广西南宁市高中数学第二章参数方程2.7圆的渐开线与摆线教案

四 渐开线与摆线互动课堂重难突破本课时主要了解圆的渐开线与摆线的参数方程，难点是参数方程的建立过程一、渐开线的产生过程我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一枝铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆(如右图也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象.通过模拟中的动态过程理解渐开线的形状和形成原理,加深对渐开线概念和含义的理解.其实质就是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹二、摆线的概念和产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记，观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线，也可以借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线三、圆的渐开线和摆线的参数方程对于圆的渐开线，我们以基圆圆心O 为原点，一条直径所在直线为x 轴建立直角坐标系，根据动点满足的条件和向量的有关性质可以得到圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧)cos 3sin ()sin cos (φφφ-y=r ,φφ+φx=r (φ为参数). 同样道理，根据摆线上任意一点的运动轨迹，取定直线为x 轴，动点的其中一个位置为原点建立直角坐标系，根据几何知识可得圆的摆线的参数方程为⎩⎨⎧-)cos 1()sin (φy=r ,φφ+x=r (φ为参数四、圆的渐开线和摆线的参数方程中的参数φ的几何意义 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角.如图（1），其中的∠AOB 即是角φ.显然点M 由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程可知其中的字母r 是指定圆的半径，它决定了摆线的某方面的大小情况.参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.如图（2），根据参数的几何意义也可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况五、用参数方程描述运动规律的特点有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线)，建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义.如圆的渐开线的普通方程，可以根据其参数方程⎩⎨⎧--)cos (sin )sin (cos φφφy=r ,φφφx=r (φ为参数)消去参数φ得到.)1sin()1cos(222222r r y x ry r y x r r =-++-+ 根据方程画出曲线十分费时，而利用参数方程把两个变量x 、y 间接地联系起来，常常比较容易，方程简单明确，且画图也不太困难.对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观.所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程，而不去讨论其普通方程.活学巧用【例1】写出半径为2的基圆的渐开线方程 解:半径为2的基圆的渐开线方程⎩⎨⎧)cos 3sin (2)sin cos (2φφφ-y=,φφ+φx=(φ为参数).【例2】求摆线⎩⎨⎧--)cos 1(2)sin (2t y=,t t x=(0≤t≤2π)与直线y =2的交点的直角坐标解:y =2时，2=2（1-cost ）,∵0≤t≤2π,∴t=2π或23π∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2,x 2=2(23π-sin 23π)=3π∴交点的直角坐标为（π-2，2），（3π+2，2）.【例3】已知一个圆的摆线过一定点（1，0）,请写出该摆线的参数方程解析:根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧--)cos 1()sin (φy=r ,φφx=r (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式 解:令r (1-cos φ)=0,可得cosφ所以φ=2k π(k∈Z )代入可得x =r (2k π-sin2kπ 所以r =π21k又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r所以应有k >0且k∈Z ，即k∈N*所以所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--)cos 1(π21)sin (π21φk y=,φφk x=(φ为参数)(其中k ∈N*点评:本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面.【例4】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π，求A 、B 两点的距离解析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离解:根据条件可知圆的半径是1， 所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-+φφφy=φ,φφx=cos sin sin cos (φ为参数)，分别把φ=3π和φ=2π代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A (6π33,6π33-+)、B (2π那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B两点的距离为 |AB |=22)16π33()2π6π33(--+-+ =,63336-π6π)3613(612+-- 即点A 、B 之间的距离为.63336-π6π)3613(612+-- 点评:本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记.【例5】已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧6sin α+-2=6cos α+1=y x ，(α为参数)和直线l 对应的普通方程是x -y -62(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系(2)写出平移后圆的摆线方程 (3)求摆线和x 轴的交点.解析:(1)圆C 平移后圆心为O (0,0),它到直线x -y -62=0的距离为d =226=6, 恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的 (2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是⎩⎨⎧φ-y=φ,φ-x=cos 66sin 66(φ为参数(3)令y =0,得6-6cos φ=0⇒cos φ=1.所以φ=2k π(k∈Z代入x 得x =2k π(k∈Z即圆的摆线和x 轴的交点为(2k π,0)(k ∈Z ).。

四 渐开线与摆线课堂导学三点剖析一、圆的摆线的参数方程【例1】 平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线的参数方程.思路分析：根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x (φ为参数),可知只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.解:令r(1-cosφ)=0,可得cosφ=1，所以φ=2kπ(k∈Z ),代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=πk 21. 又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且k∈Z ，即k∈N *. 所以，所求摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(21),sin (21ϕπϕϕπk y k x (φ为参数)(其中k∈N *).温馨提示本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cosφ=1后，直接得出φ=0，从而导致答案不全面. 各个击破类题演练 1求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(2),sin (2t y t t x (0≤t≤2π)与直线y=2的交点的直角坐标.解:y=2时,2=2(1-cost),∴cost=0.∵0≤t≤2π, ∴t=2π或23π. ∴x 1=2(2π-sin 2π)=π-2, x 2=2(23π-sin 23π)=3π+2. ∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).温馨提示求交点坐标时,要避免出现增根和减根的情况,因此,要切实注意参数的取值范围.这是初学者最容易忽视的.二、圆的渐开线的参数方程【例2】 已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B 对应的参数分别是3π和2π，求A,B 两点的距离. 思路分析:首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A,B 对应的参数代入参数方程可得对应的A,B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A,B 之间的距离.解:根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin ,sin cos y x (φ为参数)， 分别把φ=3π和φ=2π代入， 可得A,B 两点的坐标分别为A(633,633ππ-+)，B(2π,1). 那么，根据两点之间的距离公式可得A,B 两点的距离为 |AB|=22)1633()2633(--+-+πππ 633366)3613(612+---=ππ, 即点A,B 之间的距离为633366)3613(612+---ππ 温馨提示本节主要内容是圆的渐开线和摆线的定义和参数方程.要解决有关的问题首先要理解这两个定义和参数方程的推导过程，还要牢记两个参数方程.给出圆的半径要能写出对应的参数方程，根据参数方程能写出某对应参数的坐标，从而再解决其他问题.本例题就是对这些知识的综合考查，要注意前后知识的联系.特别是两点之间的距离公式也要熟记. 类题演练 2已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出当圆的半径最大时该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线的标准方程.解:设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (ϕϕϕr y r x 令y=0,得r(1-cosφ)=0,即得cosφ=1.所以φ=2kπ(k∈Z ).代入x=r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=πk 1(k∈Z ). 又由实际可知r>0,所以r=πk 1(k∈N *).易知,当k=1时,r 最大,最大值为π1. 代入即可得圆的摆线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)cos 1(1),sin (1ϕπϕϕπy x (φ为参数),圆的渐开线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 1),sin (cos 1ϕϕϕπϕϕϕπy x (φ为参数).变式提升 2如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH,…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连结，则曲线AEFGH 的长是…( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析:如题图,根据渐开线的定义可知,是半径为1的41圆周长,长度为2π,继续旋转可得是半径为2的41圆周长,长度为π;是半径为3的41圆周长,长度为23π;是半径为4的41圆周长,长度为2π. 所以,曲线AEFGH 的长是5π.答案:C。

2019-2020年高中数学第七课时圆的渐开线与摆线教学案新人教A 版选修4-4一、教学目标：知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程 教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法 三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程： （一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （为参数）654321-1-2-3-4-5-6-10-8-6-4-22468x jDO'OBC2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

（为参数）（三）、例题与训练题：例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程变式训练1 当，时，求圆渐开线 上对应点A 、B 坐标并求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3： 求摆线 与直线的交点的直角坐标例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。

（四）、小结：本节课学习了以下内容：1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。

（五）、作业：课本P47页1、2、32019-2020年高中数学第七课时常用曲线的极坐标方程教学案新人教A 版选修4-4一、教学目的：知识目标：进一步领会求简单曲线的极坐标方程的基本方法 能力目标：感受极坐标系椭圆抛物线和双曲线的完美统一德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

第4节渐开线与摆线［核心必知］1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切,逐渐展开,铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：错误!（φ为参数)．(2)摆线的参数方程：错误!(φ为参数）．［问题思考]1．渐开线方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r和参数φ的几何意义是什么?提示：字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．［精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向,建立坐标系，︵设渐开线上的任意点M（x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义,弧AM0的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ（以弧度为单位），则｜AM｜＝错误!＝4θ作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角和向量知识，得＝（4cos θ，4sinθ),由几何知识知∠MAB＝θ，＝（4θsin θ，－4θcos θ)，得＝（4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝（4（cos θ＋θsin θ），4(sin θ－θcos θ))．又＝(x，y)，因此有｛x＝4（cos θ＋θsin θ），），y＝4（sin θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．——————-——-————-———解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：（1）建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M（x，y)．（2）取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程．1．基圆直径为10,求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数,φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：{x＝5（cos φ＋φsin φ，，y＝5（sin φ－φcos φ），)这就是所求的圆的渐开线的参数方程．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α,(以弧度为单位）为参数)[精讲详析］本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式,然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B,圆与x轴的切点为A，定点M的位置如图所示，∠ABM ＝α。