2016年12月10日初三定长定角及胡不归复习

胡不归整理基本解法：构造直角三角形胡不归问题解法通法：第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧，过终点作一射线，使之与该线段构成的角满足：1 sinVα=；第二步：过起点作该射线的垂线；第三步：该垂线与线段的交点即为所求．例题解析：例1、（2016•宜兴市一模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．【解答】解：过点E作y轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴tan∠HED=tan∠EBA==，设DH=4m，EH=3m，则DE=5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间==4（s）若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间==4（s），∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s 速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO==，∴OC=4，则C （0，4），设直线BE 的解析式为y=kx +b ，把B （3，0），C （0，4）代入得，解得，∴直线BE 的解析式为y=﹣x +4， 解方程组得或，则E 点坐标为（﹣，），∴AQ=，∴蚂蚁从A 爬到G 点的时间==（s ），即蚂蚁从A 到E 的最短时间为s ． 故答案为．例2、（2014成都）如图，已知抛物线)4)(2(8-+=x x k y （k 为常数，且0>k ）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线b x y +-=33与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）若在第一象限的抛物线上有点P ，使得以A ，B ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。

初中最值问题汇总（将军饮马，辅助圆，瓜豆原理，“胡不归”问题，阿氏圆问题，费马点）最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。

而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？军营B将军河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

胡不归模型巩固练习（基础）一．选择题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【分析】过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF =30°，DF =12DC ，2AD +DC =2(AD +12DC)=2(AD +DF)当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．【解答】解：过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图所示：在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC =2(AD +12DC)＝2（AD +DF ），∴当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长， 此时，∠B ＝∠ADB ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴AD ＝BD ＝AB ＝4，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝4，∴BC ＝8，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4，∴2AD +DC ＝2×4+4＝12，∴2AD+DC的最小值为12，故选：D．【点评】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．2．如图，已知AE∥CD，AB＝2，∠CBE＝2∠A＝60°，P是线段AC上的任意一点，则BP+12CP的最小值为（）A．√3B．2 C．√32+1D．√3+1【分析】由已知可得∠A＝30°，∠ACB＝30°，∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小．【解答】解：∵∠CBE＝2∠A＝60°，∴∠A＝30°，∠ACB＝30°，∴AB＝BC＝2，∵AE∥CD，∴∠CBE＝∠DCB＝60°，过点B作BQ⊥CD交AC于点P，∵∠DCA＝30°，∴PQ=12 PC，∴BP+12CB＝BQ，此时BP+12CP的值最小；∴BQ＝BC•sin60°=√3，故选：A．【点评】本题考查最短距离、平行线的性质；由胡不归原理求线段的最短距离，利用平行线和直角三角形的知识求解是关键．3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，AB ＝2，点E 为BD 上动点，连接AE ，则AE +12BE 的最小值为（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【分析】过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，由△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，可得EM =12BE ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE的最小值为AH 的长度，在Rt △ABH 中，有AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，故AE +12BE 最小值为√3．【解答】解：过E 作EM ⊥BC 于M ，过H 作AH ⊥BC 于H ，交BD 于E '，如图：∵△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC ，∴∠EBM ＝30°，∴EM =12BE ，∴AE +12BE ＝AE +EM ，当AE +12BE 最小时，AE +EM 最小，此时E 与E '重合，M 与H 重合，AE +12BE 的最小值为AH 的长度， 在Rt △ABH 中，AH ＝AB •sin ∠ABH ＝2×sin 60°=√3，∴AE +12BE 最小值为√3， 故选：C ．【点评】本题考查等边三角形的性质，涉及胡不归问题，解题的关键是转化思想的应用．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =−49x 2+83x 与x 轴的正半轴交于点A ，B 点为抛物线的顶点，C点为该抛物线对称轴上一点，则3BC +5AC 的最小值为（ ）A ．24B ．25C ．30D ．36【分析】连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，继而得出BD 、OA 、OD ，再证明△OBD ∽△CBM ，△OBD ∽△OAN ，进而可得3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，根据AN OA =BD OB 求出AN ，AC +CM 最小值即为AN ，则问题得解．【解答】解：连接OB ，过C 点作CM ⊥OB 于M 点，过A 点作AN ⊥OB 于N 点，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，如图，令y ＝0，得方程−49x 2+83x =0，解得：x 1＝0，x 2＝6，∴A 点坐标为（6，0），即OA ＝6，将y =−49x 2+83x 配成顶点式得：y =−49(x −3)2+4，∴B 点坐标为（3，4），∴BD ＝4，OD ＝3，∵CM ⊥OB ，AN ⊥OB ，∴∠BMC ＝∠ANO ＝90°，根据抛物线对称轴的性质可知BD ⊥OA ，∴∠BDO ＝90°，在Rt △BDO 中，利用勾股定理得OB =√OD 2+BD 2=√32+42=5，∵∠OBD ＝∠CBM ，∠BDO ＝∠BMC ＝90°，∴△OBD ∽△CBM ，同理可证得△OBD ∽△OAN ，∴BC MC =BO OD ，AN OA =BD OB ， ∴BC MC =BO OD =53，即3BC ＝5MC ， ∴3BC +5AC ＝5MC +5AC ＝5（AC +CM ），∵当A 、C 、M 三点共线，且三点连线垂直OB 时，AC +CM 最小，∴AC +CM 最小值为AN ，如图所示，∵AN OA =BD OB ，∴AN =BD OB ×OA =45×6=245，∴AC +CM 最小值245， ∴即3BC +5AC ＝5（AC +CM ）＝24．故选：A ．【点评】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点和抛物线顶点的坐标、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，利用三角形相似得出3BC ＝5MC ，进而得出3BC +5AC ＝5（AC +CM ）是解答本题的关键．二．填空题5．如图，▱ABCD 中∠A ＝60°，AB ＝6，AD ＝2，P 为边CD 上一点，则√3PD +2PB 最小值为 ．【分析】由直角三角形的性质可得DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，则当点H ，点P ，点H 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，即可求解．【解答】解：如图，过点P 作PH ⊥AD ，交AD 的延长线于H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDH ＝60°，∵HP ⊥AD ，∴∠DPH ＝30°，∴DH =12DP ，HP =√3DH =√32DP ，∵√3PD +2PB ＝2（√32PD +PB ）＝2（HP +PB ）， ∴当点H ，点P ，点B 三点共线时，HP +PB 有最小值，即√3PD +2PB 有最小值，此时：BH ⊥AH ，∠A ＝60°，∴∠ABP ＝30°，∴AH =12AB ＝3，BH =√3AH ＝3√3，则√3PD +2PB 最小值为6√3，故答案为：6√3．【点评】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若C 为x 轴上的一动点，则2BC +AC 的最小值为 ．【分析】先求出点A ，点B 坐标，由勾股定理可求AB 的长，作点B 关于OA 的对称点B '，可证△ABB '是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH =12AC ，则2BC +AC ＝2（B 'C +CH ），即当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵一次函数y =√33x −√3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴点A （3，0），点B （0，−√3），∴AO ＝3，BO =√3，∴AB =√AO⬚2+OB⬚2=√9+3=2√3，如图，作点B 关于OA 的对称点B '，连接 AB '，B 'C ，过点C 作CH ⊥AB 于H ，∴OB ＝OB '=√3，又∵AO ⊥BB '，∴BB '＝2√3，AB ＝AB '＝2√3，BC ＝B 'C ，∴AB ＝BB '＝B 'A ，∴△ABB '是等边三角形，∵AO ⊥BB '，∴∠BAO ＝30°，∵CH ⊥AB ，∴CH =12AC ，∴2BC +AC ＝2（BC +12AC ）＝2（B 'C +CH ）， ∴当点B '，点C ，点H 三点共线时，B 'C +CH 有最小值，即2BC +AC 有最小值，此时，B 'H ⊥AB ，△ABB '是等边三角形，∴BH ＝AH =√3，∠BB 'H ＝30°，∴B 'H =√3BH ＝3，∴2BC +AC 的最小值为6，故答案为：6．【点评】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C 的位置是解题的关键．7．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝20，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +√55BD的最小值是 ．【分析】过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，利用等角的余角相等得到∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中根据正切的定义得到tanA =CH AH =2，则可设AH ＝x ，CH ＝2x ，所以AC =√5x ＝20，解方程得到AH ＝4√5，CH ＝8√5，则sin ∠ACH ＝tanABE =√55，在Rt △BDF 中利用正弦的定义得到DF =√55BD ，从而得到CD +√55BD ＝CD +DF ，然后根据垂线段最短解决问题．【解答】解：过D 点作DF ⊥AB 于F ，CH ⊥AB 于H ，如图，∵BE ⊥AC ，DF ⊥AB ，CH ⊥AB ，∴∠∠BFD ＝∠AEB ＝∠AHC ＝90°，∵∠A +∠ABE ＝90°，∠A +∠ACH ＝90°，∴∠ABE ＝∠ACH ，在Rt △ABE 中，∵tanA =CH AH =2，∴设AH ＝x ，CH ＝2x ，∴AC =√x 2+(2x)2=√5x ，即√5x ＝20，解得x ＝4√5，∴AH ＝4√5，CH ＝8√5，∴sin ∠ACH =AH AC =4√520=√55， ∴tanABE =√55，在Rt △BDF 中，∵sin ∠FBD =DF BD =√55，∴DF =√55BD ，∴CD +√55BD ＝CD +DF ，∵CD +DF ≥CH （当且仅当C 、D 、F 共线时取等号），∴CD +√55BD 的最小值是8√5．故答案为：8√5．【点评】本题考查了胡不归问题：用垂线段DF 表示√55BD 和运用垂线段最短是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．8．如图，矩形OABC 两边与坐标轴正半轴重合，Q 是AB 边上的一个动点，P 是经过A ，C 两点的直线y =−√3x +2√3上的一个动点，则4PQ +2CP 的最小值是 ．【分析】4PQ +2CP ＝4（PQ +12CP ），再考虑胡不归．【解答】解：过P作PM⊥OC，垂足为M，过Q作QN⊥OC，垂足为N，当x＝0时，y=−√3x+2√3=2√3，∴OC＝2√3，令y=−√3x+2√3=0得x＝2，∴OA＝2，∴tan∠OCA=OAOC=22√3=√33，∴∠OCA＝30°，∴PM＝PC•sin∠OCA＝PC•sin30°=12 PC，∴4PQ+2CP＝4（PQ+12CP）＝4（PQ+PM）≥4QN＝4×2＝8，故答案为：8．【点评】本题考查了胡不归模型，关键是将4PQ+2CP提取系数4．三．解答题9．（1）如图，锐角△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝60°．在△ABC的外部找一点D，使得点D在∠BAC的平分线上，且∠BDC+∠BAC＝180°，请用尺规作图的方法确定点D的位置（保留作图痕迹，不需写出作法）；求出线段AD的长；（2）如图2，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．点P是线段AC上的动点，当AP+√5PB最短时，请你在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P的位置（保留画图痕迹），并简要说明画图的方法（不要求证明）【分析】（1）作∠BAC 的平分线与△ABC 的外接圆相交于点D ，点D 即为所求；过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．利用全等三角形的性质证明AM ＝AN ＝5，可求解；（2）取格点M ，连接CM ，取CM 的中点J ，连接AJ ，取格线的中点K ，连接BK （BK ⊥AJ ），交AC 于P ，交AJ 于I ，点P 即为所求作．【解答】解：（1）如图，点D 即为所求作．如图，过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 交AC 的延长线于N ．在△ADM 和△ADN 中，{∠DAM =∠DAN∠AMD =∠AND =90°AD =AD，∴△ADM ≌△ADN （AAS ），∴DM ＝DN ，AM ＝AN ，∵∠DAB ＝∠DAC ，∴DB̂=DC ̂， ∴DB ＝DC ，∵∠DMB ＝∠N ＝90°，∴BM＝CN，∵AB+AC＝AM+BM+AN﹣CN＝2AN＝10，∴AN＝5，∴AD=ANcos30°=53210√33；（2）如图2，点P为所求，步骤：取格点M，连接CM，取CM的中点J，连接AJ，取格线的中点K，连接BK（BK⊥AJ），交AC于P，交AJ于I，点P即为所求．【点评】本题考查了胡不归问题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．10．如图，四边形ABCD是边长为√2的正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并求出这个最小值．【分析】（1）根据旋转的性质得BM＝BN，∠MBN＝60°，则可判断△ABE是等边三角形，得到BA＝BE，∠ABE＝60°，易得∠ABM＝∠EBN，然后根据“SAS”可判断△AMB≌△ENB；②由△BMN为等边三角形得BM＝MN，由△AMB≌△ENB得EN＝AM，根据两点之间线段最短，当点E、N、M、C共线时，AM+BM+CM的值最小，如图2，作EH⊥BC于H，先计算出∠EBH＝30°，在Rt△EBH中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到EH=12BE=√22，BH=√3EH=√62，然后在Rt△EHC中，根据勾股定理可计算出CE=√3+1．【解答】（1）证明：∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，∴BM＝BN，∠MBN＝60°，∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°，∵∠ABM+∠ABN＝60°，∠EBN+∠ABN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN，在△AMB和△ENB中，{AB=EB∠ABM=∠EBN BM=BN，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）解：①连接AC，AC与BD相交于点O，如图1，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=√2×√2=2，点O为BD的中点，∵AM+CM≥AC（当M点在AC上时取等号），∴当M点在BD的中点时，AM+CM的值最小，最小值为2；②∵△BMN为等边三角形，∴BM＝MN，∵△AMB≌△ENB，∴EN＝AM，作EH ⊥BC 于H ，∵∠ABE ＝60°，∠ABC ＝90°，∴∠EBH ＝30°，在Rt △EBH 中，EH =12BE =√22，BH =√3EH =√62，在Rt △EHC 中，CH ＝BH +BC =√62+√2，∴CE 2＝CH 2+EH 2＝（√62+√2）2+（√22）2＝4+2√3=（√3+1）2， ∴CE =√3+1， ∴当M 点在CE 上时，AM +BM +CM 的值最小，这个最小值为√3+1．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和旋转的性质；会利用含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理进行计算；会运用两点之间线段最短解决有关线段的和的最小值问题．11．如图，二次函数y 1＝k （x +2）﹣4）的图象与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．经过点B 的直线y 2＝﹣x +b 与二次函数图象的另一交点为D ，交y 轴于E ．（1）求b 的值；（2）连接OD ，若△OBE 与△OED 的面积之比为4：5，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒√2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中所用时间最少？【分析】（1）由题意可求点A，点B坐标，将点B坐标代入一次函数解析式可求b的值；（2）设点D（m，n），由△OBE与△OED的面积之比为4：5，可求m的值，代入一次函数解析式可求点D坐标，将点D坐标代入二次函数解析式可k的值，即可求二次函数的表达式；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1DF√2=AF+FH；再由垂线段最短，得到垂线段AG与直线BD的交点，即为所求的F点．【解答】解：（1）∵二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）的图象与x轴从左至右依次交于A，B两点，∴k（x+2）（x﹣4）＝0∴x1＝﹣2，x2＝4∴A（﹣2，0），点B（4，0）∵直线y2＝﹣x+b经过点B∴0＝﹣4+b∴b＝4（2）设点D（m，n）∵直线y2＝﹣x+4经过点E∴E（0，4）∵△OBE与△OED的面积之比为4：5，∴（12×4×4）：[12×4×（﹣m）]＝4：5∴m＝﹣5∵点D在直线直线y2＝﹣x+4上，∴n＝5+4＝9∴点D（﹣5，9）∵点D在二次函数y1＝k（x+2）（x﹣4）上∴9＝k×（﹣3）×（﹣9）∴k=1 3∴二次函数解析式为：y1=13（x+2）（x﹣4）=13x2−23x−83，（3）如图，过点D作DP∥x轴，过点A作AG⊥DP于点G，过点F作FH⊥DP于点H，∵点E（0，4），点B（4，0）∴OE＝OB＝4∴∠OBE＝45°∵DP∥x轴，∴∠HDF＝∠OBE＝45°∵FH⊥DP∴∠HFD＝∠HDF＝45°∴DH＝HF∴DF=√2HF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF1FD√2=AF+HF，即运动的时间值等于折线AF+的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FH的长度的最小值为DP与x轴之间的垂线段AG的长．∴AG与BD的交点为点F∴点F的横坐标为﹣2，∴y＝2+4＝6∴点F坐标为（﹣2，6）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，函数极值的确定方法，解（1）的关键是求出点B的坐标，解（2）的关键是用三角形的面积公式求出点D坐标，解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题．12．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或点C重合），分别过B，C，D，作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，求BB'+CC'+DD'的最大值和最小值．【分析】找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，并且根据本等量关系计算得BB′+CC′+DD′=2AP，根据AP的取值范围计算BB′+CC′+DD′的最小值和最大值【解答】解：连接AC和DP，∵S△DPC＝S△APC=12 AP•CC′，∴S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC=12AP（BB′+DD′+CC′）＝1，∴BB′+CC′+DD′=2 AP．又∵AB≤AP≤AC，即1≤AP≤√2，故√2≤BB′+CC′+DD′≤2，∴BB′+CC′+DD′的最小值为√2，最大值为2．故最大值为2，最小值为√2．【点评】本题涉及垂线可考虑用面积法来求．故找到S四边形BCDA＝S△ABP+S△ADP+S△DPC的等量关系，本题13．（1）如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，若D 是BC 边上的动点，求2AD +DC 的最小值．（2）如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D ，E 分别是BC ，AC 上的两个动点，且DE ＝4，P 是DE 的中点，连接P A ，PB ，求P A +14PB 的最小值． 【分析】（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，DF =12DC ，2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），当A ，D ，F 在同一直线上，即AF ⊥CE 时，AD +DF 的值最小，最小值等于垂线段AF 的长．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．利用相似三角形的性质证明PF =14PB ，根据PF +P A ≥AF ，利用勾股定理求出AF 即可解决问题．【解答】解：（1）过点C 作射线CE ，使∠BCE ＝30°，再过动点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ，连接AD ，如图①，在Rt △DFC 中，∠DCF ＝30°，∴DF =12DC ，∵2AD +DC ＝2（AD +12DC ）＝2（AD +DF ），∴AD ＝BD ＝AB ＝2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝2，∴BC ＝4，∴DC ＝BC ﹣BD ＝4﹣2＝2，∴2AD +DC ＝2×2+2＝6，∴2AD +DC 的最小值为6．（2）如图，在CB 上取一点F ，使得CF =12，连接PF ，AF ．∵∠DCE ＝90°，DE ＝4，DP ＝PE ，∴PC =12DE ＝2，∵CF CP =14，CP CB =14， ∴CF CP =CP CB ，∵∠PCF ＝∠BCP ，∴△PCF ∽△BCP ，∴PF PB =CF CP =14， ∴PF =14PB ，∴P A +14PB ＝P A +PF ，∵P A +PF ≥AF ，AF =√CF 2+AC 2=√(12)2+62=√1452，∴P A +14PB ≥√1452，∴P A +14PB 的最小值为√145．14．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为y 轴上一个动点，连接BP ，求√10CP +10BP 的最小值；（3）连接AC ，在x 轴上是否存在一点P ，使得∠PCO +∠ACO ＝45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）待定系数法求抛物线的解析式；（2）对条件√10CP +10BP 提取系数10，再利用胡不归模型；（3）构造和∠ACO 相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴相交于点A （﹣1，0），B （3，0），∴{a −b +3=09a +3b +3=0， 解得{a =−1b =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）过点P 作PM ⊥AC ，垂足为M ，过点B 作BN ⊥AC ，垂足为N ，在y ＝﹣x 2+2x +3中，令x ＝0，则y ＝3，∴C （0，3），在△AOC 中，OA ＝1，OC ＝3，AC =√10，∴sin ∠ACO =OA AC =√1010， 在△CMP 中，sin ∠ACO =MP CP =√1010， ∴MP =√1010CP ， ∵S △ABC =12×AB ×OC =12×4×3=12×AC ×BN =12×√10×BN ，∴√10CP +10BP ＝10（√1010CP +BP ）＝10（MP +BP ）≥10BN ＝10×6√105=12√10， ∴√10CP +10BP 的最小值为12√10．（3）如图，∠PCO +∠ACO ＝45°，∴∠ACP ＝45°，∵OA ＝OB ＝3，∴△COB 是等腰直角三角形，∴∠OCB ＝45°，∴∠ACO ＝∠PCB ，过点B 作PQ ⊥BC ，垂足为Q ，∴tan ∠PCB =PQ CQ =tan ∠ACO =OA OC =13，∴CQ ＝3PQ ，设OP ＝x ，则PB ＝3﹣x ，BQ ＝PQ =√22（3﹣x ），又CQ +PQ ＝BC =3√2，∴3×√22×（3﹣x ）+√22（3﹣x ）＝3√2， ∴x =32，∴P （32，0）．由对称性得，P'（−32，0）也满足题意，∴P（32，0）或（−32，0）．【点评】本题考查了二次函数用待定系数法求表达式，胡不归模型等．第（3）问关键是构造和∠ACO相等的角，利用相似或三角函数值建立方程解决．。

诗歌主题忧国、忧民、爱国篇r梦中事未发生：渴望/惧怕梦—i ।梦过去之事：怀念/难忘篇目题材关键字主题《行军九日思长安故园》①应傍战场开（战事）②故园菊（故乡）①对思乡的思念②对饱经战争忧患的人民的同情③对和平的渴望之情《十一月四日风雨大作》①戍轮台（战事一一个人）②铁马冰河（战事）梦（渴望）渴望战场杀敌、建功立业、报效祖国的爱国之情《己亥杂诗》①“落红”化春泥（作者自喻）护花（花指图家）自己虽然辞官，但仍会关心国家的前途和命运《泊秦淮》①亡国（国运衰颓）②商女唱《后庭花》（统治者听）①对沉湎于酒色，不理朝政的统治阶层人物的愤慨；②对国家命运的担忧；《梁甫行》①剧哉边海民（百姓）对下层人民的深切同情《雁门太守行》①黑云压城（敌军压境）、甲光向日（待敌）、角声满天（厮杀）、燕脂（战场景色）、半卷红旗、鼓声（突袭）【一场战争】②为君死①对士气高昂、奋力杀敌将士的赞美；②赞颂将士誓死报国、英勇赴战的精神《相见欢•金陵城上西楼》①中原乱（国运衰颓）②簪缨散（统治阶层）①亡国之痛；②对统治阶级无心抗敌的愤慨及复国无望的感叹《式微》①胡不归（百姓）②君之故，君之躬（统治者）①对劳动人民的同情②对统治者的愤懑《茅屋为秋风所破歌》①大庇天下寒士②吾庐独破受冻死亦足①饱览民生疾苦、体察人间冷暖的济世情怀；②舍己为人的博大宽广胸怀《卖炭翁》①夺炭的宫使（统治阶层）②被夺炭的卖炭翁（百姓）①对仗势欺人、蛮不讲理、霸道凶残的宫使的谴责；②对下层劳动人民的同情对和平的渴望诗歌主题思念篇篇目题材关键字主题《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》①左迁②我寄愁心与明月，随君直到①对友人的同情、关心 ②对友人的思念③对自己过去遭遇的伤感 《次北固山下》 ①乡书、归雁对故乡的思念之情《天净沙•秋思》 ①夕阳西下/小桥流水人家 漂泊他乡的游子孤寂愁苦的思乡之情 《峨眉山月歌》 ①半轮秋 ②思君①对故乡的思念 ②对朋友的思念； 《梁甫行》①剧哉边海民（百姓） 对下层人民的深切同情 《夜上受降城闻笛》 ①月如霜②吹芦管、尽望乡 ①对故乡的思念及满心的哀愁 《夜雨寄北》 ①君②却话巴山夜雨时（想象） ①诗人飘泊异乡、盼望归期的感伤 ②对妻子的思念 《春夜洛城闻笛》 ①玉笛、故园 ①思念故乡和亲人 《逢入京使》 ①故园、报平安 ①对故乡、亲人的思念《黄鹤楼》 ①日暮、乡关 ①抒发寂寞惆怅之感和对故乡的愁思 《渡荆门送别》①故乡水、送行舟①对祖国大好山河的赞美，对故乡的依依不舍；《庭中有奇树》 ①遗所思 ①一位妇女对远行在外的丈夫的深切思念之情； 《春望》 ①国破、烽火②家书 ③不胜簪 ①忧国伤时； ②思家 ③悲己《关雎》①求之不得②钟鼓乐之、琴瑟友之 ①小伙子追求思念的姑娘求之不得的痛苦及幻想求而得之的喜悦；《蒹葭》①从之①抒发了思慕、追求心上人而不得的诚挚感情梦：旧人旧事旧景+渴望发生的事忆：旧事旧景旧人月/夕阳/雁/边塞乐声（笛、芦管、琵琶、羌管）直接抒情家/故人/故国/君/弟想象（联想）意象（寓情于诗歌主题孤寂、抑郁、惆怅、悲愤篇哀悲］喜爱、愉悦篇喜悦►描绘明丽、美好的景色（一般是春景）/直接抒情：喜、闲适、恬静、淡泊篇恬静k描绘清幽、宁静之景/人境合一豪情篇豪迈►描绘雄伟壮丽之景/借景抒情情感复杂篇哲理篇言志篇►。

中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他悉在家的老父病危的消息后，便立即启程赶路。

由于思心切，他只考了两点之段最短的原理，所以了全是沙地的直路径 A→ B（如所示），而忽了走折然路程多但速度快的情况，当他气喘吁吁地赶到家，老人咽了气，小伙子失声痛哭。

居慰小伙子告，老人弥留之不断念叨着“胡不胡不⋯” 。

个古老的，引起了人的思索，小伙子能否提前到家倘若可以，他一条怎的路呢就是靡千百年的“胡不”。

B沙地A D C例 1. （ 2012 崇安模），如，ABC 在平面直角坐系中，AB=AC， A(0 ，2 2 ），C（1，0），D射AO上一点，一点P 从 A 出，运路径A→ D→ C，点 P 在 AD上的运速度是在CD上的 3 倍，要使整个程运最少，点 D 的坐 -------------------------------------------------（）A（.0，2）B.（，2） C.（0，2）D.（0，2）342例 2. （ 2016 徐州）如，在平面直角坐系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的像点A（ -1 ， 0）， B（ 0，- 3 ）、C（2，0），其中称与x交于点D。

（ 1）求二次函数的表达式及其点坐；（ 2）若P y 上的一个点，接PD，1 PBPD的最小。

2（ 3） M（ s，t ）抛物称上的一个点。

①若平面内存在点N，使得 A、 B、 M、N 点的四形菱形，的点②接 MA、 MB，若∠ AMB不小于 60°，求 t 的取范。

N 共有个；练习巩固：1. （ 2015 无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线 AC上有一动点P， BC=6,ABC=150° , 则 PA+PB+PD的最小值为。

2. （ 2015 内江）如图，在ACE 中，CA=CE，CAE=30°，⊙ O经过点（ 1）试说明CE是⊙ O的切线。

（ 2）若ACE 中AE边上的高为h, 试用含 h 的代数式表示⊙O的直径C，且圆的直径 AB;AB在线段AE 上。

中考数学专题复习最值问题（胡不归）练习1．如图，在ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值（）+6B．6C+3D．4A．【答案】B【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．【解析】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 230o∴DE =12∵A与A'关于BC对称∴AD= A'D∴AD+ DE = A'D+ DE∴当A'，D, E在同一直线上时AD + DE的最小值等于A' E的长,在Rt△AA' E中：A' E= sin60o∴AD十DE的最小值为3∴2AD十CD的最小值为6故选B【点睛】本题主要考察了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y 轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD＋PC的最小值是（）A ．4B ．2＋C ．D ．32+【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H+PC =PC =(PD +PJ )，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【解析】解：过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y ＝x 2﹣2x +c 的图象与y 轴交于点B （0，﹣3），∴c ＝﹣3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或3，∴A （﹣1，0），B （3，0），∴OB ＝OC ＝3，∵∠BOC ＝90°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∵D （0，1），∴OD ＝1，BD ＝4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB ＝90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，∴x 2+x 2=42，∴x =∴DH ＝∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC ＝90°，∴PJ ，+PC=PC=PD+PJ)，∵DP+PJ≥DH，∴DP+PJ≥∴DP+PJ的最小值为+PC的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+12CG的最小值为 _____．【答案】5【分析】因为DG＝12EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝12CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【解析】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝12EF=2，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴DIDG ＝DGCD＝12，∴∠GDI ＝∠CDG ，∴△GDI ∽△CDG ，∴IG CG =DI DG ＝12，∴IG ＝12CG ，∴BG +12CG ＝BG +IG ≥BI ，∴当B 、G 、I 共线时，BG +12CG 最小＝BI ，在Rt△BCI 中，CI ＝3，BC ＝4，∴BI ＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点G 的运动轨迹是解题的关键．4．如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝60°，AC ＝4，则△ABC 的面积为_；点D ，点E ，点F 分别为BC ，AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，FD ，则△DEF 的周长最小值为_．【答案】+【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC 于H ，根据∠BAC ＝75°，∠C ＝60°，即可得到（2）过点B 作BJ ⊥AC 于J ，作点F 关于AB 的对称点M ，点F 关于BC 的对称点N ，连接BM ，BN ，BJ ，MN ，MN 交AB 于E ′，交BC 于D ′，此时△FE ′D ′的周长＝MN 的长，然后证明△BMN 是等腰直角三角形，BM 的值最小时，MN 的值最小，再根据垂线段最短可知，当BF 与BJ 重合时，BM 的值最小，由此求解即可.【解析】解：①如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ．∴∠AHB =∠AHC =90°，∵∠BAC ＝75°，∠C ＝60°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝45°，∠HAC=30°∴BH =AH ，HC =12AC =2∴AH ==∴AH ＝BH ＝∴BC ＝BH +CH ＝，∴S△ABC ＝12•BC •AH ＝12•（）②如图，过点B作BJ⊥AC于J，作点F关于AB的对称点M，点F关于BC的对称点N，连接BM，BN，BJ，MN，MN交AB于E′，交BC于D′，此时△FE′D′的周长＝MN的长．∵BF＝BM＝BM，∠ABM＝∠ABJ，∠CBJ＝∠CBN，∴∠MBN＝2∠ABC＝90°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴BM的值最小时，MN的值最小，根据垂线段最短可知，当BF与BJ重合时，BM的值最小，∵BJ=2S△ABC==3+AC＝+∴MN∴△DEF的周长的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.CP，将线段PC绕点P逆5．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12【答案】5【分析】连接AC 、AQ ，先证明△BCP ∽△ACQ 得AQ BP =AQ ＝2，在AD 上取AE ＝1，证明△QAE ∽△DAQ 得EQ ＝12QD ，故12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，求出CE 即可．【解析】解：如图，连接AC 、AQ ，∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ，∴∠ACB ＝∠PCQ ＝45°，∴∠BCP ＝∠ACQ ，cos∠ACB ＝BC AC =PCQ ＝PC QC =∴∠ACB =∠PCO ，∴△BCP ∽△ACQ ，∴AQ BP =∵BP∴AQ ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE ＝1，∵AE AQ =12，AQ AD =12，∠QAE ＝∠DAQ ，∴△QAE ∽△DAQ ，∴EQ QD =12即EQ ＝12QD ，∴12DQ +CQ ＝EQ +CQ ≥CE ，连接CE ，∴CE ==5，∴12DQ +CQ 的最小值为5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC 、AQ ，证明两对相似三角形求解.6．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______.【答案】6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到AB∥CD，推出PE=1PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利2AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=126.【解析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，PD，∴PE=12∵2PB+ PD=2（PB+1PD）=2(PB+PE)，2∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，AB=3，∴PB+PE的最小值=12∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.7．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则AP+的最小值是______．【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG；当A、P、G在同一直线时，AP= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【解析】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，过点P作PG⊥CE于点G，如图：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，PC，由勾股定理得PG，∴CG=12∴AP= AP+PG，当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG =30°，∴CF =2CG ，GF ，在Rt △OAF 中，∠AOF =90°，∠OFA =30°，∴AF =2OA =6，OF=∴CF =OF -OC =―3，∴GF―3)=92―∴AG =AF -FG =6―92+=32+即AP 的最小值为32+【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A 、P 、G 在同一直线时，AP = AP +PG = AG 的值最小是解题的关键．8．如图，直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，点C （0，1）在y 轴上，点P 在x 轴＋PB 的最小值为___．【答案】4思路引领：过P 作PD ⊥AB 于D ，依据△AOB 是等腰直角三角形，可得∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，进而得到△BDP 是等腰直角三角形，故PD =，当C ，P ，D 在同一直线上时，CD ⊥AB ，PC +PD 的最小值等于垂线段CD 的长，求得CD 的长，即可得出结论．答案解析：如图所示，过P 作PD ⊥AB 于D ，∵直线y ＝x ﹣3分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，令x ＝0，则y ＝﹣3；令y ＝0，则x ＝3，∴A （0，﹣3），B （3，0），∴AO ＝BO ＝3，又∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO ＝∠ABO ＝45°＝∠BPD ，∴△BDP 是等腰直角三角形，∴PD =，+PB =PC +）=PC +PD ），当C ，P ，D 在同一直线上，即CD ⊥AB 时，PC +PD 的值最小，最小值等于垂线段CD 的长，此时，△ACD 是等腰直角三角形，又∵点C （0，1）在y 轴上，∴AC ＝1+3＝4，∴CD =＝即PC +PD 的最小值为+PB ×=4，故答案为：4．9．如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC=E 为线段AB 上一动点，连接CE ，则12AE ＋CE 的最小值为___．【答案】3思路引领：在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．易证ET =12AE ，推出12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，求出CH 即可解决问题．答案解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∴tan∠CAB =CB AB =∴∠CAB ＝30°，∴AC ＝2BC ＝在射线AB 的下方作∠MAB ＝30°，过点E 作ET ⊥AM 于T ，过点C 作CH ⊥AM 于H ．∵ET ⊥AM ，∠EAT ＝30°，∴ET =12AE ，∵∠CAH ＝60°，∠CHA ＝90°，AC ＝∴CH ＝AC •sin6°＝×=3，∵12AE +EC ＝CE +ET ≥CH ，∴12AE +EC ≥3，∴12AE +EC 的最小值为3，故答案为3．10．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，则AM +12BM 的最小值为_____．【答案】【分析】如图，过点A 作AT ⊥BC 于T ，过点M 作MH ⊥BC 于H ，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH ＝12BM ，于是可得AM +12BM 的最小值即为AT 的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．【解析】解：如图，过点A 作AT ⊥BC 于T ，过点M 作MH ⊥BC 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠DBC＝1∠ABC＝30°，2∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，BM，∴MH＝12BM＝AM+MH，∴AM+12∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，∴AT＝AB•sin60°＝∵AM+MH≥AT，∴AM+MHBM∴AM+1BM的最小值为∴AM+1故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．OD的最小值．11．∠AOB＝30°，OM＝2，D为OB上动点，求MD+12思路引领：作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，当MC⊥ON时，OD＝MD+CD的值最小，最小值是CM的长，（此时点D′即为点D）MD+12答案解析：如图，作∠BON＝∠AOB＝30°，过点M作MC⊥ON于点C，交OB于点D′，OD′∴CD′=12所以当MC⊥ON时，（此时点D′即为点D）MD +12OD ＝MD +CD 的值最小，最小值是CM 的长，∴在Rt△OCM 中，∠OMC ＝30°，OM ＝2∴OC ＝1，∴CM =答：MD +12OD12．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y l 2：y ＋b 相交于y 轴上的点B ，且分别交x 轴于点A 和点C ．（1）求△ABC 的面积；（2）点E 坐标为（5，0），点F 为直线l 1上一个动点，点P 为y 轴上一个动点，求当EF ＋CF最小时，点F 的坐标，并求出此时PF 的最小值．【答案】（1）S△ABC =（2）点F 坐标为（1；PF +【分析】（1）根据l1的解析式可得A 、B 坐标，把点B 坐标代入y ＋b 可求出b 值，进而可得出点C 坐标，即可求出AC 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案；（2）如图，作点C 关于直线l 1的对称点C ′，连接C ′E ，交l 1于F ，根据A 、B 、C 坐标可得△ABC 是直角三角形，可得点C ′在直线l 2上，根据两点间距离公式可得出C ′坐标，可得C ′E 为EF ＋CF 的最小值，利用待定系数法可得出直线C ′E 的解析式，联立直线C ′E 与l 1解析式即可得出得F 的坐标；作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ⊥l 3于G ，交y 轴于P ，可得∠GOP =45°，可得PG ，可得FG 为PF 的最小值，过点F 作FQ ⊥x 轴，交l 3于Q ，可得△FGQ 为等腰直角三角形，可得FG ，由l 3的解析式为y =-x 及点F 的坐标可得点Q 坐标，进而可得FQ 的长，即可得FG 的长，可得答案．【解析】（1）∵l1：y ∴当x =0时，yy =0时，x =-3，∴A （-3，0），B （0，∵点B 直线l 2：y＋b 上，∴b∴直线l 2的解析式为y∴当y =0时，x =1，∴C （1，0），∴AC =4，OB∴S △ABC =12AC ⋅OB =12×4×（2）如图，作点C 关于直线l 1的对称点C ′，连接C ′E ，交l 1于F ，∵A （-3，0），B （0，C （1，0），∴AB 2=（-3）2+2=12，BC 2=12+2=4，AC 2=42=16，∵AC 2=AB 2+BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴点C ′在直线l 2上，∵点C 与点C ′关于直线l 1的对称，∴CC ′=2BC =4，设点C ′（m）∴（m -1）2+2=42，解得：m 1=-1，m 2=3，∵点C′在第二象限，∴m =-1，∵FC=FC′，∴EF ＋CF =EF+FC′，∴当C ′、F 、E 三点共线时EF ＋CF 的值最小，设直线C ′E 的解析式为y =kx +b ，∴―k +b =5k +b =，解得：k =―b =，∴直线C ′E的解析式为y =―+联立直线C ′E 与l 1解析式得y =―+y =+，解得：x y =，∴F （1．如图，作二、四象限对角线l 3，过点F 作FG ⊥l 3于G ，交y 轴于P ，过点F 作FQ ⊥x 轴，交l 3于Q ，∴直线l 3的解析式为y =-x ，∠GOP =45°，∴△GOP是等腰直角三角形，∴PG，∴G、P、F三点共线时，PF的值最小，最小值为FG的长，∵∠GOP=45°，∠POE=90°，∴∠EOQ=45°，∴∠FQO=45°，∴△FGQ是等腰直角三角形，∴FG，的解析式为y=-x，∵F（1，直线l3∴Q（1，-1），∴FQ（-1），∴FG）+∴PF+【点睛】本题考查一次函数的综合、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式及轴对称的性质是解题关键．13．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数y=―+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F，∠DFO=30∘，并且满足OD=BE，点M是线段DF上的一个动点．（1）求b的值；（2）连接OM，若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3，求点M的坐标；MF的最小值．（3）求OM+12【答案】（1）b =3；（2）；（3）92【分析】（1）利用矩形的性质，用b 表示点E 的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）首先求出四边形OAED 的面积，再根据条件求出△ODM 的面积，即可解决问题；（3）过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，则OM +12MF =OM +MN ，即可转化为求OM +MN 的最小值，作点O 关于一次函数的对称点O ′，过点O ′作x 轴的垂线交x 轴于点N ′，交一次函数于点M ，即OM +MN 的最小值为O ′N ′，算出长度即可．【解析】（1）在y =―+b 中，令x =0，则y =b ，∴点D 的坐标为(0,b)，∵OD =BE ，，∴―b)，把―b)代入y =―+b 中得：4―b =―×+b ，解得：b =3；（2）由（1）得一次函数为y =―+3，D(0,3)，，∴OD =3，AE =1，OA =∴S四边形OADE =12(OD +AE)⋅OA =12×(3+1)×=∵ΔODM 的面积与四边形OAEM 的面积之比为1:3，∴ΔODM 的面积与四边形OADE 的面积之比为1:4，∴S△ODM =14S 四边形OADE =设点M 的横坐标为a ，则12×3a =解得：a =把x =y =―+3中得：y =73，∴；（3）如图所示，过点M 作MN ⊥x 轴交于点N ，∵∠DFO =30∘，∴MN =12MF ，∴OM +12MF =OM +MN ，作点O 关于一次函数的对称点O ′，且OO’与直线DF 交于Q 点，过点O ′作x 轴的垂线交x 轴于点N ′，∴OM =O ′M ，∴OM +12MF =OM +MN =O ′M +MN ，当O ′、M 、N 在同一直线时O ′M +MN 最小，即OM +12MF =OM +MN =O ′M +MN 的最小值为O ′N ′，∵∠DFO =30°，∴∠ODF =60°，∠DOQ =30°，∠O ′O N ′=90°―30°=60°，在Rt △ODQ 中，OQ =OD ⋅sin60°=3×=∴O O′=2OQ =在Rt △ON ′O ′中．O ′N ′=O O ′sin60°=×=92，∴OM +12MF 的最小值为92．【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题．14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，―，C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求12PB ＋PD 的最小值．【答案】（1）yx ―12）2―（12，―；（2）（12，或（12，―或（12，―+）或（12，――）或（12，―；（3思路引领：（1）将A 、B 、C 三点的坐标代入y ＝ax 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式，进而得到其顶点坐标；（2）当以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形时，分三种情况：①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，分别列出方程，求解即可；（3）连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．最小值就是线段DH ，求出DH 即可．答案解析：（1）由题意a ―b +c =―4a +2b 0，解得a =b =c =―，∴抛物线解析式为y =2――∵y =2――=x ―12）2―∴顶点坐标（12，―；（2）设点M 的坐标为（12，y ）．∵A （﹣1，0），B （0，―，∴AB 2＝1+3＝4．①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，则（12+1）2+y 2＝4，解得y ＝即此时点M 的坐标为（12，）或（12，―；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，则（12）2+（y +2＝4，解得y =―+y =――即此时点M 的坐标为（12，―+）或（12，――；③线段AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM ＝BM ，则（12+1）2+y 2＝（12）2+（y +2，解得y =―即此时点M 的坐标为（12，―．综上所述，满足条件的点M 的坐标为（12，）或（12，―）或（12，―+）或（12，――）或（12，―；（3）如图，连接AB ，作DH ⊥AB 于H ，交OB 于P ，此时12PB +PD 最小．理由：∵OA ＝1，OB =∴tan∠ABO =OAOB =∴∠ABO ＝30°，∴PH =12PB ，∴12PB +PD ＝PH +PD ＝DH ，∴此时12PB +PD 最短（垂线段最短）．在Rt△ADH 中，∵∠AHD ＝90°，AD =32，∠HAD ＝60°，∴sin60°=DHAD ，∴DH =∴12PB +PD 15．在平面直角坐标系中，将二次函数y =ax 2(a >0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，OA =1，经过点A 的一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ΔABD 的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ΔACE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求PE +35PA 的最小值．【答案】(1)y =12x 2―x ―32；y =12x +12；(2)ΔACE 的面积最大值是2516，此时E ,―(3)PE +35PA 的最小值是3.【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点A (―1,0)代入可求得a 的值，由ΔABD 的面积为5可求出点D 的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由A 、D 的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；(2)作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，利用三角形面积公式，由S ΔACE =S ΔAME ―S ΔCME 构建关于E 点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；(3)作E 关于x 轴的对称点F ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，则∠BAE =∠HAP =∠HFE ，利用锐角三角函数的定义可得出EP +35AP =FP +HP ，此时FH 最小，求出最小值即可．【解析】解：(1)将二次函数y =ax 2(a >0)的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y =a (x ―1)2―2，∵OA =1，∴点A 的坐标为(―1,0)，代入抛物线的解析式得，4a ―2=0，∴a =12，∴抛物线的解析式为y =12(x ―1)2―2，即y =12x 2―x ―32．令y =0，解得x 1=―1，x 2=3，∴B (3,0)，∴AB =OA +OB =4，∵ΔABD 的面积为5，∴S ΔABD =12AB ⋅y D =5，∴y D =52，代入抛物线解析式得，52=12x 2―x ―32，解得x 1=―2，x 2=4，∴D 4,设直线AD 的解析式为y =kx +b ，∴4k +b =52―k +b =0 ，解得：k =12b =12，∴直线AD 的解析式为y =12x +12．(2)过点E 作EM ∥y 轴交AD 于M ，如图，设E a,12a 2―a ―M a,12a +∴EM =12a +12―12a 2+a +32=―12a 2+32a +2，∴S ΔACE =S ΔAME ―S ΔCME =12×EM ⋅1=―12a 2+32a +2×1=―14(a 2―3a ―4)，=―14a―+2516，∴当a =32时，ΔACE 的面积有最大值，最大值是2516，此时E,―(3)作E 关于x 轴的对称点F ，连接EF 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，交x 轴于点P ，∵OA =1，∴AG =1+32=52，EG =158，∴AG EG =52158=43，∵∠AGE =∠AHP =90∘，∴sin ∠EAG =PHAP =EGAE =35，∴PH =35AP ，∵E 、F 关于x 轴对称，∴PE =PF ，∴PE +35AP =FP +HP =FH ，此时FH 最小，∵EF =158×2=154，∠AEG =∠HEF ，∴sin ∠AEG =sin ∠HEF =AGAE =FHEF =45，∴FH =45×154=3．∴PE +35PA 的最小值是3．【点睛】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作E 关于x 轴的对称点F ，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求PE +35PA 的最小值转化为求FH 的长度．16．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)过点A (1,0)，B (3,0)两点，与y 轴交于点C ，OC =3．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；(3)点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当ΔPBC 面积最大时，求点P 的坐标；(4)若点Q 为线段OC 上的一动点，问：AQ +12QC 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：y =x 2―4x +3，顶点D (2,―1)；(2)证明见解析；(3)点P(32,―34)；(4)存在，AQ +12QC 【分析】(1)设交点式y =a (x ―1)(x ―3)，利用待定系数法进行求解即可；(2)先证明四边形ADBM 为菱形，再根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得证；(3)先求出直线BC 的解析式，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N ，设点P (x ,x 2―4x +3)，则点N (x,―x+3)，根据S ΔPBC =12PN ×OB 可得关于x 的二次函数，继而根据二次函数的性质进行求解即可；(4)存在，如图，过点C 作与y 轴夹角为30°的直线CF 交x 轴于点F ，过点A 作AH ⊥CF ，垂足为H ，交y 轴于点Q ，此时HQ =12CQ ，则AQ +12QC 最小值=AQ+HQ=AH ，求出直线HC 、AH 的解析式即可求得H 点坐标，进行求得AH 的长即可得答案.【解析】解：(1)函数的表达式为：y =a (x ―1)(x ―3)=a (x 2―4x +3)，即：3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y =x 2―4x +3，则顶点D(2,―1)；(2)∵OB =OC =3，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵A(1,0)，B(3,0)，∴OB=3，OA=1，∴AB=2，∴AM =MB =ABsin 45°=又∵D(2，-1)，=∴AM=MB=AD=BD，∴四边形ADBM 为菱形，又∵∠AMB =90°，∴菱形ADBM 为正方形；(3)设直线BC 的解析式为y=mx+n ，将点B 、C 的坐标代入得：{3m +n =0n =3，解得：{m =―1n =3，所以直线BC 的表达式为：y=-x+3，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点N ，设点P (x ,x 2―4x +3)，则点N (x,―x+3)，则S ΔPBC =12PN ×OB =32(―x +3―x 2+4x ―3)=―32(x 2―3x )，∵―32<0，故S ΔPBC 有最大值，此时x =32，故点P (32,―34)；(4)存在，理由：如图，过点C 作与y 轴夹角为30°的直线CF 交x 轴于点F ，过点A 作AH ⊥CF ，垂足为H ，交y 轴于点Q ，此时HQ =12CQ ，则AQ +12QC 最小值=AQ+HQ=AH ，在Rt△COF 中，∠COF=90°，∠FOC=30°，OC=3，tan∠FCO=FOCO ，0)，利用待定系数法可求得直线HC的表达式为：y=+3…①，∵∠COF=90°，∠FOC=30°，∴∠CFO=90°-30°=60°，∵∠AHF=90°，∴∠FAH=90°-60°=30°，，利用待定系数法可求得直线AH的表达式为：y=―+联立①②并解得：x=故点H，而点A(1,0)，则AH==即AQ+1QC的最小值为AH=2【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，解直角三角形的应用，正方形的判定，最值问题等，综合性较强，有一定的难度，正确把握相关知识，会添加常用辅助线是解题的关键. 17．已知抛物线y=x2―bx+c（b，c为常数，b>0）经过点A(―1,0)，点M(m,0)是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D(b,y D)在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；,y Q)+2QM b的值．（Ⅲ）点Q(b+1―1；（Ⅲ）b=4.【答案】（Ⅰ）(1,―4)；（Ⅱ）b=【分析】（Ⅰ）把b=2和点A(―1,0)代入抛物线的解析式，求出c的值，进行配方即可得出顶点坐标（Ⅱ）根据点A(―1,0)和）点D(b,y D)在抛物线上和b>0得出点D(b,―b―1)在第四象限，且在抛物线对称轴x =b2的右侧．过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E(b,0)，再根据D 、E 两点坐标得出∆ADE 为等腰直角三角形，得出AD =，再根据已知条件AM =AD ，m =5，从而求出b 的值（Ⅲ）根据点Q(b +12,y Q )在抛物线上得出点Q(b +12,―b2―34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧；取点N(0,1)，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M =GM ，+2QM 的值最小；过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H(b +12,0)．再根据QH =MH 得出m 与b 的关系，然后根据两点间的距离公式和+2QM b 的方成即可【解析】解：（Ⅰ）∵抛物线y =x 2―bx +c 经过点A(―1,0)，∴1+b +c =0．即c =―b ―1．当b =2时，y =x 2―2x ―3=(x ―1)2―4，∴抛物线的顶点坐标为(1,―4)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y =x 2―bx ―b ―1．∵点D(b,y D )在抛物线y =x 2―bx ―b ―1上，∴y D =b 2―b ⋅b ―b ―1=―b ―1．由b >0，得b >b2>0，―b ―1<0，∴点D(b,―b ―1)在第四象限，且在抛物线对称轴x =b2的右侧．如图，过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E(b,0)．∴AE =b +1，DE =b +1．得AE =DE ．∴在Rt ΔADE 中，∠ADE =∠DAE =45°．∴AD =．由已知AM =AD ，m =5，∴5―(―1)=+1)．∴b =―1．（Ⅲ）∵点Q(b +12,y Q )在抛物线y =x 2―bx ―b ―1上，∴y Q =(b +12)2―b(b +12)―b ―1=―b 2―34．可知点Q(b +12,―b 2―34)在第四象限，且在直线x =b 的右侧．+2QM =+QM)，可取点N(0,1)，如图，过点Q 作直线AN 的垂线，垂足为G ，QG 与x 轴相交于点M ，有∠GAM =45°=GM ，则此时点M 满足题意．过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ，则点H(b +12,0)．在Rt ΔMQH 中，可知∠QMH =∠MQH =45°．∴QH =MH ，QM =．∵点M(m,0)，∴0―(―b2―34)=(b +12)―m ．解得m =b2―14．+2QM =[(b2―14)―(―1)]++12)―(b2―14)]=∴b =4．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、勾股定理、等腰三角形的性质与判定等知识，关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和二次函数的性质解答．18．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于A(-4，-4)，B(0，4)两点，直线AC ：y=-12x-6交y 轴与点C ．点E 是直线AB 上的动点，过点E 作EF⊥x 轴交AC 于点F ，交抛物线于点G.（1）求抛物线y=-x 2+bx+c 的表达式；（2）连接GB 、EO ，当四边形GEOB 是平行四边形时，求点G 的坐标；（3）①在y 轴上存在一点H ，连接EH 、HF ，当点E 运动到什么位置时，以A 、E 、F 、H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E 、H 的坐标；②在①的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为⊙E 上一动点，求12AM+CM 的最小值.【答案】（1）y=-x 2-2x+4；（2）G(-2，4)；（3）①H(0，-1)分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB 的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；（3）①先判断出要以点A ，E ，F ，H 为顶点的四边形是矩形，只有EF 为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；②先取EG 的中点P 进而判断出△PEM∽△MEA 即可得出PM=12AM ，连接CP 交圆E 于M ，再求出点P 的坐标即可得出结论．解析：（1）（1）∵点A （-4，-4），B （0，4）在抛物线y=-x 2+bx+c 上，∴―16―4b +c ＝―4c ＝4，∴b ＝―2c ＝4，∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+4；（2）设直线AB 的表达式为y=kx+b ∵直线AB 过点A(-4，-4)，B(0，4)，∴―4=―4k +b 4=b ，解得k =2b =4，∴y=2x+4设E(m ，2m+4)，则G(m ，-m 2-2m+4)∵四边形GEOB 是平行四边形，∴GE=OB=4，∴-m 2-2m+4-2m-4=4，解得m=-2∴G(-2，4)（3）①设E(m ，2m+4)，则F(m ，-12m-6)过A 作AN⊥EG，过H 作HQ⊥EG四边形AFHE 是矩形，∴△PFN≌△HEQ，∴AN=QH，∴m+4=-m，解得m=-2，E(-2，0)EQ=FN=-4+12m+6=1∴H(0，-1)②由题意可得，E(-2，0)，H(0∵M 点在⊙E∵A(-4，-4)，E(-2，0)在AE 上截取EP=12EM ，则PM ，在ΔEPM 与ΔEMA中，∵EP EM ==12==EM EA ，∠PEM=∠MEA，∴ΔEPM∽ΔEMA∴PM=12AM∴线段PC 的长即为12AM+CM 的最小值由EP=12EM=14AE=14×2即12AM+CM 点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法，解（2）的关键是利用平行四边形的对边相等建立方程求解，解（3）①的关键是利用中点坐标公式建立方程求解，解（3）②的关键是构造相似三角形，是一道中等难度的题目．。

金牌教育一对一个性化指导授课方案学生学校文汇中学年级九年级学科数学教师王老师日期20180时段次数1课题胡不归问题专题一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（ 0，）二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是 40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．2018 年 05 月 25 日 187****4779 的初中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．【解析】过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点 H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义获得 tan∠HED=tan∠EBA= = ，设DH=4m， EH=3m，则 DE=5m，则可判断蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从D 爬到 H 点所用的时间相等，于是获得蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，利用两点之间线段最短获得 AD+DH 的最小值为 AQ 的长，接着求出 A 点和 B 点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，此后解由直线解析式和抛物线解析式所构成的方程组确立 E 点坐标，从而获得 AQ 的长，此后计算爬行的时间．【解答】解：过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴ tan∠ HED=tan∠ EBA= = ，设DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，∴蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间 ==4（s）若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位 /s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间 = =4 （ s），∴蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，∴蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，作 AG⊥EH于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，∴ AD+DH 的最小值为 AQ 的长，当y=0 时， x2﹣2x﹣ 3=0，解得 x1=﹣1，x2=3，则 A（﹣ 1，0），B（3，0），直线 BE交 y 轴于 C 点，如图，在 Rt△OBC中，∵ tan∠CBO= = ，∴OC=4，则 C（0，4），设直线 BE的解析式为 y=kx+b，把 B（3，0）， C（ 0， 4）代入得，解得，∴直线 BE的解析式为 y=﹣x+4，解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），∴AQ= ，∴蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间 ==（s），即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为s．故答案为．【谈论】此题察看了二次函数与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a， b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标化为解对于x 的一元二次方程．解决此题的重点是确立蚂蚁在DH 和 DE上爬行的时间相等．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（ 0，）【解析】假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，第一表示出总的时间，再依据根的鉴别式求出 t 的取值范围，从而求出 D 的坐标．【解答】解：假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，设 D 坐标为（ 0，y），则 AD=2﹣y，CD==，∴设 t=+，等式变形为： t+y﹣=，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可，∴ t2+（ y﹣）t+（ y﹣）2=y2 +1，∴ y2+（﹣t）y﹣t 2+t+1=0，△ =（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥ 0，∴ t 的最小值为，∴y= ，∴点 D 的坐标为（ 0，），应选 D．解法二：假定 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD的速度为 1V，总时间 t= + =（+CD），要使 t 最小，就要+CD最小，由于 AB=AC=3，过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证△ ADH∽△ ACO，所以= =3，所以=DH，由于△ ABC 是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、 D、H 三点共线就行了．由于△AOC ∽△ BOD，所以=，即=，所以OD=，所以点 D 的坐标应为（ 0，）．【谈论】此题察看了勾股定理的运用、一元二次方程根的鉴别式（△=b2﹣ 4ac）判断方程的根的状况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点 B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）【解析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，能够设在公路上行驶x千米，依据题意，找出能够运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．【解答】解：以以以下图，公路上行驶的路线是 AD，草地上行驶的路线是 DB，设AD 的行程为 x 千米，由已知条件 AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知AC==15 千米．则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，BD==km，设走的行驶时间为y，则y= +．整理为对于 x 的一元二次方程得3x2 +（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．由于 x 必然存在，所以△≥ 0．即（160y﹣120）2﹣ 4× 3×（ 1200﹣ 6400y2）≥0．化简得 102400y2﹣38400y≥0．解得 y≥，即消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．故答案为：．【谈论】此题察看的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形建立直角三角形是重点，依据一元二次不等式的求解，能够计算出解的最小值，以便求出最短行程．三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有5个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【解析】（1）利用待定系数法转变为解方程组解决问题．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时 PB+PD 最小．最小值就是线段 DH，求出 DH 即可．（3）①先在对称轴上找寻知足△ABM 是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以 E 为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点知足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y= x2﹣x﹣，∵ y= x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴极点坐标（，﹣）．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时PB+PD 最小．原因：∵ OA=1， OB=，∴tan∠ ABO= = ，∴∠ ABO=30°，∴PH= PB，∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD 最短（垂线段最短）．在Rt△ADH 中，∵∠ AHD=90°，AD= ，∠ HAD=60°，∴sin60 °= ，∴DH=，∴PB+PD 的最小值为．故答案为．（3）①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段 AB 的垂直均分线与对称轴有一个交点，所以知足条件的点 M 有 5 个，即知足条件的点 N 也有 5 个，故答案为 5．②如图， Rt△AOB 中，∵ tan∠ ABO= =，∴∠ ABO=30°，作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以E 为圆心， EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段 FG上的点知足题意，∵ EB==，∴ OE=OB﹣ EB=，2 2∵F（，t ），EF =EB，∴（）2+（t+）2=（）2，解得 t=或，故 F（，），G（，），∴ t 的取值范围≤ t≤【谈论】此题察看二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的重点是掌握待定系数法确立函数解析式，学会利用垂线段最短解决实指责题中的最短问题，学会增添协助线，结构圆解决角度问题，属于中考压轴题．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．【解析】（1）连结 OC，如图 1，要证 CE是⊙ O 的切线，只要证到∠ OCE=90°即可；（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，在 Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF 是菱形，依据对称性可得DF=DO．过点 D 作 DH⊥ OC于 H，易得 DH= DC，从而有CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD （即CD+OD）最小，此后在 Rt△ OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连结 OC，如图 1，∵CA=CE，∠ CAE=30°，∴∠ E=∠CAE=30°，∠ COE=2∠ A=60°，∴∠ OCE=90°，∴ CE是⊙ O 的切线；（ 2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，由题可得 CH=h．在Rt△OHC中， CH=OC?sin∠COH，∴ h=OC?sin60°= OC，∴ OC= =h，∴ AB=2OC= h；（ 3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、 CF、DF，如图 3，则∠ AOF=∠COF= ∠AOC= （ 180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△ AOF、△ COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形 AOCF是菱形，∴依据对称性可得 DF=DO．过点 D 作 DH⊥OC于 H，∵ OA=OC，∴∠ OCA=∠ OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD（即CD+OD）最小，此时 FH=OF?sin∠FOH=OF=6，则OF=4 ， AB=2OF=8 ．∴当CD+OD 的最小值为 6 时，⊙ O 的直径 AB 的长为 8．【谈论】此题主要察看了圆周角定理、切线的判断、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值、等边三角形的判断与性质、菱形的判断与性质、两点之间线段最短等知识，把 CD+OD 转变为 DH+FD 是解决第（ 3）小题的重点．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？【解析】（1）第一求出点 A、B 坐标，此后求出直线 BD 的解析式，求得点 D 坐标，代入抛物线解析式，求得 k 的值；（ 2）由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB或△ ABC∽△ PAB．如答图 2，依据以上两种状况进行分类谈论，分别计算；（ 3）由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF．如答图3，作协助线，将 AF+ DF 转变为 AF+FG；再由垂线段最短，获得垂线段 AH 与直线 BD 的交点，即为所求的 F 点．【解答】解：（1）抛物线 y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得 x=﹣ 2 或 x=4，∴ A（﹣ 2，0）， B（ 4， 0）．∵直线 y=﹣ x+b 经过点 B（ 4，0），∴﹣×4+b=0，解得 b=，∴直线 BD解析式为： y=﹣x+．当 x=﹣5 时， y=3，∴ D（﹣ 5，3 ）．∵点 D（﹣ 5， 3）在抛物线 y= （x+2）（x﹣4）上，∴（﹣ 5+2）（﹣ 5﹣ 4） =3，∴ k=．∴抛物线的函数表达式为： y=（x+2）（x﹣4）．即 y=x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令 x=0，得 y=﹣k，∴ C（ 0，﹣ k），OC=k．由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ ABP为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB 或△ ABC∽△ PAB．①若△ ABC∽△ APB，则有∠ BAC=∠PAB，如答图 2﹣1 所示．设 P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y= x+k．∴P（ x， x+k），代入抛物线解析式 y= （ x+2）（ x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得： x2﹣6x﹣ 16=0，解得： x=8 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 8，5k）．∵△ABC∽△ APB，∴，即，解得： k=．②若△ ABC∽△ PAB，则有∠ ABC=∠PAB，如答图 2﹣2 所示．设P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，∴y= x+ ．∴P（ x， x+ ），代入抛物线解析式 y= （x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得： x=6 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 6，2k）．∵△ ABC∽△19=，∴=，解得 k=±，∵ k＞ 0，∴ k=，综上所述， k=或k=．（ 3）方法一：如答图 3，由（ 1）知： D（﹣ 5，3），如答图 2﹣ 2，过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA= == ，∴∠ DBA=30°．过点 D 作 DK∥x 轴，则∠ KDF=∠DBA=30°．过点 F 作 FG⊥ DK于点 G，则 FG= DF．由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线 AF+FG的长度的最小值为 DK与 x 轴之间的垂线段．过点 A 作 AH⊥DK 于点 H，则 t 最小 =AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点．∵ A 点横坐标为﹣ 2，直线 BD 解析式为： y=﹣x+，∴ y=﹣×（﹣2）+=2，∴ F（﹣ 2， 2）．综上所述，当点 F 坐标为（﹣ 2，2）时，点M在整个运动过程顶用时最少．方法二：作DK∥ AB， AH⊥DK，AH 交直线 BD 于点 F，∵∠ DBA=30°，∴∠ BDH=30°，∴ FH=DF×sin30 °= ，∴当且仅当 AH⊥DK 时， AF+FH 最小，点 M 在整个运动顶用时为： t=，∵ l BD：y=﹣x+，∴F X=A X=﹣ 2，∴F（﹣ 2，）．【谈论】此题是二次函数压轴题，难度很大．第（ 2）问中需要分类谈论，防范漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数 k，增添了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转变思想使得试题难度大大降低，需要仔细意会．7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【解析】（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．由△ PBG∽△ CBP，推出= = ，推出 PG= PC，推出 PD+ PC=DP+PG，由 DP+PG≥DG，当 D、G、P 共线时， PD+ PC 的值最小，最小值为DG==5．由 PD﹣PC=PD﹣PG≤ DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为DG=5；（2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．解法近似（ 1）；（3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥BC于 F．解法近似（ 1）；【解答】解：（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为 DG==5．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣P C的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=5．（ 2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．∵= = ， = = ，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG==．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大，最大值为DG=．故答案为，（ 3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥ BC于 F．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠ DCF=60°， CD=4，∴ DF=CD?sin60°=2 ，CF=2，在 Rt△GDF中， DG==∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时，PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=．故答案为，．【谈论】此题察看圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相像三角形的判断和性质、两点之间线段最短等知识，解题的重点是学会建立相像三角形解决问题，学会用转变的思想思虑问题，把问题转变为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．【解析】（1）令 y=0，求出抛物线与 x 轴交点，列出方程即可求出 a，依据待定系数法能够确立直线 AB 解析式．（2）由△ PNM∽△ ANE，推出 = ，列出方程即可解决问题．（3）在 y 轴上取一点 M 使得 OM′=，结构相像三角形，能够证明 AM′就是E′A+ E′B的最小值．【解答】解：（1）令 y=0，则 ax2+（a+3）x+3=0，∴ x=﹣1 或﹣，∵抛物线 y=ax2+（ a+3）x+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（4，0），∴﹣=4，∴a=﹣．∵ A（ 4， 0），B（0，3），设直线 AB 解析式为 y=kx+b，则，解得，∴直线 AB 解析式为 y=﹣x+3．（ 2）如图 1 中，∵PM⊥ AB， PE⊥OA，∴∠ PMN=∠ AEN，∵∠ PNM=∠ANE，∴△ PNM∽△ ANE，∴= ，∵NE∥OB，∴ = ，∴ AN= （4﹣m），∵抛物线解析式为y=﹣x2 + x+3，∴PN=﹣ m2 + m+3﹣（﹣ m+3）=﹣ m2 +3m，∴=，解得 m=2．（ 3）如图 2 中，在 y 轴上取一点 M′使得 OM′=，连结 AM′，在 AM′上取一点E′使得 OE′ =OE．∵OE′=2，OM′?OB= × 3=4，2′，∴ OE′=OM ?OB∴=，∵∠ BOE′=∠ M′OE，′∴△ M′OE′∽△ E′OB，∴== ，∴M′E′=BE′，∴AE′+ BE′=AE+E′′M′=AM，′此时 AE′+ BE′最小（两点间线段最短， A、 M′、E′共线时），最小值 =AM′==．【谈论】此题察看相像三角形的判断和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的重点是结构相像三角形，找到线段 AM′就是 E′A+ E′B的最小值，属于中考压轴题．。

胡不归模型知识精讲【知识梳理】1.特殊角的三角函数值：2.点到线间垂线段最短如图所示，点P到直线l的所有连线中，PA的长度最短（直角三角形中，斜边永远大于直角边）.【模型讲解】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。

由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.将这个问题数学化，我们不妨设总时间为由可得，提取一个得，若想总的时间最少，就要使得最小，如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，作DG⊥AE于点G，则，将转化为DG＋DB，再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点DG＋DB的最小值为BH，，综上，所需时间的最小值为，路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.【胡不归模型通解】1.第一步：将所求的线段和改写成的形式；第二步：构造一个角，使得；第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；第四步：计算.2. 型如“”的两定一动型最值问题的解法，：（其中A 、B 为定点，P 为动点，m 、n 为常数）；① 若m 、n 均不为1，则提取较大系数，将其中一个系数先化为1；② 借助三角函数，构造锐角α，将另一个系数也化为1；③ 利用“垂线段最短”原理即可解题.【经典例题】例1：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一个动点，连接PB ，则12PA +PB 的最小值为 ．解：如图，过点A 作直线AE ，使∠CAE ＝15°，作PQ ⊥AE 于点Q ，作BQ '⊥AE 于点Q '，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝15°，∵∠CAE ＝15°，∴∠P AQ ＝∠CAD +∠CAE ＝30°，∠BAQ '＝∠BAC +∠CAE ＝45°，又∵PQ ⊥AE ，BQ '⊥AE ，AB ＝4，∴PQ =12P A ，BQ '=√22AB =√22×4＝2√2， ∵PB +PQ ≥BQ '，∴当PB +PQ ＝BQ '时值最小，即12P A +PB 的最小值为2√2． 故答案为：2√2．例2：在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝8，点M 从点D 运动到点C ，运动速度为5个单位长度每秒，同时点N 从B 出发向点A 运动，运动速度为3个单位长度每秒，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，则DN +35AM 的最小值 ．解：延长CB 到E ，使BE ＝3，连接NE ，DE ，∵AD ＝5，∴BE AD =35， 设点M ，点N 运动时间为t 秒，由题意，得DM ＝5t ，BN ＝3t ，∴BN DM =3t 5t =35， ∴BE AD =BN DM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠ADM ＝90°，∴∠EBN ＝∠ADM ，∴△EBN ∽△ADM ，∴EN AM =BE AD =35， ∴EN =35AM ，∴DN +35AM ＝DN +EN ≥DE ，而DE =√EC 2+DC 2=√(3+5)2+82=8√2，∴DN +35AM ≥8√2，故答案为：8√2．。

2020年中考复习练习胡不归问题专题训练解析“胡不归问题”有关的的中考数学压轴题笔者浏览了近三年部分省市的中考数学压轴题。

发现有不少题目都是源于一个古老的数学问题————“胡不归”问题。

然而遗憾的是，知道这一古老问题的人却不是多数。

作为教师，大多是就题讲题。

因而也就谈不上归纳这类问题的解答方法。

不掌握这类问题的解答思路，真正遇到这类问题时，解答难度还是非常大的。

然而，只要掌握这类问题的解题“模式”。

解答起来也是非常轻松的。

那么，首先我们来了解什么是“胡不归”问题？有一则历史故事：说的是一个身在他乡的年轻人，得知其父病危的消息后，由于归乡心切，他选择了直线路程。

便日夜兼程赶路回家。

然而，当他气喘吁吁回到父亲面前时，老人刚刚咽气。

周围的人告诉他，在弥留之际，老人在不断的叨念：“胡不归？胡不归？.......”（意为：为什么还不回来？）。

这个古老的传说引起人们的思索，年轻人是否有可能提前归家，假若有，应该选择一条怎样的路线回家？这就是风靡上千年的“胡不归”问题。

早期的科学家曾为这一传说中的小伙子设想了一条路线：如下图：从A地到B地，年轻人选择了线段AB，路程较近。

行驶速度为v1,AM是一条驿道，行驶速度为v2，靠目的地的一侧全是沙土地。

v1＜v2.年轻人只考虑路程的远近，而忽略了，虽然路程近，但速度慢，如果选择先走一段驿道，再走沙土地，路程虽然远一些。

但在驿道上的行驶速度快。

如果路线选择恰当，是可以提前到达的。

接下来的关键是从驿道上的哪一点进入沙土地，用时最少？不妨假设从C处进入沙土地。

设总共用时为t,则t=BC/v1+AC/v2.=1/v1(BC+v1/v2AC).因为v1,v2是确定的，所以只要BC+v1/v2AC 最小，用时就最少。

要求BC+v1/v2AC的最小值。

我们应该作出一条以C为端点的线段，使其等于v1/v2AC。

并且与线段CB位于AM的两侧，然后，由两点之间线段最短。

不难找到最小值点。

中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。

在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。

“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。

这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。

在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。

针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。

在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。

2、根据题意构建方程。

通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。

3、解方程。

通过代数方法或计算工具，解出未知量。

4、验证答案。

根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。

在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。

也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。

总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。

在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。

通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。

中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。

本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。

首先，需要明确胡不归问题的基本形式。

一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。

解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。

下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。

例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。