2004年全国初中数学竞赛试题及答案

2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区)一、填空题(每小题4分，共32分)1.已知：|x|=3，|y|=2，且xy＜0，则x+y的值等于______.2.设a-b=2+，b-c=2-，则a2+b2+c2-ab-bc-ac的值为______.3.已知实数x1，x2满足-6x1+2=0和-6x2+2=0，求的值为______.4.如果一次函数y=mx+n与反比例函数的图象相交于点(,2)，那么该直线与双曲线的另一个交点为______.5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___.6.如图2，直角梯形ABCD的中位线EF的长为a，垂直于底的腰AB的长为b，则图中阴影部分的面积为______.7.如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，M是AD的中点，CM的延长线交AB于N，则AN:AB的值为______.8.如图4，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD:DB=2:3，AC=10，sinB的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴上给出关于a，b的四种位置关系如图所示，则可能成立的有( )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种2.已知a、b、c均为正数，方程ax2+bx+c=0有实根，则方程acx2+b2x+ac=0( )(A)有两个不相等的正根 (B)有一个正根，一个负根(C)不一定有实根 (D)有两个不相等的负根3.当k取任何实数时，抛物线y=(x-k)2+k2的顶点所在曲线是( )(A)y=x2 (B)y=-x2(C)y=x2(x＞0) (D)y=-x2(x＞0)4.如图5，已知AB⊥CD，△ABD、△BC E都是等腰直角三角形，如果CD=8，BE=3，则AC等于( )(A)8 (B)5 (C)3 (D)5.如图6，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的有( )①∠APB=∠EPC②∠APE=90°③P是BC的中点④BP:BC=2:3(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个6.如图7，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B，已知两圆的半径r1=10，r2=17，圆心距O1O2=21，则公共弦等于( )(A)2(B)16 (C)6(D)17三、解答题1.(12分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根.甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了某项系数的符号，误求得两根为-1和4，求的值.2.(12分)如图8，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形.操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去.(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;(2)设正方形的边长为a，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积(S)填入下表：a2(3)在条件(2)下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系？用数学表达式表示出来.3.(17分)某中学预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定减少10个，总金额多用29元.又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.(1)求x、y的关系式；(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x，y的值.4.(17分)如图9，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1.(1)求△AOD和△BCD的面积；(2)若F是线段BE上任一点，FG⊥AG，G是垂足，设线段CG和OF的长分别是x和y，试写出y与x之间的关系式.(不要求写出x的取值范围).参考答案一、1.1或-1 2.15 3.16，2 4.(-1,-) 5.2 6.ab7.1:3 8.二、1.B 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B三、1.甲看错了二次项系数，设他所解的方程为a′x2+bx+c=0，于是有：2+4=-，2×4=，∴. ①设乙看错了一次项系数的符号，则他所解的方程为ax2-bx+c=0.于是-1+4=. ②由①，②知，△=b2-4ac=b2-4··(-b)=b2≥0，与题设矛盾.故乙看错的只是常数项，即他所解的方程为ax2+bx-c=0，则-1+4=-. ③由①，③可知：.2.(1)(2)，.(3)(n≥1，且n为整数)3.(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是：ax+by=1500，①由甲商品单价上涨1.5元，乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个情形，得：(a+1.5)(x-10)+(b+1)y=1529. ②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形得：(a+1)(x-5)+(b+1)y=1563.5. ③由①，②，③得：④-⑤×2并化简，得x+2y=186.(2)依题意有：205＜2x+y＜210及x+2y=186.得54＜y＜.由于y是整数，得y=55，从而得x=76. 答：略.4.(1)由切割线定理，得AE·AB=AD2.∴1×(1+2OE)=22，解得EO=.∵D为切点，∴AD⊥OD.∵S△AOD=AD·OD=AD·OE=.又由切线长定理，CD=CB.在Rt△ABC中，AB2+BC2=(AD+CD)2.∵AB=2EO+AE=4，∴42+CD2=(2+CD)2.解得：CD=3.∴AC=AD+CD=5.过点D作DM∥AB交BC于M.∵，∴，∴S△BCD=BC·DM=×3×=.(2)当AO≤AF≤AB时，∵△AFG∽△ACB，∴，..当AE≤AF＜AO时，同时有：，化简得：.。

2004年全国初中数学竞赛预选赛试题(湖北赛区）一、填空题(每小题4分,共32分)1。

已知：｜x ｜=3，|y ｜=2,且xy ＜0,则x+y 的值等于______. 2.设a —b=2+3，b-c=2—3，则a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值为______.3。

已知实数x 1，x 2满足21x -6x 1+2=0和22x —6x 2+2=0，求2112x x x x +的值为______。

4.如果一次函数y=mx+n 与反比例函数3n x y x -=的图象相交于点(12，2）,那么该直线与双曲线的另一个交点为______。

5.如图1，要把边长为6的正三角纸板剪去三个三角形，得到正六边形，则它的边长为___。

6。

如图2，直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a ，垂直于底的腰AB 的长为b ，则图中阴影部分的面积为______。

7.如图3,在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线,M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ，则AN ：AB 的值为______. 8。

如图4，BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ，若AD:DB=2：3，AC=10，sinB 的值为_____.二、单项选择题(每小题5分，共30分）1.已知｜a+b|+｜a —b ｜-2b=0，在数轴上给出关于a ，b 的四种位置关系如图所示,则可能成立的有( ）（A ）1种 （B ）2种 （C ）3种 （D ）4种2.已知a 、b 、c 均为正数,方程ax 2+bx+c=0有实根,则方程acx 2+b 2x+ac=0（ ) （A)有两个不相等的正根 （B)有一个正根,一个负根（C)不一定有实根 (D ）有两个不相等的负根3。

当k 取任何实数时，抛物线y=45(x —k)2+k 2的顶点所在曲线是（ ） （A ）y=x 2（B ）y=-x 2（C)y=x 2(x ＞0) （D)y=-x 2（x ＞0） 4。

2004年全国初中数学联赛试题2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( ) （A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( ) （A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。

E在线段AB上，且ΔEAD 与ΔEBC相似，这样的点E（...2004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛试题一选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．若|1-x| = 1 + |x| ，则等于（）（A）x-1 （B）1-x （C）1 （D）-12．若ΔABC中，∠A=50°,AB>BC, 则∠B的取值范围是( )（A）0°<∠B<80°（B）50°<∠B<80°（C）50°<∠B<130°（D）80°<∠B<130°3．如图，在ΔABC中，D是AC的中点，E,F是BC的三等分点，AE,AF分别交BD于M,N两点，则BM:MN:ND = ( )（A）3:2:1 （B）4:2:1 （C）5:2:1 （D）5:3:24．化简，所得的结果为( )（A）（B）（C）（D）5．如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，则重叠部分ΔAFC的面积为( )（A）12 （B）10 （C）8 （D）66．若2x+5y+4z=6,3x+y-7=-4，则x+y-z的值为( )（A）-1 （B）0 （C）1 （D）47．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB，E为垂足，F为AD中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）（A）54°（B）60°（C）66°（D）72°8．在直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3。

实数一、选择题1、(2000一试1)设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。

（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。

2.（2000一试3）甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。

（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。

3.（2000一试7）已知：，那么＝________。

【答案】 14．（2002一试1）已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A ．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5.（2002一试6）如果对于不＜8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1能表示成k个完全平方数的和，那么k 的最小值为（）A．1 B．2 C．3D．46．（2003一试1）计算：232217122--( )(A)5-42 (B)42-1 (C)5 (D)17．（2005一试1）化简：11459+302366402＋＋－－的结果是＿＿。

A 、无理数B 、真分数C 、奇数D 、偶数8.（2006一试4）设.,02,0222a bc c ab a b >=+->则实数c b a 、、的大小关系是【 】(A)a c b >> (B)b a c >>(C)c b a >>(D)c a b >>9．（2012一试1）已知21a =-，32b =-，62c =-，那么,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<二、填空题1.（2003一试10）已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是__ __.2.（2004一试10）设m是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m= .3.（2005一试7）不超过100的自然数中，将凡是3或5的倍数的数相加，其和为＿＿。

2004年北京市中学生数学竞赛(高一)初 赛一、选择题(每小题6分，共36分)1．满足条件22)]([)(x f x f =的二次函数是( )．(A)2)(x x f =(B)5)(2+=ax x f (C)x x x f +=2)((D)2004)(2+-=x x f 2.在R 上定义的函数()xy y x y x y -====2sin ,2004sin |,|sin ,sin π中，偶函数的个数是( )．(A)O (B)1 (C)2 (D)33．方程a x =-|1|||恰有三个实数解．则a 等于( )．(A)0 (B)0.5 (C)1 (D)24.实数c b a 、、满足,0,0>+>+c b b a )(,0x f a c >+是R 上的奇函数，且是严格的减函数，即若21x x <，就有)()(21x f x f <．则( )．(A)0)()()(2=++c f b f a f(B)0)()()(<++c f b f a f (C)0)()()(>++c f b f a f (D)2004)()(2)(=++c f b f a f5．已知d c b a 、、、这四个正整数中，a 被9除余l ，b 被9除余3，c 被9除余5，d 被9除余7．则一定不是完全平方数的两个数是( )．(A)b a 、 (B)c b 、 (C)d c 、 (D)a d 、6．正实数列54321a a a a a 、、、、中，321a a a 、、成等差数列，432a a a 、、成等比数列，且公比不等于1。

又543a a a 、、的倒数成等差数列，则（ ）。

(A)531a a a 、、成等比数列(B)531a a a 、、成等差数列 (C)531111a a a 、、成等差数列 (D)531213161a a a 、、成等差数列二、填空题(每小题8分，共64分)7．已知⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=1100,log ,3,2)(31x x x x x f x ，则)))2004(((-f f f 的值等于 ．8．已知200421+++= a ．则a 被l7除的余数为 ．9．已知.1)(2-+=x x x f 若12=/ab ，且,0)()(21==-b f a f 则=+21aba 。

NABCDP2004年全国初中数学联合数学竞赛试题第一试一．选择题1．已知abc ≠0，且a ＋b ＋c ＝0, 则代数式 a 2bc ＋b 2ca ＋c 2ab的值是（ ）(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 02．已知p ,q 均为质数，且满足5p 2＋3q ＝59，则以p ＋3,1－p ＋q ,2p ＋q －4为边长的三角形是（ ）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形3． 一个三角形的边长分别为a ,a ,b ，另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ，其中a ＞b ，若两个三角形的最小内角相等，则 a b的值等于（ ）(A)3＋1 2 (B) 5＋1 2 (C) 3＋2 2 (D) 5＋224．过点P (-1,3)作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） (A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条5．已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） (A) ab ≥1 8(B) ab ≤1 8(C) ab ≥1 4(D) ab ≤1 46．如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50二．填空题1．计算1 1＋2＋1 2＋3＋1 3＋4＋……＋12003＋2004＝ .2．如图ABCD 是边长为a 的正方形，以D 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ，延长AP 交BC 于点N ，则BNNC ＝ .3．实数a ,b 满足a 3＋b 3＋3ab ＝1，则a ＋b ＝ .4．设m 是不能表示为三个合数之和的最大整数，则m ＝ .l G B C H F A E P QMD 第二试一、 已知方程x 2－6x －4n 2－32n ＝0的根都是整数，求整数n 的值。

考试时间120分钟，试卷满分120分 一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分)1.下列各式中，最简二次根式为( )A. B. C. D.2.方程(x+1)x=0的根是( )A.x 1=1，x 2=0B.x 1=-1，x 2=1C.x 1=-1，x 2=0D.x 1=x 2=03.如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，点C 为优弧上一点，∠ACB=60°，则∠APB 的度数是( ) A.60° B.120° C.30°或120° D.30°4.二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25.已知Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，且AB=2A′B′，则sinA 与sinA′的关系为( )A.sinA =2sinA′B.2sinA=sinA′C.sinA=sinA′D.不确定6.在下面四种边长相等的正多边形的组合中，能作平面镶嵌的组合是( )7.如图，点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P做x轴的垂线PQ交双曲线y=于点Q，连结OQ，当点P向右运动时，Rt△QOP的面积( )A.逐渐增大B.逐渐减小C.保持不变D.无法确定8.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2和m，圆心距为n，且2和m都是方程x2-10x+n=0的两根，则两圆的位置关系是( )A.相交B.外离C.内切D.外切9.将某氢氧化钠溶液加水，则描述溶液pH值与加水量(m)间变化规律的图象大致是( )10.如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连结OC并延长交⊙O于点D。

若OC=3，CD=2，则圆心O到弦AB的距离是( )A.6B.9-C.D.25-3二、填空题(每小题2分，共20分)11.已知点P(-3,2)，点P′是点P关于原点的对称点，则点P′的坐标是____。

2004第二十一届全国九年级义务教育初中中考数学联赛第一试一、选择题1.已知0abc ≠,且0a b c ++=,则代数式222a b c bc ca ab++的值是( )A.3B.2C.1D.02.已知p ,q 均为质数,且满足25359p q +=,则以3p +,1p q -+,24p q +-为边长的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形3.一个三角形的边长分别为a ,a ,b ,另一个三角形的边长分别为b ,b ,a ,其中a b >,若两个三角形的最小内角相等,则ab的值等于( )4.过点(13)P -，作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作( ) A.4条 B.3条 C.2条 D.1条5.已知24b ac -是一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个实数根,则ab 的取值范围为( )A.18ab ≥B.8ab 1≤C.14ab ≥D.14ab ≤6.在23⨯矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为( ) A.24 B.38 C.46 D.50 二、填空题1.+=L ________________.2.如图ABCD 是边长为a 的正方形,以D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆交于另一点P ,延长AP 交BC 于点N ,则BNNC=_________.3.实数a ,b 满足3331a b ab ++=,则a b +=__________.4.设m 是不能表示为三个不同合数之和的最大整数,则m =__________.第二试一、已知方程2264320x x n n ---=的根都是整数,求整数n 的值. 二、(A)已知如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,以两腰AB ,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ,设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ,EP l ⊥于P ,FQ l ⊥于Q . 求证:EP FQ =. 二、(B)已知如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,以两腰AB ,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ,设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M .二、(C)已知如图,梯形ABCD 中,AD BC ∥,以两腰AB ,CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ,连接EF ,设线段EF 的中点为M .求证:MA MD =.三、已知点(03)A ，,(21)B --，,(21)C -，,2()P t t ，为抛物线2y x =上位于三角形ABC 内(包括边界)的BP O E D CF A H lP MQ GF E DC B A A B C DEFG Ml H一动点,BP 所在的直线交AC 于E ,CP 所在的直线交AB 于F .将BFCE表示为自变量t 的函数.2003第二十届全国九年级义务教育初中中考数学联赛试 题第一试一、选择题1.A【解析】 本题利用基本不等式来变形:原代数式222333a b c a b c bc ca ab abc++++=. 又()()333222a b c a b c a b c ab bc ca ++=++++---.由已知0a b c ++=,故33330a b c abc ++-=.即3333a b c abc ++=,代回原式得到2223333a b c a b c bc ca ab abc++++==,选A.【点评】 本题首先是要对给出的代数式进行通分变形,得到我们所能找到思路的形式,最关键的是要充分熟悉常用的公式:()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---以及它的各种变形体,然后就很容易求出结果.2.B【解析】 由方程知2559p <,所以4p <,又p 为质数,所以p 只可能是2或3,代回方程25359p q +=中,因为q 也是质数,只有当2p =时13q =为质数. 所以2p =,13q =.由p ,q 的值得到三角形三边长为5,12,13,由勾股定理逆定理得到这是个直角三角形. 故选B.【点评】 本题考点是质数的性质,根据质数的性质求出p ,q 的值再用勾股定理逆定理可得到结果,对于质数来说,是比整数更具有约束性的条件,还是和所有的整数题一样,首先确定范围,再根据可能的取值分情况讨论. 3.B三角形内,小的边对应小的内角,所以边长为a ,a ,b 的三角形最小的内角为顶角,边长为b ,b ,a 的三角形最小的内角为底角,由题意,这两个角相等.E E'F'PF BA如图作一条辅助线,将边长a ,a ,b 的三角形分成两个等腰三角形,其中边长为b ,b ,()a b -的三角形与边长为a ,a ,b 的三角形相似.于是有b a b a b -=,ab=.【点评】 本题中要注意在三角形内,小的边对应小的内角,大边对大角即可.同时,本题中还要注意由于两个三角形有一个相等的角和一条相等的边,故可将两个三角形结合在一个图形里面讨论,通过相似比得出结果.4.C【解析】 由于P 在第二象限,过P 的直线与坐标轴围成的三角形可以在第二、第一和第三象限.此题可以巧解:试想过P 的直线围成的三角形在第一象限, 当直线接近原点时,三角形的面积接近0,当直线接近与x 轴平行时,三角形的面积将趋向无穷.所以在第一象限可以存在一个三角形其面积正好是5；而对于在三象限的三角形来说,当直线接近原点时,三角形的面积接近0,当直线接近与x 轴平等时,三角形的面积将趋向无穷.所以在第一象限可以存在一个三角形其面积正好是5； 而对于在二象限的三角形ABC 来说,可以设直线AB 的倾为α,同时3PC =,1PD =,则1313tan 1132tan 2AOB APC PDB PCOD S S S S αα=++=⋅⨯+⨯⨯+⨯Y △△△9tan 32tan 2αα=++, 对于第二象限的角α来说,tan 0α>,∴9tan 3362tan 2AOB S αα=++=△≥.因此,二象限中不存在这样的三角形.故选C.【点评】 本题中利用了极端法以及一个基本不等式,在做选择题的时候这种方法很常用,一般还有带入法,特殊值法等,总之做选择题的时候要注意充分利用选项；对于基本的不等式来说要注意它的适用范围,在适当的条件下,它才成立.5.B 【解析】 由求根公式得到方程的根为x =y =.又因为224y b ac =-是原方程的根,所以22b y y a -+=或者22b yy a--=,因为0a ≠,这两个方程可化成关于y 的一元二次方程220ay y b ±+=,考虑这个方程的判别式得到180ab -≥,所以18ab ≥,选择B.【点评】 本题的关键在于利用好24b ac -是方程的一个根这个条件,,可得到一个新的一元二次方程,再利用这个方程的的判别式求出ab 的范围,这种利用判别式求方程系数范围的方法在联赛中经常用到.6.C【解析】 等腰直角三角形可以与正方形建立,图中有两类正方形:①由四个各点构成的小正方形,这样的正方形共有6个,每个正方形的四个顶点中任意选出三点都可以构成一个等腰直角三角形,即每个正方形中含4个等腰直角三角形,此类等腰直角三角形共有、6424⨯=个.②由四个正方形构成的大正方形,有两个.这样的正方形中有三类等腰直角三角形；如图,以正方形对角线为斜边的等腰直角三角形,以正方形边长为斜边的等腰直角三角形,以正方形对边中点连线为斜边的等腰直角三角形,这三类三角形各有4个,因此每个正方形中有12个等腰直角三角形,两个这样的正方形有24个等腰直角三角形,但是这两个正方形重叠之处有两个等腰直角三角形重复计算了,因此有24222-=个.这两类正方形中共有242246+=个等腰直角三角形.【点评】本题中是要数的三角形与图中的正方形建立了联系,由于正方形的个数很好计算,因此很容易算出对应的三角形的个数,同时要非常注意集中重叠的个数,对于一般的题来说,通常是将三角形分类,再分别出各种三角形的个数,一样能避免多数或漏数.二、填空题1.1【解析】将原式分母有理化得:原式(1=-L11=【点评】这是一道简单的根式化简的问题,将根式有理化即可得出结果,对于二次根式来说对于形如1要熟悉掌握,并灵活应用.2.12【解析】O为BC中点,即半圆的圆心.连接DP,PO,DO,PC,同时过P作EF平行于AD,且交CD,AB 于E,F两点.由于DP,DC均为大圆的半径,所以DP DC=；同时,OP,OC均为小圆半径,所以OP OC=；DO边公共,所以DPO△和DCO△全等.对于DPC△来说,由于1tan2COCDOCD∠==,DP DC a==,所以PC,进而可求得DPC△中DC上的高455152PE aa==⨯,所以1PF a=,35AF DE a==.3255FB EC a a a==-=.由于APF△相似于ANB△,所以:PF AFNB AB=,NA FCD EOPB故:115335a aPF AB NB a AF a ⨯⨯===.所以:113123aBN BC a a ==-. 【点评】 这道题乍看应该用切割线定理来做,实际上用切割线做的时候只有一条半径和一条切割线,没有办法继续,当我们连接几条半径之后,就能利用其中一个已知三角形的各边之比来解直角三角形了.3.1或2-【解析】 解一:由已知3231a b ab ++=,得到()()3322310310a b ab a b a b ab ab ++-=⇒++-+-=()()()()222222310a b a b ab a b ab ab a b ab ⇒++--+-+++--= ()()()222110a b a b ab a b ⇒+-+-++-=()()22110a b a b ab a b ⇒+-+-+++=.即1a b +=,或者2210a b ab a b +-+++=.若2210a b ab a b +-+++=, ()22110a b a b a +-+++=,()231b ∆=-+,即1b =-时a 才可能是实数,此时1a =-,所以2a b +=-, 综上1a b +=或2-.解二:首先我们可以联想到常用的公式:()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---,这样,由3331a b ab ++=可知:()()()333221311a b ab a b a b a b ab ++--=+-++++-.因此:()10a b +-=,或()2210a b a b ab ++++-=, 由()10a b +-=, 可知1a b +=,由()2210a b a b ab ++++-=,配方可得2220⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故1a b ==-, 2a b +=-.【点评】 这道题综合性很强,首先需要将方程变形后进行因式分解,再分情况讨论,在分情况讨论的过程中也用到了一元二次方程的知识.对于第二种解法来说,这个公式我们在选择题里面已经见到了,对于各种公式的变形体我们都要熟练地掌握应用,尤其是字母与数学共存的时候,要清楚地了解是什么公式的变形体.4.17【解析】 合数最小的是4,6,8,9,10等,46818++=,所以17不能写成三个合数的和,现在我们来证明大于17的数都可以写成三个互不相等的合数之和.一个自然数被3除的余数只可能是0,1,2,我们可分成3n ,31n +,32n +三种情况. 当可表示成3n 时,()34834n n =++-,当5n >时,4,8,()33n -是三个不同的合数. 当可表示成31n +时,()314633n n +=++-,当6n >时,4,6,()33n -是三个不同的合数. 当可表示成32n +时,()3241034n n +=++-,当5n >时,4,10,()34n -是三个不同的合数.综上大于17的数都可以写成三个互不相等的合数之和,所以17最大的不能写成三个不同合数之和的.【点评】 这道题我们首先找出18是第一个可以写成三个互不相等的合数之和的数,所以我们猜想17时最大的不能写成三个互不相等的合数之和的数,证明的时候我们采取构造的方法,构造出3个合数来,这种方法解决这类问题时很常用.第二试一、【解析】 利用求根公式得到3x =,为使x 为整数,只要求224329n n k ∆=++=,(这种方法在处理完全平方数的问题中很常用)配方得到()222855n k +-=,即()()282855n k n k +++-=,考虑到k 是非负的,所以2855n k ++=,11,1,1-,5-, 对应的281n k +-=,5,55-,11-. 得到10n =,0,18-,8-.【点评】 这是一道典型的一元二次方程的整数根问题,对于整系数的这种问题主要考虑考虑判别式为完全平方数,配方法在这类问题中应用广泛,需要加以重视.二、(A)(画不出图) 【解析】 如图作辅助线,因为EP MF AD BC ∥∥∥,得到四个平行四边形:AOKB ,ODCL ,ODFT ,OAES , 所以ES AO OD TF ===,并且有SO OK ⊥,SO OK =.TO OL ⊥,TO OL =,ST 与PQ 相交于M ',这样原题转化为熟悉的题型,只要证明M '是ST 的中点就可得到SP QT =.下面就证明M '是ST 的中点.延长QP ,过T 点作OS 的平行线交PQ 于H , 90HOT LON ∠+∠=o ,90LON L ∠+∠=o , 所以L HOT ∠=∠.又因为TH OS ∥,180SOT HTO ∠+∠=o ,180SOT LOK ∠+∠=o , 所以HTO LOK ∠=∠.另OT OL =,所以HOT KOL △≌△,进而TH OK OS ==,THSO 为平行四边形. M '为平行四边形的对角线交点,于是M '为ST 的中点.回到原题,因为MSMT ''=,且SP QT ∥,易得SPM TQM ''△≌△, 所以SP TQ =,又因为ES FT =,所以EP FQ =,得证.【点评】 对于这道题来说,关键是要很熟悉以前全国九年级义务教育初中中考数学联赛的题,是以一个三角形的两边向外作正方形,然后要证明两正方形两顶点的连线与底边的高线的反延长线的交点为中点的题.由这道题很容易联想到应该作平行线从而转化成我们熟悉的题型.二、(B) 【解析】 如图作辅助线,因为EP MF AD BC ∥∥∥,得到四个平行四边形:AOKB ,ODCL ,ODFT ,OAES ,所以ES AO OD TF ===,并且有SO OK ⊥,SO OK =.TO OL ⊥,TO OL =,ST 与PQ 相交于M ',这样原题转化为熟悉的题型,只要证明M '是ST 的中点就可得到SP QT =.下面就证明M '是ST 的中点.延长QP ,过T 点作OS 的平行线交PQ 于H ,90HOT LON ∠+∠=o ,90LON L ∠+∠=o , 所以L HOT ∠=∠.又因为TH OS ∥,180SOT HTO ∠+∠=o ,180SOT LOK ∠+∠=o , 所以HTO LOK ∠=∠.另OT OL =,所以HOT KOL △≌△,进而TH OK OS ==,THSO 为平行四边形. M '为平行四边形的对角线交点,于是M '为ST 的中点.回到原题,因为MSMT ''=,且SP QT ∥,易得SPM TQM ''△≌△, 所以SP TQ =,又因为ES FT =,所以EP FQ =,得证.【点评】 对于这道题来说,关键是要很熟悉以前全国九年级义务教育初中中考数学联赛的题,是以一个三角形的两边向外作正方形,然后要证明两正方形两顶点的连线与底边的高线的反延长线的交点为中点的题.由这道题很容易联想到应该作平行线从而转化成我们熟悉的题型.二、(C) 【解析】 证明:如图,作AD 的垂直平分线,交EF 于M ',如图作辅助线,因为EP MF AD BC ∥∥∥,得到四个平行四边形:AOKB ,ODCL ,ODFT ,OAES , 所以ES AO OD TF ===,并且有SO OK ⊥,SO OK =.TO OL ⊥,TO OL =, ST 与PQ 相交于M ',这样原题转化为熟悉的题型. 下面就证明M '是ST 的中点.延长QP ,过T 点作OS 的平行线交PQ 于H , 90HOT LON ∠+∠=o ,90LON L ∠+∠=o , 所以L HOT ∠=∠.又因为TH OS ∥,180SOT HTO ∠+∠=o ,180SOT LOK ∠+∠=o , 所以HTO LOK ∠=∠.另OT OL =,所以HOT KOL △≌△,进而TH OK OS ==,THSO 为平行四边形. M '为平行四边形的对角线交点,于是M '为ST 的中点,所以M '与M 点重合,由于直线l 为AD 的垂直平分线,显然有MA MD =.证毕.【点评】 对于这道题来说,关键是要很熟悉以前全国九年级义务教育初中中考数学联赛的题,是以一个三角形的两边向外作正方形,然后要证明两正方形两顶点的连线与底边的高线的反延长线的交点为中点的题.由这道题很容易联想到应该做平行线从而转化成我们熟悉的题型.同时,对于像图中的要证明MA MD =,可以过M 点作垂线,再证明它为底边的平分线即可,但这样不容易证明的时候,我们可以先作垂直平分线,再证明两点重合,这种方法也是竞赛中经常用到的.三、 【解析】 根据对称性,可以简化求解:如图作BE 和CF 关于y 轴的对称线CE '和BF ',则P 的对称点为()2t t -，.且BF CF '=. 先由一般方法求出E 点坐标,设()E x y ，,得联立方程:3132y x ---=,21122t y t x ++=++, 解得2264225t t x t t +-=++,下面要求出F '的坐标()x y ''，,由于F '是AC 与BP '的交点. 需要的方程与上述方程形式完全一致,只是将()2t t ，换成()2t t -，, 所以x '与x 的解形式也相同,只需要把t 换成t '.A BF PF'E'E所以2264225t t x t t --'=-+,因为BF CF CE CE'=,而C ,E ,F '共线,所以22225225CF x t t CE x t t ''-++==--+, 题意要求P 点在三角形内部,所以还应该求出t 的取值范围,AC 直线方程:32y x =-,联立抛物线2y x =,得1x =(舍去3x =-), 由对称性知()11t -≤≤,所以此题最后结果为()22251125BF t t t CE t t ++=--+≤≤.【点评】 这道题很容易想到的是分别写出各条直线的直线方程,再根据各直线方程可以得到各个交点的坐标,然后根据两点的距离公式分别算出两点的距离,然后就能得出它的比.实际解题过程中也是这样的一种思路,严格按照这个思路计算量是很大的,解题过程中我们注意到了B ,C 两点的对称性,所以只是解出一个坐标,根据对称性可得出其他点的坐标,这样能大大简化计算量.。

a 2+ 4 b2a 2+ 4 b22004 年山东省初中数学竞赛一、选择题(每小题 6 分 ,共 48 分) 1. 已知 n 是奇数 , m 是偶数 ,方程组2 004 + y = n , 11 x + 28 y = m有整数解( x 0 , y 0 ) . 则() .(A) x 0 、y 0 均为偶数 (B) x 0 、y 0 均为奇数(C) x 0 是偶数 , y 0 是奇数 (D) x 0 是奇数 , y 0 是偶数2. 若 ab ≠0 ,则等式3. 设 a 、b 、c 、d 都是非零实数. 则 - ab 、 ac 、 b d 、 c d ( ) .(A ) 都是正数 (B ) 都是负数(C) 是两正两负(D) 是一正三负或一负三正 4. 如图 1 , 在矩形 ABCD 中 , AB = a , BC= b , M 是 BC 的中点 , DE ⊥AM , E 为垂足. 则DE = ( ) .(A)2 ab图 1a 5 - - b= a 3- 1 ab4 a 2 + b 2(B)ab 成立的条件是() (A ) a > 0 , b > 0 (B ) a < 0 , b > 0(C ) a > 0 , b < 0(D ) a < 0 , b < 0(C) 2 ab(D)ab运动员名下 ,那么 ,其中必有一名运动员至少被5 位裁判都评为 1 分 ,于是 ,由题设可知 ,其余裁判给该运动员的评分不大于 4 ,从而 , c 1 ≤5 ×1 + 4 ×4= 21.(3) 如果 9 位裁判评出的 9 个 1 分集中在三名运动员名下 ,那么 ,这三名运动员各自所得的总分之和不大于9 ×1 + 9 ×3 + 9 ×4 = 72.从 而 ,3 c 1 ≤c 1 + c 2 + c 3 ≤72. 故 c 1 ≤24.(4) 如果 9 个 1 分为 4 名运动员拥有 ,那么 ,这 4名运动员各人所得总分之和等于9 ×1 + 9 ×2 + 9 ×3 + 9 ×4 = 90.从而 ,4 c 1 ≤90. 故 c 1 < 23. 综上可知 , c 1 ≤24.c 1 = 24 这种情形是可以实现的 ,见表 2.表 2(汤文卿 提供)4 a 2 + b 2A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 12B 1 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 2 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 3 1 4 3 2 5 6 7 9 10 8 11 12 B 4 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 B 5 4 3 1 5 2 7 9 6 8 11 10 12 B 6 4 3 1 5 2 7 9 68 11 10 12B 7 3 1 4 2 5 9 6 7 11 10 8 12 B 8 3 1 4 5 2 9 6 7 11 10 8 12 B 931 425 96 7 11 10 8 12合计 24 24 24 303366 66 66 87 87 87 108进价0 a + b的值为 2005 年第 5 期5. 某商店出售某种商品每件可获利 m27若 DE = 2 , BC = 6 ,则 MN =.元 , 利润率为 20 % 利润率 =售价 - 进价.若这种商品的进价提高 25 % ,而商店将这种商品的售价提高到每件仍可获利 m 元 ,则提价后的利润率为( ) .(A ) 25 % (B ) 20 % (C ) 16 %(D ) 1215 %6. 如图 2 , 在 △ABC 中 , ∠ACB = 90°,∠A = 20°. 将 △ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转角α到 △A ′B ′C 的位置 ,其中 A ′、B ′分别是 A 、B 的对应点 ,B 在 A ′B ′上 ,C A ′交 AB 于 D . 则 ∠BDC 的度 数 为图 3 图 412. 如图 4 ,在矩形 ABCD 中 , AB = 5 , BC = 12. 将矩形 ABCD 沿对角线AC 对折后放在桌面上 ,折叠后所成的图形覆盖桌面的面积是 .三、解答题(每小题 20 分 ,共 60 分)13. 甲、乙两汽车零售商 (以下分别简称甲、乙) 向某品牌汽车生产厂订购一批汽车 , () .图 2甲开始订购的汽车数量是乙所订购数量的 3 (A ) 40° (B ) 45° (C ) 50° (D ) 60° 7. 若 x 是一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0 ( a ≠0) 的根 ,则判别式Δ = b 2- 4 ac 与平方倍. 后来 ,由于某种原因 ,甲从其所订的汽车中转让给乙 6 辆. 在提车时 ,生产厂所提供的汽车比甲、乙所订购的总数少了 6 辆 ,最后 , 式 M = (2 ax 0 + b ) 2的大小关系是() .甲所购汽车的数量是乙所购的 2 倍. 试问 : (A )Δ > M (B )Δ = M (C )Δ < M(D ) 不能确定8. 在 △ABC 中 , a 、b 、c 分别 为 ∠A 、∠B 、∠C 的对边. 若 ∠B = 60°, 则c+a ( ) . c + b甲、乙最后所购得的汽车总数至多是多少辆 ? 又至少是多少辆 ?14. 如图 5 ,已知 3 个边长相等的正方形相邻并 排. 求 ∠EB F+ ∠EBG .图 5(A) 12(B) 22(C ) 1(D ) 215. 从 1 ,2 , ,2 004 中任选 k 个数 ,使所二、填空题(每小题 8 分 ,共 32 分)9. 若 x 1 、x 2 都满足条件| 2 x - 1| + | 2 x + 3| = 4 , 且 x 1 < x 2 ,则 x 1 - x 2 的取值范围是.10. 已知 a 、b 是方程 x 2- 4 x + m = 0 的两个根 , b 、c 是方程 x 2- 8 x + 5 m = 0 的两个根. 则 m = .11. 如图 3 ,在 △ABC 中 , D 、E 分别在边 AB 、AC 上 ,且 DE ∥BC . 过点 A 作平行于 BC的直线分别交 CD 、B E 的延长线于点 M 、N .选的 k 个数中 ,一定可以找到能构成三角形边长的 3 个数(这里要求三角形三边长互不相等) . 试问:满足条件的 k 的最小值是多少 ?参 考 答 案一 、1. C 2. B 3. D 4. A 5. C 6. D 7. B8. C二 、9. - 2 ≤x 1 - x 2 < 0 10. 0 或 3 11. 6 12.2 03548三、13. 设甲、乙最后所购得的汽车总数为 x 辆 ,致 读 者1《. 中等数学》2004 年合订本现正发售 ,每本 27 元(含邮挂费) 。