a +… D ．n a 的最小值可能为210．（3分）设()cos ,[,]63af x x x x ππ=∈g 的最大值为M ，则( )A ．当1a =-时，M <B ．当2a =时，M <C ．当1a =时，MD ．当3a =时，12M <二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．若复数z 满足(34)7i z i +=+g ，则z 对应的点位于第 象限，||z = ．12．（3分）在61(2)x x-的展开式中，各项系数的和是 ，二项式系数最大的项是 ．13．（3分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率是3，左右焦点分别是1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，则其渐近线方程是 ，12AF F ∠= ． 14．（3分）在ABC ∆中，M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM MB =u u u u r u u u r ，3BN NC =u u ur u u u r ，AN 交CM 于点P，若BP xPA yBC =+u u u r u u u r u u u r，则x = ，y = ． 15．（3分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则该几何体的体积是 3cm ．16．（3分）已知实数x ，y 满足2222(1)(1)4x y x y ++-+=g ，则22x y +的取值范围为 ． 17．（3分）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ= ．三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-；（Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）将函数()f x 分别向左、向右平移(0)m m >个单位相应得到()g x 、()h x ，且3cos m =，求函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域．19．在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，22BC =，四边形BCED 为直角梯形，90DBC ∠=︒，1BD =，2DE =，F 为AB 中点． （Ⅰ）证明：//DF 平面ACE ；（Ⅱ）若3AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 是3-和3n a 的等差中项； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121231()(1)2n n n nS S S a a a a λ⋯+g g g …对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围． 21．已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点(1,2)P 在直线l 的右上方．分别过点P ，A ，B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为1l ，2l ，3l ．（Ⅰ）证明：直线2l 的方程是112()yy x x =+；（Ⅱ）若12l l E =I ，13l l F =I ，23l l G =I ；求EFG ∆面积的最大值；22．已知()(32)x f x e a x =-g a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数； （Ⅰ）若1x =为函数()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若|()|6f x e …在[0x ∈，2]上恒成立，求a 的取值范围；2019-2020学年浙江省金华市十校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知全集{2U =-，1-，0，1，2}，集合{2A =-，0，1}，{1B =-，0，2}，则()(U A B =I ð )A ．{2-，1-，1，2}B ．{0}C ．∅D ．U【解答】解由题意{0}A B =I ，所以(){2U C A B =-I ，1-，1，2}， 故选：A ．2．（3分）在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，120B =︒，3c =，则(b = )AB ．4CD ．5【解答】解：已知2a =，120B =︒，3c =，则22212cos 49223()192b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯-=，解得b = 故选：C ．3．（3分）若实数x ，y 满足约束条件24022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…，则z x y =+的最大值是( )A ．0B ．1C ．6D ．7【解答】解：作出实数x ，y 满足约束条件24022020x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩…„…，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+，由图象可知当直线y x z =-+经过点A 时，直线y x z =-+的截距最大， 此时z 最大．由240220x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得8(3A ，10)3．代入目标函数z x y =+得810633z =+=．即目标函数z x y =+的最大值为6． 故选：C ．4．（3分）用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，三个奇数中仅有两个相邻的五位数有( ) A ．12个B ．24个C ．36个D ．72个【解答】解：用1，2，3，4，5组成一个没有重复数字的五位数，共有55120A =个； 三个奇数中仅有两个相邻；其对立面是三个奇数都相邻或者都不相邻；当三个奇数都相邻时，把这三个奇数看成一个整体与2和4全排列共有333336A A ⨯=个； 三个奇数都不相邻时，把这三个奇数分别插入2和4形成的三个空内共有232312A A ⨯=个； 故符合条件的有120123672--=； 故选：D ．5．（3分）已知a ，b R ∈，则1b a <<是1|1|a b ->-的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：1|1|1a b a b ->-⇔>…，或2a b +>．1b a ∴<<是1|1|a b ->-的充分不必要条件．故选：B ．6．（3分）在同一直角坐标系中，函数a y x =，||log ()(0)a y x a a =-≠的图象不可能的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 中，幂函数过原点，则0a >且1a ≠，函数的定义域为(,)a +∞，对数函数的定义域不满足条件．故A 错误， 故选：A ．7．（3分）已知随机变量ξ的分布列如表：ξ 1-0 1Pa13b记“函数()3sin ()2x f x x R π+=∈是偶函数”为事件A ，则( ) A ．2()23E a ξ=-，1()3P A =B ．2()3E ξ=，1()3P A = C ．22()3E ξ=，2()3P A =D ．2244()233E a a ξ=-+，2()3P A =【解答】解：由随机变量ξ的分布列知：()E a b ξ=-+，212()133E a b ξ=+=-=，Q “函数()3sin()2x f x x R ξπ+=∈是偶函数”为事件A ， ξ的所在取值为1-，0，1，满足事件A 的ξ的可能取值为1-，1，P ∴（A ）23=． 故选：C ．8．（3分）已知点(2,1)A -，P 为椭圆22:143x y C +=上的动点，B 是圆221:(1)1C x y -+=上的动点，则||||PB PA -的最大值为( ) A ．5B ．21+C ．3D ．510-【解答】解：如图所示，由椭圆22:143x y C +=，可得：2a =，3b =，1c =，(1,0)F ．设椭圆的右焦点为(1,0)F '-，则||||1||||12||||5(||||)PB PA PF PA a PF PA PF PA -=+-=+-'-=-'+，22||||||(12)(01)10PF PA AF '+'=--++=Q …，当且仅当三点A ，P ，F '共线取等号．||||5(||||)510PB PA PF PA ∴-=-'+-„，故选：D ．9．（3分）正整数数列{}n a 满足：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩，则( ) A ．数列{}n a 中不可能同时有1和2019两项B ．n a 的最小值必定为1C ．当n a 是奇数时，2n n a a +…D ．n a 的最小值可能为2【解答】解：1,2(*)22,21n n n k a ka k N k a k +=⎧=∈⎨+=-⎩， 若12019a =，可得以后的项分别为：2022，1011，1014，507，510，255，258，129，132，66，33，36，18，9，12，6，3，6，3，⋯，其中最小值为3，若11a =，可得以后的项分别为：4，2，1，4，2，⋯，其中最小值为1， 故A 正确，B 错误；当n a 是奇数时，假设11a =，可得32a =，即有2n n a a +<，故C 错误； 若n a 中含有2，则n a 中一定含有1，故D 错误． 故选：A ．10．（3分）设()cos ,[,]63a f x x x x ππ=∈g 的最大值为M ，则( )A ．当1a =-时，M <B ．当2a =时，M <C ．当1a =时，M D ．当3a =时，12M <【解答】解：当1a =-时，cos ()x f x x =，则可得，2sin cos ()0x x xf x x--'=<在[,]63ππ上恒成立，故()f x 在[,]63ππ上单调递减，所以2()66M f ππ===<，故A 正确；当2a =时，2()cos f x x x =g ，则2()2cos sin (2cos sin )f x x x x x x x x x '=-=-， 易证2cos sin 0x x x ->恒成立，故()0f x '>，从而()f x 在[,]63ππ上单调递增，21()318M f ππ==<，故B 成立； 当1a =时，()cos f x x x =，则可得()cos sin f x x x x '=-在[,]63ππ上单调递减，所以()()0612f x f ππ'>'=->， 故()f x 在[,]63ππ上单调递增，1()36M f ππ==，故C 错误；当3a =时，3()cos f x x x =，则322()sin 3cos (3cos sin )f x x x x x x x x x '=-+=-， 易得()3cos sin h x x x x =-在[,]63ππ上单调递减，所以1()()03h x h π>…，所以()f x 在[,]63ππ上单调递增，311()3542M f ππ==>，故D 错误．故选：AB ．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．（3分）德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”．高斯在1831年，用实数组(,)a b 代表复数a bi +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”．若复数z 满足(34)7i z i +=+g ，则z 对应的点位于第 四 象限，||z = ．【解答】解：由(34)7i z i +=+g ，得7(7)(34)2525134(34)(34)25i i i iz i i i i ++--====-++-， z ∴对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限．||z ∴=．12．（3分）在6的展开式中，各项系数的和是 1 ，二项式系数最大的项是 ．【解答】解：6的展开式中，令1x =，则各项系数的和6(21)1=-=．二项式系数最大的项是33346(160T ==-g ð．故答案为：1，160-．13．（3分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于A ，B 两点，则其渐近线方程是 y = ，12AF F ∠= ．【解答】解：由题意，ca222223c a b a a +==，即b a =则双曲线的渐近线方程为y =； 如图，不妨设A 在第一象限，由双曲线的通径可知，22bF Aa=，122F F c=，22221223tan222232323bb baAF Fc ac aa a∴∠======g gg．∴126AF Fπ∠=．故答案为：2y x=±；6π．14．（3分）在ABC∆中，M，N分别在AB，BC上，且2AM MB=u u u u r u u u r，3BN NC=u u u r u u u r，AN交CM于点P，若BP xPA yBC=+u u u r u u u r u u u r，则x=18，y=．【解答】解：如图：过点M作//MD BC交AN于D；Q2AM MB=u u u u r u u u r，3BN NC=u u u r u u u r，2AD DN∴=；2DP PN=；18NP AP∴=∴3148BP BN NP BC PA=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r；Q BP xPA yBC=+u u u r u u u r u u u r，18x∴=，34y=．故答案为：18，34．15．（3分）某几何体的三视图（单位：)cm 如图所示，则该几何体的体积是1633cm ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 该几何体为四棱锥体： 如图所示：所以：111162222223223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=．故答案为：163． 16．（3分）已知实数x ，y 满足2222(1)(1)4x y x y ++-+=g ，则22x y +的取值范围为 [3，5] ．【解答】解：2222(1)(1)4x y x y ++-+=g 两边平方可得：2242222(1)(1)(1)16x y y x y x -++++-=，整理44222222215x y x y y x +++-=，即22222()2215x y y x ++-=，设220t x y =+>，22y t x =-，则方程整理为：222415t t x +-=，所以224215x t t =+-，因为2222(1)(1)4x y x y ++-+=g ，所以22224(1)(1)(1)x x x -+=-…，所以2|1|4x -„，所以25x „，2420x „，所以2021520t t +-剟，即22350t t +-„且22150t t +-…，解得：35t 剟． 综上所述[3t ∈，5]， 故答案为：[3，5]．17．（3分）在三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ，且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α，记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，当1θ取到最大，2tan θ=22．【解答】解：三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面的射影为ABC ∆的垂心O ， 且PO 中点为M ，过AM 作平行于BC 的截面α， 记1PAM θ∠=，记α与底面ABC 所成的锐二面角为2θ，设1AO =，2PO a =，设3PAO θ=∠，则2tan a θ=，3tan 2a θ=， 32132232tan tan 2tan tan()1tan tan 1222a a a θθθθθθθ-=-===++Q „当且仅当2a =时，等号成立，此时22tan θ= ∴当1θ取到最大，22tan θ=2．三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-； （Ⅰ）求函数()f x 的单调减区间；（Ⅱ）将函数()f x 分别向左、向右平移(0)m m >个单位相应得到()g x 、()h x ，且3cos m =求函数()(),[0,]2y g x h x x π=+∈的值域．【解答】解：（Ⅰ）函数222()sin 22cos 1sin 2cos22(2)2)224f x x x x x x x x π=+-=+++， 由3222242k x k πππππ+++剟，k Z ∈，解得588k x k ππππ++剟， 可得()f x 的递减区间为[8k ππ+，5]8k ππ+，k Z ∈； （Ⅱ）由题意可得()22)4g x x m π++，()22)4h x x m π-+，由3cos m =21cos(2)2cos 13m m =-=-， 则22()()22)22)22)cos(2))4444y g x h x x m x m x m x ππππ=+++-+=+=+g ，由[0x ∈，]2π，可得2[44x ππ+∈，5]4π，即有2sin(2)[42x π+∈，1]，则2222)[4x π+∈2]3，即函数y 的值域为22[，2]3． 19．在如图的空间几何体中，ABC ∆是等腰直角三角形，90A ∠=︒，22BC =四边形BCED为直角梯形，90DBC ∠=︒，1BD =，2DE =，F 为AB 中点． （Ⅰ）证明：//DF 平面ACE ；（Ⅱ）若3AD =，求CE 与平面ADB 所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：取AC 中点G ，连结FG ，则1//2FG BC =，1//2DE BC =Q ，//DE FG =∴，∴四边形DFGE 是平行四边形，//DF EG ∴，DF ⊂/Q 平面ACE ，EG ⊂平面ACE ， //DF ∴平面ACE ．（Ⅱ）解：延长CE 、BD ，交于点P ，连结AP ， 则CE 与平面ADB 所成角就是CP 与平面PAB 所成角，1BD =Q ，3AD =，2AB =，222BD AD AB ∴+=，BD AD ∴⊥，BD DE ⊥Q ，AD DE D =I ，BD ∴⊥平面ADE ， BD ⊂Q 平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面ADE ，Q 平面ADB ⋂平面ADE AD =，作EH AD ⊥，则EH ⊥平面ADB ，EPH ∴∠是直线CP 与平面PAB 所成角， 2PB AB ==Q ，60PBA ∠=︒， PAB ∴∆是等边三角形，2PA ∴=，PA AC ∴=，E Q 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，且23PC =，1AE ∴=，222AE DE AD +=Q ，AE DE ∴⊥，∴23 AE DEAHAD==g，3PE=，CE∴与平面ADB所成角的正弦值为2sinEHEPHPE∠==．20．已知数列{}na的前n项和为nS，nS是3-和3na的等差中项；（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若121231()(1)2nnn nSS Sa a a aλ⋯+g g g…对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由nS是3-和3na的等差中项，得233n nS a=-，取1n=，可得13a=，当2n…时，11233n nS a--=-，两式作差可得：1233(2)n n na a a n-=-…，13n na a-∴=(2)n…，则数列{}na是以3为首项，以3为公比的等比数列，则3nna=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，13(13)1(33)132n n n S +-==--．∴31(1)23n n n S a =⨯-， ∴122123111()(1)(1)(1)2333n n n n S S S a a a ⋯=--⋯-g g g ． 若121231()(1)2n n n nS S S a a a a λ⋯+g g g …对任意正整数n 恒成立， 即21111(1)(1)(1)(1)3333n n λ--⋯-+g …对任意正整数n 恒成立，只需2111(1)(1)(1)333113n nλ--⋯-+g „对任意正整数n 恒成立， 令2111(1)(1)(1)333113n n nb --⋯-=+g ， 可得121311133n n n n n b b ++-=+>+． 又0n b >，1n n b b +∴<，∴数列{}n b 是递增数列，则当1n =时，n b 取得最小值12， ∴只需12λ„． ∴实数λ的取值范围是(-∞，1]2．21．已知：抛物线2:4C y x =，斜率为1-的直线l 与C 的交点为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点(1,2)P 在直线l 的右上方．分别过点P ，A ，B 作斜率不为0，且与C 只有一个交点的直线为1l ，2l ，3l ．（Ⅰ）证明：直线2l 的方程是112()yy x x =+；（Ⅱ）若12l l E =I ，13l l F =I ，23l l G =I ；求EFG ∆面积的最大值；【解答】解：（Ⅰ）证明：对于抛物线24y x =的方程中变量x 进行求导，则24yy '=，即2y y'=，设1(A x ，1)y ，则在A 点处的切线的斜率12k y =，直线2l 的方程1112()y y x x y -=-， 所以2111111222242()y y x x y x x x x x =-+=-+=+； 所以直线2l 的方程是112()yy x x =+；（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =-+，（点(1,2)P 在直线l 的上方，则3)m <， 联立方程组24y x my x=-+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得2440y y m +-=，△16160m =+>，所以13m -<<， 124y y +=-，124y y m =-，所以2121212||()441y y y y y y m -+-=+ 直线1:22(1)l y x =+，即1y x =+，直线2112:()l y x x y =+，直线3222:()l y x x y =+， 联立方程组1112()y x y x x y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得11111222(,)22x y x E y y ----， 同理可得22222222(,)22x y x G y y ----， 所以11221212221||||||21222E G x y x y x x y y m y y ---=-=-=+-- 故2||21G E GE x x m =-+，联立方程组22112()2()y x xyy x xy⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，则124y yx m==-，1222y yy+==-，则(,2)F m--，点F到直线1y x=+的距离d=，EFG∆的面积11||22S EG d==⨯g，当且仅当223m m+=-，即13m=时取等号，综上所述，EFG∆．22．已知()(32)xf x e a=-a R∈， 2.71828e=⋯为自然对数的底数；（Ⅰ）若1x=为函数()f x的极值点，求a的值；（Ⅱ）若|()|6f x e„在[0x∈，2]上恒成立，求a的取值范围；【解答】解：（Ⅰ）()(32)xf x e a=-Q，()3(32x xf x e e a∴'=-1x=Q为函数()f x的极值点，f∴'（1）13(32)02e e a=--=，解得32a e=-（Ⅱ）|()|6f x e„在[0x∈，2]上恒成立，则6(32)6xe e a e--剟，当0x=时，显然成立，当0x≠时，可得323x xe a e---剟，即323x xe a e++剟，[0x∈，2]，设()3xg x e=+，易知函数()g x在(0，2]上单调递增，()g x g∴„（2）23e=-，设()3xh x e，[0x∈，2]，第21页（共21页） 32()33x h x e ex -∴'=-，易知函数()h x '在(0，2]上单调递增， h 'Q （1）0=，()h x ∴在(0,1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， ()h x h ∴…（1）9e =，2329e a e ∴-剟，∴92ea。

2019-2020学年浙江省金华十校高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知向量()2,4,3a =-，()1,2,b x =-，若a b ⊥，则x =（ ）． A ．32-B ．103C ．2-D ．2【答案】B【解析】根据空间向量垂直的坐标表示得出关于x 的方程，解出即可. 【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，即2830x --+=，解得103x =， 故选：B ． 【点睛】本题考查利用空间向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.2．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.3．已知直线a 、b 和平面α，则下列命题正确的是（ ）C ．若//a b ，a α⊥，则b α⊥D ．若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂【答案】C【解析】逐一分析各选项的正误，即可得出结论. 【详解】对于A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，A 选项错误；对于B 选项，若a b ⊥，//b α，则//a α或a α⊂或a 与α相交，B 选项错误； 对于C 选项，若//a b ，a α⊥，则b α⊥，C 选项正确； 对于D 选项，若a b ⊥，b α⊥，则a α⊂或//a α，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查有关线面位置关系命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.4．已知1m <且0m ≠，则二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有（ ）A ．不同的顶点B ．不同的焦距C ．相同的离心率D ．相同的焦点【答案】D【解析】分01m <<和0m <两种情况讨论，确定二次方程2211x y m m-=-所表示的曲线的形状，并求出焦点坐标，从而得出结论. 【详解】若01m <<，则011m <-<，此时，二次方程2211x y m m -=-所表示的曲线为焦点在x轴上的双曲线，焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，而椭圆22143x y +=的焦点坐标为()1,0±，此时两曲线的焦点重合；若0m <，则10m m ->->，二次曲线2211x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆，且焦距为2=，焦点坐标为()1,0±，此时，两曲线的焦点重合.综上所述，二次曲线2211x y m m -=-与22143x y +=必有相同的焦点.【点睛】本题考查根据椭圆、双曲线的标准方程求焦点的坐标，解题时要对参数的取值进行分类讨论，并结合标准方程确定焦点的位置，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 5．在平面直角坐标系中，坐标原点O 到过点()cos130,sin130A ，()cos70,sin 70B 的直线距离为（ ）A ．12B．2CD ．1【答案】C【解析】求出直线AB 的方程，然后利用点到直线的距离公式可计算出原点到直线AB 的距离. 【详解】2sin 70sin130cos 20cos 40cos 202cos 2011cos 20cos 70cos130sin 20sin 40sin 202sin 20cos 20sin 20ABk -===--+--+=+⋅sin10cos10=，根据诱导公式可知：()sin 20,cos 20B ，所以经过A 、B 两点的直线方程为：()sin10cos 20sin 20cos10y x -=-，即sin10cos10cos10cos 20sin10sin 200x y -+-=， 即()sin10cos10cos 10200x y -++=，即3sin10cos1002x y -+=， 所以原点O 到直线的距离为22210cos 10d ==+， 故选：C ． 【点睛】本题考查点到直线距离的计算，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式的应用，解题的关键就是求出直线的方程，考查计算能力，属于中等题.6．若()()()2311f x x f x '=-+，则()()22f f '-=（ ）【解析】对函数()()()2311f x x f x '=-+求导，代入1x =，可求出()1f '的值，进而可求出函数()y f x =的解析式，可计算出()2f 和()2f '的值，进而得出()()22f f '-的值.【详解】求导()()312f x f x ''=+，令1x =，则()()1312f f ''=+．解得()11f '=-， 因此()()231f x x x =--+，()23f x x '=-，所以()2341f =-+=．21f，因此，()()220f f '-=， 故选：B ． 【点睛】本题考查导数值的计算，考查运算求解能力，属于基础题.7．如图，在菱形ABCD 中，23ABC π∠=，线段AD 、BD 的中点分别为E 、F ．现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，当二面角A BD C --的余弦值为13时，异面直线BE 与CF 所成角的正弦值是（ ）A ．35 B ．16C 26D ．15【答案】A【解析】过E 作EH BD ⊥，交BD 于H 点，设二面角A BD C --的大小为α，设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，由向量数量积的运算律得出CF BE CF HE ⋅=⋅，由题意可得出12HE BE =，利用数量积的定义可求出cos ,CF BE <>的值，即可求出cos θ的值，进而利用同角三角函数的平方关系可求出sin θ的值. 【详解】设BE 与CF 的夹角为θ，则0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦， 记二面角A BD C --的大小为α，()CF BE CF BH HE CF HE ⋅=⋅+=⋅， 即()cos CF BE CF HE πα⋅=⋅-，即11cos ,23CF BE CF BE CF BE ⎛⎫⋅<>=⋅⋅- ⎪⎝⎭， 1cos ,6CF BE ∴<>=-，所以1cos 6θ=，即35sin 6θ=，故选：A ．【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，同时也考查了二面角的定义，涉及利用空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.8．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，满足()()0f x f x '->，则（ ） A ．()()xG x e f x =是增函数，()()20202019ef f >B ．()()xG x e f x =是减函数，()()20202019ef f <C ．()()xf x F x e=是增函数，()()20202019f ef > D ．()()xf x F x e=是减函数，()()20202019f ef < 【答案】C【解析】利用导数判断函数()y G x =和函数()y F x =的单调性，再利用函数的单调性可判断出各选项中不等式的正误.构造函数()()xG x e f x =，则()()()xG x e f x f x ''=⋅+⎡⎤⎣⎦，()()f x f x '+的符号无法确定，所以，函数()y G x =的单调性不能确定，A 、B 选项错误； 构造函数()()x f x F x e =，则()()()0x f x f x F x e '-'=>，所以()()xf x F x e=单调递增，所以()()20202019F F >，即()()2020201920202019f f e e>，即()()20202019f ef >， 故选：C ． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，并利用函数的单调性来判断不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9．已知中心在原点的椭圆和双曲线有共同的左、右焦点1F 、2F ，两曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若18PF =，椭圆和双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则1221e e +的取值范围是（ ） A ．()4,+∞ B ．()4,7C ．()2,4D．()4【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，利用双曲线的定义和三角形三边关系求得24c <<，然后利用 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为2c ，则22PF c =，由椭圆和双曲线的定义可得12822822c a c a +=⎧⎨-=⎩，解得12440a c a c =+⎧⎨=->⎩，又因为2121PF F F PF +>，即48c >，解得2>c ，即24c <<， 所以()12122218241214,7a a c c e e c c c+++-+===+∈， 故选：B ．本题主要考查椭圆和双曲线离心率倒数和取值范围的计算，根据题意得出半焦距的取值范围是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.10．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 、N 分别为边AB 、BC 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，点A 折至1A 处（1A 与A 不重合），若M 、K 分别为线段1A D 、1A C 的中点，则在ADE ∆折起过程中（ ）A ．DE 可以与1A C 垂直B ．不能同时做到//MN 平面1A BE 且//BK 平面1A DEC ．当1MN AD ⊥时，MN ⊥平面1A DED ．直线1AE 、BK 与平面BCDE 所成角分别为1θ、2θ，1θ、2θ能够同时取得最大值 【答案】D【解析】逐一分析各选项的正误，从而可得出结论. 【详解】对于A ，连接EC ，假设1DE A C ⊥，45AED BEC ∠=∠=，90DEC ∠=，DE EC ∴⊥，1AC EC C =，DE ∴⊥平面1A EC ，1A E ⊂平面1A EC ，1DE A E ∴⊥，而145A ED ∠=，∴A 错误；对于B ，取DE 、DC 中点G 、F ，连接GM 、GN 、FK 、FB ，//BE CD ，12BE CD =，则四边形BEDC 为梯形，且BE 、CD 为底，又G 、N 分别为DE 、BC 的中点，//GN BE ∴，GN ⊄平面1A BE ，BE ⊂平面1A BE ，//GN ∴平面1A BE ， MG GN G ⋂=，∴平面//MGN 平面1A BE ，MN ⊂平面MGN ，//MN ∴平面1A BE ，同理可得//BK 平面1A DE ，B 选项错误； 对于C ，连接ME 、EN ，当1MN A D ⊥时，22222224MN DN DM CD CN DM CD =-=+-==， 而2254ME EN ==，222ME EN MN ∴+≠， MN ∴与ME 不垂直，即MN 不垂直平面1A DE ，C 选项错误；对于D ，1A 在以DE 为直径球面上，球心为G ，1A ∴的轨迹为1A AF ∆外接圆（1A 与F 不重合，F 为CD 的中点），连接EC ，取EC 中点T ，连接TK 、TB ，则1//TK A E ，//BT DE ， 且1180KTB A ED ∠+∠=，118018045135KTB A ED ∴∠=-∠=-=， 在KTB ∆中，11122KT A E ==，122BT CE ==， 由余弦定理得22252cos1354BK BT KT BT KT =+-⋅=，5BK ∴=.当直线BK 与平面BCDE 所成角取得最大值时，点K 到平面BCDE 的距离最大， 由于点K 为1A C 的中点，此时，点1A 到平面BCDE 的距离最大，由于11A E =，当1A E 与平面BCDE 所成角最大时，点1A 到平面BCDE 的距离最大. 所以，直线1A E 、BK 与平面BCDE 所成角能同时取到最大值. 故选：D ． 【点睛】本题考查空间翻折几何体的应用，考查线线、线面位置关系的判断，考查线面角的求解，考查推理能力、空间想象能力以及运算求解能力，属于难题.二、填空题11．设两直线()11:34m x l y -+=与()2:251l x m y +-=，若12l l //，则m =______；若12l l ⊥，则m =______． 【答案】7133【解析】根据两直线平行和垂直的等价条件列出关于实数m 的方程，解出即可. 【详解】12//l l ，则()()35832m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即28701m m m ⎧-+=⎨≠⎩，解得7m =；13故答案为：7；133. 【点睛】本题考查利用两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题. 12．已知函数()21xf x xe =-，则函数()f x 的极小值为______，零点有______个．【答案】112e-- 1 【解析】求出函数()y f x =的导数，求出极值点，分析该函数的单调性，可求得该函数的极小值，令()0f x =，可得出21xe x=，作出函数2xy e =与函数1y x =的图象，观察两个函数图象的交点个数，可得出函数()y f x =的零点个数. 【详解】()21x f x xe =-，()()222212x x x f x e xe x e '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，如下表所示：所以，函数()y f x =的极小值为11122f e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ()210x f x e x=⇒=，则函数()y f x =的零点个数等于函数2xy e =与函数1y x =的图象的交点个数，如下图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数()y f x =只有一个零点. 故答案为：112e--；1． 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，同时也考查了函数零点个数的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为______；外接球的体积为_________.【答案】323+823【解析】把几何体放入长方体中，根据三视图的数据可计算出该三棱锥的表面积，计算出长方体的体对角线长，可得出该三棱锥外接球的半径，利用球体体积公式可求出球的体积. 【详解】把该几何体放入长方体中，如图所示三棱锥A BCD -就是该几何体，其中长方体的长和宽都为2，高为2， 所以该三棱锥的表面积为()2111122222263232222⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++. 又因为该长方体的体对角线长为()2222222+⨯=，故其外接球的半径为2，所以外接球的体积为()3482233ππ⨯=． 故答案为：323++；823π.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的表面积，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，解题的关键就是利用三视图将几何体还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 14．已知抛物线2y ax =的准线方程为1x =-，则a =______，若过点()4,0P 的直线与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则124y y +的最小值为______． 【答案】4 16【解析】根据抛物线的标准方程得出准线方程，可求出实数a 的值，设直线AB 的方程为4x my =+，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用基本不等式可求出124y y +的最小值. 【详解】抛物线2y ax =的准线方程为4a x =-，所以，14a-=-，解得4a =，设直线AB 的方程为4x my =+，代入抛物线方程24y x =可得，24160y my --=，所以1216y y =-，即2116y y =，所以12111164644216y y y y y y +=+≥⋅=， 故当18y =，即18y =±时取到最小值，最小值为16.故答案为：4；16. 【点睛】本题考查由抛物线准线的方程求参数，同时也考查韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 15．已知函数()2143ln 2f x x x x =-+在区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上是单调函数，则实数t 的取值范围______． 【答案】[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【解析】利用导数求出函数()2143ln 2f x x x x =-+的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3，由题意可知，区间3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为这三个区间的子集，从而可列出关于实数t 的不等式组，解出即可. 【详解】函数()2143ln 2f x x x x =-+的定义域为()0,∞+，()23434x x f x x x x-+'=-+=. 令()0f x '>，可得01x <<或3x >；令()0f x '<，可得13x <<.所以，函数()y f x =的单调增区间为()0,1和()3,+∞，单调递减区间为()1,3. 由于函数()y f x =在3,2t t ⎛⎫+⎪⎝⎭上单调，则3,2t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为以上三个区间的子集.①若()3,0,12t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得0312t t t ≥⎧⎪⇒∈∅⎨+≤⎪⎩； ②若()3,1,32t t ⎛⎫+⊆ ⎪⎝⎭，可得1332t t ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，解得312t ≤≤；③若()3,3,2t t ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，则3t ≥.因此，实数t 的取值范围是[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.故答案为：[)31,3,2⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为所涉及的区间为单调区间的子集是解题的关键，考查化归与转化思想以及运算求解能力，属于中等题.16．如图，菱形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，60DAB ∠=，AC 和BD 交于点O ，AB AF =，点P 为线段CE 上任意一点，直线OP 与平面FBD 所成角为α，则sin α的取值范围______．【答案】27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】证明出平面FBD ⊥平面ACEF ，可得出FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，然后找到角α取最大值和最小值时对应的点P 的位置，求出相应的sin α值，即可求出sin α的取值范围. 【详解】四边形ABCD 是菱形，可得AC BD ⊥， 又平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD平面ACEF AC =，BD ⊂平面ABCD ，BD ∴⊥平面ACEF ，BD ⊂平面FBD ，∴平面FBD ⊥平面ACEF ，故点P 在平面FBD 上的射影落在FO 上，即FOP ∠就是OP 与平面FBD 所成角或其补角，如图所示，当点P 在点H 位置，所成角为2π，即sin α最大为1； P 向两边移动，线面角变小，故只需比较FOE ∠和FOA ∠的大小就行，23tan 33AFFOA AOAB∠===<3FOA π∴∠<， 故23FOE FOA ππ∠=-∠>，所以，当点P 与点C 重合时，角α最小，且2tan 27sin sin 7tan 1FOA FOA FOA α∠=∠==∠+. 因此，sin α的取值范围是27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：27,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线面角正弦值取值范围的计算，解题的关键就是找出点的临界位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 17．已知抛物线212y x =的焦点为F ，F 是抛物线上两点，且AF BF n +=，若线段AB 的垂直平分线与y 轴的交点为()0,4C ，则n =______．【答案】7【解析】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，求出线段AB 的垂直平分线方程，由该直线过点C ，得出22123t t +=，然后利用抛物线的定义可求出n 的值.【详解】设点()2112,2A t t 、()2222,2B t t ，则12AB k t t =+，线段AB 的中点()221212,M t t t t ++，从而AB 的中垂线方程为()221212121y x t t t t t t =---+++， 该直线过点()0,4，从而221214t t ++=，从而22123t t +=，从而222212121122221231722n AF BF t t t t +=+++=++=+=⨯=. 故答案为：7. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知点()1,2P ，圆22:60C x y y +-=．（1）若直线l 过点P 且在两坐标轴上截距之和等于0，求直线l 的方程； （2）设A 是圆C 上的动点，求OA OP ⋅（O 为坐标原点）的取值范围．【答案】（1）20x y -=和10x y -+=；（2）6⎡-+⎣.【解析】（1）分两种情况讨论，①直线l 过原点，可设直线l 的方程为y kx =；②当两截距均不为零时，设直线l 的方程为1x ya a+=-.将点P 的坐标代入上述直线l 的方程，求出参数值，综合可得出直线l 的方程；（2）设点()3cos ,33sin A θθ+，利用平面向量数量积的坐标运算得出OA OP ⋅，结合辅助角公式和正弦型函数的值域可求出OA OP ⋅的取值范围. 【详解】（1）当截距均为0即直线过原点时，设直线l 的方程为y kx =． 代入()1,2P ，解得2k =，直线l 的方程为20x y -=； 当截距均不为0时，设直线l 的方程为1x y a a+=-，代入()1,2P ，解得1a =-， 直线方程为10x y -+=.综上所述，所求直线l 的方程为20x y -=和10x y -+=；（2）将圆C 方程整理为()2239x y +-=，则有3cos 33sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，所以可设()3cos ,33sin A θθ+，()()3cos 233sin 6sin 3cos 66OA OP θθθθθϕ⋅=++=++=++，其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=，由于R θ∈，所以6OA OP ⎡⋅∈-+⎣． 【点睛】本题考查直线的截距式方程，同时也考查了平面向量数量积取值范围的计算，将圆上的点的坐标利用圆的参数方程表示是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，CA CB =，160BAA ∠=．（1）若G 是线段AB 的中点，求证：平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）若M 、N 、Q 分别是线段11A B 、1CB 、CB 的中点，求证：直线11//C A 平面MNQ ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明AB ⊥平面1CGA ，然后利用面面垂直的判定定理可证明出平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）连接1A C ，由中位线的性质可得出1//MN AC ，利用线面平行的判定定理可证明出直线//MN 平面11AAC C ，同理可得出//QN 平面11AAC C ，由面面平行的判定定理得出平面//MNQ 平面11AAC C ，由此可得出直线11//C A 平面MNQ . 【详解】（1）连接1A B ，在ABC ∆中，CA CB =，G 为AB 中点，所以AB CG ⊥，由于侧面11ABB A 是菱形，则1AB AA =，160BAA ∠=，所以，1ABA ∆为等边三角形，G 为AB 的中点，1A G AB ∴⊥，而1CG AG G =，所以AB ⊥平面1CGA ， 而AB平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1CGA ；（2）如下图所示，连接1A C ，在11A B C ∆中，M 、N 分别为11A B 、1B C 的中点，所以1//MN AC ， 而MN ⊄平面11AAC C ，1AC ⊂平面11AAC C ，所以//MN 平面11AAC C ．同理，1//QN BB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11//BB AA ，1//QN AA ∴， 而QN ⊄平面11AAC C ，1AA ⊂平面11AAC C ，所以//QN 平面11AAC C ． 而MNQN N =，MN 、QN ⊂平面MNQ ，所以平面11//AAC C 平面MNQ ．又11C A ⊂平面11AAC C ，所以直线11//C A 平面MNQ ． 【点睛】本题考查平面与平面垂直、直线与平面平行的证明，考查推理论证能力，属于中等题. 20．已知四棱锥P ABCD -，12BC CD DA ==，//BC AD ，90ADC ∠=，点P 在底面ABCD 上的射影是BD 的中点O ，2PC =．（1）求证：直线BD ⊥平面POC ；（2）若1BC =，M 、N 分别为PO 、CD 的中点，求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求二面角B PC D --的大小．【答案】（1）证明见解析（21053）23π 【解析】（1）连接OC ，由题意可得出PO ⊥平面ABCD ，可得出PO BD ⊥，由等腰三角形三线合一的思想可得出PO BD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可得出结论；（2）以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，先由2PC =求出点P 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值；（3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，利用基本不等式求出三棱锥P ABCD -体积的最大值，求出a 的值，以点C 为坐标原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出二面角B PC D --的大小． 【详解】（1）连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥， 又因为BC CD =，且O 为BD 的中点，故OC BD ⊥． 又POOC O =，所以BD ⊥平面POC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立直角坐标系如图所示， 则()0,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0D ，11,,22P m ⎛⎫⎪⎝⎭，于是211244PC m =++=6=m ．即116,22P ⎛ ⎝⎭． 所以1,0,02N ⎛⎫⎪⎝⎭，116,22M ⎛ ⎝⎭，160,2NM ⎛= ⎝⎭设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，()1,0,0CD =，116,,222CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则0011660222n CD x x y z n CP x y z ⎧⋅===⎧⎪⎪⇒⎨⎨=-⎪⋅=++=⎩⎪⎩，令1z =-，得()0,6,1n =-， 所以66024105sin cos ,351661416n NM n NM n NMθ+-⋅=<>===⋅+⋅+． 故直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值为10535； （3）设2BC a =，则2OC a =，222PO a =-，所以()24212422222232P ABCD a aV a a a a -+=⨯⨯⨯-=-32222246239a a a ⎛⎫++-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2222a a =-即2633a ==时取等号，此时26BC CD ==33BD =， 以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系如图所示，则()0,0,0C ，263D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，260,3B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，666333P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．设平面PBC 的法向量为()1111,,n x y z =，260,,03CB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，666,333CP ⎛= ⎝⎭， 则)111111112603603n CB y y x z n CP x y z ⎧⋅==⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪⋅=++=⎪⎩，令11z =-，得()11,0,1n =-，同理，可得平面PCD 的一个法向量为的()20,1,1n =-， 所以1212121cos ,2⋅<>==⋅n n n n n n ， 又因为二面角B PC D --为钝二面角，所以二面角B PC D --的大小为23π． 【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了线面角和二面角的计算，建立空间直角坐标系是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．已知函数()()2ln 1f x ax x =-+，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当32a <时，若对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln 2f x a≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，然后对a 分类讨论，分析导数符号的变化，可得出该函数的单调增区间和减区间； （2）由题意知0a >，由()1ln2f x a≥可得出()min 1ln 2f x a ≥，可得出122ln 20a a -+≥，令()3122ln 202h a a a a ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，利用导数分析函数()y h a =的单调性，结合102h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()()2ln 1f x ax x =-+的定义域为()1,-+∞，且()121f x a x '=-+． ①当0a ≤时，对任意的1x >-，()0f x '<，则函数()y f x =在区间()1,-+∞上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，得1112x a -<<-；令()0f x '>，得112x a>-. 所以，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．（2）由于对任意的()1,x ∈-+∞，均有()1ln2f x a≥，则0a >且()min 1ln 2f x a ≥，由（1）可知，当0a >时，函数()y f x =在区间11,12a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，()min 11112ln 2ln ln 222f x f a a a a a ⎛⎫∴=-=-+≥=- ⎪⎝⎭， 即3122ln 2002a a a ⎛⎫-+≥<<⎪⎝⎭． 令()122ln 2h a a a =-+，则()()2122a h a a a-'=-+=， ∴函数()y h a =在区间()0,1上单调递增，在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 且32ln 3202h ⎛⎫=->⎪⎝⎭，1112ln102h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，为使()0h a ≥， 则实数a 的取值范围为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F AF ∆的面积为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y kx =+与椭圆C 交于B 、D 两点，O 为坐标原点，y 轴上是否存在点E ，使得OEB OED ∠=∠，若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设P 为椭圆C 上非长轴顶点的任意一点，Q 为线段12F F 上一点，若1PQF ∆与2PQF ∆的内切圆面积相等，求证：线段PQ 的长度为定值．【答案】（1）22143x y +=（2）存在，()0,3E ，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，根据12F AF ∆的面积计算出1c =，可设椭圆C 的标准方程为222211x y a a +=-，再将点A 的坐标代入椭圆C 的标准方程，求出2a 的值由此可求出椭圆C 的方程；（2）设点()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，由OEB OED ∠=∠，可得出0BE DE k k +=，将直线BD 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，代入0BE DE k k +=，求出实数m 的值，即可求出定点E 的坐标；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，由题意得出()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得出()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，可求出正数t 的值，从而得出结论. 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，因为12F AF ∆2，所以1A c y c ⋅=⇒=，设椭圆C 的方程为222211x y a a +=-，将A ⎝代入方程得42212242131340431a a a a a +=⇒-+=⇒=-，2213a =，易知1a c >=，所以2a =，因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）存在这样的点E 为()0,3，下面证明：设()11,B x y ，()22,D x y ，()0,E m ，所以要使得OEB OED ∠=∠， 即1212121211000BE DE y m y m kx m kx mk k x x x x --+-+-+=⇒+=⇒+= ()1212210x x k m x x +⇒+-⋅=①； 联立()2222134880143y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 由韦达定理得122834k x x k -+=+，122834x x k -=+， 代入可将①化简为()210k m k +-=，要使得式子关于k 恒成立，即此时3m =， 所以点()0,3E ；（3）设点()00,P x y ，()()11,0n Q n -<<，PQ t =，因为内切圆面积相等，即圆半径相等，而内切圆半径公式为三角形面积的2倍除以周长，所以()()0121111n y n y n PF tn PF t+-=+++-++，化简得1211PF tn n PF t++=-+， 故11nn+=-，因为220334x y =-，代入得0021214222x t x n n x n t t +++=⇒=-+-++．而()222220000033424x x t x n y x t ⎛⎫=-+=-+- ⎪+⎝⎭，()()22203420t t x ⎡⎤-+-=⎣⎦，而()220420t x +-≠，所以t =，即线段PQ【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在某点满足条件以及椭圆中的定值问题，考查计算能力，属于难题.。