《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.4(一)

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跟踪训练 2 判断下列各函数的奇偶性：
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(1)f(x)＝(x－2)
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x<－1， x＋2 2＋x ； (2)f(x)＝0 |x|≤1， 2－x －x＋2 x>1.
2＋x 解 (1)由 ≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称， 2－x
－f2(x)≤0 是恒成立的，故选 D.
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3.如果偶函数 f(x)在区间[－5， －2]上是减函数， 且最大值为 7， 那么 f(x)在区间[2,5]上是
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( B )
A．增函数且最小值为－7 B．增函数且最大值为 7 C．减函数且最小值为－7 D．减函数且最大值为 7
( D ) B．f(x)＝3x2＋|x|
A．f(x)＝－3x2 fx＋f－x C．f(x)＝ 2
( D )
A．f(x)－f(－x)>0 C．f(x)· f(－x)>0
B．f(x)－f(－x)≤0 D．f(x)· f(－x)≤0
解析 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，得 f(－x)＝－f(x)， f(x)－f(－x)＝2f(x)，但不知道 f(x)的正负，而 f(x)· f(－x)＝
六角形的雪花晶体， 中国的古建筑， 本 [问题情境] 美丽的蝴蝶， 课 我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美 . 这种“对称 时 栏 美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的 目 开 大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习． 关
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探究点一 问题 偶函数
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图像特征、奇函数定义、判断及函数的方法。
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探究点二
奇函数的概念
1 1、 观察函数 f (x )＝x 和 f (x )＝ 的图象(下图) x
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2、图象的共同特征：定义域关于原点对称，图象关于原点对 称．
3、判断： （1）定义域关于原点对称， （2）f(-x)=-f(x)
观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出
三个函数的共同特征吗？
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答 三个函数的定义域关于原点对称，三个函数的图象关于 y 轴对称．
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y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2 f(-x)=f(x)
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
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问题 如何判断一个函数是偶函数？
y
y
o
x
o
x
f(x)
（1）定义域关于原点对称 （2）f(－x)＝f(x)
g(x)
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例1 判断下列函数哪些是偶函数：
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1. f (x )＝x 2＋ 1；(2)f (x )＝x 2，x ∈[－ 1,3]；(3)f (x )＝0; x 3－x 2 （4）f(x)=|x|; (5)f(x)=x； (6)f (x )＝ . x －1
选用偶函数定义，得 f(3)>f(1)；另一种方法是利用偶函数图象 的对称性．
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1 跟踪训练 3 研究函数 y＝ 2的性质并作出它的图象． x
解
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已知函数的定义域是 x≠0 的实数集，即{x∈R|x≠0}．
由函数的解析式可知：对任意的 x 值，对应的函数值 y>0， 函数的图象在 x 轴上方；
f(-3)=9 =f(3) f(-2)=4 =f(2) f(-1)=1 =f(1)
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问题 如何定义偶函数？
答 设函数 y＝f(x)的定义域为 D， 如果对于 D 内任意一个 x，
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都有－x∈D，且 f(－x)＝f(x), 则这个函数叫做偶函数．
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1.3.2 函数的奇偶性(一)
【学习要求】 1.理解函数的奇偶性及其几何意义； 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3.掌握判断函数奇偶性的方法4(一)
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解析 因 f(x)是偶函数， 所以 f(x)的图象关于 y 轴对称， 由对 称性可知选 B.
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本 1.两个定义：对于 f(x)定义域内的任意一个 x，如果都有 课 f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数；如果都有 时 栏 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． 目 开 关 2.两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为
偶函数⇔它的图象关于 y 轴对称．
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(2)f (x )＝x ＋1； （3）f(x)=x|x| ； （4）f (x )＝x 2＋mx＋ 1.
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小结
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（1 ）定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看
是否关于原点对称；②再判断 f (－x )与 f (x )关系： f (－x )＝－ f (x )奇函数；f (－x )＝f (x )偶函数． （2）根据总结性质判断：
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解 (1)由解析式可知函数的定义域为 R， 由于 f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数为偶函数；
(2)由于函数的定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数；
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问题
类比偶函数，谈论探究奇函数，例举奇函数的图象、
故 f(x)为非奇非偶函数．
(2)x<－1 时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
x>1 时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，f(－x)＝－x＋2＝f(x)． －1≤x≤1 时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个 x 都有 f(－x)＝f(x)，因此 f(x)是偶函数．
函数的图象在 x＝0 处断开，被分成两部分；
f(－x)＝f(x)，函数为偶函数．
列表、描点，画出函数的图象．
由图象可看出，函数在(－∞， 0)上是增函数，在(0，＋∞)上 是减函数.
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1.下列函数中不是偶函数的是
本 课 D．f(x)＝x2－x＋1 时 栏 目 则 开 2.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 关
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小结：函数的奇偶性分类： 奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数。
思考：什么样的函数一定是奇函数？偶函数？ 非奇非偶函数？既奇又偶函数？
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例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x ＋x 3＋x 5；
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探究点三 例3 函数奇偶性的应用
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如图，
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给出了偶函数 y＝f(x)的局部图象， 试比较 f(1)与 f(3)的大小．
解 ∵f(－3)>f(－1)，
又 f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)．
∴f(3)>f(1)．
小结
本题有两种解法，一种是通过图象观察，f(－3)>f(－1)，