第一课 等差数列

激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)等差数列{an}:5,0,-5,-10,…的通项公式是 . (2)若等差数列{an}的通项公式是an=4n-1,则其公差d= .
解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)·(-5)=10-5n. (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-[4(n-1)-1]=4.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列( )
A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列
解析:∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, ∴数列{an}是公差为2的等差数列.
答案:A
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练1在等差数列{an}中,求解下列各题:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等差中项及其应用 例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项; (2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个 数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. ①1,3,5,7,9,…; ②9,6,3,0,-3,…; ③1,3,4,5,6,…; ④7,7,7,7,7,…;
解:①是,a1=1,d=2;②是,a1=9,d=-3;③不是;④是,a1=7,d=0;⑤不是.

从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n（独立的量有3个）的方程； an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
前一项的差是。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用 an=a1+(n-1)d=4n-1
该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63.
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
例题 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得：
差数列前三项，先找 a =8,d=5-8=-3,n=20 1 该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）： 48 ，53，58，63.
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
四 个 实 例 我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数
列：
从第二项起，后一项与前一项的差是5。
0，5， 10 ，15 ，20 ，… 从①第二项起，后一项与
前一项的差是5。 (那a2么-a我1)们+(可a3以-2a根20)据+0(a等04差年-a3数) 列，的概在念得澳到：大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正
那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是5，5，，72。
定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。
数列{an}为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
练习一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果 是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。

个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（ ），9
2）15，12，（ ），6，3
3）48，53，58，（ ）3，68
4）8，（ ），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
巩固练习： 在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中， 与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三 、 教 学 分 析 - - - ( 二 ) 教 学 程 序 设 计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列

五、作业布置 课本P15：练习 第4、5题
例3 求等差数列8，5，2，…，的通项公式an 和第20项，并判断289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解:由已知条件，得 = 5 − 8 = −3,
把1 = 8, = −3代入 = 1 + − 1 ，得
= 8 + − 1 ×(−3)= −3+11，
所以，a20 = −3×20+11=-49
③
对于数列①，我们发现：
18=9+9, 27=18+9，…，81=72+9，即 从第二项起，每一项
18 − 9=9, 27 − 18=9，…，81 − 72=9.
与前一项的差都等于
如果用{ } 表示数列①，则有：
同一个常数.
2 − 1 =9, 3 − 2 =9,…， 9 − 8 =9.
数列的定义域是正整数集或它的子集.
数列{ } 是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，
记为 =().
如果数列{an } 的第项 与它的序号之间的对应关系可以用一
个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个
数列的通项公式.
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来
4.2.1
等差数列的概念
第1课时
人教A版（202X）选择性必修第二册
学习目标
Hale Waihona Puke 1.理解等差数列的含义.2.掌握等差数列通项公式的推导过程及其运用.
3.理解等差数列与一次函数的关系.
4.核心素养：直观想象、数学运算、数学抽象
一、复习导入
定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数叫做这个数列的项.

4．2 等差数列
4．2.1 等差数列的概念
新课程标准解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的 概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系.
核心素养
数学抽象
逻辑推理、数学 运算
数学抽象
第一课时 等差数列的概念及通项公式
[随堂检测] 1．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝3－2n，则它的公差为
()
A．2
B．3
C．－2
D．－3
解析：∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选 C.
答案：C
2．在△ABC 中，三内角 A，B，C 成等差数列，则 B 等于( )
A．30° C．90°
B．60° D．120°
[问题导入] 预习课本第 12～15 页，思考并完成以下问题 1．等差数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等差数列？
2．等差数列的通项公式是什么？
3．等差中项的定义是什么？
[新知初探]
知识点一 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常 数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示．
令(n－6)d＝0，得 n＝6，故选 A.
法二：设公差为 d(d≠0)，因为 4a3＝3a2，所以 a3＝－3d，又
因为 a3＝a1＋2d，所以 a1＝－5d，故 an＝－5d＋(n－1)d，令
an＝0.得 n＝6，所以数列{an}中 a6＝0.故选 A. 答案：A
5．一个等差数列的第 5 项 a5＝10，且 a1＋a2＋a3＝3，则首 项 a1＝________，公差 d＝________. a5＝a1＋4d＝10， 解析：由题意得 a1＋a1＋d＋a1＋2d＝3，

随手练
1．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝___＋(n－1)×(－2)＝6－2n. 【答案】 6－2n
2．等差数列 1，－1，－3，…，－89 的项数是________．
【解析】 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d， 可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以 n＝46. 【答案】 46
探究 2 第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行，此后每 4 年举行一 次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出 2016 年 8 月在巴西里约热内 卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？
【提示】 设第一届的年份为 a1，第二届的年份为 a2，…，第 n 届的年份为 an，则 a1，a2，…，an，…构成一个以 a1＝1 896 为首项，以 d＝4 为公差的等差 数列，其通项公式为 an＝a1＋(n－1)d＝1 896＋4(n－1)＝4n＋1 892，即 an＝4n＋1 892，由 an＝2 016，知 4n＋1 892＝2 016，所以 n＝31.
【解】 (1)欲使{an}是等差数列， 则 an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn)＝2pn＋p＋q 应是一个与 n 无关 的常数， 所以只有 2p＝0， 即 p＝0 时，数列{an}是等差数列． (2)证明：因为 an＋1－an＝2pn＋p＋q， 所以 an＋2－an＋1＝2p(n＋1)＋p＋q. 而(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2p 为一个常数， 所以{an＋1－an}是等差数列．
教材整理 2 等差数列的通项公式 阅读教材，完成下列问题． 1．等差数列的通项公式 以 a1 为首项，d 为公差的等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d . 2．从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，则 an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd ＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d个单位 ．

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析 设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例 已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方

1
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。 小结：判断一
（1） 1，4，7，10； 是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .

∴该数列不是等差数列． (2)∵7－7＝7－7＝7－7＝7－7＝0， ∴该数列是等差数列．
新知探究
(3)∵a－(a－d)＝a＋d－a＝d， ∴该数列是等差数列． (4)∵(m＋n)－m＝(m＋2n)－(m＋n)＝n， 2m＋n－(m＋2n)＝m－n， ∴当 m＝2n 时，是等差数列； 当 m≠2n 时，不是等差数列．
2．已知等差数列{an}的首项 a1＝4，公差 d＝－2，则通项公式 an＝( C ) A．4－2n B．2n－4 C．6－2n D．2n－6
新知探究
新知探究
例 3. 在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c，使这五个数成等差数列，求此 数列． 解：∵－1，a，b，c，7 成等差数列，
如果用{an}表示数列① ，那么有a2-a1=9，a3- a2 =9，...a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 数列②—④ 也有这样的取值规律。
新知探究
练一练：判断下列各数列是否为等差数列． (1)1，2，4，6，8； (2)7，7，7，7，7； (3)a－d，a，a＋d(其中，a，d 均代表数字)； (4)m，m＋n，m＋2n，2m＋n.(其中，m，n 均代表数字) 解：(1)∵2－1＝1，4－2＝6－4＝8－6＝2，1≠2，
人教A版 选择性必修第二册
第四章 数列
4.2.1 等差数列的概念
教学目标
1.能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问 题的能力. 2.掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算. 3.掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列.
01
复习导入
02
新知探究

定义另叙述：在数列{an}中，an＋1－an=d（n∈ N*）, d为 常数，则{an}是等差数列，常数d 称为等差数列的公差。
1、一个数列，不从第2项起，而是从第3 项起或 第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数， 此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3 项起是一个等 差数列。
.
例如：（1）1，3，4，5，6，…… （2）－1，0，12，14，16，18，20，……
2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等 于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常 数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义 中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。 例如：－3，0，1，3，4，9 3、求公差d时，可d=an—a n－1,也可以用d=a n＋1－an 4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为 递增数列；当d<0时，数列为递减数列。
即100是这个数列的第15项。（4）由a1=0，d=an=－7 2
n+
7
2
3
1 2
－0=
31 2
由题意知， － 7 n+ 7
解 ：（1）由a1=3，d=7－3=4得 a4=3+（4－1）×4=15 a10=3+（10－1）×4=39
.
（2）由a1=10，d=8－10=－2，得 a20=10+（20－1）×（－2）=－28
（3）由a1=2，d=9－2=7，得：
an=2+（n－1）×7=7n－5
由题意知，7n－5=100 解得n=15
（2）6－3=3，9－6=3，12－9=3，15－12=3，……
（3）1－1=0，1－1=0，1－1=0，1－1=0，……