黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二4月月考数学(文)试题(含答案)

绝密★启用前2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二4月月考数学（文）试题评卷人得分一、单选题1．圆的圆心极坐标是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】先求出圆的直角坐标方程，得圆心坐标，即可得圆心极坐标．【详解】，即，可化为，圆心坐标为,由于圆心在第四象限，所以=，即圆心的极坐标是．故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．2．下列在曲线为参数上的点是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：,因为,所以曲线的普通方程为．显然B正确．考点：参数方程与普通方程间的互化．3．设分别为直线（t为参数）和曲线C：（为参数）上的点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】先将直线和曲线分别化简成普通方程，得到直线和圆，再利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离得出结果.【详解】因为直线（t为参数）的普通方程为2x+y-15=0曲线C：（为参数）的普通方程所以曲线C是以C(1,-2)为圆心，半径的圆，圆心C（1，-2）到直线距离为所以的最小值为故选B.【点睛】本题主要考查了参数方程和普通方程的互化，还有直线与圆的位置关系，能否将参数方程化简为普通方程是解题的关键，属于较为基础的题.4．极坐标系中，点之间的距离是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理进行计算即可.【详解】由题意得,由余弦定理得,故选：C．【点睛】本题考查极坐标、余弦定理的应用,属于基础题．5．若函数则( )A．0 B．1 C．-3 D．3【答案】C【解析】【分析】对函数f(x)求导，即可求的值.【详解】函数,则故选：C【点睛】本题考查导数的求法，熟记常见函数的导数公式是解题的关键.6．已知椭圆的离心率为椭圆上的一个动点，则与定点连线距离的最大值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用椭圆的离心率求出a，然后设出P点坐标，利用两点间距离公式，转为求解最值即可．【详解】椭圆的离心率，可得：，解得a=，椭圆方程为设P，则P与定点连线距离为，当时，取得最大值3．故选：D．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆简单的几何性质，考查含的二次函数求最值问题,属于基础题.7．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】通过对比曲线方程中横纵坐标之间的关系即可得到伸缩变换公式.【详解】在曲线即上任意取一点P(x,y)，在伸缩变换后，得到椭圆上对应的点，可得 ,即伸缩变换公式为，故选：B．【点睛】本题考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系.8．在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】把直线l的方程化为直角坐标方程为x+y-1=0，点的直角坐标为，故点A到直线l的距离为，故选：A．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．设曲线的参数方程为为参数，直线l的方程为，则曲线上到直线l的距离为的点的个数为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】将圆C化为普通方程，计算圆心到直线l的距离，通过比较所求距离与的关系即可得到满足条件的点的个数．【详解】化曲线C的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，所以直线和圆相交，过圆心和l平行的直线和圆的2个交点符合要求，与l平行且与圆相切的直线和圆的一个交点符合要求，故有3个点符合题意，故选：C【点睛】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系得出结论．10．与直线平行的抛物线的切线方程是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切点坐标，由点斜式写出切线方程即可．【详解】对函数求导得，设切点坐标为（x,y）,因为切线与直线平行得斜率k=2x=2,即x=1,则切点坐标为（1,1），与直线平行的抛物线的切线方程是y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，属于基础题．11．若正实数满足，则的最小值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】，，，，当且仅当，取等号，故选D．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.12．若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题.【详解】不等式去掉绝对值符号得，即对任意恒成立，变量分离得，只需，即所以a的取值范围是故选：B【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13．若实数满足，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件可令代入2x-y中，利用余弦函数的性质即可得到答案. 【详解】实数满足，令则，其中，由余弦函数的性质可知最小值为，故答案为：【点睛】本题考查圆的参数方程的应用，考查辅助角公式和余弦函数性质的应用，属于基础题.14．在极坐标系中，已知两点的极坐标为,则（其中为极点）的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知条件得到，然后由三角形的面积公式计算即可得到答案.【详解】由题意得,由三角形的面积公式可得，故答案为：3【点睛】本题考查极坐标的应用、三角形面积的计算公式，属于基础题．15．若关于x 的不等式对任意恒成立，则实数a 的取值范围是___．【答案】或【解析】【分析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等式a2﹣3a≥4即可求得答案．【详解】∵|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，解得：或，∴实数a的取值范围为或，故答案为：或．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．16．已知点,若圆上存在点,使得线段的中点也在圆上,则的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：A点在圆上，可设，通过PA中点也在圆上的条件，可以建立P与圆的相关性。

哈尔滨市第六中学2020届4月份阶段性测试高二理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分） 1. 30<<x 是21<-x 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x 24后，曲线C 变为曲线122=-y x ，则曲线C 的方程为（ ）A ．116422=-y x B ．141622=-y x C ．141622=-y x D ．116422=-y x 3. 直线03=++y x 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆2)1(22=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．]6,2[B ．]9,3[C ．]24,2[D ．]23,2[4．设曲线)1ln(++=x ax y 在点)0,0(O 处的切线方程为x y 4=，则=a （ ） A ．3 B ．41C ．4D ．31 5．已知函数x x x f cos sin )(+=，且)(4)(x f x f ='，则x 2tan 的值是（ ）A ．53-B ．43-C ．815- D ．35 6.已知直线l 的参数方程为为参数）t t y t x (17cos 117sin 4⎩⎨⎧--=+-= ，则直线l 的倾斜角为( ) A.017 B.0107 C.073 D.0163 7.已知直线l ：⎩⎨⎧-==t y t x 23(t 为参数)和抛物线C ：x y 22=，l 与C 分别交于点21,P P ，则点)2,0(A 到21,P P 两点距离之和是( )A ．10B ．1030C ．31010 D ． 1010 8．在0,0>>b a 的条件下，五个结论：①ab b a ≥+2)2(； ②b a ab b a +≥+22；③2222b a b a +≤+；④b a a b b a +≤+22；⑤设c b a ,,都是正数，则三个数ac c b b a 1,1,1+++至少有一个不小于2 其中正确的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 9．设曲线C 的参数方程为)20(sin 31cos 32πθθθ≤≤⎩⎨⎧+-=+=y x ,直线l 的方程为023=+-y x ,则曲线C 上到直线l的距离为4的点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．已知R z y x ∈,,，且432=+-z y x ，则()()()222513x y z ++-++的最小值是（ ）A.20037 B. 7200C.36D.40 11．已知),0(,+∞∈b a ，且611)(2=+++ba b a ，则b a +的取值范围是（ ）A ．[]2,1B ．]2,21[ C ．[]4,1 D ．),4[+∞12．在直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为12{22x costy sint=+=-+（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l sin 4m πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，（ m R ∈）.若直线l 与圆M 相交于A ，B 两点，MAB ∆的面积为2，则m 值为（ ）A ．1-或3B ．1或5C ．1-或5-D ．2或6 二、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数1)1()(23+'+=f x ax x f ，且9)1(=-'f ，则=)1(f ；14.在极坐标系),(θρ(02)θπ≤< 中，曲线(sin cos )20ρθθ++=与(sin cos )20ρθθ-+=的交点的极坐标为 ；15.已知|3||1|)(a x x x f ++-=最小值为5，则=a ； 16.若对任意x R ∈，不等式23324x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高二数学6月阶段性测试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要的．1.设全集{}2,|20,{|ln(1)0}U R A x x x B x x ==-<=-<，则A B ⋂=（ ） A. {|02}x x <<B. {|0}x x >C. {|01}x x <<D.{|02}x x <≤【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合A 、B ，利用交集的定义求出A B ⋂ 【详解】{}{}2|20=|02A x x x x x =-<<<，由于ln(1)001101x x x -<⇔<-<⇔<<，所以{}{|ln(1)0}=|01B x x x x =-<<<，{}=|01A B x x ⋂<<故答案选C 。

【点睛】本题考查一元二次不等式与对数不等式的解以及集合交集的运算，属于基础题。

2.已知命题2000:,210P x R x x ∃∈++≤，则 p ⌝为 （ ） A. 2000,210x R x x ∃∈++>B. 2000,210x R x x ∃∈++<C. 2,210x R x x ∀∈++≤ D. 2,210x R x x ∀∈++>【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定的写法写出答案即可.【详解】命题p ：∃x 0∈R ，x 02＋2x 0＋1≤0，则P ⌝为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0。

故答案为：D.【点睛】这个题目考查了特称命题的否定的写法，特称命题的否定是全称命题，写命题的否定的原则是：换量词，否结论，不变条件.3.函数y = ） A. [3,4) B. (,3]-∞ C. [3,)+∞ D. (,4]-∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶次根号下的被开方数大于等于零、对数真数大于零，列出不等式组，进行求解即可。

哈尔滨市第六中学2020届4月份阶段性测试高二理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出含有绝对值的不等式的解集，根据小范围推大范围得到结果即可.【详解】解得到假设，一定有反之不一定，故是成立的充分不必要条件.故答案为：A.【点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线，则曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将代入曲线化简可得到式子.【详解】将代入曲线方程得到，进而得到结果。

故答案为：B.【点睛】本题考查了曲线的变换公式的应用，属于基础题.3.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件得到三角形的底边长为，高有最大值和最小值，最小值为最大值为进而得到面积的范围.【详解】根据题意得到，三角形面积的大小，取决于三角形的高的大小，点P到AB的距离，最小是圆心到直线的距离减半径，最大是圆心到直线的距离加半径，根据点到直线的距离得到，三角形的高最大值为三角形的高的最小值为面积为：故范围是：.故答案为：B.【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.4.设曲线在点处的切线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对函数求导，得到根据切线方程得到【详解】曲线,,切线方程,故得到故答案为：C.【点睛】这个题目考查了基本初等函数的求导公式，以及导数的几何意义，题目比较简单.5.已知函数，且，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的求导公式得到，再由两角和公式得到结果.【详解】函数,则故答案为：C.【点睛】这个题目考查了三角函数的二倍角公式的应用,题目比较简单.6.已知直线的参数方程为，则直线的倾斜角为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线的参数方程得到倾斜角为通过三角函数的诱导公式得到结果.【详解】直线的参数方程为(t为参数）进而得到直线的倾斜角为故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线的参数方程的应用，考查了参数方程中系数的几何意义.7.已知直线：(为参数)和抛物线：，与分别交于点，则点到两点距离之和是()A. 10B.C.D.【答案】D【解析】【分析】联立直线和抛物线方程，根据参数t的几何意义得到.【详解】直线：(为参数)和抛物线：联立得到，根据参数t的几何意义得到点到两点距离之和是：故答案为：D.【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义的合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在的条件下，五个结论：①；②；③；④；⑤设都是正数，则三个数至少有一个不小于，其中正确的个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质以及变形做差的方法得到①②③④正确，⑤由反证法可得证.【详解】对于①等价于，恒成立，故正确；②，等价于恒成立，故正确；③，等价于恒成立，故正确；④，等价于这个不等式应该是非负的，故不正确；⑤设都是正数，设三个数全都小于2，因为，如果每个值都小于2，则这三组的和应小于6，这互相矛盾，故原命题正确.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了命题真假的判断，不等式性质的应用，以及反证法的应用，题目比较综合.9.设曲线C的参数方程为,直线的方程为,则曲线上到直线的距离为4的点的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】曲线C表示以（2，﹣1）为圆心，以3为半径的圆，圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d＜3，从而直线与圆相交．所以与l平行的直线与圆的2个交点满足题意．【详解】由曲线C的参数方程为,得（x﹣2）2+（y+1）2＝9．∴曲线C表示以（2，﹣1）为圆心，以3为半径的圆，则圆心C（2，﹣1）到直线l的距离d＝所以直线与圆相交．所以与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3﹣d＜4，故满足题意的点有2个．故选：B．【点睛】本题考查曲线C上到直线l距离为4的点的个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程互化公式合理运用．10.已知，且，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解.【详解】根据柯西不等式得到进而得到最小值是：故答案为：B.【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.11.已知，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质将原式化简为化简得到.【详解】因为故答案为：A.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，（）.若直线与圆相交于，两点，的面积为2，则值为（）A. 或3B. 1或5C. 或D. 2或6【答案】C【解析】圆的普通方程为，所以圆心为，半径为，由，可得等腰直角三角形，到的距离为，直线化为直角坐标方程为，即，由点到直线的距离公式可得，得或，故选C.二、填空题（每题5分，共20分）13.已知函数，且，则______________；【答案】【解析】【分析】赋值法，令x=-1,1解方程得到，再代入得到结果.【详解】函数,，进而得到-1.故答案为：-1.【点睛】这个题目考查了导数的基本运算，以及赋值法的应用，比较基础.14.在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为______________________；【答案】【解析】转化为直角坐标系下与的交点为（0，），该点在极坐标系下表示为15.已知最小值为5，则_____________；【答案】【解析】【分析】讨论a的范围，分情况去掉绝对值，找到不同情况下的最值，进而得到参数值.【详解】当时，已知，此时最小值是当时，代入得到a=12或-18，故此时a=12;当时，、此时函数在x=处取得最小值，代入得到a=-18.故答案为：12或-18.【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的最值的求法，常见的解法是零点分区间去掉不等式.16.若对任意，不等式恒成立，则实数的范围是____【答案】【解析】试题分析：x=0时，恒成立；x＞0时，3x2﹣2ax≥x﹣可化为2a≤3x+﹣1，∵3x+≥2=3，∴2a≤3﹣1，∴a≤1；x＜0时，3x2﹣2ax≥﹣x﹣可化为﹣2a≤（﹣3x）﹣﹣1，∵﹣3x﹣≥3，∴﹣2a≤3﹣1，∴a≥﹣1∴﹣1≤a≤1．考点：函数恒成立问题，等式的解法．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查基本不等式的运用，考查分类讨论．三、解答题（共70分）17.设函数(1)解不等式(2)若在上有实数解,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）零点分区间写出函数的表达式，分段解决即可；（2）由绝对值三角不等式得到，故原不等式转化为，解出即可.【详解】(1)零点分区间，函数，解得：解集为.（2）=根据绝对值三角不等式得到故得到若在上有实数解,即根据二次函数的性质得到解为：.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的有解问题，其中解答中根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号，及合理转化有解问题是解答本题的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.18.平面直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线，在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程为化直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）4月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）圆ρ＝5cosθ﹣5sinθ的圆心的极坐标是（）A．（﹣5，﹣）B．（﹣5，）C．（5，）D．（﹣5，）2．（5分）下列在曲线（θ为参数）上的点是（）A．，B．，C．（1，D．（2，3．（5分）设P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．4．（5分）极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）A．B．C．D．5．（5分）若函数f（x）＝x2+，则f′（﹣1）＝（）A．﹣1B．1C．﹣3D．36．（5分）已知椭圆的离心率为椭圆C上的一个动点，则P 与定点B（﹣1，0）连线距离的最大值为（）A．B．C．D．37．（5分）在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x2+y2＝9变换为椭圆方程，此伸缩变换公式是（）A．B．C．D．8．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）设曲线C的参数方程为，直线l的方程为，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为（）A．1B．2C．3D．410．（5分）与直线2x﹣y+4＝0的平行的抛物线y＝x2的切线方程是（）A．2x﹣y+3＝0B．2x﹣y﹣3＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x﹣y﹣1＝0 11．（5分）若正实数x，y满足x+y＝1，则+的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）若不等式|2x﹣a|≤x+3对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3]C．（1，3）D．[1，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若实数x，y满足x2+y2＝1，则2x﹣y的最小值为．14．（5分）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），则△AOB（其中O为极点）的面积为．15．（5分）不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知点P（3，a），若圆O：x2+y2＝4上存在点A，使得线段P A的中点也在圆O 上，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y＝4，曲线为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）若射线l：θ＝α（p＞0）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．18．（12分）已知在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 是直线l 上任意一点，过M 做圆C 切线，切点为A 、B ，求四边形AMBC 面积的最小值．19．（12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°． （1）求证：PC ⊥AC ；（2）求点B 到平面ACM 的距离．20．（12分）已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|． （1）求不等式f （x ）≥3的解集； （2）若关于x 的不等式在R 上恒成立，求实数a 的取值范围21．（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在[40，60）的学生评价为“锻炼达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽取5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少有1人是女生的概率．参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d临界值表22．（12分）已知曲线（α为参数），曲线，将C1的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3．（1）求曲线C3的普通方程，曲线C2的直角坐标方程；（2）若点P为曲线C3上的任意一点，Q为曲线C2上的任意一点，求线段|PQ|的最小值，并求此时的Q的坐标；（3）过（2）中求出的点Q做一直线l，交曲线C3于A，B两点，求△AOB面积的最大值（O为直角坐标系的坐标原点），并求出此时直线l的方程．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨六中高二（下）4月段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：将方程ρ＝5cosθ﹣5sinθ两边都乘以p得：p2＝5ρcosθ﹣5ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2﹣5x+5y＝0．圆心的坐标为（，﹣）化成极坐标为（﹣5，﹣）故选：A．2．【解答】解：把曲线（θ为参数）的方程消去参数，化为普通方程得y2＝x+1，﹣1≤x≤1，把所给的各个选项代入曲线的普通方程检验，可得A中的点满足曲线的普通方程，故选：A．3．【解答】解：∵P，Q分别为直线（t为参数）和曲线C：（θ为参数）上的点，∴直线的普通方程为2x+y﹣15＝0，曲线C的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝5，曲线C是以C（1，﹣2）为圆心，以r＝为半径的圆，圆心C（1，﹣2）到直线的距离d＝＝3，∴|PQ|的最小值为：d＝r＝3＝2．故选：B．4．【解答】解：∵∠AOB＝＝．∴|AB|＝＝．故选：C．5．【解答】解：；∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．故选：C．6．【解答】解：由题意可得：＝，b＝2，a2＝b2+c2，联立解得a＝，b＝2，∴椭圆的标准方程为：+＝1．设P（2sinθ，cosθ），θ∈[0，2π）．则|PB|2＝（2sinθ+1）2+＝2cos2θ+4sinθ+5＝﹣2sin2θ+4sinθ+7＝﹣2（sinθ﹣1）2+9≤9．当sinθ＝1时取等号．∴|PB|≤3．故选：D．7．【解答】解：设（λ＞0，μ＞0），把伸缩变换的关系式代入曲线方程x2+y2＝9，得到：，即：，利用对应关系式：，，解得：，μ＝1，故选：B．8．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x+y﹣1＝0．由点到直线的距离公式得d＝＝，故选：B．9．【解答】解：由消去参数θ得（x﹣）2+（y+1）2＝25，圆心C（，﹣1），半径为5，圆心C到直线的距离d＝＝，则曲线C上到直线l的距离为的点的个数为3个．故选：C．10．【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m＝0联立方程组得x2﹣2x﹣m＝0△＝4+4m＝0解得m＝﹣1，∴切线方程为2x﹣y﹣1＝0，故选：D．11．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴x+1+y＝2，+＝•（+）＝（1+4++）≥（5+2）＝（当接仅当x ＝，y＝取等号），故选：D．12．【解答】解：由不等式|2x﹣a|≤x+3对任意x∈[0，2]上恒成立，可得f（x）＝|2x﹣a|的图象在x∈[0，2]上恒位于直线y＝x+3的下方或在直线y＝x+3上，如图所示：①，或②，由①可得﹣1≤a＜0，由②可得0≤a≤3，故实数a的取值范围为：[﹣1，3]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【解答】解：实数x，y满足x2+y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ，所以：2x﹣y＝2cosθ﹣sinθ＝sin（θ+α）≥；故2x﹣y的最小值为，故答案为：14．【解答】解：∵两点A、B的极坐标分别为（3，），（4，），∴|OA|＝3，|OB|＝4，∠AOB＝＝，∴△AOB（其中O为极点）的面积为×|OA|×|OB|×sin∠AOB＝3，故答案为3．15．【解答】解：令y＝|x+3|﹣|x﹣1|当x＞1时，y＝x+3﹣x+1＝4当x＜﹣3时，y＝﹣x﹣3+x﹣1＝﹣4当﹣3≤x≤1时，y＝x+3+x﹣1＝2x+2 所以﹣4≤y≤4所以要使得不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立只要a2﹣3a≥4即可∴a≤﹣1或a≥4故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）16．【解答】解：设A（2cosθ，2sinθ），则线段P A的中点M的坐标为（），∴（）2+（）2＝4，⇒12cosθ+4a sinθ＝3﹣a2⇒，⇒．a4﹣22a2﹣135≤0，⇒a2≤27⇒﹣3，故答案为：[﹣3，3]三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C1：x+y＝4，曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）＝4，C2的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，所以曲线C2的极坐标方程为：ρ＝2cosθ．…（4分）（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），﹣＜α＜，则ρ1＝，ρ2＝2cosα，…（6分）＝＝×2cosα（cosα+sinα）＝（cos2α+sin2α+1）＝[cos（2α﹣）+1]，…（8分）当α＝时，取得最大值（+1）．…（10分）18．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（θ为参数），所以圆C的普通方程为（x﹣3）2+（y+4）2＝4．…（2分）由得ρcosθ+ρsinθ＝2，∵ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴直线l的直角坐标方程x+y﹣2＝0…（4分）（Ⅱ）圆心C（3，﹣4）到直线l：x+y﹣2＝0的距离为d＝＝…（6分）由于M是直线l上任意一点，则|MC|≥d＝，∴四边形AMBC面积S＝2×AC•MA＝AC＝2≥2∴四边形AMBC面积的最小值为…（10分）19．【解答】证明：（1）∵BC⊥PC，AB⊥PC，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC，∵AC⊂平面ABC，∴PC⊥AC．解：（2）以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，设PC＝t，则B（0，2，0），A（，﹣，0），C（0，0，0），M（0，1，t），P（0，0，t），＝（﹣，，t），＝（0，0，﹣t），∵直线AM与直线PC所成的角为60°．∴cos60°＝＝，由t＞0，解得t＝1，∴M（0，1，1），＝（0，2，0），＝（，﹣，0），＝（0，1，1），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，﹣），∴点B到平面ACM的距离为d＝＝＝．20．【解答】解：f（x）＝|2x﹣1|+|x+1|＝，（1）∵f（x）≥3，∴，或，或，∴x≥1，或x＝﹣1，或x＜﹣1，∴x≤﹣1或x≥1，∴不等式的解集为：{x|x≤﹣1，或x≥1}；（2）由f（x）知，f（x）min＝f（）＝，∵不等式在R上恒成立，∴只需，∴a2﹣a﹣2≤0，∴﹣1≤a≤2，∴a的取值范围为：[﹣1，2]．21．【解答】解：（Ⅰ）列联表如下：K2＝＝≈6.061》5.024，所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关．（Ⅱ）”锻炼达标“的学生有50人，男女生人数比为3：2，故用分层抽样方法抽取5人，有3人是男生，记为a，b，c，有2人是女生，记为d，e，则从这5人中选出2人，选法有：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，设事件A表示“作重点发言的2人中，至少有1人是女生”，则事件A发生的情况为：ad，bd，cd，ae，be，ce，de共7种，所以所求概率为．22．【解答】解：（1）将C1：的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的得到曲线C3：（α为参数），消去参数α得曲线C3的普通方程为x2+y2＝1；由ρsin（θ+）＝得ρsinθcos+ρcosθsin＝，得ρsinθ+ρcosθ＝2，得曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣2＝0．（2）设P（cosα，sinα），则点P到直线x+y﹣2＝0的距离d＝＝，∴sin（）＝1，取α＝时，取得最小值﹣1，此时Q（1，1）∴Q（1，1）．（3）∵∴时△AOB面积有最大值此时O到l距离，所以．。

黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二数学4月月考试题文第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z3i(13i)2，则|z|=( )A．14B．12C．1 D．22. 下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x21，则x 1”的否命题为：“若x21，则x 1”．B．“x1”是“x25x 60”的必要不充分条件.C．命题“若x y，则sin x sin y”的逆否命题为真命题. 开始D．命题“x R使得x2x 10”的否定是：“x R均有输入a x2x 10”．k 1,S3．已知某种商品的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的^线性回归方程为y＝6.5x＋17.5，则表中m的值为() S S 1(2k 1)(2k1)k k 1x 2 4 5 6 8否S a?y 30 40 m 50 70是A.45 B．50 C．55 D．60输出k4.设F为抛物线C:y24x的焦点，曲线y k(k0)与C交于点P，x结束PF x轴，则k （）13SA. B.1 C. D.22295．阅读如图所示的程序框图，若输入a ，则输出的19k值是( )A．9B．10C．11D．126．已知三棱锥S ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在OABAB上，SO 底面ABC，AC 2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．πＢ．2πＣ．3πＤ．4πC7．已知矩形ABCD，AB 5，BC 7，在矩形ABCD中随机取一点P，则APB90出现的概率为（）- 1 -A ．5 56B ． 5 56C ．5 28D ．5288．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9.将所有正偶数按如下方式进行排列，则 2 018位于（ ） 第 1行：2 4第 2行：6 8 10 12第 3行：14 16 18 20 22 24第 4行：26 28 30 32 34 36 38 40 …… …… ……A.第 30行B.第 31行C.第 32行D.第 33行 10.若函数 f x kx lnx 在区间1,单调递增，则k 的取值范围是（ ） A.,2B.,1C.2,D.1,xy2211．已知动点 P (x ，y ) 在椭圆 C 上， F 为椭圆 C 的右焦点，若点 M 满足: 125 1612| MF |1且 MP MF 0 ，则| PM |的最小值为（ ）A ． 3 B ．3 C ．D ．1512. 定义域为 R 的可导函数 f (x ) 的导函数为 f (x ) ，若对任意实数 x ，有 f / (x ) f (x )0 ，则（）A. ef (2015) f (2016)B. ef (2015) f (2016)C. ef (2015) f (2016)D. 不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共 90分）二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底3 面面积是这个球面面积的16，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为14.曲线 yxe x 2x 1在点（0,1）处的切线方程为。

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度上学期期末考试高二文科数学试题一、选择题：（每小题5分，共60分）1.复数（是虚数单位）的模等于（）A. B. 10 C. D. 5【答案】A【解析】由题意：，该复数的模为.本题选择A选项.2.已知命题：，则A. B.C. D.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，全称命题命题“”的否定为特称命题“”，故选C.3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题:①若，则；②若，，则；③若，则；④若，则；则真命题为（）A. ①②B. ③④C. ②D. ②④【答案】C【解析】【分析】由或异面判断①不正确，排除；利用长方体的一个角判断④不正确，排除选项，从而可得结果.【详解】对于① ， ，则 或异面，故①不正确，排除；对于④，设平面是位于长方体经过同一个顶点的三个面，则有，且 ，但是，推不出，故④不正确，排除选项，故选C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等.4.某校共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为的样本，则应抽取的后勤人员人数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义求解即可.【详解】因为160人抽取20人,所以抽取的比例为,因为后勤人数为,所以应抽取，故选A.【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于简单题. 分层抽样适合总体中个体差异明显，层次清晰的抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同.5.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据复数乘法运算法则化简复数，得到复平面内对应点的坐标是，由横标大于零,纵标小子零，即可得到的取值范围，根据充分条件与必要条件的定义可得结果.【详解】复数，.在复平面内对应的点的坐标是，若点在第四象限则，，“”是“点在第四象限”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分条件问题，考査复数的乘法运算法则及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，是中档题.6.哈六中数学兴趣小组的同学们为了计算六中数学组二维码中黑色部分的面积，在如图一个边长为的正方形区域内随机投掷个点，其中落入黑色部分的有个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设黑色部分的面积为，利用几何概型概率计算公式列出方程能估计黑色部分的面积.【详解】设黑色部分的面积为，正方形二维码边长为4,在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，，解得，据此可估计黑色部分的面积为9，故选C.【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.7.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果．【详解】模拟程序的运行，可得x=8，y=3不满足条件|y-x|＜3，执行循环体，x=3，y=，满足条件|y-x|＜3，退出循环，输出y的值为．故选B.．【点睛】本题考查根据框图计算，属基础题．8.根据给出的数塔猜测（）…A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果.【详解】由；；；，，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）.9.在下列命题中，下列选项正确的是（）A. 在回归直线中，变量时，变量的值一定是15.B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近于1.C. 在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中即可说明选用的模型比较合适，与带状区域的宽度无关.D. 若是两个相等的非零实数，则是纯虚数.【答案】D【解析】【分析】根据回归方程的定义判断；根据相关系数的定义判断；根据残差图的性质判断；根据纯虚数的定义判断.【详解】在回归直线中，变量时，得到15只是变量的一个预测值，故不正确；两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，故不正确；在残差图中，残差点比较均匀落在水平的带状区域中，带状区域的宽度越小，拟合效果越好，故不正确；若是两个相等的非零实数，则,且，符合纯虚数的定义，正确,故选D.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查回归方程的定义、相关系数的定义、残差图的性质、纯虚数的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.10.2018年暑假期间哈六中在第5届全国模拟联合国大会中获得最佳组织奖，其中甲、乙、丙、丁中有一人获个人杰出代表奖，记者采访时，甲说：我不是杰出个人；乙说：丁是杰出个人；丙说：乙获得了杰出个人；丁说：我不是杰出个人，若他们中只有一人说了假话，则获得杰出个人称号的是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁获得冠军，看是否满足“只有一人说了假话，”，即可得出结果.【详解】若甲获个人杰出代表奖，则甲、乙、丙三人同时回答错误，丁回答正确，不满足题意；若乙获个人杰出代表奖，则甲、丙，丁回答正确，只有乙回答错误，满足题意；若丙获个人杰出代表奖，则乙、丙回答错误，甲、丁回答正确，不满足题意；若丁获个人杰出代表奖，则甲、乙回答正确，丙、丁回答错误，不满足题意，综上，获得杰出代表奖的是乙，故选B.【点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.11.已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A. 64B.C.D. 128【答案】B【解析】【分析】本题先由三视图可以得出几何体为三棱锥，再通过小正方形数出三棱锥高和底面的底和高的长度，最后通过三棱锥体积公式计算得出结果。

哈尔滨市第六中学2018-2019学年度下学期期末考试高二文科数学一、选择题。

1.已知集合{}{}22120,4A x R x x B x R x =∈--<=∈>，则A B I 等于（ ）A. ()24，B. ()3.4-C. ()()3,22,4--⋃D. (),-∞+∞【答案】C 【解析】 【分析】由不等式性质求出集合A 、B ，由交集的定义求出A B I 可得答案. 【详解】解：可得2{|120}{|34}A x R x x x x =∈--<=-<<；2{|4}{|2-2}B x R x x x x =∈>=><或，可得A B I ={|--224}x x x <<<<3或 故选C.【点睛】本题考查了交集及其运算，求出集合A 、B 并熟练掌握交集的定义是解题的关键.2.设命题00:,22019x P x R ∃∈>，则P ⌝为（ ）A. ,22019xx R ∀∈≤ B. ,22019xx R ∀∈> C. ,22019xx R ∃∈≤ D. ,22019x x R ∃∈<【答案】A 【解析】 【分析】对于特称命题的否定: ∃改为∀（∀改为∃），再否定结论 【详解】因为命题00:,22019x P x R ∃∈>，所以P ⌝为,22019x x R ∀∈≤，选择A【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，注意区分否命题和命题的否定。

属于基础题。

3.已知函数2log ,(0)()3,(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1[()]8f f 的值是（ ） A. 27 B. 27-C.127D. 127-【答案】C 【解析】 【分析】首先计算出18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再把18f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值带入1[()]8f f 计算即可。

【详解】根据题意得32211log log 2388f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，所以()311[()]33827f f f -=-==，所以选择C【点睛】本题主要考查了分段函数求值的问题，属于基础题。

2018-2019学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题1．设f（x）＝lnx，若f'（x0）＝3，则x0＝（）A．e3B．3 C．D．ln32．函数y＝e x+cos x在点（0，2）处的切线方程是（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．x﹣2y+4＝0 3．已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（）A．b﹣a＜0 B．|a|＞|b| C．a2＜ab D．4．已知函数，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．，（1，+∞）B．（0，1），（3，+∞）C．，（3，+∞）D．5．已知函数y＝x+（x＞1），函数的最小值等于（）A．B．4+1 C．5 D．96．若函数f（x）＝x3﹣ax2﹣2x+5在（1，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．7．若函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3] D．（﹣∞，0）∪（0，3）8．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点9．若函数f（x）＝﹣x2+alnx在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）10．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）•e x的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．﹣e D．111．若函数f（x）＝x4+ax3+x2﹣b（a，b∈R）仅在x＝0处有极值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[2，6] D．[﹣1，4]12．设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．[4，+∞）C．（﹣∞，2] D．（0，3]二、填空题（本大题共4小题）13．曲线y＝x+e x在点（0，1）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为．14．函数f（x）＝的单调递增区间是．15．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值是．16．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜1，f（0）＝2019，则不等式e x f（x）＞e x+2018（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题17．已知f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝1与时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（﹣1）＝0，求f（x）的单调区间和极值．18．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）与曲线C2：＝1交于M，N两点．（1）求曲线C1的普通方程；（2）若点P（1，1），求|PM|+|PN|的值．19．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：y ＝kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．20．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝kx+k．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求k的取值范围．21．已知函数（1）求函数在区间（2，4）上的最小值；（2）讨论f（x）在区间（2，a）上的极值．22．已知函数．（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（e，f（e））处切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间；（3）试判断a＞1时f（x）＝0的实根个数说明理由．参考答案一、选择题：（本大题共12小题）1．设f（x）＝lnx，若f'（x0）＝3，则x0＝（）A．e3B．3 C．D．ln3【分析】由导函数的求法得：f′（x）＝，又f′（x0）＝3，所以＝3，所以x0＝，得解．解：因为f（x）＝lnx，所以f′（x）＝，又f′（x0）＝3，所以＝3，所以x0＝，故选：C．2．函数y＝e x+cos x在点（0，2）处的切线方程是（）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．x﹣2y+4＝0 【分析】求出函数的导函数，把x＝0代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率，根据求出的斜率和切点坐标写出切线方程即可．解：由题意得：y′＝e x﹣sin x把x＝0代入得：y′|x＝0＝1，即切线方程的斜率k＝1，而切点坐标为（0，2），则所求切线方程为：y﹣2＝x﹣0，即x﹣y+2＝0．故选：A．3．已知a＜0，b＞0，那么下列不等式中一定成立的是（）A．b﹣a＜0 B．|a|＞|b| C．a2＜ab D．【分析】根据a，b飞符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．解：若a＜0，b＞0，则﹣a＞0，则b﹣a＞0，故A错误，|a|＞|b|不一定成立，a2＞ab，则C不成立，＜0，＞0，则＜，成立，故D正确，故选：D．4．已知函数，则函数f（x）的单调递减区间是（）A．，（1，+∞）B．（0，1），（3，+∞）C．，（3，+∞）D．【分析】求函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系求f′（x）＜0即可．解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝3x﹣4+＝，由f′（x）＜0得＜0，得3x2﹣4x+1＜0，得（x﹣1）（3x﹣1）＜0，得＜x＜1，即函数的单调递减区间为（，1），故选：D．5．已知函数y＝x+（x＞1），函数的最小值等于（）A．B．4+1 C．5 D．9【分析】由均值不等式得：因为x＞1，所以x﹣1＞0，x+＝（x﹣1）+1+1＝5，（当且仅当x﹣1＝即x＝3时取等号），得解．解：因为x＞1，所以x﹣1＞0，y＝x+＝（x﹣1）+1+1＝5，（当且仅当x﹣1＝即x ＝3时取等号），故函数的最小值等于5，故选：C．6．若函数f（x）＝x3﹣ax2﹣2x+5在（1，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）＝x3﹣ax2﹣2x+5在（1，2）内单调递减，转化成f'（x）≤0在（1，2）内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．解：∵函数f（x）＝x3﹣ax2﹣2x+5在（1，2）内单调递减，∴f'（x）＝3x2﹣2ax﹣2≤0在（1，2）内恒成立．即a≥x﹣在（1，2）内恒成立．∵t＝x﹣在（1，2）上的最大值为，∴a≥．故选：C．7．若函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，0）∪（0，3] D．（﹣∞，0）∪（0，3）【分析】由函数的极值得：①当a＝0时，x＝为函数的极值点，②当a≠0时，函数存在极值点，则△＝36﹣12a＞0，解得a＜3且a≠0，综合①②得：实数a的取值范围是a ＜3，得解．解：因为f（x）＝ax3﹣3x2+x+8，所以f′（x）＝3ax2﹣6x+1，又f（x）＝ax3﹣3x2+x+8存在极值点，①当a＝0时，x＝为函数的极值点，②当a≠0时，函数存在极值点，则△＝36﹣12a＞0，解得a＜3且a≠0，综合①②得：实数a的取值范围是a＜3，故选：A．8．已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么（）A．﹣1是函数f（x）的极小值点B．1是函数f（x）的极大值点C．2是函数f（x）的极大值点D．函数f（x）有两个极值点【分析】根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）＝0，f′（2）＝0，然后判定﹣1，2处附近的导数符号，根据极值的定义进行判定即可．解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（﹣1）＝0，f′（2）＝0 但当x＜﹣1时，f′（x）＞0，﹣1＜x＜2时，f′（x）＞0，x＞2时，f′（x）＜0 ∴﹣1不是极值点，2是函数f（x）的极大值点故选：C．9．若函数f（x）＝﹣x2+alnx在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）【分析】求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．解：∵∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，∴在区间（1，+∞）上恒成立∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立∵x2＞1∴a≤1故选：C．10．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）•e x的极值点，则f（x）的极小值为（）A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．﹣e D．1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x，可得f′（x）＝（2x+a）e x+（x2+ax﹣1）e x，x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）e x的极值点，可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣2+（4﹣2a﹣1）e﹣2＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．可得f′（x）＝（2x﹣1）e x+（x2﹣x﹣1）e x＝（x2+x﹣2）e x，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1＝﹣e．故选：C．11．若函数f（x）＝x4+ax3+x2﹣b（a，b∈R）仅在x＝0处有极值，则a的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[2，6] D．[﹣1，4]【分析】求导函数，要保证函数f（x）仅在x＝0处有极值，必须满足f′（x）在x＝0两侧异号．解：由题意，f′（x）＝x3+3ax2+9x＝x（x2+3ax+9）要保证函数f（x）仅在x＝0处有极值，必须满足f′（x）在x＝0两侧异号，所以要x2+3ax+9≥0恒成立，由判别式有：（3a）2﹣36≤0，∴9a2≤36∴﹣2≤a≤2，∴a的取值范围是[﹣2，2]故选：A．12．设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．[4，+∞）C．（﹣∞，2] D．（0，3]【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．解：∵f（x）＝x2﹣9lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）＝x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，∴，解得1＜a≤2．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案写在答题卡上相应的位置）13．曲线y＝x+e x在点（0，1）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为．【分析】欲求切线与两坐标轴所围成的三角形面积，关键是求出在点（0，1）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再令x＝0，y＝0，可得截距，由三角形的面积公式可得所求值．解：求导函数，可得y′＝1+e x，当x＝0时，y′＝2，可得y＝x+e x在点（0，1）处的切线为y＝2x+1，令x＝0，可得y＝1，令y＝0，可得x＝﹣，则曲线y＝x+e x在点（0，1）处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为×1×＝．故答案为：．14．函数f（x）＝的单调递增区间是（1，+∞）（或[1，+∞））．【分析】求导函数，利用f′（x）＞0，可得函数的单调递增区间．解：求导函数，可得令f′（x）＞0，可得x＞1故函数的单调递增区间是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）（或[1，+∞））15．函数f（x）＝x3﹣3x+1在闭区间[﹣3，0]上的最大值是 3 ．【分析】先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．解：由f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，故f（x）的极小值、极大值分别为f（﹣1）＝3，f（1）＝﹣1，而f（﹣3）＝﹣17，f（0）＝1，故函数f（x）＝x3﹣3x+1在[﹣3，0]上的最大值是3．故答案是3．16．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜1，f（0）＝2019，则不等式e x f（x）＞e x+2018（其中e为自然对数的底数）的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据题意，令g（x）＝e x f（x）﹣e x，求出其导数并分析g（x）的单调性，有f（0）的值可得g（0）的值，据此可得e x f（x）＞e x+2018⇒e x f（x）﹣e x＞2018⇒g（x）＞g（0），结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，令g（x）＝e x f（x）﹣e x，若f（0）＝2019，则g（0）＝e0f（2019）﹣e0＝2018，则g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]，又由f（x）+f'（x）＜1，则g′（x）＜0，则g（x）在R上减函数，不等式e x f（x）＞e x+2018⇒e x f（x）﹣e x＞2018⇒g（x）＞g（0），又由g（x）在R上减函数，则x＜0，即不等式的解集为（﹣∞，0）；故答案为：（﹣∞，0）．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．已知f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝1与时都取得极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（﹣1）＝0，求f（x）的单调区间和极值．【分析】（1）求出f′（x）并令其＝0得到方程，则1，﹣是方程3x2+2ax+b＝0的两个根，解得即可；（2）先求出c的值，再根据导数和函数的单调性的极值的关系即可求出．解：（1）由已知得f′（x）＝3x2+2ax+b，∵x＝1，x＝﹣是极值点，则1，﹣是方程3x2+2ax+b＝0的两个根，，解得；（2）f（x）＝x3﹣x2﹣x+c，∵f（﹣1）＝0，∴c＝1，f'（x）＝3x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1或x ＝﹣，列出极值表x （﹣∞，﹣﹣（﹣，1） 1 （1，+∞））f（x）增极大减极小增f′（x）正0 负0 正由表格得函数的增区间：；极大值为f （﹣）＝；极小值为f（1）＝0．18．在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）与曲线C2：＝1交于M，N两点．（1）求曲线C1的普通方程；（2）若点P（1，1），求|PM|+|PN|的值．【分析】（1）消去参数可得曲线C1的普通方程；（2）根据参数t的几何意义可得．解：（1）由消去参数可得曲线C1的普通方程为：y＝x；（2）将直线l的参数方程代入曲线C2的方程并整理得：5t2+10t+2＝0，设M，N对应的参数为t1，t2，t1+t2＝﹣2，t1t2＝，|PM|+|PN|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝2．19．在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l：y ＝kx（x≥0）与曲线C交于A，B两点．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）求的最大值．【分析】（1）先由参数方程得到普通方程，再由普通方程即可得到极坐标方程；（2）先设A（ρ1，α），B（ρ2，α），以及直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），代入（1）中的结果，得到ρ2﹣6ρcosα+5＝0，由韦达定理，以及+＝+，即可求出结果解：（1）由（θ为参数），得（x﹣3）2+y2＝4，即x2+y2﹣6x+5＝0．故C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5＝0．（2）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），直线l：y＝kx（k≥0）的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R），代入ρ2﹣6ρcosθ+5＝0，得ρ2﹣6ρcosα+5＝0，所以ρ1+ρ2＝6cosα，ρ1ρ2＝5．因为k≥0，所以cosα＞0，则ρ1＞0，ρ2＞0，则+＝+＝＝．当cosα＝1时，+取得最大值，且最大值为．20．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，g（x）＝kx+k．（Ⅰ）求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）取得绝对值符号，得到分段函数，画出函数的图象，然后求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）利用函数恒成立，转化求解k的范围即可．解：（Ⅰ）由题得，函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＝，则结合y＝f（x）的图象可得，不等式f（x）≤4的解集为：．（Ⅱ）由题得，g（x）＝kx+k＝k（x+1），又∀x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，由几何意义知，k的取值范围为：﹣2≤k≤1……………………．21．已知函数（1）求函数在区间（2，4）上的最小值；（2）讨论f（x）在区间（2，a）上的极值．【分析】（1）求函数的导数，判断函数的单调区间，求函数的极值并判断函数在区间（2，4）上的最小值即可；（2）由（1）可得函数f（x）的单调区间，讨论a，可知函数f（x）在区间（2，a）上的单调区间，从而可得函数在区间的极值．解：函数，函数的定义域为：x∈（0，+∞），（1）f′（x）＝x+e﹣（e+1）＝＝，当x∈（0，1）或（e，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，1）或（e，+∞）上单调递增；当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（1，e）上单调递减；所以函数在区间（2，4）上的最小值为极小值：f（e）＝﹣e2；（2）由（1）可知，函数f（x）在区间（0，1）或（e，+∞）上单调递增；在区间（1，e）上单调递减；当f（x）在区间x∈（2，a）上时，若2＜a≤e时，函数f（x）在区间（2，a）上单调递减，函数f（x）没有极值．若a＞e时，函数f（x）在区间（2，e）上单调递减，在区间（e，a）上单调递增，函数f（x）有极小值f（e）＝﹣e2；没有极大值．22．已知函数．（1）当a＝1时，求y＝f（x）在（e，f（e））处切线方程；（2）讨论f（x）的单调区间；（3）试判断a＞1时f（x）＝0的实根个数说明理由．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得所求切线方程；（2）求得f（x）的导数，讨论a＝0，a＞1，a＝1，0＜a＜1，a＜0，解不等式可得f（x）的单调区间；（3）由a＞1可得f（x）的极值，判断符号，画出图象，可得实根的个数．解：（1）函数的导数为f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝，当a＝1时，y＝f（x）在（e，f（e））处切线斜率为，切点为（e，e2﹣2e+1），可得切线方程为y﹣（e2﹣2e+1）＝（x﹣e），即为y＝x﹣e2；（2）f′（x）＝ax﹣（a+1）+＝，x＞0，①当a＝0时，f′（x）＝，可得f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；②当a＝1时，f′（x）＝≥0，可得f（x）的增区间为（0，+∞）；③当a＞1时，0＜＜1，可得f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1）；④当0＜a＜1，＞1，可得f（x）的增区间为（0，1），（，+∞），减区间为（1，）；⑤当a＜0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；（3）a＞1时f（x）＝0的实根个数为1，a＞1时，0＜＜1，可得f（x）的增区间为（0，），（1，+∞），减区间为（，1），可得f（x）的极小值为f（1）＝﹣1﹣＜0，极大值为f（）＝﹣1﹣﹣lna＜0，且x→+∞，f（x）→+∞，可得f（x）＝0的实根为1个．。