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第28章《锐角三角函数》基础测试题一、选择题（本大题8小题，每小题4分，共32分.每小题只有一个选项是符合题意的）1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝（）A.4B.6C.8D.103.在△ABC 中，若|cosA －2|＋(1－tanB)2＝0，则∠C 的度数是( ) A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°4. 李红同学遇到了这样一道题：3tan(α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是（）A ．12B ．2C D6.△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．312 B ．12 C ．324 D ．3487．如图，宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）8. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．25m二、填空题（每题3分，共18分）9．在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ，则sinA ＝ .10．在△ABC 中,∠B =90，cos A =32, a =3, 则b = .11．平行四边形ABCD 中，已知∠B=60°，AB=8cm ，BC=6cm ，则面积等于 cm 2．12．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是_________。
13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8， AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．14．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8， 现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合， 折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 三、解答题（共50分）15. （5分）计算：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°16．（5分）如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tanA ＝32，求sinB 的值．AC第12题图17．（8分）如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．18. （8分）已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．19.（8分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)20．（8分）如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？21．(8分)如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，求t的值．答案： 1. D 2. A 3. C 4. D 5. B 6. A 7. A 8. D 9.35 10. 2 3 11. 24 3 12. 4013. 5414.247 15. 解：tan30°cot60°＋cos 230°－sin 245°tan45°＝33．33＋2)23(－1)22(2 ＝31＋43－21 ＝127；16.解：在Rt △ACD 中，CD ＝6，tanA ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32， 即AD ＝4.又AB ＝12，∴BD ＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10. ∴sinB ＝CD BC ＝610＝3517. (1) B(4，3) (2)552 3-5 BC=2519.解：在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD ＝45°，则 BD ＝CD ＝9米， 所以AD ＝CD ·tan37°＝6.75(米)． 所以AB ＝AD ＋BD ＝15.75(米)， 整个过程中国旗上升高度是： 15．75－2.25＝13.5(米)， 因为耗时45 s ，所以上升速度为13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．20. 解：过A 作AC ⊥BD 于点C ，则AC 的长是A 到BD 的最短距离． ∵∠CAD ＝30°，∠CAB ＝60°，∴∠BAD ＝60°－30°＝30°，∠ABD ＝90°－60°＝30°. ∴∠ABD ＝∠BAD. ∴BD ＝AD ＝12海里．∵Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴AC ＝AD ·cos ∠CAD ＝63≈10.392＞8，即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．21.（1）215463y x x =-++；（2）t=3；（3）103或203解：（1）在y ＝ax 2＋bx ＋4中，令x ＝0可得y ＝4， ∴C （0，4），∵四边形OABC 为矩形，且A （10，0）， ∴B （10，4），把B 、D 坐标代入抛物线解析式可得1001044{ 4240a b a b ++=-+=，解得16{ 53a b =-=，∴抛物线解析式为y ＝16-x 2＋53x ＋4；（2）由题意可设P （t ，4），则E （t ，16-t 2＋53t ＋4），∴PB ＝10﹣t ，PE ＝16-t 2＋53t ＋4﹣4＝16-t 2＋53t ，∵∠BPE ＝∠COD ＝90°， 当∠PBE ＝∠OCD 时， 则△PBE ∽△OCD ， ∴PE PB OD OC=，即BP •OD ＝CO •PE ， ∴2（10﹣t ）＝4（16-t 2＋53t ），解得t ＝3或t ＝10（不合题意，舍去），∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ； 当∠PBE ＝∠CDO 时， 则△PBE ∽△ODC ， ∴PE PB OC OD=，即BP •OC ＝DO •PE ， ∴4（10﹣t ）＝2（16-t 2＋53t ），解得t ＝12或t ＝10（均不合题意，舍去）综上所述∴当t ＝3时，∠PBE ＝∠OCD ；（3）当四边形PMQN 为正方形时，则∠PMC ＝∠PNB ＝∠CQB ＝90°，PM ＝PN ， ∴∠CQO ＋∠AQB ＝90°， ∵∠CQO ＋∠OCQ ＝90°， ∴∠OCQ ＝∠AQB ， ∴Rt △COQ ∽Rt △QAB ，∴CO OQAQ AB=，即OQ •AQ ＝CO •AB ， 设OQ ＝m ，则AQ ＝10﹣m ，∴m （10﹣m ）＝4×4，解得m ＝2或m ＝8，①当m ＝2时，CQ BQ ＝∴sin ∠BCQ ＝BQ BC sin ∠CBQ ＝CQBC，∴PM ＝PC •sin∠PCQ ，PN ＝PB •sin∠CBQ 10﹣t ），10﹣t ），解得t ＝103， ②当m ＝8时，同理可求得t ＝203， ∴当四边形PMQN 为正方形时，t 的值为103或203。
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》全章测试一、选择题1. 在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( )A. 都扩大1倍B.都缩小为原来的一半C.都没有变化D. 不能确定2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( )A ．6B ．52C ．53D ．132 3.已知β为锐角，cos β≤21，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 4．化简：140tan 240tan 2+-︒︒ 的结果为( )A.1+tan40°B. 1－tan40°C. tan40°－1D. tan 240°+1 5．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3486．如图,△ABC 中,,90︒=∠C AD 是BAC ∠的角平分线,交BC 于点D ,那么CDACAB -=( )（A ）BAC ∠sin （B ）BAC ∠cos （C ）BAC ∠tan （D ）无法确定7．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 18．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m 9． 已知α是锐角，且sin α+cos α=332,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 61D. 110．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin RB ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R二、填空题11. 计算：1sin 60cos302-= . 12.ABC △中，90C =∠，若1tan 2A =，则sin ______A =13. 已知山坡的坡度i =1，则坡角为________．14. 在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______． 15. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 第6题 第7题16. 菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为_________.17.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．18. 如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31s i n =∠A C B 则cos ∠ADC ＝______．19.如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）． 20.在数学活动课上，小敏，小颖分别画了△ABC •和△DEF ，数据如图7，如果把小敏画的三角形面积记作ABC S ∆，小颖画的三角形面积记作DEF S ∆，那么你认为小敏和小颖画的两个三角形的面积的大小关系是ABC S ∆ DEF S ∆.(填“＞,＜,或＝”) 三、解答题 21.计算:(1) 200822)45cot (30cot 60tan 60cot 30sin 2︒-+︒︒-︒+︒ (2) 130cos 260sin 60tan 45tan 2+︒-︒+︒-︒ (3)已知α是锐角，且sin (α+15°)=32，求8 －4cos α—( 2 －1)0+tan α的值． 22. 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.23由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中∠A =30°，tan B = ▲，AC =AB 的长”。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
人教版九年级下册数学第二十八章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在⊙O中，E是直径AB延长线上一点，CE切⊙O于点E，若CE=2BE，则∠E的余弦值为（）A. B. C. D.2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段的比中不等于sinA 的是( )A. B. C. D.3、如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A.20B.30C.30D.404、如图所示，已知：点A（0，0），B（，0），C（0，1）．在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于（）A. B. C. D.5、已知Rt△ABC中，∠A=90°，则是∠B的（）A.正切；B.余切；C.正弦；D.余弦6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A. B. C. D.7、如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A. B. C. D.8、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.9、定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝底边：腰．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝4∠B．则cosB•sadA＝（）A.1B.C.D.10、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，斜边c=15，则b的值是（）A.12B.9C.4D.311、已知tanα=0.3249，则α约为（）A.17°B.18°C.19°D.20°12、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，DE垂直平分AB交BC于E，若BE=2 ，则AC=( )A.1B.2C.3D.413、如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（）A.（a+ b）米B.（a+ b）米C.（a+ b）米D.（a+ b）米14、如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（0，6），∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，过点C作CD∥x轴交AB于点D，则点D的坐标为（）A.（，2）B.（，1）C.（，2）D.（，1）15、如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，AB⊥CD，OA=2，CD=2 ，则∠D 等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD 的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若，则BC长为________cm（结果保留根号）.17、在三角形ABC中，AB=2，AC= ，∠B=45°，则BC的长________．18、如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y=x2（x＞0）上，则点A 的坐标为________．19、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，点D、E分别在AB、AC 上，将△ABC沿DE折叠，点A落在AC边的点F处．若F为CE的中点，则DF 的长为________.20、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4 ，AC=4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F.若∠AB′F为直角，则AE的长为________.21、小华从斜坡底端沿斜坡走了100米后，他的垂直高度升高了50米，那么该斜坡的坡角为________度22、在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosA=________.23、如图，ABCD中，E是AD边上一点，AD=4 ，CD=3，ED= ，∠A=45．点P，Q分别是BC，CD边上的动点，且始终保持∠EPQ=45°．将CPQ沿它的一条边翻折，当翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形时，线段BP的长为________．24、把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上，∠CAB=60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是________.25、已知：正方形ABCD的边长为3，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（tan60﹣1）0+| ﹣1|﹣2cos30°．27、教育部布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，tan53°≈，cos53°≈0.60）28、如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E 处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）29、周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）30、每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB （假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、A5、A6、D7、A8、C9、B10、A11、B12、B13、A14、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
第二十八章 锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题 共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)． 故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ， 即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )， 所以OC ＝OB ， 所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ， 则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB， 则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)． 则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ， 设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。
第二十八章锐角三角函数课后练习锐角三角函数的定义与求值1．在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则tan A的值是.2．把△ABC三边的长度都扩大为原来的2倍,则锐角A的余弦值()A．不变B．扩大为原来的2倍C．缩小为原来的12D．不能确定3．在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=8,sin A=34,则BC的长为()A．6B．7.5C．8D．12.54．如图,已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上,则下列结论错误的为()A．cos B．sin B=5C．tan B=12D．tan B·tan C=1特殊角的锐角三角函数值5．在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且(tan B-3)2+2cosA是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形,那么锐角α为30度.7．计算:3tan30°+tan45°-2sin60°.解直角三角形及其应用8．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=8,CB=43,解这个直角三角形.9．如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D．若AB=10,PC=12,则sin∠CAD等于()A．125B．1312C．135D．121310．某县动车站于2014年开通,方便了更多的人出行,如图是该动车站某扶梯的示意图,扶梯AB的坡度i=5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).琪琪同学乘扶梯从扶梯底端A以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B,则琪琪同学上升的铅直高度BC为m.11．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌.经测量得到如下数据:AM=4m,AB=8m,∠MBC=30°,∠MAD=45°,则警示牌的高CD为多少米(结果保留根号)?12．2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站,如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态,当两臂AC=BC=10m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离(结果精确到0.1m;参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).13．如图,某校数学兴趣小组需测量一古塔的高度AB．该古塔旁有一个小山坡,在山脚处C观测塔的顶端A的仰角为60°,已知BC=10m,ED⊥BD(点B,C,D在同一直线上).(1)求古塔的高度AB(结果保留根号);(2)涛涛站在古塔的顶端A处观测山坡的顶端E的俯角为30°,该山坡的坡度i=tan∠ECD=1∶3,求山坡的高度DE(结果保留根号).14．如图,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6m到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是45°,若坡角∠FAE=30°,求大树的高度(结果保留根号).。
人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB）A．sin A B．tan A＝2 C．cos B＝2 D．sin B2、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将ΔABC绕着点A逆时针旋转得到AB C''△，则cos BCB'∠的值为（）B C DA．123、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB＝9，BC＝16，则3号图形周长为（）A．2233+ C．2333+B．2234++ D．23344、如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为13BC=m，则AB的长度为（）A．6m B．C．9m D．5、小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为（已知sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）（）A．3.2米B．3.9米C．4.7米D．5.4米6、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，则下列选项中不能表示tan A的是（）A．BCABB．BDADC．CDBDD．ABAC7、如图，一辆小车沿斜坡向上行驶13米，小车上升的高度5米，则斜坡的坡度是（）A．1：2.4B．1：2.6C．12：13D．5：138、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tanα的值是（）A．12B．43C．35D．459、如图，ABC中，60A∠=︒，8BC=，它的周长为22．若O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D 点，则劣弧DF的长为（）A B C D10、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离约为（）A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，4，则tan∠DBE＝__________．cos A52、如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2…按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021=____．3、计算的结果为______．4、若点(12,)P a 在反比例函数60y x=的图象上，则cos POH ∠的值为__________．5、如图，在以AB 为直径的半圆O 中，C 是半圆的三等分点，点P 是弧BC 上一动点，连接CP ，AP ，作OM 垂直CP 交AP 于N ，连接BN ，若AB ＝12，则NB 的最小值是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：202111(1)()453-︒-2、02sin 302011︒-．3、计算、解方程：（1）267x x =+（2）24(3)(3)x x x -=-（3）112tan 454sin 602-⎛⎫-︒+︒- ⎪⎝⎭4、（1）计算：11()2tan 452sin 60|12--︒+︒-．（2）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥于点E ，8BE =，12sin 13A =，求菱形的边长．5、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE ，箱长BC ，拉杆AB 的长度都相等，B ，F 在AC 上，C 在DE 上，支杆DF ＝30cm ，CE ：CD ＝1：3，∠DCF ＝45°，∠CDF ＝30°，请根据以上信息，解决下列问题．（1）求AC 的长度：（2）直接写出拉杆端点A 到水平滑杆ED 所在直线的距离 cm ．---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC =，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ======== 故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．2、B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB 是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论．【详解】解：如图，连接BD ，BB '，由网格利用勾股定理得：BC CD BD ===222CD BD BC ∴+=CDB ∴是直角三角形，BD B C '∴⊥cos CD BCB CB '∴∠==故选：B ．【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．3、B【分析】设,CE x = 而AB ＝9，BC ＝16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到16,BE x 7,9,FG x DF AF x 再证明tan tan ,FAG AEB 再建立方程求解x ，延长FG 交BC 于,M 则,FG BC ⊥ 再利用勾股定理求解,GE 从而可得答案.【详解】解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，,,,90,AB CD AD BC AD BC ABC AFG ∥设,CE x = 而AB ＝9，BC ＝16，16,BE x结合（图1），（图2）的关联信息可得：7,9,FG x DF AF x,AD BC ∥,tan tan ,FAGAEB FAG AEB 97,169x x x整理得：232310,x x解得：121,31,x x经检验：31x =不符合题意，取1,x =716,1,9110FG DF CE AF延长FG 交BC 于,M 则,FG BC ⊥ 四边形ABMF 是矩形，9,10,963,161105,FM AB BM AF GMFM FG ME 2234,GE GM ME 所以3号图形的周长为：6341962234,FG GE CE CD DF故选B【点睛】 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.4、A 【分析】根据迎水坡AB 的坡比为1BC AC =AC 的长度，运用勾股定理可得结果． 【详解】解：迎水坡AB 的坡比为1BC AC ∴=，即3AC = 解得，AC =由勾股定理得，()6AB m ==，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，熟知坡比的意义是解本题的关键．5、C【分析】过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，根据锐角三角函数的定义表示OF的长度，然后列出方程求出x的值即可求出答案．【详解】解：过点O作OE⊥AC于点F，延长BD交OE于点F，设DF＝x，∵tan65°＝OF DF，∴OF＝x tan65°，∴BF＝3+x，∵tan35°＝OFBF，∴OF＝（3+x）tan35°，∴2.1x＝0.7（3+x），∴x＝1.5，∴OF＝1.5×2.1＝3.15，∴OE＝3.15+1.5＝4.65，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形的应用，根据题意构建直角三角形是解本题的关键．6、D【分析】根据题意可推出△AB C、△ADB、△BDC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tan A即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的高，∴△AB C、△ADB、△BDC均为直角三角形，又∵∠A+∠C=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，在Rt△ABC中，tan A=BCAB，故A选项不符合题意；在Rt△ABD中，tan A=BDAD，故B选项不符合题意；在Rt△BDC中，tan A=tan∠DBC=CDBD，故D选项不符合题意；选项D表示的是sin C，故D选项符合题意；故选D．【点睛】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．7、A【分析】直接用勾股定理求出水平距离为12，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可．【详解】解：由勾股定理得，水平距离12，∴斜坡的坡度5=：121=：2.4，故选A．【点睛】本题主要考查了坡度和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义．8、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可．【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴tanα=αααα=24=12，故选A．【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义．9、B【分析】连接OD、OF，过点O作OG⊥DF于点G，则12DG DF=，∠DOG=∠FOG，根据O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，可得AD=AF，BD=BE，CE=CF，∠ADO=∠AFO=90°，从而得到AD=AF=3，再由60A∠=︒，可得32DG=，∠DOF=120°，从而求出OD，即可求解．【详解】解：如图，连接OD、OF，过点O作OG⊥DF于点G，则12DG DF=，∠DOG=∠FOG，∵O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，∠ADO=∠AFO=90°，∵BC=8，∴BD+CF=BE+CE=BC=8，∵ABC的周长为22．∴AD+AF+BD+BE+CE+CF=22，∴AD+AF=6，∴AD=AF=3，∵60A∠=︒，∴△ADF为等边三角形，∠DOF=120°，∴DF=AD=3，∴32 DG=，∴∠DOG=60°，∴3sinDGODDOG===∠，∴劣弧DF=．故选：B【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，求弧长，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键．10、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离．【详解】解：∵坡度i= 0.5，∴相邻两棵树的垂直距离为4×0.5=2m，4.5m ≈．故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键．二、填空题1、3【解析】【分析】根据DE ⊥AB ，cos A ＝45，设AE ＝4x ，AD ＝5x ，根据勾股定理DE 3x ==，根据四边形ABCD 为菱形，可得菱形的边AB ＝AD ＝5x ，可求BE =AB -AE =5x -4x =x ，根据正切定义求tan∠DBE =33DE x BE x ==即可． 【详解】 解：∵DE ⊥AB ，cos A ＝45，∴设AE ＝4x ，AD ＝5x ，在Rt△ADE 中， DE 3x ==，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形的边AB ＝AD ＝5x ，∴BE =AB -AE =5x -4x =x ，∴tan∠DBE =33DE x BE x ==．故答案为：3．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长是解题的关键，利用∠A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便．2、24038⋅√3##√3·24038【解析】【分析】由题意得∠ααα=60°，αα=αα=αα=1，则有△ααα1为等边三角形，同理可得△α1α1α2……. △α2020α2020α2021都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得α1=√3,α2=√3，…….由此规律可得αα=√3⋅22α−4，即可求解．4【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴αα=αα=αα=1，αα∥αα,αα∥αα，∵∠ααα=120°，∴∠ααα=60°，∴∠ααα1=∠ααα=60°，∵αα1=αα，∴αα1=αα，∴△ααα1为等边三角形，同理可得△α1α1α2……. △α2020α2020α2021都为等边三角形，过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：∴αα=αα⋅sin∠ααα=√32，∴α1=12α1α⋅αα=√34α1α2=√34，同理可得：α2=√34α2α12=√34×22=√3,α3=√34α3α22=√34×42=4√3，……；∴由此规律可得：αα=√3⋅22α−4，∴α2021=√3×22×2021−4=24038⋅√3；故答案为：24038⋅√3．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定及三角函数，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3、5 2【解析】【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则进行求解即可．【详解】解：2sin60tan6045cos60︒︒︒︒122=1 32 =-52 =，故答案为：52．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键．4、12 13【解析】【分析】由点P在反比例函数曲线上可知，60512a==，故P点坐标为（12，5），故OH=12，PH=5，有勾股定理可求得OP=13，则cos POH∠=12 13．【详解】∵点P在反比例函数60yx=的图象上∴60512a==故P点坐标为（12，5）故OH=12，PH=5在Rt OHP△中满足勾股定理OP=∴13OP∴12 cos13OHPOHOP∠==．故答案为：12 13．【点睛】本题考查了反比例函数及其性质以及求角的余弦值，由反比例函数性质求得P点坐标，进而求得OH，PH的长度是解题的关键．5、2√21−2√3##−2√3+2√21【解析】【分析】如图，连接AC，OC．证明点N在⊙T上，运动轨迹是αα⌢，过点T作TH⊥AB于H．求出BT，TN，可得结论．【详解】解：如图，连接AC，OC．∵C是半圆的三等分点，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，作△AOC的外接圆⊙T，连接TA＝TC，TN，TB．∵OM⊥PC，∴CM＝PM，∴NC＝NP，∠AOC＝30°，∴∠NPC＝∠NCP＝12∴∠CNM＝60°，∴∠CNO＝120°，∵CNO＋∠OAC＝180°，⌢，∴点N在⊙T上，运动轨迹是αα过点T作TH⊥AB于H．在Rt△ATH中，AH＝OH＝3，∠TAH＝30°，∴TH＝AH∴AT＝TN＝2HN＝在Rt△BHT中，BT＝√αα2+αα2=√(√3)2+92=2√21，∵BN≥BT−TN，∴BN≥2√21−2√3，∴BN的最小值为2√21−2√3．故答案为：2√21−2√3．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题1、-1【解析】【分析】由题意根据乘方、立方根和负指数幂的运算法则以及运用特殊三角函数值和根式的运算进行计算即可.【详解】解：202111(1)()453-︒-123=-+-1231=-+-+1=-【点睛】本题考查含特殊锐角三角函数值的实数运算，熟练掌握乘方、立方根和负指数幂的运算法则以及熟记特殊三角函数值和根式的运算法则是解题的关键.2、【解析】【分析】先去掉绝对值，再计算三角函数值和零指数幂，然后化简算术平方根后可以得解．【详解】解：原式=1212⨯+-=11+=【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数幂的计算和算术平方根的化简和计算是解题关键．3、（1）127,1x x ==-；（2）123,4x x ==；（3）-【解析】【分析】（1）利用配方法求出方程的解；（2）利用因式分解法求出方程的解；（3）利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值计算，化简二次根式后计算出最后的结果．【详解】（1）解：x 2=6x +7方程可化为26916x x -+=即2(3)16x -=∴34x -=±∴127,1x x ==-；（2）解：4(x −3)2=x (x −3)方程可化为：24(3)(3)0x x x ---=∴(3)(312)0x x --=∴30x -=或3120x -=∴123,4x x ==．（3））11()2-−2tan45°+4sin60°−＝2＝2﹣2+＝﹣【点睛】本题考查了实数的运算、解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4、（1）1；（2）13【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值的含义即可完成；（2）根据菱形的性质可得AB=AD，再由已知条件设12DE k=，13AD k=，则由勾股定理可得AE，则由BE=8建立方程即可求得k，从而求得菱形的边长．【详解】解：（1）原式22121)=-⨯+221=-1=.（2）四边形ABCD是菱形，AB AD∴=.DE AB ∵⊥，12 sin13DEAAD==，∴设12DE k=，13AD k=，则5 AE k =，13588∴=-==，BE k k k∴=，1k∴13AD=，即菱形的边长为13.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、负整数指数幂及实数的绝对值，菱形的性质、三角函数及勾股定理，灵活运用这些知识是关键．5、（1）（cm；（2）（）cm．【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥DE于点G，分别利用三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC＝2DE即可求出AC；（2）作AH⊥ED延长线于H，根据AH＝AC·sin45°求出AH即可．【详解】解：（1）过点F作FG⊥DE于点G，∴∠FGD＝∠FGC＝90°，在Rt△DGF中，∵∠CDF＝30°，＝15（cm），∴FG＝FD•sin30°＝30×12∴DG＝FD•cos cm），在Rt△CGF中，∵∠DCF＝45°，∴CG＝FG＝15（cm），∴CD ＝CG +DG ＝cm ），∵CE ：CD ＝1：3，∴CE ＝13CD ＝13×（cm ），∴DE ＝EC +CD ＝cm ），∵DE ＝BC ＝AB ，∴AC ＝AB +BC ＝2DE ＝2×（cm ），即AC 的长度为（cm ．（2）作AH ⊥ED 延长线于H ，在Rt △AHC 中，∵∠ACH ＝45°，∴AH ＝AC •sin 45°＝（2＝（cm ），故答案为：（）．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题．当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形．（3）寻找直角三角形，并解这个三角形．。
第二十八章 锐角三角函数28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦01 基础题知识点1 已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值1．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°.若AB ＝5，BC ＝3，则sin A ＝(A )A .35B .45C .34D .432．(2018·孝感)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，则sin A 等于(A )A .35B .45C .34D .433．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．若2a ＝3c ，则∠A 24．如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为(12，5)，则∠α的正弦值为513．5．分别求出图1，图2中∠A，∠B 的正弦值.图1 图2 解：图1中AC ＝AB 2－BC 2＝62－22＝42， ∴sin A ＝BC AB ＝13，sin B ＝223.图2中AB ＝AC 2＋BC 2＝（2）2＋（6）2＝22， ∴sin A ＝BC AB ＝222＝12，sin B ＝AC AB ＝622＝32.6．(教材P 64练习T 1变式)如图所示，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a∶c＝2∶3，求sin A 和sin B 的值．解：在Rt △ABC 中， ∠C＝90°，a∶c＝2∶3. 设a ＝2k ，c ＝3k(k>0)， ∴b＝c 2－a 2＝5k.∴sin A ＝a c ＝2k 3k ＝23，sin B ＝b c ＝5k 3k ＝53.知识点2 已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长 7．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝(D )A ．4B ．6C ．8D ．108．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．解：在Rt △ABC 中，∠C＝90°， AB ＝15，sin A ＝BC AB ＝45，∴BC＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝152－122＝9. ∴△ABC 的周长为9＋12＋15＝36.易错点 点的位置不确定9．已知，正方形ABCD 的边长为2，点P 是直线CD 上一点．若DP ＝1，则sin ∠BPC 5或1302 中档题10．(教材P 65练习T 2变式)将Rt △ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(A )A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定11．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2BC ，则sin B 的值为(C )A .12B .22 C .32D ．112．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD ＝2，AC ＝3，则sin B 的值为(C )A .23B .43C .34D .3513．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为(A )A .53 B .255 C .52 D .2314．在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，sin ∠ABC＝0.8，则BC ＝6．15．如图，圆O 的直径CD ＝10 cm ，且AB⊥CD，垂足为P ，AB ＝8 cm ，则sin ∠OAP＝35．16．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么sin α517．如图，菱形ABCD 的边长为10 cm ，DE⊥AB，sin A ＝35，求DE 的长和菱形ABCD 的面积．解：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°.在Rt △AED 中，sin A ＝DE AD ，即35＝DE10.解得DE ＝6.∴菱形ABCD 的面积为10×6＝60(cm 2)．18．如图，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，求sin ∠OP A 的值．解：作OC⊥AB 于点C. 根据垂径定理，得 AC ＝BC ＝4.∴CP＝4＋2＝6(cm )． 在Rt △OAC 中，OC ＝52－42＝3(cm )．在Rt △OCP 中，根据勾股定理，得 OP ＝CO 2＋CP 2＝32＋62＝35(cm )． 故sin ∠OPA＝OC PO ＝335＝55.03 综合题19．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC ，则sin ∠ECF＝(D )A .34B .43C .35D .45第2课时 锐角三角函数01 基础题 知识点1 余弦1．(2017·湖州)如图，已知在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是(A )A .35B .45C .34D .432．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝6，cos B ＝23，则BC 的长为(A )A ．4B ．25C .181313 D .1213133．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是(D )A .34B .43C .35D .454．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则AB ＝10，cos A ＝35.知识点2 正切5．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是(C )A .55 B . 5 C .12D ．26．(2018·广州)如图，旗杆高AB ＝8 m ，某一时刻，旗杆影子长BC ＝16 m ，则tan C ＝12．7．已知等腰三角形的腰长为6 cm ，底边长为10 cm 58．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D.若BC ＝2，AB ＝3，求tan ∠BCD.解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°. ∴∠A＋∠ACD＝90°.又∵∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠A.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2－BC 2＝32－22＝ 5. ∴tan A ＝BC AC ＝25＝255.∴tan ∠BCD＝tan A ＝255.知识点3 锐角三角函数9．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是(A )A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512D ．tan B ＝12510．(2018·滨州)在△ABC 中，∠C＝90°.若tan A ＝12，则sin B 511．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC ＝7，BC ＝24.(1)求AB 的长；(2)求sin A ，cos A ，tan A 的值． 解：(1)由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝72＋242＝25.(2)sin A ＝BC AB ＝2425，cos A ＝AC AB ＝725，tan A ＝BC AC ＝247.02 中档题12．(教材P 69习题T 6变式)如图，点A 为∠α边上任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是(C )A .BD BCB .BC AB C .AD AC D .CD AC13．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是(D )A .13B ．3C .24D ．2 2 14．如图，以O 为圆心，半径为1 的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是弧上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是(C )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则tan ∠CAB 的值为(D )A . 3B .55 C .255D ．2 16．如图，∠1的正切值等于13．17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A＝45°，AC 的垂直平分线分别交AB ，AC 于D ，E 两点，连接CD.如果AD ＝1，那么tan18．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，sin A ＝33，求cos A ，tan B 的值．解：∵sin A ＝33， ∴设BC ＝3k ，AB ＝3k(k>0)． 由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝（3k ）2－（3k ）2＝6k. ∴cos A ＝6k 3k ＝63，tan B ＝6k 3k＝ 2.19．如图，在△ABC 中，CD⊥AB，垂足为D.若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．解：在Rt △ACD 中， CD ＝6，tan A ＝32，∴CD AD ＝6AD ＝32， 即AD ＝4.又∵AB＝12，∴BD＝AB －AD ＝8. 在Rt △BCD 中，BC ＝CD 2＋BD 2＝10.∴sin B ＝CD BC ＝610＝35，cos B ＝BD BC ＝810＝45.∴sin B ＋cos B ＝35＋45＝75.03 综合题 20．(2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点A(8，0)，O(0，0)，B(0，6)，点D 是⊙P 上的一动点．当点D 到弦OB 的距离最大时，tan ∠BOD 的值是(B )A ．2B ．3C ．4D ．521．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处．如果AB BC ＝23，那么tan ∠DCF 2提示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD ，∠D＝90°. ∵AB BC ＝23，且由折叠，知CF ＝BC ，∴CD CF ＝23. 设CD ＝2x ，CF ＝3x(x>0)， ∴DF＝CF 2－CD 2＝5x.DF CD ＝5x2x＝52.∴tan∠DCF＝第3课时 特殊角的锐角三角函数值01 基础题知识点1 特殊角的锐角三角函数值 1．tan 60°的值等于(D )A . 12B .33 C .32D . 32．(2018·天津)cos 30°的值等于(B )A .22 B .32C ．1D . 3 3．(2018·白银)计算：2sin 30°＋(－1)2 018－(12)－1＝0． 4．计算：tan 45°＋2cos 45°＝2.5．在等腰△ABC 中，∠C＝90°，则tan A ＝1. 6．(教材P 67练习T 1变式)计算：(1)sin 30°＋cos 45°；解：原式＝12＋22＝1＋22.(2)cos 30°·tan 30°－tan 45°； 解：原式＝32×33－1＝12－1＝－12.(3)sin 260°＋cos 260°； 解：原式＝(32)2＋(12)2＝1. (4)22sin 45°＋sin 60°·cos 45°. 解：原式＝22×22＋32×22＝2＋64.知识点2 由锐角三角函数值求特殊角7．在△ABC 中，若|sin A －12|＋(cos B －12)2＝0，则∠C 的度数是(D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．如果在△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，那么下列最确切的结论是(C ) A ．△A BC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形9．满足tan α＝1的锐角α的度数是45°．知识点3 用计算器计算锐角三角函数值10．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos 55°，按键顺序正确的是(C )A .2 × cos 5 5 ＝B . 2 cos 5 5 0 ＝C . 2 cos 5 5 ＝D .25 5 cos ＝11.已知sin A ＝0.370 6，则锐角A ＝21.75°.(保留两位小数)12．利用计算器求∠A＝18°36′的三个锐角三角函数值．(结果保留四位小数)解：sin A ＝sin 18°36′≈0.319 0， cos A ＝cos 18°36′≈0.947 8， tan A ＝tan 18°36′≈0.336 5.02 中档题13．下列各数中为无理数的是(C )A ．－1B ．3.14C ．cos 30°D ．0 14．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你猜想锐角α的度数应是(D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°15．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是(B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．216．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC ＝2，则点B 的坐标为(C )A ．(2，1)B ．(1，2)C ．(2＋1，1)D ．(1，2＋1)17．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC＝120°，则tan A 的值为(A )A . 3B .33 C .32 D .2218．(2017·烟台)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．19．正比例函数y ＝33x 的图象与x 轴的夹角为α，则α＝30°． 20．计算：(1)8×sin 45°－2 0170＋2－1； 解：原式＝22×22－1＋12＝2－1＋12＝32.(2)|－3|＋2sin 45°＋tan 60°－(－13)－1－12＋(π－3)0.解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1 ＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5.21．已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－3tan (α＋15°)的值．解：解方程x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－3. ∵tan α＞0，∴tan α＝1.∴α＝45°.∴2sin 2α＋cos 2α－3tan (α＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan (45°＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan 60° ＝2×(22)2＋(22)2－3× 3 ＝－32.03 综合题22．如图，在Rt △BCD 中，∠BDC＝30°，延长CD 到点A ，连接AB ，∠A＝15°，求tan 15°的值．(结果保留根号，提示：12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－3)解：∵∠A＝15°，∠BDC＝30°， ∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°. ∴AD＝DB.设BC ＝x ，在Rt △BDC 中，∵∠BDC＝30°， ∴DB＝2BC ＝2x ，DC ＝BD 2－BC 2＝3x. ∴AD＝BD ＝2x ，AC ＝AD ＋DC ＝(2＋3)x.在Rt △ABC 中，tan 15°＝BC AC ＝x（2＋3）x ＝2－ 3.小专题(九) 求锐角三角函数值的常用方法方法1 定义法直接根据定义求三角函数值，首先求出相应边的长度，然后代入三角函数公式计算即可．1．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，若sin A ＝1213.求cos A ，sin B ，tan B 的值．解：∵sin A ＝1213＝BCAB ，∴设AB ＝13x ，BC ＝12x ，由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝（13x ）2－（12x ）2＝5x ，∴cos A ＝BC AB ＝513，sin B ＝cos A ＝513，tan B ＝AC BC ＝512.方法2 参数法若已知两边的比值或一个三角函数值，而不能直接求出三角函数相应边的长，则可采用设参数的方法，先用参数表示出三角函数相应边的长，再根据三角函数公式计算它们的比值，即可得出三角函数值．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D.若BD∶CD＝3∶2，则tan B ＝(D )A .32B .23C .62 D .633．(2018·枣庄)如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE⊥BD，垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是 (A )A .24 B .14 C .13 D .234．(2018·泰安)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，将矩形ABCD 沿BE 折叠，点A 落在A′处．若EA′的延长线恰好过点C ，则sin ∠ABE 105．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点E ，EF⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三等分点(AF ＞BF)．(1)求证：△ACE≌△AFE； (2)求tan ∠CAE 的值．解：(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE＝EF.在Rt △ACE 和Rt △AFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝FE ，AE ＝AE ，∴Rt △ACE≌Rt △AFE(HL )． (2)由(1)可知△ACE≌△AFE， ∴AC＝AF ，CE ＝FE.设BF ＝m ，则AC ＝AF ＝2m ，∴AB＝3m. ∴BC＝AB 2－AC 2＝9m 2－4m 2＝5m.∴在Rt △ABC 中，tan B ＝AC BC ＝2m 5m ＝25.在Rt △EFB 中，EF ＝BF·tan B ＝2m 5，∴CE＝EF ＝2m 5.在Rt △ACE 中，tan ∠CAE＝CE AC ＝2m52m ＝55，∴tan ∠CAE＝55.方法3 等角转换法若要求的角的三角函数值不容易求出，且这个角可以转化为其他角，则可以直接求转化后的角的三角函数值．6．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处．若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB′C′，则tan B′的值为(B )A .12B .13C .14D .247．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD⊥AB，垂足为D ，则tan ∠BCD 的值是34．8．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ＝4，将△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，EF 为折痕．若AE ＝3，则sin ∠BFD 的值为13．9．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF⊥DE 于点F ，过点A 作AG∥CF 交DE 于点G.(1)求证：△DCF≌△ADG；(2)若点E 是AB 的中点，设∠DCF＝α，求sin α的值．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝DC ，∠ADC＝90°， ∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠CFG＝90°. ∵AG∥CF，∴∠AGD＝∠CFG＝90°. ∴∠AGD＝∠CFD.又∵∠ADG＋∠CDE＝∠ADC＝90°， ∠DCF＋∠CDE＝90°， ∴∠ADG＝∠DCF. 在△DCF 和△ADG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DFC＝∠AGD，∠DCF＝∠ADG，DC ＝AD ，∴△DCF≌△ADG(AAS )．(2)设正方形ABCD 的边长为2a. ∵点E 是AB 的中点， ∴AE＝12×2a＝a.在Rt △ADE 中，DE ＝AD 2＋AE 2＝（2a ）2＋a 2＝5a ， ∴sin ∠ADG＝AE DE ＝a 5a ＝55.∵∠ADG＝∠DCF＝α， ∴sin α＝55.方法4 构造直角三角形若要求的三角函数值的角不在直角三角形中，则需要我们根据已知条件构造直角三角形解决．10．在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)和点B(3，0)，则sin ∠AOB 的值等于(A )A .55 B .52 C .32 D .1211．如图，在Rt △ABC 中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是(B )A .312 B .36 C .33 D .3212．如图是一个3×2的正方形网格，△ABC 的顶点都是网格中的格点，则sin ∠BAC 13013．(2017·贵港)如图，点P 在等边△ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin ∠PAP′的值为35．28.2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形01 基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，AB ＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是(C )A ．计算tan A 的值求出B ．计算sin A 的值求出C ．计算cos A 的值求出D ．先根据sin B 求出∠B，再利用90°－∠B 求出2．(2017·日照)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为(B )A .513B .1213C .512D .1253．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，a ＝20，c ＝202，则∠A＝45°，∠B＝45°，b4．(教材P 73例1变式)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，已知BC ＝＝解：∵tan A ＝BC AC ＝2662＝33，∴∠A＝30°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，AB ＝2BC ＝4 6.知识点2 已知一边和一锐角(或锐角的三角函数值)解直角三角形5．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB ＝10，则BC 的长为(B )A ．10tan 50°B ．10cos 50°C ．10sin 50°D .10cos 50°6．如果等腰三角形的底角为30°，腰长为6 cm ，那么这个三角形的面积为(B )A ．4.5 cm 2B ．9 3 cm 2C ．18 3 cm 2D ．36 cm 27．(2017·广州)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝17．8．(教材P 73例2变式)在Rt △ABC 中，∠C＝90°，c ＝83，∠A＝60°，解这个直角三角形．解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝30°.∵sin A ＝ac，∴a＝c·sin A ＝83×sin 60°＝83×32＝12. ∴b＝12c ＝4 3.9．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，∠B＝55°，AC ＝4，解此直角三角形．(结果保留小数点后一位)解：∠A＝90°－∠B＝90°－55°＝35°. ∵tan B ＝ACBC ，∴BC＝ACtan B ＝4tan 55°≈2.8. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB＝ACsin B ＝4sin 55°≈4.9.易错点 忽视钝角三角形而漏解10．在△ABC 中，AB ＝23，AC ＝2, ∠B＝30°，则∠C＝60°或120°，BC ＝2或4．02 中档题11．在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos B ＝22，则BC 边长为(D ) A ．7 B ．8C ．8或17D ．7或1712．(2018·湖州)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC＝13，AC ＝6，则BD 的长是2．13．如图，在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，DE 交AC 于点E ，连接BE.若BE ＝9，BC ＝12，则cos C ＝23．14．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB ＝6，则AE ＝2．15．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt △BDC 中， ∵sin ∠BDC＝BCBD，∴BC＝BD·sin ∠BDC＝102×sin 45°＝10.在Rt △ABC 中，∵sin A ＝BC AB ＝1020＝12，∴∠A＝30°.16．(2018·自贡)如图，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝34，∠B＝30°，求AC 和AB 的长．解：过点C 作CD ⊥AB 交AB 于点D. ∵∠B＝30°，BC ＝12， ∴CD＝6.在Rt △BDC 中，BD ＝BC 2－CD 2＝6 3.∵tan A ＝CD AD ＝34，∴AD＝8.∴AB＝AD ＋BD ＝8＋6 3.在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝10.17．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝6.求：(1)sin C ；(2)AC 边上的高BD.解：(1)作AE⊥BC 交BC 于点E. ∵AB＝AC ，∴BE＝EC ＝3.在Rt △AEC 中，AE ＝92－32＝62， ∴sin C ＝AE AC ＝629＝223.(2)在Rt △BDC 中，sin C ＝BDBC，∴BD 6＝223.∴BD＝4 2.03 综合题18．探究：已知，如图1，在△ABC 中，∠A＝α(0°＜α＜90°)，AB ＝c ，AC ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示△ABC 的面积；图1图2应用：如图2，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交成的锐角为α，若AC ＝a ，BD ＝b ，试用含b ，c ，α的式子表示▱ABCD 的面积．解：探究：过点B 作BD⊥AC，垂足为D. ∵AB＝c ，∠A＝α，∴BD＝c·sin α.∴S △ABC ＝12AC·BD＝12bc sin α.应用：过点C 作CE⊥DO 于点E. ∴sin α＝ECCO.∵在▱ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ， ∴C O ＝12a ，DO ＝12b.∴S △BCD ＝12CE·BD＝12×12a sin α×b＝14ab sin α.∴S ▱ABCD ＝2S △BCD ＝12ab sin α.28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点1 利用解直角三角形解决简单问题1．如图，已知AC ＝100 m ，∠B＝30°，则B ，C 两地之间的距离为(A )A ．100 3 mB ．50 2 mC ．50 3 mD .10033m2．(2018·宜昌)如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于(C )A ．100sin 35°米B ．100sin 55°米C ．100tan 35°米D ．100tan 55°米3．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC ＝3米，cos ∠BAC＝34，则梯子AB 的长度为4米．4．如图，某航天飞船在地球表面P 点的正上方A 处，从A 处观测到地球上的最远点Q ，若∠QAP＝α，地球半径为R ，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP ＝Rsin α－R ．5．(2017·台州)如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO 为1.2米，当车门打开角度∠AOB 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin 40°≈0.64；cos 40°≈0.77；tan 40°≈0.84)解：过点A 作AC⊥OB，垂足为点C ，在Rt △ACO 中，∵∠AOC＝40°，AO ＝1.2米， ∴AC＝sin ∠AOC·AO≈0.64×1.2＝0.768(米)．∵汽车靠墙一侧OB 与墙MN 平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．6．(教材P 78习题T 3变式)如图，飞机在空中A 处探测到它的正下方地面上目标C ，此时飞行高度AC ＝1 200米，从飞机上看地面指挥台B 的俯角α的正切值为34，则飞机与指挥台之间AB 的距离为(D )A ．1 200米B ．1 600米C ．1 800米D ．2 000米7．(教材P 75例4变式)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C 处，测得正前方旗杆顶部A 点的仰角为37°，旗杆底部B 点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)解：在Rt △BCD 中，BD ＝9米，∠BCD＝45°，则 BD ＝CD ＝9米， ∴AD＝CD·tan 37°＝6.75米． ∴AB＝AD ＋BD ＝15.75米， 整个过程中国旗上升高度是： 15．75－2.25＝13.5(米)， ∵耗时45秒，∴上升速度为13.545＝0.3(米/秒)．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．02 中档题8．(2018·重庆A 卷)如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E 点处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡面CD 的坡度i ＝1∶0.75，坡长CD ＝2米．若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1米，则旗杆AB 的高度约为(参考数据：sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.6)(B )A ．12.6米B ．13.1米C ．14.7米D ．16.3米9．(2018·黄石)如图，无人机在空中C 处测得地面A ，B 两点的俯角分别为60°，45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A ，D ，E 在同一水平直线上，那么A ，B 两点间的距离是(结果保留根号)10．如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB 的高度，一测量人员在该建筑物附近C 处，测得建则建筑物AB 的高度约为137米．(注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)11．(2018·菏泽)2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A 处的俯角为30°，B 处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200 m ，点A ，B ，D 在同一条水平直线上，则A ，B 两点间的距离为多少米？(结果保留根号)解：由图可知，∠ECA＝30°，∠ECB＝45°， ∴∠ACD＝60°，∠BCD＝45°. 在Rt △BCD 中，DC ＝BD ＝200 m . 在Rt △ACD 中，tan ∠ACD＝ADDC ，∵∠ACD＝60°，DC ＝200 m ，∴AD＝tan 60°·DC＝200 3 m . ∴AB＝AD －BD ＝(2003－200)m . 12．(2018·内江)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A＝120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tan α＝6，tan β＝34.求灯杆AB 的长度．解：设AB ＝x ，由题意得BG ＝x 2，AG ＝32x.∴BF＝x 2＋11，DF ＝BF tan α，EF ＝BFtan β.∵BE＝18，∴x 2＋116＋x2＋1134＝18.∴x＝2.答：灯杆AB 的长度为2米．13．如图，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A 到最高点B 的距离为103米，A ，B 两点正前方有垂直于地面的旗杆DE ，在A ，B 两点处用仪器测量旗杆顶端E 的仰角分别为60°和15°(仰角即视线与水平线的夹角)．(1)求AE 的长；(2)已知旗杆上有一面旗在离地面1米的F 点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？解：(1)∵BG∥CD，∴∠GBA＝∠BAC＝30°. 又∠GBE＝15°，∴∠ABE＝45°. ∵∠EAD＝60°，∴∠BAE ＝ 90°.∴∠AE B ＝∠ABE＝45°.∴AB＝AE ＝103米． 答AE 的长为103米．(2)在Rt △ADE 中，DE ＝AE sin 60°＝103×32＝15(米)，又∵DF＝1米， ∴FE＝14米．∴时间t ＝140.5＝28(秒)．答：这面旗到达旗杆顶端需要28秒．第2课时 与方位角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点 与方位角有关的应用问题1．如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A 处)在距离北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是(A )A ．250米B ．2503米C .50033米 D ．5002米 2．如图，某人从O 点沿北偏东30°的方向走了20米到达A 点，B 在O 点的正东方，且在A 的正南方，则此时AB间的距离是(结果保留根号)3．如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为11海里．(结果取整数，参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)4．如图，海面上B ，C 两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛，此时测得B 岛在C 岛的南偏东43°.求A ，B 两岛之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据：sin 43°≈0.68，cos 43°≈0.73，tan 43°≈0.93)解：由题意，得AC ＝18×2＝36(海里)，∠ACB＝43°. 在Rt △ABC 中，∵∠A＝90°，∴AB＝AC·tan ∠ACB≈36×0.93≈33.5(海里)， 答A ，B 两岛之间的距离约为33.5海里．5．钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以30海里/时的速度向正北方向航行，海监船在A 处时，测得钓鱼岛C 在该船的北偏东30°方向上，航行半小时后，该船到达点B 处，发现此时钓鱼岛C 与该船距离最短．(1)请在图中作出该船在点B 处的位置；(2)求钓鱼岛C 到B 处的距离．(结果保留根号)解：(1)如图所示．(2)AB ＝30×0.5＝15(海里)， 由题意知CB⊥AB，在Rt △ABC 中，∠BAC＝30°，tan ∠BAC＝BC AB，∴BC＝AB·tan ∠BAC＝AB·tan 30°＝15×33＝53(海里)． 答：钓鱼岛C 到B 处的距离为53海里．6．(教材P 77练习T 1变式)(2018·成都)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B 处，测得小岛C 位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)解：由题意可知：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC ＝80海里． 在Rt △ACD 中，cos ∠ACD＝CD AC ，∴0.34＝CD80，∴CD＝27.2海里．在Rt △BCD 中，tan ∠BCD＝BD CD ，∴0.75＝BD27.2，∴BD＝20.4海里．答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里．02 中档题7．某人从A 处出发沿北偏东30°方向走了100米到达B 处，再沿北偏西60°方向走了100米到达C 处，则他从C处回到A 处至少要走8．南海是我国的南大门．如图，某天我国一艘海监执法船在南海海域进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C 处成功拦截不明船只．问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数，参考数据：cos 75°≈0.258 8，sin 75°≈0.965 9，tan 75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414)解：过点B 作BD⊥AC，垂足为D.由题意知∠BAD＝45°，∠DBC＝75°. 在△ABD 中，AD ＝cos 45°AB＝22×20＝102(海里)， ∴BD＝AD ＝102海里．在△BCD 中，DC ＝BD·tan 75°≈53海里． ∴AC＝AD ＋CD≈67海里．答：海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了约67海里．9．如图，在东西方向的海岸线MN 上有A ，B 两艘船均收到已触礁搁浅的船P 的求救信号，已知船P 在船A 的北偏东58°方向，船P 在船B 的北偏西35°方向，AP 的距离为30海里．(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，sin 55°≈0.82，cos 55°≈0.57)(1)求船P 到海岸线MN 的距离；(精确到0.1海里)(2)若船A ，船B 分别以20海里/时，15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P 处．解：(1)过点P 作PD⊥AB 于点D.由题意，得∠PAB ＝90°－58°＝32°，∠PBD＝90°－35°＝55°，AP ＝30， 在Rt △ADP 中，sin ∠PAD＝PDAP，得PD ＝AP·sin ∠PAD＝30×sin32°≈15.9. 答：船P 到海岸线MN 的距离约为15.9海里． (2)在Rt△BDP 中，sin∠PBD ＝PD BP， ∴BP ＝PDsin∠PBD ＝15.9sin55°≈19.4，A 船需要的时间为3020＝1.5(小时)， B 船需要的时间为19.415≈1.3(小时)． ∵1.5＞1.3，∴船B 先到达船P 处．03 综合题10．(2018·青岛)某区域平面示意图如图，点O 在河的一侧，AC 和BC 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A 处测得点O 位于北偏东45°，乙勘测员在B 处测得点O 位于南偏西73.7°，测得AC ＝840 m ，BC ＝500 m ．请求出点O 到BC 的距离．(参考数据：sin 73.7°≈2425，cos 73.7°≈725，tan 73.7°≈247)解：由O 点向BC ，AC 作垂线，垂足为D ，E.则四边形OECD 为矩形． 设OD 长为x.在Rt △ODB 中，∠ODB＝90°， ∵tan ∠OBD＝ODBD .∴BD＝OD tan ∠OBD ＝724x ，CD ＝500－724x.AE ＝AC －EC ＝840－x.又∵∠OAC＝45°，∠OEA＝90°，∴OE＝AE ＝840－x. ∴840－x ＝500－724x.解得x ＝480.答：点O 到BC 的距离为480米．第3课时 与坡度、坡角有关的解直角三角形应用题01 基础题知识点 与坡度、坡角有关的应用问题1．某堤的横断面如图，堤高BC 是5米，迎水斜坡AB 的长是13米，那么斜坡AB 的坡度是(C )A ．1∶3B ．1∶2.6C ．1∶2.4D ．1∶22．如图，修建抽水站时，沿着坡度为i ＝1∶6的斜坡铺设管道，下列等式成立的是(C )A ．sin α＝16B ．cos α＝16C ．tan α＝16D ．以上都不对3．(2018·枣庄)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，则大厅两层之间的高度为6.18米．(结果保留两位小数)【参考数据；sin 31°＝0.515，cos 31°＝0.857，tan 31°＝0.601】4．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，小辰上升了100米．5．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面的高度h ＝2米，则这个土坡的坡角为30°．6．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC 的长．解：在Rt △ADC 中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC ＝13，由AD 2＋DC 2＝AC 2，得 AD 2＋(2.4AD)2＝132.∴AD＝±5(负值不合题意，舍去)． ∴DC＝12.在Rt △ABD 中，∵AD∶BD＝1∶1.8， ∴BD＝5×1.8＝9.∴BC＝DC －BD ＝12－9＝3.7．(2017·娄底)数学“综合与实践”课中，老师带领同学们来到娄底市郊区，测算如图所示的仙女峰的高度，李红盛同学利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A 处测得山顶B 的仰角∠BAC 为38.7°，再由A 沿水平方向前进377米到达山脚C 处，测得山坡BC 的坡度为1∶0.6，请你求出仙女峰的高度(参考数据：tan 38.7°≈0.8)解：过点B 作BD⊥AC 于点D ， ∵山坡BC 的坡度为1∶0.6， ∴BD CD ＝10.6. 则CD ＝0.6BD.∵∠B AC ＝38.7°， ∴tan 38.7°＝BD AD ＝BDAC ＋CD .∵AC＝377米，tan 38.7°≈0.8， ∴BD377＋0.6BD≈0.8.解得BD ＝580.答：仙女峰的高度约为580米．8．(2018·安顺)如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面AC 的倾斜角∠CAB＝45°，在距A 点10米处有一建筑物HQ ，为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°.若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：由题意，得AH ＝10米，BC ＝10米， 在Rt △ABC 中，∠CAB＝45°， ∴AB＝BC ＝10.在Rt △DBC 中，∠CDB＝30°， ∴DB＝BCtan ∠CDB＝10 3.∴DH＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)． ∵2.7＜3米，∴该建筑物需要拆除．02 中档题9．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是.10．今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A 点出发沿斜坡AB 到达B 点，再从B 点沿斜坡BC 到达山顶C 点，路线如图所示．斜坡AB 的长为1 040米，斜坡BC 的长为400米，在C 点测得B 点的俯角为30°.已知A 点海拔121米，C 点海拔721米．(1)求B 点的海拔； (2)求斜坡AB 的坡度．解：(1)过C 作CF⊥AM，F 为垂足，过B 点作BE⊥AM，BD⊥CF，E ，D 为垂足． ∵在C 点测得B 点的俯角为30°， ∴∠CBD＝30°，又BC ＝400米，∴CD＝400×sin 30°＝400×0.5＝200(米)． ∴B 点的海拔为721－200＝521(米)． (2)∵BE＝DF ＝521－121＝400(米)， 又∵AB＝1 040米，∴AE＝AB 2－BE 2＝960米．∴斜坡AB 的坡度为400∶960＝1∶2.4.11．如图，天星山山脚下西端A 处与东端B 处相距800(1＋3)米，小军和小明同学分别从A 处和B 处向山顶匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22米/秒．若小明与小军同时到达山顶C 处，则小明的行走速度是多少？解：过点C 作CD⊥AB 于点D ，设CD ＝x 米，小明的行走速度为v 米/秒， 则AC ＝CD sin 45°＝2x ，BC ＝CDsin 30°＝2x.∵小明与小军同时到达山顶C 处， ∴AC22＝BC v ，即2x 22＝2x v .又∵x≠0，∴v＝1.答：小明的行走速度是1米/秒．03 综合题 12．(2018·连云港)如图1，水坝的横截面是梯形ABCD ，∠ABC＝37°，坝顶DC ＝3 m ，背水坡AD 的坡度i(即tan ∠DAB)为1∶0.5，坝底AB ＝14 m .(1)求坝高；(2)如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE ＝2DF ，EF⊥BF，求DF 的长．(参考数据：sin 37°≈35，cos 37°≈45，tan 37°≈34)解：(1)过点D 作DM⊥AB，垂足为M ，过点C 作CN⊥AB，垂足为N ，∵背水坡AD 的坡度i 为1∶0.5，∴tan ∠DAB＝2. 设AM ＝x ，则DM ＝2x.又∵四边形DMNC 是矩形，∴DM＝NC ＝2x. 在Rt △BNC 中，tan ∠ABC＝tan 37°＝CN BN ＝2x BN ＝34，∴BN＝83x.由x ＋3＋83x ＝14，得x ＝3，∴DM＝6.即坝高为6 m .(2)过点F 作FH⊥AB，垂足为H.过点D 作DM⊥AB，垂足为M. 设DF ＝y ，则AE ＝2y.EH ＝3＋2y －y ＝3＋y ，BH ＝14＋2y －(3＋y)＝11＋y. 由FH⊥BE，EF⊥BF，得△EFH∽△FBH. ∴HF HB ＝EH FH ，即611＋y ＝3＋y 6. 62＝(3＋y)(11＋y)，解得y ＝－7＋213或y ＝－7－213(舍)． ∴DF＝213－7.答：DF 的长为(213－7)米．小专题(十) 构造基本图形解直角三角形的实际应用解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．类型1构造单一直角三角形解决实际问题AC＝AE－CE＝AE－BD1．(2017·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度为15.3米(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.809 0，cos54°≈0.587 8，tan54°≈1.376 4)．2．(2018·台州)图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD 的高度AH为3.4 m．当起重臂AC长度为9 m，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度．(结果保留小数点后一位；参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)解：过点A作BD的平行线，过点C作BD的垂线，交点为点E，F.∵∠HAC＝118°，∠HAE＝90°，∴∠CAE＝28°.∵AC＝9 m，∴CE＝sin28°·AC≈4.2 m.∴CF＝CE＋EF＝4.2＋3.4＝7.6(m)．答：操作平台C离地面的高度为7.6 m.类型2背靠背三角形3．(2018·咸宁)如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110 m ，那么该建筑物的高度BC 约为300 m ．(结果保留整数，3≈1.73)4．(2017·抚顺)如图，某城市的电视塔AB 坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB 的高度，在点M 处测得塔尖点A 的仰角∠AMB 为22.5°，沿射线MB 方向前进200米到达湖边点N 处，测得塔尖点A 在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB 为45°，则电视塔AB 的高度为结果保留根号)．5．如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC.(不考虑其他因素，结果精确到1 cm ，参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC40≈0.97，解得OC≈38.8.在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ＝38.8BC ≈1.733，解得BC≈67.答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67 cm .类型3 母子三角形。
