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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.4 空间向量的直角坐标运算课后知能检测 新人教B 版选修2-1一、选择题1．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法正确的是( )A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同C ．向量AB →与向量OB →的坐标相同D ．向量AB →与向量OB →－OA →的坐标相同【解析】 因为A 点不一定为坐标原点，所以A 不对，B 、C 都不对，由于AB →＝OB →－OA →，故D 正确．【答案】 D2．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)、B (2，－5,1)、C (3,7，λ)，若AB →⊥AC →，则( )A ．λ＝28B. λ＝－28 C ．λ＝14 D ．λ＝－14【解析】 由题意可得AB →＝(－2，－6，－2)， AC →＝(－1,6，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝(－2)×(－1)＋(－6)×6＋(－2)(λ－3)＝0.∴λ＝－14.【答案】 D3．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(－4，x ，y )平行，则x ，y 的值分别是( )A ．6和－10B ．－6和10C ．－6和－10D ．6和10 【解析】 ∵a ∥b ，∴2－4＝－3x ＝5y，∴x ＝6，y ＝－10.故选A.【答案】 A4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( ) A.55B.555C.355D.115 【解析】 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝ ＋t 2＋t －2＋02＝ t －152＋95. ∴当t ＝15时，|b －a |min ＝355. 【答案】 C5．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°(O 为坐标原点)，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．± 6【解析】 ∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，∴(OA →＋λOB →)·OB →＝λ＋λ＝2λ，|OA →＋λOB →|＝1＋2λ2，|OB →|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ1＋2λ2·2＝－12， ∴λ＝－66，故选C. 【答案】 C二、填空题6．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．【解析】 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)，∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴AB →，AC →＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12， ∴AB →，AC →＝60°.【答案】 60°7．(2013·南通高二检测)已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝________.【解析】 ∵a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．又∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29，∴λ＝3或－2.又∵λ＞0，∴λ＝3.【答案】 38．已知点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1,0)，(－1,0，－1)，(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA →⊥AB →， PA →⊥AC →，则P 点的坐标为______．【解析】 PA →＝(－x,1，－z )，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，由PA →⊥AB →，得x －1＋z ＝0，由PA →⊥AC →，得－2x －z ＝0.解得x ＝－1，z ＝2.【答案】 (－1,0,2)三、解答题9．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标．【解】 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．10．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1,3,1)，求：(1)(a －2b )·(2a ＋b )；(2)以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)a －2b＝(3，－2，－3)－2(－1,3,1)＝(5，－8，－5)，2a ＋b ＝2(3，－2，－3)＋(－1,3,1)＝(5，－1，－5)．∴(a －2b )·(2a ＋b )＝(5，－8，－5)·(5，－1，－5)＝5×5＋(－8)×(－1)＋(－5)×(－5)＝58.(2)∵a ，b ＝a ·b |a ||b |＝－1222×11＝－6211， ∴a ，b ＝1－cos 2a ，b ＝1－72121＝711.∴S ▱＝|a |·|b a ，b ＝22×11×711＝7 2. ∴以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为7 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，问当点N 位于AB 何处时，MN ⊥MC 1?【解】 以A 为坐标原点，棱AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a ，则M (0,0，a 2)，C 1(a ，a ，a )，N (x,0,0)． MC 1→＝(a ，a ，a2)，MN →＝(x,0，－a 2)， MN →·MC 1→＝xa －a 24＝0，得x ＝a 4. 所以点N 的坐标为(a4，0,0)，即N 为AB 的四等分点且靠近A 点时，MN ⊥MC 1.。
综合检测(三) 第三章 概率一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100 ℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数．上述事件中为随机事件的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【解析】 ①②是随机事件，③⑤为必然事件，④⑥为不可能事件． 【答案】 C2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头” B ．“甲站排头”与“乙不站排头” C ．“甲站排头”与“乙站排尾” D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”【解析】 A 中事件不可能同时发生为互斥事件，B 、C 、D 中的两个事件都有可能同时发生．【答案】 A3．(2013·江西高考)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )A.23B.12C.13D.16【解析】 从A ，B 中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6个基本事件，满足两数之和等于4的有(2,2)，(3,1)2个基本事件，所以P ＝26＝13.【答案】 C4．小明同学的QQ 密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中可以重复的6个数字组成的六位数码，由于长时间未登录QQ ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是( )A.1105B.1104C.1100D.110【解析】 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字有1个基本事件，则恰好能登录的概率为110. 【答案】 D5．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x 轴上”包含的基本事件共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【解析】 点落在x 轴上所包含的基本事件的特征是(x,0)，又依题意x ≠0，且A 中有9个非零数，故选C.【答案】 C6．电脑“扫雷”游戏的操作面被平均分成480块，其中有99块埋有地雷，现在操作面上任意点击一下，碰到地雷的概率为( )A.12B.1180C.199D.33160【解析】 P ＝99480＝33160.【答案】 D7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则抽查一件产品，抽得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96【解析】 由题意可知：P ＝1－0.03－0.01＝0.96. 【答案】 D 8.图1如图1所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为( )A.35B.125C.65D.185【解析】 根据几何概型公式：S 阴S 正方形＝120200， ∴S 阴＝120200×22＝125.【答案】 B9．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34 【解析】 设3个兴趣小组为1,2,3(甲i ，乙j )表示甲参加第i 个兴趣小组，乙参加第j 个兴趣小组，则所有基本事件有(甲1，乙1)，(甲1，乙2)，(甲1，乙3)，(甲2，乙1)，(甲2，乙2)，(甲2，乙3)，(甲3，乙1)，(甲3，乙2)，(甲3，乙3)，共9个基本事件．这两位同学参加同一个兴趣小组包括(甲1，乙1)，(甲2，乙2)，(甲3，乙3)，共3个基本事件，故所求概率为39＝13.【答案】 A10．如图2所示，设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径2倍的概率是( )图2A.34B.12C.13D.35【解析】 由题意可知，符合条件的点应在与点A 相对的另一半圆弧上，故所求概率P ＝＝12.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上) 11．一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为________．【解析】 由题意知P ＝1－0.2－0.4＝0.4. 【答案】 0.412．如图3，假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率分别为________．图3【解析】 设半径为R ，则图(1)中的概率P 1＝12×R ×2R πR 2＝1π.图(2)中的概率为P 2＝38. 【答案】1π，3813．(2013·浙江高考)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于__________．【解析】 用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为：AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，共15种选法，其中都是女同学的选法有3种，即ab ，ac ，bc ，故所求概率为315＝15.【答案】 1514．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出1个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．【解析】 ∵摸出白球的概率是0.23，∴口袋中白球的个数为0.23×100＝23个，∴袋中黑球共100－45－23＝32个．∴从袋中摸出1个球，摸出黑球的概率为32100＝0.32.【答案】 0.32三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知棱长为2的正方体的内切球O .若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为多少？【解】 球的直径就是正方体的棱长2. ∴球O 的体积为V 球＝43π，正方体的体积为V ＝23＝8.由于在正方体内任取一点时，点的位置是等可能的，在正方体内每个位置上，由几何概型公式，这点不在球O 内(事件A )的概率为P (A )＝V －V 球V ＝8－43π8＝1－π6.∴所求概率为1－π6.16．(本小题满分12分)A 袋中有1个红球和1个黑球，B 袋中有2个红球和1个黑球，从A 袋中任取一个球与B 袋中任取一个球互换，这样的互换进行了一次，求：(1)A 袋中红球恰是1个的概率； (2)A 袋中红球至少是1个的概率．【解】 将A 袋中的1个红球和1个黑球编号为红1，黑1，B 袋中的2个红球和1个黑球的编号为红2，红3，黑2，则从A 袋中任取一个球与B 袋任取一个球互换后所有可能的结果组成的基本事件空间为：{(红2，红1)，(红3，红1)，(黑2，红1)，(红2，黑1)，(红3，黑1)，(黑2，黑1)}由6个基本事件组成．(1)A 袋中红球恰是一个的概率为P ＝36＝12；(2)A 袋中红球至少是一个的概率为P ＝56.17．(本小题满分13分)(2013·陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表.(2)在(1)的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．【解】 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：(2)记从A 12312B 组抽到的6位评委分别为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果如图：由树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.18．(本小题满分13分)2013年武汉电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”，A 、B 、C 、D 四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A 、B 、C 、D 四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下．为了了解市民对武汉实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：图4(1)若市民甲选择的是A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率；(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率．【解】 (1)由条形图可得，分别负责问政A ，B ，C ，D 四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A 部门的市民为40人．由分层抽样可得从A 部门问卷中抽取了20×40200＝4份．设事件M ＝“市民甲被选中进行问卷调查”，所以P (M )＝440＝0.1. ∴若甲选择的是A 部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1.(2)由图表可知，分别负责问政A ，B ，C ，D 四部门的市民分别接受调查的人数为4,5,6,5.其中不满意的人数分别为1,1,0,2个．记对A 部门不满意的市民是a ；对B 部门不满意的市民是b ；对D 部门不满意的市民是c ，d .设事件N ＝“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D 部门的”． 从填写不满意的市民中选出2人，共有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共6个基本事件；而事件N 有(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )共5个基本事件，所以P (N )＝56.∴这两人中至少有一人选择的是D 部门的概率是56.。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.2 复数的几何意义课后知能检测新人教A版选修2-2一、选择题1．在复平面内，复数z＝i＋i2表示的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵z＝i＋i2＝－1＋i，显然点(－1,1)在第二象限．【答案】 B2．复数z1＝1＋3i和z2＝1－3i在复平面内的对应点关于( )对称．A．实轴 B．一、三象限的角平分线C．虚轴 D．二、四象限的角平分线【解析】复数z1＝1＋3i在复平面内的对应点为z1(1，3)．复数z2＝1－3i在复平面内的对应点为z2(1，－3)．点z1与z2关于实轴对称，故选A.【答案】 A3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )A．4＋8i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i【解析】因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.【答案】 C4．(2013·徐州高二检测)实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】设z＝5＋b i(b∈R)，则|z|＝25＋b2，又|4－3i|＝42＋ －3 2＝5，∴25＋b2＝5，∴b＝0，故选A.【答案】 A5．(2013·石家庄高二检测)复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( )A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2且a ≠1C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0【解析】 由复数z 的对应点在虚轴上知a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2，故选D.【答案】 D二、填空题6．复数z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点在直线x ＋y －4＝0上，则实数m 的值为________．【解析】 由题意知点(m ＋1，m －1)在直线x ＋y －4＝0上，∴(m ＋1)＋(m －1)－4＝0，∴m ＝2.【答案】 27．(2013·开封高二检测)已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)，又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i8．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________．【解析】 由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝ －4 2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.【答案】 |y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|三、解答题9．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 的点(1)位于虚轴上；(2)位于第三象限．【解】 复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面上对应点的坐标为(2m,4－m 2)．(1)若点(2m,4－m 2)在虚轴上，则有2m ＝0，即m ＝0.(2)若点(2m,4－m 2)在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m <0，4－m 2<0∴m <－2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点之间的距离．【解】 因为复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，所以OA →＝(－3，－1)，OB →＝(5,1)，所以OA →＋OB →＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)，所以向量OA →＋OB →对应的复数是2，又BA →＝OA →－OB →＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)，所以BA →对应的复数是－8－2i ，A ，B 两点之间的距离为|BA →|＝ －8 2＋ －2 2＝217.11．求复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模．【解】 |z |＝ 1＋cos α 2＋ sin α 2＝2＋2cos α＝2|cosα2|，因为π<α<2π，所以π2<α2<π， 所以cos α2<0，所以|z |＝－2cos α2.。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 -2 空间直角坐标系 空间两点的距离公式课后知能检测 新人教B 版必修2一、选择题1．点P (2,3,4)到x 轴的距离是( ) A.13B ．2 5 C ．5 D.29【解析】 如图所示，B ′点坐标为(2,3,4)，则其到x 轴距离为AB ′＝AB 2＋BB ′2＝32＋45＝5. 【答案】 C 2.图2－4－4如图2－4－4所示，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，棱长为1，BP ＝13BD ′，则P 点坐标为( )A ．(13，13，13)B ．(23，23，23)C ．(13，23，13)D ．(23，23，13)【解析】 连接BD ′，点P 在坐标平面xDy 上的射影在BD 上， ∵BP ＝13BD ′，所以P x ＝P y ＝23，P z ＝13，∴P (23，23，13)．【答案】 D3．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为( ) A.55B.555 C.355 D.115【解析】 |AB |＝1－t －22＋1－t －t2＋t －t2＝5t 2－2t ＋2＝ 5t －152＋95≥ 95＝355. 【答案】 C4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6【解析】 画出长方体的图形，可以求出C 1(0,2,3)， ∴|AC 1|＝29，故选B. 【答案】 B5．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3 C.32D.63【解析】 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1y 2＋z 2＝1x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62. 【答案】 A 二、填空题6．点(1,2,3)关于原点的对称点是________．【答案】 (－1，－2，－3)7．(2013·某某高一检测)点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________.【解析】 点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)， ∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0. 【答案】 08．已知A (－3,1,1)，B (－2,2,3)，在z 轴上有点P 到A ，B 两点的距离相等，则点P 的坐标是________．【解析】 设P (0,0，z )，则有 32＋12＋1－z2＝22＋22＋3－z2，∴z ＝32.【答案】 (0,0，32)三、解答题9．已知点A (－4，－1，－9)，B (－10,1，－6)，C (－2，－4，－3)，判断△ABC 的形状．【解】 |AB |＝－4＋102＋－1－12＋－9＋62＝49，|BC |＝－10＋22＋1＋42＋－6＋32＝98，|AC |＝－4＋22＋－1＋42＋－9＋32＝49.因为|AB |＝|AC |，且|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， 所以△ABC 为等腰直角三角形．10．已知点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |取最小值时A ，B 两点的坐标，并求此时|AB |.【解】 由空间两点间的距离公式得|AB |＝1－x2＋[x ＋2－5－x ]2＋[2－x －2x －1]2＝14x 2－32x ＋19＝14x －872＋57当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357， 此时A (87，277，97)，B (1，227，67)．图2－4－511．如图2－4－5所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝ 6.。
第三章 空间向量与立体几何(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2013·佛山高二检测)与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A ．(13，1,1)B ．(－1，－3,2)C ．(－12，32，－1)D ．(2，－3，－22)【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)．【答案】 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝14.应选D.【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)． 【答案】 B4．(2013·洛阳高二检测)棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →·BC →＝0 C.AA 1→·B 1D 1→＝0D.AC 1→·A 1C →＝0【解析】 如图AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A 、B 、C 选项均正确．【答案】 D5．已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则c ·a ＝0，且c ·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之由于a 、b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B6．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设BC 中点为D ，则D (2,1,4)，∴AD →＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝12＋－2＋22＝3，即BC 边上的中线长为3.【答案】 B7．(2013·岳阳高二检测)若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为89，则λ＝( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255【解析】 ∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2－λ＋45＋λ2·9＝89，解得λ＝－2或λ＝255. 【答案】 C8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23B.33C.23D.63【解析】 设正方体的棱长为1，建系如图． 则D (0,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)． 平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1,1,1)． 又BB 1→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1→，BB 1→〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－332＝63. 【答案】 D9．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，BP →⊥平面ABC ，则BP →等于( )A ．(407，－157，－4)B ．(407，－157，－3)C ．(337，－157，4)D ．(337，－157，－3)【解析】 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，∴z ＝4，∴BC →＝(3,1,4)． ∵BP →⊥平面ABC ，∴BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －＋y ×5＋－－＝0x －＋y ×1＋－＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407y ＝－157，∴BP →＝(337，－157，－3)．【答案】 D10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A －BD －P的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝(3,0，－453)，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ，z，0，－453＝0，x ，y ，z－3，4，＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，34，543)．又n 1＝(0,0，453)为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11．(2013·北京高二检测)若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3212．(2013·重庆高二检测)已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________．【解析】 ∵AC →＝(5,1，－7).BC →＝(2，－3,1)，∴AC →·BC →＝10－3－7＝0. ∴AC →⊥BC →，∴∠ACB ＝90°，又∵|AC →|≠|BC →|， ∴△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形13．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长是________．【解析】 如图所示， 设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝1×1×cos 60°＝12.又AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ， |AC 1→|＝a ＋b ＋c2＝3＋3×2×12＝ 6.【答案】 614．命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线； ②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面； ③若a 与b 共线，则存在惟一的实数λ，使b ＝λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．【解析】 当b ＝0时，①不正确；a 、b 、c 共面于平面α，则a ，b ，c 所在的直线可能异面，但都与α平行，所以②不正确；③不正确．因为a ∥b ⇔b ＝λa (a ≠0)；由空间向量基本定理可知④正确．【答案】 ④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分12分)如图1所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.图1【证明】 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′→＝AB →＋AA ′→，AD ′→＝AD →＋AA ′→.∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′→)＋(AD →＋AA ′→)＝2(AB →＋AD →＋AA ′→)． 又AA ′→＝CC ′→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. ∴AC →＋AB ′→＋AD ′→＝2AC ′→.16．(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，AB ＝5，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点．图2(1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1.【解】 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，直线CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，B 1(0,4,4)，D (32，2,0)．(1)∵AC →＝(－3,0,0)，BC 1→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1→＝0，∴AC ⊥BC 1.(2)设CB 1与C 1B 的交点为E ，则E (0,2,2)． ∵DE →＝(－32，0,2)，AC 1→＝(－3,0,4)，∴DE →＝12AC 1→，∴DE →∥AC 1→.∵DE ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1，∴AC 1∥平面CDB 1.图317．(本小题满分12分)如图3，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0＜λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．【解】 (1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O . 由底面是菱形，得BD ⊥AC .∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO .又AC ∩SO ＝O ，∴BD ⊥平面SAC . 又AE ⊂平面SAC ，∴BD ⊥AE .(2)由(1)知BD ⊥SO ， 同理可证AC ⊥SO ， ∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2.∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α， 则sin α＝|SC →·SA →||SC →|·|SA →|＝|－3a 2＋a 2|＋a 2·＋a 2＝12，即SA 与平面BED 所成的角为π6.图418．(本小题满分14分)(2012·浙江高考)如图4，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．【解】(1)证明连结BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，所以MN是△PBD的中位线，所以MN∥BD.又因为MN⊄平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.(2)连结AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线为x，y轴，以过O点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得AC＝AB＝23，BD＝3AB＝6.又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC.在直角△PAC中，AC＝23，PA＝26，AQ⊥PC，得QC＝2，PQ＝4.由此知各点坐标如下；A(－3，0,0)，B(0，－3,0)，C(3，0,0)，D(0,3,0)，P(－3，0,26)，M(－32，－32，6)，N(－32，32，6)，Q(33，0，263)．设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，由AM→＝(32，－32，6)，AN→＝(32，32，6)知⎩⎪⎨⎪⎧32x－32y＋6z＝0，32x＋32y＋6z＝0.取z＝－1，得m＝(22，0，－1)．设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量，由QM→＝(－536，－32，63)，QN→＝(－536，32，63)知⎩⎪⎨⎪⎧－536x －32y ＋63z ＝0，－536x ＋32y ＋63z ＝0.取z ＝5，得n ＝(22，0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m |·|n |＝3333.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.。
