2010年北京丰台区一模数学试题及答案y

北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（理）注意事项： 1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B 铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果aiaiz +-=11为纯虚数，则实数a 等于（ ）A ．0B ．-1C ．1D ．-1或12．设集合[)(]}1,0,log |{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==x x y y N x y y M x，则集合N M 是（ ）A ．[)+∞-∞,1)0,(B ．[)+∞,0C ．(]1,∞-D ．)1,0()0,( -∞ 3．若,)21(2210n n n x a x a x a a x ++++=- 则2a 的值是 （ ）A ．84B ．-84C ．280D ．-2804．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是 （ ） A ．36 B ．48 C ．52 D ．54 6．在ABC ∆，|"||"""AC =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值8 8．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ） A ．（10，1） B ．（2，10） C ．（5，7） D ．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm 2，则CDF ∆的面积是 cm 2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是cm 3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==1t y tx （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===x x y 围成的梯形面积等于S ，则S 的最大值等于 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. （III ）当二面角B —PC —D 的大小为32π时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II ）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ. 18．（13分）已知函数.ln )(xax x f += （I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值. 19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程；（II ）当0=⋅时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点. 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成： ①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M 0，都有)(*N n M d n n ∈≠. 求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） BCAABCBC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．4 10．324 11．0.09,680 12．2 13．(]4,2 14．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG 平面PAC ， ∴BD ⊥FG …………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 （III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ，∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ，∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角，…………11分即,32π=∠BHD ∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角 …………12分连结EH ，则PC EH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EHBEBHE ===∠∴而 ,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC,22tan =∠∴PCA ∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E （I ）),2,21,21(),0,1,1(am m ---=-=002121=+-++=⋅m m FG BDFG BD ⊥∴ …………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=， 由EP FG λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m …………7分,43),0,43,43(G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD…………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC ⎩⎨⎧==-+∴0y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =， 同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a =设,所成的角为0， 则,21|32cos||cos |==πθ ,21111,2122=+⋅+∴=a a 1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p 1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p所以364949492=⨯+⨯+⨯=p…………9分（III ）ξ的分布列为…………13分 ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞ …………1分 221)('xax x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的. …………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增， 其最小值为,1)1(<=a f 这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增， 其最小值为,1)1(=f 同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减， 在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以， 函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f 由,,231ln e a a ==+得 …………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减， 其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减，其最小值为,21)(>+=eae f 仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0）， 所以),,2(),,2(2211y x y x +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得 将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k …………10分所以,0)56()2(=-⋅-b k b k 即,562k b k b ==或经检验，都符合条件①当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y += 显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点. 即直线l 经过点A ，与题意不符. 当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A.综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点…………13分 20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ， 取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分 对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时， 不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+,32433b b b <=+而且有5≤n b ，显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分 （II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c设其公比为q>0，,473323=++∴c q c q c 整理得0162=--q q1121,1,21-==∴=∴n n c c q 1212--=n n S …………7分 对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有且,2<n S 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分 （III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下： 假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得 而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d 所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证.…………14分。

北京市丰台区2010年高三年级第二学期统一练习（一）数 学 试 题（文）一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数iiz +-=11化简的结果等于 （ ） A ．-i B ．iC ．-2iD ．2i2．函数)6(log 3)(2x x x f -++=的定义域是（ ）A ．}6|{>x xB ．}63|{<<-x xC ．}3|{->x xD ．}63|{<≤-x x3．在右面的程度框图中，若x=5，则输出i 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．直线40222=+=++y x y x 截圆所得劣弧所对圆心角为 （ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π 5．若1,0=+<<b a b a 且，则在下列四个选项中，较大的是（ ）A ．21B ．22b a +C ．ab 2D ．b6．奇函数)0,()(-∞在x f 上单调递增，若,0)1(=-f 则不等式0)(<x f 的解集是（ ） A ．)1,0()1,(⋃--∞ B ．),1()1,(+∞⋃--∞C ．)1,0()0,1( -D ．),1()0,1(+∞⋃-7．若集合},,0201|),{(},2,1,0{P y x y x y x y x Q P ∈⎩⎨⎧<-->+-==，则Q 中元素的个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9 8．在ABC ∆，|"|||"""AC =⋅=⋅是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm 3. 10．设等比数列}{n a 的公比为,21=q 前n 项和为44,a S S n 则= .11．已知向量|2|),3,1(),2,1(),,(y x -=+-==则且等于 . 12．函数x x f ln )(=的图象在点))(,(e f e 处的切线方程是 .13．已知函数)8(,)0)(3()0(2)(-⎩⎨⎧≤+>=f x x f x x f x 则= .14．已知点A （1，-1），点B （3，5），点P 是直线x y =上动点，当|PA|+|PB|的值最小时，点P 的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（12分）已知函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I ）求实数a 、b 的值； （II ）若]2,0[π∈x ，求函数)(x f 的最大值及此时x 的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点. （I ）求证：BD ⊥FG ；（II ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由. 17．（15分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题. （I ）求全班人数及分数在[)90,80之间的频数；（II ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高； （III ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率.18．（13分）设.13)1(23)(23+++-=ax x a x x f （I ）若函数)(x f 在区间（1，4）内单调递减，求a 的取值范围；（II ）若函数a x x f =在)(处取得极小值是1，求a 的值，并说明在区间（1，4）内函数)(x f 的单调性.19．（13分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线2:+=kx y l 与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程；（II ）是否存在常数0,=⋅k 使？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a ②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中 1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素； （II ）设}{n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，,18,43==n S c 证明数列W S n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使.M d k = 求证：.321+++>>k k k d d d参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） ADCDDABC二、填空题（每小题5分，共30分） 9．324 10．15 11．512．0=-ey x13．2 14．（2，2） 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a …………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分 ],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x…………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分）证明：（I ）⊥PA 面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG 平面PAC ， ∴BD ⊥FG …………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时， FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD. …………13分 17．（15分）解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯ 全班人数为.2508.02= …………3分 所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=---- …………5分（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[)80,70之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747； 分数在[)90,80之间的总分约为85×4=340；分数在]100,90[之间的总分数为95+98=193； 所以，该班的平均分数为.7425193340747456114=++++…………8分估计平均分时，以下解法也给分： 分数在[)60,50之间的频率为2/25=0.08; 分数在[)70,60之间的频率为7/25=0.28； 分数在[)80,70之间的频率为10/25=0.40; 分数在[)90,80之间的频率为4/25=0.16 分数在]100,90[之间的频率为2/25=0.08; 所以，该班的平均分约为频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高为.016.010254=÷…………10分 （III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6） （4，5），（4，6） （5，6）共15个，…………12分 其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个， …………14分 故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159= …………15分 18．解：))(1(33)1(33)('2a x x a x a x x f --=+--= …………2分（1）在区间函数)(x f （1，4）内单调递减，[).,4,0)4('+∞∈∴≤∴a f…………5分（2）a x x f =在函数)( 处有极值是1，即,11232113)1(2323223=++=+++-a a a a a a ,0)3(2=-∴a a 所以a=0或3.…………8分当a=0时，f （x ）在)0,(-∞上单调递增， 在（0，1）上单调递减，所以f （0）为极大值，这与函数f （x ）在x=a 处取得极小值是1矛盾， 所以0≠a…………10分当a=3时，f （x ）在（1，3）上单调递减，在),3(+∞上单调递增， 所以f （3）为极小值，所以a=3时，此时，在区间（1，4）内函数f （x ）的单调性是： f （x ）在（1，3）内减，在[)4,3内增.…………13分19．（13分）解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦距为32的椭圆，其方程为.1422=+y x …………4分（2）将2+=kx y ，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k ①…………6分设),,(),,(2211y x Q y x P 由方程①，得221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………8分又.2)(2)2)(2(212122121+++=++=⋅x x k x x k kx kx y y③若,0=⋅得,02121=+y y x x …………10分将②、③代入上式， 解得.26±=k …………12分又因k 的取值应满足,0>∆ 即0142>-k （*）， 将26±=k 代入（*）式知符合题意 …………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，当n=1时，,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，① 故}{n a 不是集合W 中的元素，…………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时，不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+ ,32433b b b <=+而且有5≤n b ， 显然满足集合W 的条件①②， 故}{n b 是集合W 中的元素.…………4分（II ）}{n c 是等差数列，n S 是其前n 项和，,18,433==S c 设其公差为d ，n n S n d n c c n n 9,102)3(23+-=+-=-+=∴…………7分n S ∴的最大值是,2054==S S即.204=≤S S nW S n ∈∴}{，且M 的取值范围是[)+∞,20…………9分（III ）证明：,2,}{12+-<+∴∈k k k n d d d W d 整理)()(11112M d d d d d d k k k k k k -+=-+<-++++， 又,)(,221223231++++++++<-+<∴<+k k k k k k k k d d d d d d d d.321+++>>∴k k k d d d…………14分。

北京市丰台区2010—2011学年度第一学期模拟考试高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改法，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A C x x x A R S S 那么集合},032|{,2≤--==等于（ ）A ．}31|{>-<x x x 或B ．}13|{>-≤x x x 或C ．}31|{<≤-x xD ．}13|{≤<-x x 2．函数12-=x y 的反函数是（ ）A ．)1)(1(log 2>-=x x yB ．)0(log 12>+=x x yC ．)(121R x y x∈+=D ．)1(121≠=-x y x3．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是 （ ）A ．3,1πϕω-==B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω==4．若平面向量则且的夹角是与,53||,180)2,1(=-=等于 （ ）A ．（6，－3）B ．（3，－6）C ．（－3，6）D ．（－6，3）5．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 是抛物线上一点，若4-=⋅，则点A 的坐标是 （ ）A ．)22,2(),22,2(-B ．（1，2），（1，－2）C ．（1，2）D ．)22,2(6．过坐点原点且与0252422=++-+y x y x 相切的直线方程为 （ ）A ．x y x y 313=-=或 B ．x y x y 313-=-=或C ．x y x y 313-==或D ．x y x y 313==或7．n xx )1(2-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．把数列}12{+n 依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，……，循环分为：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第60个括号内各数之和为 （ ） A ．1112 B ．1168 C ．1176 D ．1192第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

平面解析几何一、选择题和填空题1．（海淀·理科·题13）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为12,F F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为()1,2．则该椭圆的离心率的取值范围是 ．【解析】 12,35⎛⎫⎪⎝⎭；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1,a c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2,a c ，12,PF m PF n ==，则1222102m n a m n a m n c+=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩1255a c a c =+⎧⇒⎨=-⎩，问题转化为已知125c c <<-，求5c c +的取值范围． 设5c x c =-，则51x c x =+，11521242c x c x x ==-+++． ∵12x <<，∴11111126242210x -<-<-+，即111232425x <-<+．2．（海淀·文科·题8）1by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ∆是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为（ ） A1 B ．2 CD1 【解析】 A ；圆221x y +=1by +=，∴2222a b +=， 即2212b a +=．因此所求距离为椭圆2212b a +=上点(),P a b 到焦点()0,11．3．（海淀·文科·题10）已知动点P 到定点()2,0的距离和它到定直线:2l x =-的距离相等，则点P 的轨迹方程为________． 【解析】 28y x =；由已知，该轨迹为2p =，定点为()0,0，对称轴为x 轴的抛物线，即28y x =．4．（丰台·文科·题4）直线0x y +=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（ ）A ．π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3【解析】 D ；1=2=，于是1cos22θ=，2π3θ=．5．（丰台·文科·题14）已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 ． 【解析】 ()2,2；连结AB 与直线y x =交于点Q ，则当P 点移动到Q 点位置时，||||PA PB +的值最小．直线AB 的方程为()()515331y x ---=--，即340x y --=． 解方程组340x y y x --=⎧⎨=⎩，得22x y =⎧⎨=⎩．于是当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标为()2,2．6．（石景山·理·题5）（石景山·文·题5）经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-=【解析】 A ；设圆心为C ，则AB 垂直于CP ，3012(1)CP k --==---，故:32AB y x +=-，选A ．7．（西城·理·题13）（西城·文·题7）已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 _________ ． 【解析】 2-；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．8．（东城·理·题13）直线x t =过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ．【解析】 (1,；,,,b b A t t B t t a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要使原点在以AB 为直径的圆外，只需原点到直线AB 的距离t 大于半径b t a 即可，于是b a <，e c a ==e (1,∈．9．（东城·文·题7） 已知圆22104x y mx ++-=与抛物线214y x =的准线相切，则m 的值等于（ ）A ．BCD ． 【解析】 D ；抛物线的准线为1y =-，将圆化为标准方程222124m m x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭，圆心到直线的距离为1=m ⇒=10．（东城·文·题10）经过点(2,3)-且与直线250x y +-=垂直的直线方程为 ． 【解析】280x y -+=； 直线250x y +-=的斜率为2-，故所求直线的斜率为12，从而所求直线方程为13(2)2y x -=+．11．（东城·文·题14）点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为 ．【解析】 83；121210,6PF PF F F +==，1212121211()18322PF F P P S PF PF F F F F y y ∆=++⋅==⋅=．12．（宣武·理·题6）若椭圆221x y m n+=与双曲线221(,,,x y m n p q p q -=均为正数）有共同的焦点1F ，2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12||||PF PF ⋅等于（ ）A ．22p m -B ．p m -C ．m p -D ．22m p -【解析】 C ；由题设可知m n >，再由椭圆和双曲线的定义有12||||PF PF +=及12||||PF PF -=±两个式子分别平方再相减即可得12||||PF PF m p =-．13．（宣武·文·题8）设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线:0l x =截得的弦长等于2，则a 的值为（ ）A B C ．2D ．3【解析】 A ；圆C 的圆心C ，双曲线的渐近线方程为0ay ±=，C 到渐近线的距离为d ==故圆C 方程22(2x y +=．由l 被圆C 截得的弦长是2及圆C知，圆心C 到直线l 的距离为11a =⇒=14．（崇文·文·题4）若直线y x b =+与圆222x y +=相切，则b 的值为 （ ）A ．4±B ．2±C ．．±【解析】 B ；2b ==． 15．（朝阳·理·题6）已知点(3,4)P -是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>渐近线上的一点，,E F 是左、右两个焦点，若0EP FP ⋅=，则双曲线方程为（ ） A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．221916x y -=D ．221169x y -=【解析】 C ；不妨设()(),0,,0E c F c -，于是有()()23,43,49160EP FP c c c ⋅=+-⋅--=-+=．于是225c =．排除A ，B ．又由D 中双曲线的渐近线方程为34y x =±，点P 不在其上．排除D ．16．（朝阳·理·题10）（朝阳·文·题13）圆224x y +=被直线0y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ．【解析】 π3．圆心到直线的距离为d ==θ，于是cos2θ=π3θ=．17．（朝阳·文·题10）在抛物线22(0)y px p =>上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ． 【解析】 2；由抛物线的几何性质，有4522pp +=⇒=．二、解答题18．（海淀·理科·题19）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．⑴求椭圆C 的方程；⑵过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A、B 两点，且2AF B ∆2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程．【解析】 ⑴设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由题意可得：椭圆C 两焦点坐标分别为()11,0F -，()21,0F ．∴532422a ==+=．∴2a =，又1c =，2413b =-=，故椭圆的方程为22143x y +=．⑵当直线l x ⊥轴，计算得到：31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21211||||32322AF B S AB F F ∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2222(34)84120k x k x k +++-=．显然0∆>成立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122834k x x k +=-+，212241234k x xk -⋅=+．又||AB即2212(1)||34k AB k +==+，又圆2F 的半径r ==．所以2221112(1)||2234AF BkS AB rk∆+==⨯==+，化简，得4217180k k+-=，即22(1)(1718)0k k-+=，解得1k=±．所以，r==．故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=．⑵另解：设直线l的方程为1x ty=-，由221143x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得22(43)690t y ty+--=，0∆>恒成立，设()11,A x y，()22,B x y，则122643ty yt+=+，122943y yt⋅=-+．所以12||y y-==又圆2F的半径为r==．所以212121||||2AF BS F F y y∆=⋅⋅-12||y y=-==21t=，所以r==故圆2F的方程为：22(1)2x y-+=．19．（海淀·文科·题19）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭0在该椭圆上．⑴求椭圆C的方程；⑵过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若AOB∆，求圆心在原点O且与直线l 相切的圆的方程．【解析】⑴设椭圆C的方程为22221x ya b+=(0)a b>>，由题意可得12cea==，又222a b c=+，所以2234b a=因为椭圆C经过31,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程有22914134a a+=，解得2a=所以1c=，2413b=-=故椭圆C的方程为22143x y+=．⑵解法一：当直线l x⊥轴时，计算得到：31,2A⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B⎛⎫-⎪⎝⎭，1113||||13222AOBS AB OF∆=⋅⋅=⨯⨯=，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：(1)y k x=+，0k≠由22(1)143y k xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得2222(34)84120k x k x k+++-=显然0∆>成立，设()11,A x y，()22,B x y，则2122834kx xk+=-+，212241234kx xk-⋅=+又||AB=即2212(1)||34kABk+==+又圆O的半径r==所以1||2AOBS AB r∆=⋅⋅22112(1)234kk+=⋅+=化简，得4217180k k+-=，即22(1)(1718)0k k-+=，解得211k=，2218k=-（舍）所以r==O的方程为2212x y+=．⑵解法二：设直线l的方程为1x ty=-，由221143x tyx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x，得22(43)690t y ty+--=因为0∆>恒成立，设()11,A x y，()22,B x y，则12122269,4343ty yy yt t+=⋅=-++所以12||y y-==所以1121||||2AOBS F O y y∆=⋅⋅-==化简得到4218170t t--=，即22(1817)(1)0t t+-=，解得211,t=221718t=-（舍）又圆O的半径为r==所以r==O的方程为：2212x y+=20．（丰台·理科·题19）在直角坐标系xOy中，点M到点()1,0F，)2,0F的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线:l y kx b=+与轨迹C交于不同的两点P和Q．⑴求轨迹C的方程；⑵当0AP AQ⋅=时，求k与b的关系，并证明直线l过定点．【解析】⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k =+ ② 且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+． 显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点．21．（丰台·文科·题19）在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线:l y kx =轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵是否存在常数k ，0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【解析】 ⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx =C 的方程，整理得22(14)40k x +++= ① 设()11,P x y ，()22,Q x y 由方程①，得12x x +=122414x x k =+ ②又(()2121212122y y kx kx k x x x x ⋅=+=++ ③ 若0OP OQ ⋅=，得12120x x y y += 将②、③代入上式，解得k =． 又因k 的取值应满足0∆>，即2410k ->（*），将k =代入（*）式知符合题意． 22．（石景山·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B ． ⑴求椭圆的方程；⑵若m k =，且0OA OB ⋅=，求k 的值（O 点为坐标原点）； ⑶若坐标原点O 到直线lAOB △面积的最大值． 【解析】 ⑴设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得c =由222a b c =+，得1b =∴所求椭圆方程为2213x y +=⑵∵m k =，∴(1)y kx k k x =+=+．设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得2222(13)6330k x k x k +++-=，则()()()22226413330()k k k ∆=-+->*故22121222633,1313k k x x x x k k --+==++． ∵0OA OB ⋅=，∴12121212(1)(1)x x y y x x k x k x +=++⋅+2221212(1)()k x x k x x k =++++2222222223363(1)0131331k k k k k k k k k ---=++⋅+==+++∴k =，经检验k =满足(*)式．=223(1)4m k =+ 将y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=222(6)4(13)(33)0()km k m ∆=-+->*∴2121222633,1313km m x x x x k k --+==++．∴2222222122223612(1)||(1)()(1)(31)31k m m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 242221212123334(0)196123696k k k k k k =+=++=≠++⨯+++≤当且仅当2219k k =，即k =经检验，k =满足（*）式． 当0k =时，||AB =综上可知，max ||2AB =所以，当||AB 最大时，AOB △的面积取得最大值max 122S =⨯=．23．（石景山·文·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，直线:l y kx m =+交椭圆于不同的两点A ，B ．⑴求椭圆的方程；⑵若1m =，且0OA OB ⋅=，求k 的值（O 点为坐标原点）； ⑶若坐标原点O 到直线lAOB △面积的最大值． 【解析】 ⑴设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得c =由222a b c =+，得1b =∴所求椭圆方程为2213x y +=⑵∵1m =，∴1y kx =+．设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足方程221,3 1.x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得22(13)60k x kx ++=，则()()22641300k k ∆=-+⨯>，解得0k ≠故121226,013kx x x x k -+=⋅=+． ∵0OA OB ⋅=，∴2121212121212(1)(1)(1)()1x x y y x x kx kx k x x k x x +=++⋅+=++++2222613(1)0101331k k k k k k --=+⨯+⋅+==++∴k =．=223(1)4m k =+．将y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(13)6330k x kmx m +++-=()()()2226413330()km k m ∆=-+->*∴2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ ∴2222222212223612(1)(1)()(1)(31)31k m m AB k x x k k k ⎡⎤-=+-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++242221212123334(0)196123696k k k k k k =+=++=≠++⨯+++≤． 当且仅当2219k k=，即k =时等号成立．经检验，k =满足()*式． 当0k =时，||AB =综上可知max 2AB =∴当AB 最大时，AOB △的面积取最大值122S =⨯=． 24．（西城·理·题18）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF △为直角三角形，求直线l 的斜率．【解析】 ⑴由已知225c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >． 设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时， 则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k ⨯+-+=++，解得k =ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角， 此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……① 又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去）， 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -== 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为25．（西城·文·题18）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆直角三角形，求m 的值．【解析】 ⑴已知241c a a ==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <． 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当AOB ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为AOB ∠为直角，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=， 所以212122()0x x m x x m +++=，所以222888055m m m --+=，解得m =ii ）当OAB ∠或OBA ∠为直角时，不妨设OAB ∠为直角， 由直线l 的斜率为1，可得直线OA 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-， 又2214x y +=，所以211514x x =⇒=1112m y x x =-=-=依题意m <，且0m ≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为26．（东城·理·题19）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑶在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．【解析】 ⑴由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===．即2243a b =．又因为b ==24a =，23b =． 故椭圆C 的方程为22143x y +=．⑵由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -． 直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--． 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =． 所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ．⑶当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-，且(,)M M M x y ，(,)N N N x y 在椭圆C 上． 由22(1)143y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=．易知0∆>．所以22843M N m x x m +=+，2241243M N m x x m -=+，22943M N m y y m =-+．则M N M N OM ON x x y y ⋅=+2225125334344(43)m m m +=-=--++．因为20m ≥，所以21133044(43)m --<+≤． 所以54,4OM ON ⎡⎫⋅∈--⎪⎢⎣⎭．当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得3(1,)2M ，3(1,)2N -．此时54OM ON ⋅=-． 所以OM ON ⋅的取值范围是54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．27．（东城·文·题19）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切．⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点． 【解析】 ⑴由题意知c e a ==， 所以22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==， 故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k << ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -， 直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．28．（宣武·理·题19）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>⑴若原点到直线0x y b +-=⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为45︒的直线l 和椭圆交于,A B 两点． i)当||AB b 的值；ii)对于椭圆上任一点M ，若OM OA OB λμ=+，求实数,λμ满足的关系式． 【解析】 ⑴∵d ==2b =．∵c e a ==2223c a =．∵222a b c -=，∴22243a a -=，解得2212,4ab ==．椭圆的方程为221124x y+=．⑵i)∵c a =2222223,23a b c a b ===，椭圆的方程可化为 22233x y b += …………①易知右焦点,0)F ，据题意有AB：y x = ………②由①，②有：22430x b -+= …………③ 设1122(,),(,)A x y B x y ，||AB =∴1b =ii)显然OA 与OB 可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM ，有且只有一对实数,λμ，使得等式OM OA OB λμ=+成立．设(,)M x y ，∵1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，∴1212,x x x y y y λμλμ=+=+又点M 在椭圆上，∴2221212()3()3x x y y b λμλμ+++= ……………④由③有：2121234b x x x x +==则222212121212121233()()4()63960x x y y x x x x x x x x b b b b +=+=-++=-+=……………⑤又,A B 在椭圆上，故有222222112233,33x y b x y b +=+= …………⑥将⑥，⑤代入④可得：221λμ+=．29．（宣武·文·题19）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x轴上，点(A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅==． ⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】 ⑴设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵左顶点(,||||A AC CO AC CO -⊥=． ∴212a =，(C又∵C 在椭圆上，∴233112b+=，24b = ∴椭圆的标准方程为221124x y +=．⑵设1122(,),(,)M x y N x y∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，代入221124x y +=，得22463120x mx m -+-=．22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧⎪∆=-⋅->⎪⎪+=⎨⎪⎪-⋅=⎪⎩∴||MN ==又C 到直线l的距离d ==，∴CMN △的面积1||2S MN d =⋅⋅=22162m m +-= 当且仅当2216m m =-时取等号，此时m =± ∴直线l的方程为0x y +±=．30．（崇文·理·题19）已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点． ⑴证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； ⑵求ANB ∆面积的最小值；⑶当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）： ①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②ANB △面积的最小值是多少？【解析】 ⑴设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．由()21,4,y k x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 可得 ()2222240k x k x k -++=． 设()()1122,,,A x y B x y ，则21212224,1k x x x x k ++==．∴124y y =-∴()1,0N - 1212221212441144NA NB y y y yk k x x y y +=+=+++++ ()()()()()()2212212112222212124444(4444)04444y y y y y y y y y y y y ⎡⎤+++-+-+⎣⎦===++++．又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 ⑵12NAB S y y ∆=-==4． 当l 垂直于x 轴时，4NAB S ∆=．∴ANB ∆面积的最小值等于4． ----------------10分 ⑶推测：①NA NB k k =-；②ANB∆面积的最小值为4．31．（崇文·文·题19）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>短轴的一个端点(D ，离心率12e =．过D 作直线l 与椭圆交于另一点M ，与x轴交于点A （不同于原点O ），点M 关于x 轴的对称点为N ，直线DN 交x 轴于点B ． ⑴求椭圆的方程； ⑵求OA OB ⋅的值．【解析】⑴由已知，2,a b =所以椭圆方程为 22143x y +=．⑵设直线l 方程为y kx =0y=，得A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．由方程组223412y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 可得(223412x k x +=，即()22340k x++=．所以M x =，所以M ⎛ ⎝，N ⎛- ⎝．所以34DN k k ==． 直线DN 的方程为34y x k=令0y =，得B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以 OA OB ⋅=4=．32．（朝阳·理·题19）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ．⑴求椭圆C 的方程；⑵求直线l 的方程以及点M 的坐标；⑶是否存过点P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线1l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y+=．⑵因为过点()2,1P 的直线l 与椭圆在第一象限相切，所以l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(2)1y k x =-+．由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=． ①因为直线l 与椭圆相切，所以222[8(21)]4(34)(16168)0k k k k k ∆=---+--=．整理，得32(63)0k +>．解得12k >-．所以直线l 的方程为11(2)1222y x x =--+=-+．将12k =-代入①式，可以解得M 点横坐标为1，故切点M 坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭．⑶若存在直线1l 满足条件的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得 22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 所以2221[8(21)]4(34)(16168)32(63)0.k k k k k k ∆=---+--=+> 所以12k =-．又21111121222118(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++，因为2PA PB PM ⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=，所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=．即2121215[2()4](1)4x x x x k -+++=．所以222121111222111161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++，解得112k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12k =．于是存在直线1l 满足条件，其方程为12y x =．33．（朝阳·文·题19）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． ⑴求椭圆C 的方程；⑵是否存直线l ，满足2PA PB PM ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，故椭圆C 的方程为22143x y += 5分⑵若存在直线l 满足条件，设直线l 的方程为(2)1y k x =-+由221,43(2)1x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--= 因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ． 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y所以222[8(21)]4(34)(16168)0.k k k k k ∆=---⋅+⋅-->整理，得32(63)0k +>解得12k >-．又21212228(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++ 且2PA PB PM ⋅=．即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=． 所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54=即212125[2()4](1).4x x x x k -+++=所以222222161688(21)445[24](1)3434344k k k k k k k k k ---+-⋅++==+++ 解得12k =±．所以12k =．于是，存在直线l 满足条件，其方程为12y x =．二模：1、（丰台区）20．（13分）已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛物线在A 、B 两点处的切线交于点M ． （Ⅰ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．解：（Ⅰ）由已知，得(0,1)F ，显然直线AB 的斜率存在且不得0， 则可设直线AB 的方程为1y kx =+（0k ≠），11(,)A x y ，22(,)B x y ，由24,1x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y ，得2440x kx --=，显然216160k ∆=+>. 所以124x x k +=，124x x =-. ………………………………………………2分由24x y =，得214y x =，所以'12y x =， 所以，直线AM 的斜率为112AM k x =，所以，直线AM 的方程为1111()2y y x x x -=-，又2114x y =，所以，直线AM 的方程为 112()x x y y =+①。

21.已知：如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 为⊙O 直径，且AB PA ⊥于点A ，AC PO ⊥于点M （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）当2=OM ，42cos =B 时，求PC 的长。

［崇文一模］ 20.如图，AB 是半圆⊙O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆⊙O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠ （1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论。

（2）若8=AC ，54cos =∠BED ，求AD 的长。

［延庆一模］20．如图，AB 为⊙O 的直径，AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，AC 交AC DE ⊥的延长线于点E ，B BF A ⊥交AD 的延长线于点F ，（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若,3=DE ⊙O 的半径为5，求BF 的长． ［西城一模］21．如图，ABC △内接于O ，AB AC =．点D 在O 上，AD AB ⊥于点A ，AD 与BC 交于点E ，点F 在DA 的延长线上，AF AE =．（1）求证：BF 是O 的切线；（2）若4AD =，4cos 5ABF ∠=，求BC 的长．O FEDCBAM B PO AC F E DCBAODCBAO21．如图，⊙O 的直径AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形OBCD 是菱形，过点D 的直线EF ∥AC ，交BA 、BC 的延长线于点E 、F ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线；（2）求DE 的长．［门头沟一模］20. 已知：如图，BE 是⊙O 的直径，CB 与⊙O 相切于点B ，OC ∥DE 交⊙O 于点D ，CD 的延长线与BE 的延长线交于A 点.（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝4，CD ＝6，求tan ∠ADE 的值.［丰台一模］20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ． （1）求证：DE 为⊙O 的切线； （2）若DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．［石景山一模］20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，弦OD AC //,BD 切⊙O 于B ,联结CD ． （1）判断CD 是否为⊙O 的切线，若是请证明；若不是请说明理由． （2）若2=AC ,6=OD ,求⊙O 的半径． OF E DCBAOE D C B A20． 已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=2，sinC=12时，求⊙O 的半径．［平谷一模］19. 已知，如图，直线MN 交⊙O 于A,B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求⊙O 的半径.［大兴一模］19．如图7，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 过BC 的中点D ，且︒=∠90DEC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若30C ∠=°，32=CE ，求⊙O 的半径．［密云一模］19．如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝6，AB ＝8．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin ∠E 的值． AF DO E B G C AE DOBC（图7）23．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E.（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与 ⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若 GC ＝CD ＝5，求AD 的长.［海淀一模］20. 已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .(1)求证：DA 为⊙O 的切线； (2)若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求⊙O 的半径.［昌平一模］20．已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且8BE =，5tan 2BFA ∠=， 求⊙O 的半径长.（第23题图） F OD CBAFE DCBAO［朝阳一模］ 21．（本小题满分5分）如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）求⊙O 的半径长；（3）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积 （结果保留π）．［东城一模］20．如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE = 60°，∠C = 30°． （1）判断直线CD 是否为⊙O 的切线，并说明理由； （2）若CD = 33 ，求BC 的长．OBCDEA。

欢迎访问h t t p ://b l o g .s i n a.c o m .c n /b e i j i n g s t ud y丰台区2010年初三毕业及统一练习数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个..是符合题意的．1．3的倒数是A ．3B ．3−C ．13D ．13−2．今年初，惊闻海地发生地震，中国政府和人民在第一时间作出支援海地的决定：1月13日，中国红十字会向海地先期捐款1000000美元，将1000000用科学记数法表示为A ．51010×B ．6101×C ．7101.0×D ．5101×3．下列图形中，不是三棱柱的表面展开图的是A ．B ．C ．D ．4．如果半径分别为2cm 和3cm 的两圆外切，那么这两个圆的圆心距是A ．1cmB ．5cmC ．1cm 或5cmD ．小于1cm 或大于5cm 5．某小组7名同学积极参加支援“希望工程”的捐书活动，他们捐书的册数分别是（单位：本）：10，12，10，13，10，15，17，这组数据的众数和中位数分别是A ．10，12B ．10，13C ．10，10D ．17，106．在1，2，3三个数中任取两个，组成一个两位数，则组成的两位数是偶数的概率为A ．13B ．12C ．14D ．167．不等式组⎨⎧−≥−,12x 的解集在数轴上表示正确的是AB ．CD．8．如图所示是张老师晚上出门散步时离家的距离y与时间x 之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是A ．B ．C ．D ．欢迎访问h t t p ://bl o g.s i na .c om .c n /b ei j i ng st u d y二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．在函数y中，自变量x 的取值范围是___________．10．分解因式：324b b a −=．11．若一个正n 边形的一个内角为144°，则n 等于．12．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，A 3B 3C 3D 3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A 10B 10C 10D 10四条边上的整点共有个．三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．计算：21|22sin 602010−+−°+−（π）．．解方程：0222=−−x x ．15．已知：如图，□ABCD 中，点E 是AD 的中点，延长CE 交BA 的延长线于点F ．求证：AB=AF ．16．已知：x 022=−,求代数式11)1(222++−−x xx x 的值．17．如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数xmy =2的图象相交于A 、B 两点．（1）求出这两个函数的解析式；（2）结合函数的图象回答：当自变量x 的取值范围满足什么条件时，21y y <？EBCDAF欢迎访问h t t p ://b l o g.s i n a .c om .c n /b ei j i ng s t u d y 18．列方程或方程组解应用题：中国2010年上海世博会第三期预售平日门票分为普通票和优惠票，其中普通票每张150元人民币，优惠票每张90元人民币．某日一售票点共售出1000张门票，总收入12.6万元人民币．那么，这一售票点当天售出的普通票和优惠票各多少张？注：优惠票的适用对象包括残疾人士、老年人（1950年12月31日前出生的）、学生、身高超过1.20米的儿童、现役军人．四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分)19．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD =60°，若CD =3，AB =8，求梯形ABCD 的高．20．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若DE =2，tan C =21，求⊙O 的直径．21．国家教育部规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时”．某中学为了了解学生体育活动情况，随机抽查了520名毕业班学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”．以下是根据所得的数据制成的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）每天在校锻炼时间超过1小时的人数是；（2）请将图2补充完整；（3）2010年我市初中毕业生约为9.6万人，请你估计今年全市初中毕业生中每天锻炼时间超过1小时的学生约有多少万人？BCDOA图1图2欢迎访问h t t p :://b l o g.s i n a .c o m.c n /b e i j i n gs t u d y22．在图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例当2b ＜a 时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．五、解答题（共3小题，共22分)23．（本小题满分7分）已知二次函数22−+−=m mx x y ．（1）求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3）将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．图3AE图4图22b＝a a ＜2b ＜2ab ＝aF 图12b ＜a图5Ab ＞a欢迎访问h t t p ://b l og .s i n a .c om .c n /b e i j i ng s t u d y24．（本小题满分7分）直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：①如图1，若90,90BCA α∠=∠=��，则EFBE AF −（填“>”，“<”或“=”号）；②如图2，若0180BCA <∠<��，若使①中的结论仍然成立，则α∠与BCA ∠应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．25．（本小题满分8分）已知抛物线22−−=x x y ．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．ABCE FDD ABCE FADFC EB图1图2图3欢迎访问h t t p://b l og .s in a .c om .c n/b e i j i n g s t u d y丰台区2010年初三毕业及统一练习数学参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）题号12345678答案CBDBAACD二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9．3≥x 10．)2)(2(b a b a b −+11．1012．80三、解答题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．解：原式=12324113+×−+−--------4分=41．--------------5分14．解法一：12122=−+−x x ，--------------1分3)1(2=−x ，--------------2分31±=−x ，--------------3分31±=x ．-------------4分∴原方程的解为311+=x ，312−=x ．---5分解法二：a =1，b =−2，c =−2，△=0128442>=+=−ac b ,------2分∴312322242±=±=−±−=a ac b b x ．------4分∴原方程的解为311+=x ，12−=x ．--5分15．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ．∴∠F =∠2,∠1=∠D ．---------------1分∵E 为AD 中点，∴AE =ED .---------------2分在△AEF 和△DEC 中21F D AE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AEF ≌△DEC ．--------------3分∴AF =CD .---------------4分∴AB =AF .--------------5分16．解：原式=22(1)1)(1)1x x x x x −++−+（------------1分=2111x x x x −+++------------2分=112+−+x x x ．-------------3分∵022=−x ，∴22=x ．∴原式=111112=++=+−+x x x x ．-------------5分17．解：（1）由图象知反比例函数xmy =2的图象经过点B (4，3)，∴43m =．∴m =12．----------1分∴反比例函数解析式为212y x=．----------2分由图象知一次函数b kx y +=1的图象经过点A (－6，－2)，B (4，3),∴⎩⎨⎧=+−=+−.3426　，b k b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧==．121b k ---------3分∴一次函数解析式为1112y x =+．--------4分（2）当0<x <4或x <－6时，21y y <．------5分18．解：设当日售出普通票x 张，则售出优惠票（1000-x ）张，------1分根据题意,得:150x +90（1000-x ）=126000，------3分解方程得x =600．------4分∴1000-600=400．答：当日这一售票点售出普通票600张，优惠票400张．-------5分欢迎访问h t t p ://b l og .si n a .co m n /b e i j四、解答题（共4小题，每小题5分，满分20分）19.解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°．-----------------1分又∵DC ∥AB ，∴四边形DCEB 为平行四边形．----------------2分∴BD =CE ，BE =DC =3，AE =AB +BE =8+3=11．----------------3分又∵DC ∥AB ，AD =BC ，∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形．∴AC =AE =11，∠CAB =60°．--------------------------------------------------4分过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中，CH =AC ·sin ∠CAB =11×2．∴梯形ABCD --------------------------------------------------5分20.（1）证明：联结OD ．∵D 为AC 中点,O 为AB 中点,∴OD 为△ABC 的中位线．∴OD ∥BC ．-----------1分∵DE ⊥BC ，∴∠DEC =90°.∴∠ODE =∠DEC =90°.∴OD ⊥DE 于点D .∴DE 为⊙O 的切线．------------2分（2）解：联结DB ．∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =90°．∴DB ⊥AC ．∴∠CDB =90°.∵D 为AC 中点,∴AB=AC ．在Rt △DEC 中，∵DE =2,tan C =21,∴EC =4tan =CDE .-------------------------3分由勾股定理得：DC =2.在Rt △DCB 中，BD=tan =⋅C DC ．由勾股定理得：BC =5.∴AB=BC =5.---------------------------4分∴⊙O 的直径为5.---------------------------5分21.解：(1)每天在校锻炼时间超过1小时的人数是人；-----------------1分(2)填图正确；-----------------3分(3)每天在校锻炼时间超过1小时的学生约为7．2万人.-----------5分22．解：（1）a 2+b 2；------------------1分（2）剪拼成的新正方形示意图如图2—图4中的正方形FGCH ．联想拓展：能剪拼成正方形.示意图如图5．正确画出一个图形给1分.图2B图3图5图4(G )欢迎访问h t t p ://bl o g .s in a .c o m .c n /b ei j i ng st ud y五、解答题（共3小题，满分22分）23．（1）证明：令y =0,则022=−+−m mx x ．∵△)2(4)(2−−−=m m 842+−=m m =4)2(2+−m ,---------------------------1分又∵0)2(2≥−m ，∴04)2(2>+−m ．即△>0．∴无论m 为任何实数，一元二次方程022=−+−m mx x 总有两不等实根．∴该二次函数图象与x 轴都有两个交点．-----------------------------2分（2）解：∵二次函数22−+−=m mx x y 的图象经过点（3，6）,∴62332=−+−m m .解得21=m .∴二次函数的解析式为23212−−=x x y .----------------------------3分（3）解：将x y =向下平移2个单位长度后得到解析式为：2−=x y .----------------------------4分解方程组⎪⎩⎪⎨⎧−−=−=．，232122x x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−==．，232111y x ⎩⎨⎧−==．，1122y x ∴直线2−=x y 与抛物线23212−−=x x y 的交点为．，)1,1()23,21(−−B A ∴点A 关于对称轴41=x 的对称点是)23,0('−A ,点B 关于x 轴的对称点是)1,1('B .设过点'A 、'B 的直线解析式为b kx y +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+−=．，123b k b 解得∴直线''B A 的解析式为2325−=x y .∴直线''B A 与x 轴的交点为)0,53(F .-----------------------------------------------5分与直线41=x 的交点为)87,41(−E .-----------------------------------------------6分则点)87,41(−E 、)0,53(F 为所求．过点'B 做''''H AA H B 的延长线于点⊥，∴25'=H B ，1'=HA .在Rt △H B A ''中，229''''22=+=H A H B B A .∴所求最短总路径的长为''B A FB EF AE =++292=-----------------------------------------------7分O5232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，欢迎访问h t t p :://b l og .s i n a .c om .c n /b e i j i n g s t u d y 24．解：（1）EF =AF BE −；-----------------------------------------------1分(2)∠α+∠BCA =180°；-----------------------------------------------3分(3)探究结论：EF=BE+AF .-----------------------------------------------4分证明：∵∠1+∠2+∠BCA =180°,∠2+∠3+∠CFA =180°.又∵∠BCA =∠α=∠CFA ，∴∠1=∠3.------------------5分∵∠BEC =∠CFA =∠α,CB =CA ,∴△BEC ≌△CFA .-----------------6分∴BE=CF ,EC=AF .∴EF=EC+CF=BE+AF .-------------------7分25．解：（1）∵抛物线219()24y x =−−∴顶点M 的坐标为⎟⎠⎞⎜⎝⎛−49,21．--------1分（2）抛物线与22y x x=−−与x 轴的两交点为A (-1,0)，B （2，0）．设线段BM 所在直线的解析式为b kx y +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧−=+=+.4921,02b k b k 解得3,23.k b ⎧=⎪⎨⎪=−⎩∴线段BM 所在直线的解析式为323−=x y ．---------2分设点N 的坐标为),(t x −．∵点N 在线段BM 上，∴323−=−x t .∴223x t =−+．∴S 四边形NQAC ＝S △AOC ＋S 梯形OQNC 21121112(2)(2)322333t t t t =××++−+=−++．-----------3分∴S 与t 之间的函数关系式为331312++−=t t S ，自变量t 的取值范围为490<<t ．------4分（3）假设存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为P （m ，n ），则21>m 且22−−=m m n ．222(1)PA m n =++，222)2(++=n m PC，52=AC ．分以下几种情况讨论：①若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++−−=.5)1()2(,222222n m n m m m n 解得251=m ，12−=m ．∵21>m ．∴25=m ．∴⎟⎠⎞⎜⎝⎛47,251P ．-----------6分②若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴⎪⎩⎪⎨⎧+++=++−−=.5)2()1(,222222n m n m m m n 解得233=m ，04=m ．∵21>m ，∴23=m ．∴⎟⎠⎞⎜⎝⎛−45,232P ．当点P 在对称轴右侧时，PA ＞AC ，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．∴存在符合条件的点P ，且坐标为⎟⎠⎞⎜⎝⎛47,251P ，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−45,232P ．----------------8分123。

丰台区2010年统一练习（一）数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、；10、15 ； 11、5 ； 12、0x ey -=； 13、2 ； 14、(2,2)。

三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（12分）已知函数f(x)=asinx+bcosx 的图象经过点(,0),(,1)63ππ。

（Ⅰ）求实数a,b 的值；（Ⅱ）若x[0,2π]，求函数f(x)的最大值及此时x 的值。

解：（Ⅰ）∵函数f(x)=asinx+bcosx 的图像经过点(,0),(,1)63ππ∴102112a b ⎧+=⎪⎪+=，……………………………………………………4分 解得：,b=-1 ……………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：sinx-cosx=2sin(x-6π)………………………8分 ∵x[0,2π]，∴x -6π[-6π,3π], ………………………………… 9分∴当x-6π=3π,即x=2π时，f(x)。

……………………12分16、（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点。

（Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由。

证明（Ⅰ）：∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD,AC 交于点E ，∴PA⊥BD,AC BD,∴BD 平面PAC,∵FG平面PAC,∴BD FG ………………………………7分解（Ⅱ）：当G为EC中点，即AG=34AC时，FG//平面PBD,…………………………………9分理由如下：连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE，而FG平面PBD, PE平面PBD,故FG//平面PBD。

…………………………………13分17、（15分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数；（Ⅱ）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（Ⅲ）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率。

2010年北京丰台区高考一模试题：数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码.2．本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚.作图题用2B铅笔作图，要求线条、图形清晰.3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题、草稿纸上答题无效.4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损.一、本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．如果aiaiz+-=11为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．-1 C．1 D．-1或12．设集合[)(]}1,0,l og|{},,0,)21(|{2∈==+∞∈==xxyyNxyyM x，则集合NM是（）A．[)+∞-∞,1)0,(B．[)+∞,0C．(]1,∞-D．)1,0()0,(-∞3．若,)21(221nnn xaxaxaax++++=-则2a的值是（）A．84 B．-84 C．280 D．-2804．奇函数)0,()(-∞在xf上单调递增，若,0)1(=-f则不等式)(<xf的解集是（）A．)1,0()1,(⋃--∞B．),1()1,(+∞⋃--∞C．)1,0()0,1(-D．),1()0,1(+∞⋃-5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A．36 B．48 C．52 D．546．在ABC∆，|"||"""AC=⋅=⋅是的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,24,0,0=++>>ab b a b a 则（ ）A ．a+b 有最大值8B ．a+b 有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是（ ）A ．（10，1）B ．（2，10）C ．（5，7）D ．（7，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．在平行四边形ABCD 中，点E 是边AB 的中点，DE 与AC 交于点F ，若AEF ∆的面积是1cm2，则CDF ∆的面积是 cm2.10．若一个正三棱柱的三视图及其尺寸如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 cm3.11．样本容量为1000的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算，x 的值为 ，样本数据落在[)14,6内的频数为 .12．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==11t y x （参数R t ∈），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+==θθsin 1cos y x （参数[)πθ2,0∈），则圆心到直线l 的距离是 .13．在右边的程序框图中，若输出i 的值是4， 则输入x 的取值范围是 .14．函数)10(12≤≤+=x x y 图象上点P 处的切线与直线1,0,0===xxy围成的梯形面积等于S，则S的最大值等于，此时点P的坐标是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（12分）已知函数xbxaxf cossin)(+=的图象经过点).1,3(),0,6(ππ（I）求实数a、b的值；（II）若]2,0[π∈x，求函数)(xf的最大值及此时x的值.16．（13分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.（I）求证：BD⊥FG；（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由.（III）当二面角B—PC—D的大小为32π时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.17．（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.已知师父加工一个零件是精品的概率为32，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.91（I）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；（II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；（III ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求ξ的分布列与均值E ξ.18．（13分）已知函数.ln )(x ax x f +=（I ）当a<0时，求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值是,23求a 的值.19．（13分） 在直角坐标系xOy 中，点M 到点)0,3(),0,3(21F F -的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线b kx y l +=:与轨迹C 交于不同的两点P 和Q.（I ）求轨迹C 的方程； （II ）当0=⋅AQ AP 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点.20．（14分）设集合W 由满足下列两个条件的数列}{n a 构成：①;212++<+n n n a a a②存在实数M ，使.M a n ≤（n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列;5,4,3,2,1,}{},{54321=====a a a a a b a n n 其中中1,4,5,4,154321=====b b b b b ；试判断数列}{},{n n b a 是否为集合W 的元素；（II ）设}{n c 是各项为正的等比数列，n S 是其前n 项和，,47,4133==S c 证明数列WS n ∈}{；并写出M 的取值范围；（III ）设数列,}{W d n ∈且对满足条件的M 的最小值M0，都有)(*N n M d n n ∈≠. 求证：数列}{n d 单调递增.参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1.B2.C3.A4.A5.B6.C7.B8.C二、填空题（每小题5分，共30分）9．4 10．32411．0.09,680 12．213．(]4,214．)45,21(,45 三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（12分）解：（I ）∵函数x b x a x f cos sin )(+=的图象经过点)1,3(),0,6(ππ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴1212302321b a b a…………4分解得：1,3==b a…………5分（II ）由（I ）知：)6sin(2cos sin 3)(π-=-=x x x x f…………8分],3,6[6],2,0[ππππ-∈-∴∈x x …………9分2,36πππ==-∴x x 即当时，)(x f 取得最大值.3…………12分16．（13分） 证明：（I ）⊥PA面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，其对角线BD ，AC 交于点E ， ∴PA ⊥BD ，AC ⊥BD. ∴BD ⊥平面APC ， ⊂FG平面PAC ，∴BD ⊥FG…………7分（II ）当G 为EC 中点，即AC AG 43=时，FG//平面PBD ， …………9分 理由如下：连接PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG//PE ， 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG//平面PBD.…………13分（III ）作BH ⊥PC 于H ，连结DH ， ∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， ∴PB=PD ，又∵BC=DC ，PC=PC ， ∴△PCB ≌△PCD ， ∴DH ⊥PC ，且DH=BH ，∴∠BHD 主是二面角B —PC —D 的平面角， …………11分即,32π=∠BHD∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角…………12分连结EH ，则PCEH BHE BD EH ⊥=∠⊥,3,π,,3tan EC BE EH BEBHE ===∠∴而,33sin ,3==∠∴=∴EC EH PCA EH EC,22tan =∠∴PCA∴PC 与底面ABCD 所成角的正切值是22 …………14分解：以A 为原点，AB ，AD ，PA 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设正方形ABCD 的边长为1，则A （0，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0）D （0，1，0），P （0，0，a ）（a>0）,)20)(0,,(),2,21,21(),0,21,21(<<m m m G aF E （I ）),2,21,21(),0,1,1(am m FG BD ---=-= 002121=+-++=⋅m mFG BD⊥∴…………5分（II ）要使FG//平面PBD ，只需FG//EP ，而),21,21(a -=，由λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-λλa a m 22121，解得,1=λ,43=m…………7分,43),0,43,43(AC AG G =∴∴故当AC AG 43=时，FG//平面PBD …………9分设平面PBC 的一个法向量为),,,(z y x =则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC u ，而)0,1,0(),,1,1(=-=BC a PC⎩⎨⎧==-+∴00y az y x ，取z=1，得)1,0,(a u =，同理可得平面PBC 的一个法向量)1,,0(a =设v u ,所成的角为0，则,21|32cos||cos |==πθ即,21111,21||||22=+⋅+∴=a a v u1=∴a…………12分∵PA ⊥面ABCD ，∴∠PCA 就是PC 与底面ABCD 所成的角，2221tan ===∠∴AC PA PCA …………14分17．（14分）解：（I ）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，则,419132322121==⨯p p 得 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是41…………3分（II ）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p ，由（I ）知，211=p师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下：9徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：所以3674191419442912=⨯+⨯+⨯=p …………9分（III ）ξ的分布列为…………13分ξ的期望为373644361233613236613610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯…………14分18．（13分）解：函数xax x f +=ln )(的定义域为),0(+∞…………1分221)('xax x a x x f -=-=…………3分（1）.0)(',0>∴<x f a故函数在其定义域),0(+∞上是单调递增的.…………5分（II ）在[1，e]上，发如下情况讨论： ①当a<1时，,0)('>x f 函数)(x f 单调递增，其最小值为,1)1(<=a f这与函数在[1，e]上的最小值是23相矛盾； …………6分②当a=1时，函数(]e x f ,1)(在单调递增，其最小值为,1)1(=f同样与最小值是23相矛盾； …………7分③当e a <<1时，函数[)a x f ,1)(在上有0)('<x f ，单调递减，在(]e a ,上有,0)('>x f 单调递增，所以，函数)(x f 满足最小值为1ln )(+=a a f由,,231ln e a a ==+得…………9分④当a=e 时，函数[),0)(',1)(<x f e x f 上有在单调递减，其最小值为,2)(=e f 还与最小值是23相矛盾； …………10分⑤当a>e 时，显然函数],1[)(e x f 在上单调递减，其最小值为,21)(>+=e a e f仍与最小值是23相矛盾； …………12分 综上所述，a 的值为.e…………13分19．（13分） 解：（1）)0,3(),0,3(-到点M 的距离之和是4，M ∴的轨迹C 是长轴为4，焦点在x 轴上焦中为32的椭圆，其方程为.1422=+y x…………3分（2）将b kx y +=，代入曲线C 的方程，整理得0428)41(22=+++kx x k…………5分因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以.0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆b k b k b k ① 设),,(),,(2211y x Q y x P ，则 221221414,4128k x x k k x x +=+-=+ ② …………7分且.)()())((2212122121b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=⋅③ 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点A （-2，0），所以),,2(),,2(2211y x y x +=+= 由.0)2)(2(,02121=+++=⋅y y x x AQ AP 得将②、③代入上式，整理得.05161222=+-b kb k…………10分 所以,0)56()2(=-⋅-b k b k即,562k b k b ==或经检验，都符合条件① 当b=2k 时，直线l 的方程为.2k kx y +=显然，此时直线l 经过定点（-2，0）点.即直线l 经过点A ，与题意不符.当k b 56=时，直线l 的方程为).65(56+=+=x k k kx y显然，此时直线l 经过定点)0,56(-点，且不过点A. 综上，k 与b 的关系是：,56k b =且直线l 经过定点)0,56(-点 …………13分20．（14分）解：（I ）对于数列}{n a ，取,22231a a a ==+显然不满足集合W 的条件，①故}{n a 不是集合W 中的元素， …………2分对于数列}{n b ，当}5,4,3,2,1{∈n 时，不仅有,42,32342231b b b b b b <=+<=+ ,32433b b b <=+而且有5≤nb ， 显然满足集合W 的条件①②，故}{n b 是集合W 中的元素. …………4分（II ）}{n c 是各项为正数的等比数列，n S 是其前n 项和， ,47,4133==S c设其公比为q>0， ,473323=++∴c q c q c 整理得0162=--q q 1121,1,21-==∴=∴n n c c q1212--=n n S …………7分 对于,212212122,222*+++=-<--=+∈∀n n n n n n n S S S N 有 且,2<n S 故W S n ∈}{，且[)+∞∈,2M …………9分（III ）证明：（反证）若数列}{n d 非单调递增，则一定存在正整数k ，使1+≥k k d d ，易证于任意的k n ≥，都有1+≥k k d d ，证明如下：假设1,)(+≥≥=k k d d k m m n 时 当n=m+1时，由,221212m m m m m m d d d d d d -<<+++++得而0)2(11121≥-=-->-+++++m m m m m m m d d d d d d d所以,21++>m m d d所以，对于任意的,,1+≥≥m m d d k n 都有 显然k d d d ,,,21 这k 项中有一定存在一个最大值，不妨记为0n d ； 所以.),(0*00M d N n d d n n n =∈≥从而与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证. …………14分。

2010北京一模数学分类汇编-算法算法1.（丰台·文·题3）在右面的程序框图中，若5x=，则输出i的值是（）x > 109i = i + 1NY输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始A．2 B．3 C．4 D．5【解析】C；51337109325→→→→，对应的4i=．2.（石景山·理·题4）一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：2cm）为（）A．80B．60C．40D．20【解析】 A ；几何体如图，是正四棱锥，底边长8，侧面底边上的高为5，因此侧面积为1854802⨯⨯⨯=．3. （西城·理·题5）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138输出y x y = z x = yz<20z = x +yx =1, y =1否是结束开始【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．4. （东城·理·题5）如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．4?T >B ．4?T <C ．3?T >结束输出k否是x >100?k =k +1x =2x +1k =0输入x开始【解析】 B ； 6x =，0k =，13x =，1k =，27x =，2k =，55x =，3k =，111x =，4k =，111100x =>，跳出循环，输出4k =．5. （石景山·文·题6）已知程序框图如图所示，则该程序框图的 功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N B ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N开始0S =2n =1k = 10k ≤ 输出S结束 1S S n =+2n n =+1k k =+是否【解析】 注意n 和k 的步长分别是2和1．6. （西城·文·题6）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321 B ．2113C ．813D ．138输出yxy = z x = y z<20 z = x +yx =1, y =1否是结束开始【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．7. （海淀·理科·题7）已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 2010a = 2 , j = 1开始A ．1-B ．1C ．2D ．12 【解析】 A ；a = -1 , j = 3a = 12 , j = 2a = 2 , j = 1∵()20100mod 3i ==，∴对应的1a =-．8. （朝阳·文·题11）如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是 ．S=S+nn=n+1n=1S=0n ≤10否是输出S 结束开始【解析】 55； 将经过i 次运行后的,n S 值列表如下．于是55S =． i1 2 3 4 5 ．．． m ．．． 10 n 2 3 4 5 6 1m +11 S 1 3 6 10 15 ()12m m + 559. （宣武·文·题12）执行如图程序框图，输出S 的值等于 ．12题图否输出Si <=4i=i + 1S =S + AA=A + iA=0，S=0，i=1结束开始【解析】 20；运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i ===→===→===→===>，输出S ，故20S =．10. （崇文·理·题12）（崇文·文·题12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．【解析】 13，21；依据程序框图画出运行n 次后,,M N i 的值． n1 2 3 i2 3 4 M2 5 13 N3 8 21 4次运行后43i =>，于是有13,21M N ==．11. （丰台·理·题13）在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ．N Y结束输出 ix > 82i = i +1x = 3x -2i = 0输入 x开始【解析】 (]2,4；∵328228x x ->⇔>，322810x x ->⇔>， 32104x x ->⇔>，3242x x ->⇔> ∴要使得刚好进行4次运算后输出的82x > ，则有24x <≤．12. （朝阳·理·题13）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 ．n=n+2S=0n=1S=S+nn ≤50否是输出S 结束开始【解析】 625； 将经过i 次运行后的,n S 值列表如下．i1 2 3 4 5 ．．． m ．．． 25 n 3 5 7 9 11 21m +51 S1 4 9 16 25 2m 625 于是625S =．13. （海淀·文·题13）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________． 结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 20a = 2 , j = 1开始【解析】 12； a = -1 , j = 3a = 12 , j = 2a = 2 , j = 1∵()202mod 3i ==，∴对应的12a =．。