高一数学新学期同步学案：《函数》人教B版必修

学案八 函数的表示方法一、三维目标：知识与技能：进一步理解函数的概念；使学生掌握函数的三种表示方法;使学生掌握分段函数及其简单应用。

过程与方法：通过实例，使学生会根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系，并初步感知处理函数问题的方法。

情感态度与价值观：通过学习，让学生体会到生活离不开数学，激发学习兴趣，培养学生学数学用数学的意识。

二、学习重、难点：重点：函数的表示方法，根据具体问题选择合适的方法来表示两个变量之间的函数关系。

难点：函数三种表示方法的选择及分段函数的表达和性质。

学法指导：在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P38--P43，通过对教材中的例题的研究，完成学习目标 。

学习过程：1、函数的三种表示方法（1）列表法：__________________________________________________。

举例： 如：人口普查表（见课本P38） 优点：___________________________________________________________________. （2）解析法：___________________________________________________________。

举例：___________________________________________________________。

优点： ⎩⎨⎧函数值；意一个自变量所对应的可以通过解析式求出任量间的关系；简明，全面地概括了变（3）图象法：__________________________________________________________。

优点：___________________________________________________________。

说出函数y=f(x)与其图像间的关系：__________________________________________ ___________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________. 这是“数形结合”思想和方法的依据。

必修1函数复习 学案知识点解读：1、函数的定义、表示法：2、单调性：会用定义判断或证明函数的单调性 3、奇偶性：（1）奇函数在x=0时有定义，则必有f （0）=0 （2）偶函数f （x ）必有f （-x ）=f （x ）= f （︱x ︱） （3）会用定义证明、判断函数的奇偶性4、反函数：基础达标：1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n+2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2（B ）3（C ）4（D ）52、函数xx x f -+=11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（A ）B B A = （B ）B A ⊆ （C ）B B A =（D ）B A =3、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(-(B))4,1(--(C))1,4(--(D))4,1(-4、已知函数)(x f y =的反函数)(1x f-的定义域为]1,0[，那么函数))((R m m x f y ∈+=的值域是（A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R5、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤<a （D ）03<≤-a6、已知二次函数c x b a ax x f +++=)()(22的图像开口向上，且1)0(=f ，0)1(=f ，则实数b 取值范围是 (A) ]43,(--∞ (B) )0,43[-(C) ),0[+∞ (D) )1,(--∞参考答案1.C2.B3.B4.C5.D6.D能力提高：1．设()124+-=x x x f ，则()=-01f________2．函数),(1R x mx y ∈+=与)(2R n n x y ∈-=互为反函数的充要条件是___________3．若点)41,2(既在函数bax y +=2的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =__________________，b =_________________。

3.1　函数的概念与性质 3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念课程标准在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　函数的概念1．函数的概念一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域和值域函数y＝f(x)中x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域．状元随笔　对函数概念的3点说明(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．知识点二　同一函数一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．知识点三　常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数a<0基础自测1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是( )A.A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方B.A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D.A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积2．函数f(x)＝√x−1x−2的定义域为( )A.(1，＋∞) B．[1，＋∞)C.[1，2) D．[1，2)∪(2，+∞) 3．下列各组函数表示同一函数的是( )A.y＝x2−9x−3与y＝x＋3B.y＝√x2－1与y＝x－1C.y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D.y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z4．若函数f(x)＝√x+6x−1，求f(4)＝________．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　函数的定义[经典例题]例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；状元随笔　从本题可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．(2)A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，对应关系如图所示；状元随笔　判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．(3)A＝R，B＝{y|y＞0}，f：x→y＝|x|；(4)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.方法归纳(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围．④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意．(2)关键是否符合函数定义．①x→3x，x≠0，x∈R；②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.(2)下列对应是否是函数？题型2　求函数的定义域[教材P87例题1]例2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1√(2)g(x)＝1x+1x+2.方法归纳求函数的定义域(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．跟踪训练2　求下列函数的定义域：(1)f(x)＝6x2−3x+2；(2)f(x)＝0√||(3)f(x)＝√2x+3－√1 x .(1)分母不为0(2){偶次根式被开方数≥0(x+1)0底数不为0分母不为0 (3){偶次根式被开方数≥0分母不为0题型3　同一函数例3　下面各组函数中为相同函数的是( )A ．f (x )＝√(x −1)2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝√x 2−1，g (x )＝√x +1·√x−1C ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 0与g (x )＝1x 0方法归纳判断同一函数的三个步骤和两个注意点(1)判断同一函数的三个步骤(2)两个注意点：①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．(1)f (x )＝x 2−xx ，g (x )＝x －1；(2)f(x)＝√xx，g(x)√(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；(4)f(x)＝|x|，g(x)＝√x2.状元随笔　判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．题型4　求函数的值域[经典例题]状元随笔　求函数值域的注意事项①数形结合求值域一定要注意函数的定义域；②值域一定要用集合或区间来表示．例4　求下列函数的值域．(1)y＝3－4x，x∈(－1，3]；(2)f(x)＝1x，x∈[3，5]；(3)y＝2xx+1；(4)y＝x2－4x＋5，x∈{1，2，3}；(5)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；(6)y＝2x－√x−1；(7)f(x)＝1x2+2.状元随笔　(1)用不等式的性质先由x∈(－1，3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．(3)将自变量x＝1，2，3代入解析式求值，即可得值域．(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域．方法归纳求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域．如函数y＝11+x2的值域为{y|0<y≤1}．(2)配方法：求形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c的函数的值域可用配方法，但要注意f(x)的取值范围．如求函数y＝x－2√x＋3的值域，因为y＝(√x－1)2＋2≥2，故所求值域为{y|y≥2}．对于形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数，尤其要注意在给定区间上二次函数最值的求法．(3)分离常数法：此方法主要是针对分子分母同次的分式，即将分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：形如y＝ax＋b＋√cx+d的函数常用换元法求值域，即先令t＝√cx+d，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域．注意：分离常数法的目的是将分式函数变为反比例函数类，换元法的目的是将函数变为二次函数类．即将函数解析式变为已经熟悉的简单函数类型求值域．(5)反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式求解．(6)中间变量法：根据函数解析式确定一个已知范围的中间变量(如x2)，用y表示出该中间变量，根据中间变量的取值范围转化为关于y的不等式求解．跟踪训练4　求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；(2)y＝√x＋1；(3)y＝1−x21+x2；先分离再求值域(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；配方法求值域(5)f(x)＝5x+4 x−1.第三章　函数3．1　函数的概念与性质3．1.1　函数及其表示方法第1课时　函数的概念新知初探·自主学习[教材要点]知识点三{x|x≠0}　R　{y|y≤4ac−b24a}[基础自测]1．解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.答案：A2．解析：使函数f(x)＝√x−1x−2有意义，则{x−1≥0，x−2≠0，即x≥1，且x≠2.所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.答案：D3．解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．答案：C4．解析：f(4)＝√4+64−1＝2＋2＝4.答案：4课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)(4)对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．跟踪训练1　解析：(1)图号正误原因①×x＝2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性②√同时满足任意性与唯一性③×x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性④×x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性解析：(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的3x与之对应，符合函数定义．②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．答案：(1)B　(2)①是函数②不是函数例2　【解析】　(1)因为函数有意义当且仅当{x+1≥0，√x+1≠0，解得x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．(2)因为函数有意义当且仅当{x≠0，x+2≠0，解得x≠0且x≠－2，因此函数的定义域为(－∞，－2)∪(−2，0)∪(0，+∞)．跟踪训练2　解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，即x≠1且x≠2，故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．(2)要使函数有意义，则{x+1≠0，|x|−x>0，解得x<0且x≠－1.所以定义域为(－∞，－1)∪(−1，0)．(3)要使函数有意义，则{2x +3≥0，2−x >0，x≠0，解得－32≤x <2，且x ≠0.故定义域为[−32，0)∪(0，2)．例3　【解析】　函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A ，f (x )＝|x －1|与g (x )对应关系不同，故排除选项A ，选项B 、C 中两函数的定义域不同，排除选项B 、C ，故选D.【答案】　D跟踪训练3　解析：所以函数y ＝3－4x ，x ∈(－1，3]的值域是[－9，7)．(2)因为f (x )＝1x 在[3，5]上单调递减，所以其值域为[15，13].(3)因为y ＝2x x +1＝2(x +1)−2x +1＝2－2x +1≠2，所以函数y ＝2x x +1的值域为{y |y ∈R 且y ≠2}． (4)函数的定义域为{1，2，3}，当x ＝1时，y ＝12－4×1＋5＝2，当x ＝2时，y ＝22－4×2＋5＝1，当x ＝3时，y ＝32－4×3＋5＝2，所以这个函数的值域为{1，2}，(5)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0，3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2，6)．(6)设t ＝√x −1，则x ＝t 2＋1，且t ≥0，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【解析】(7)方法一　因为x 2＋2≥2，所以0＜1x 2+2≤12，所以f (x )的值域为(0，12].方法二　设t 是所求值域中的元素，则关于x 的方程1x 2+2＝t 应该有解，即x 2＝1t －2应该有解，所以1t －2≥0，即1−2t t ≥0，解得0＜t ≤12，所以所求值域为(0，12].跟踪训练4　解析：(1)将x ＝1，2，3，4，5分别代入y ＝2x ＋1，计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}．(2)因为√x ≥0，所以√x ＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(3)因为y ＝1−x 21+x 2＝－1＋21+x 2，所以函数的定义域为R ，因为x 2＋1≥1，所以0<21+x2≤2.所以y ∈(－1，1].所以所求函数的值域为(－1，1].(4)y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.因为－5≤x≤－2，所以－4≤x＋1≤－1.所以1≤(x＋1)2≤16.所以－12≤4－(x＋1)2≤3.所以所求函数的值域为[－12，3].解析：(5)函数f(x)＝5x+4x−1＝5(x−1)+9x−1＝5＋9x−1，因为x≠1，所以9x−1≠0，所以f(x)≠5，所以函数f(x)＝5x+4x−1的值域为(－∞，5)∪(5，+∞)．。

2.1.2 函数的表示方法(二)自主学习学习目标了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题．自学导引 分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的______________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的________；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应________________________．对点讲练知识点一 分段函数的求值问题例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2 (x ≤－1)，x 2(－1<x <2)，2x (x ≥2).(1)求f [f (3)]的值；(2)若f (a )＝3，求a 的值．规律方法 对于f (a )，究竟用分段函数中的哪一个对应关系，与a 所在范围有关，因此要对a 进行讨论．由此我们可以看到：(1)分段函数的函数值要分段去求；(2)分类讨论不是随意的，它是根据解题过程中的需要而产生的．变式迁移1 设f (x )＝⎩⎨⎧12x －1 (x ≥0)，1x(x <0)，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是________．知识点二 分段函数的图象及应用例2 已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象；(3)写出该函数的值域．规律方法 对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．变式迁移2 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)－2x ＋2，x ∈[12，1]，在平面直角坐标系中作出y ＝f (x )的图象，并写出值域．知识点三 分段函数的简单应用例3 某市的空调公共汽车的票价制定的规则是： (1)乘坐5 km 以内，票价2元；(2)5 km 以上(含5 km)，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站之间相距约 1 km ，如果在某条路线上沿途(包括起点站和终点站)设21个汽车站，请根据题意写出这条路线的票价与里程之间的函数解析式，并作出函数的图象．规律方法 该类问题属于函数建模问题，解答此类问题的关键在于先将实际问题数学模型化，然后结合题设选择合适的函数类型去拟合，解答过程中要密切关注实际问题中的隐含条件，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，画图象时，注意每段定义域端点的虚实．变式迁移3 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x 元与通话时间t (分钟)的函数解析式，并画出t ∈(0,7]的图象．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．含有绝对值的函数解析式要化为分段函数处理．3．画分段函数的图象要逐段画出，求分段函数的值要按各段的区间范围代入自变量求值.课时作业一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2， x ≤1，x 2＋x －2， x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 (x ≥6)f (x ＋2) (x <6)(x ∈N )，那么f (3)等于( )A ．2B ．3C ．4D ．53．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2(x ≥0)x (x <0)，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x 2 (x <0)，则当x <0时，f [g (x )]为( ) A ．－x B ．－x 2 C ．x D ．x 24．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2(0≤x ≤1)2 (1<x <2)x ＋1 (x ≥2)的值域是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)二、填空题5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x <0)π (x ＝0)x ＋1 (x >0)，则f (f (f (－1)))的值是__________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是__________．三、解答题7．若[x ]表示不超过x 的最大整数，画出y ＝[x ] (－3≤x ≤3)的图象．8. 已知函数y ＝f (x )的图象是由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ∈[0，1]，x －3， x ∉[0，1]，求使等式f [f (x )]＝1成立的实数x 构成的集合．2．1.2 函数的表示方法(二) 答案自学导引(1)对应法则 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 对点讲练例1 解 (1)∵－1<3<2，∴f (3)＝(3)2＝3. 而3≥2，∴f [f (3)]＝f (3)＝2×3＝6.(2)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，又f (a )＝3， ∴a ＝1(舍去)；当－1<a <2时，f (a )＝a 2，又f (a )＝3， ∴a ＝±3，其中负值舍去，∴a ＝3； 当a ≥2时，f (a )＝2a ，又f (a )＝3，∴a ＝32(舍去)．综上所述，a ＝ 3.变式迁移1 a <－1解析 当a ≥0时，f (a )＝12a －1，解12a －1>a ，得a <－2与a ≥0矛盾，当a <0时，f (a )＝1a ，解1a>a ，得a <－1.∴a <－1. 例2 解 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0≤x ≤2)1－x (－2<x <0).(2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)． 变式迁移2 解 如图所示，函数y ＝f (x )的图象是由f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，x ∈[0，12)的图象(抛物线的一段)及f 2(x )＝－2x ＋2，x ∈[12，1]的图象(一条线段)组成的，其值域为[0,1]．例3 解 设票价为y 元，里程为x km ， 由题意可知0<x ≤20.所以y 关于x 的函数为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (0<x <5)3 (5≤x <10)4 (10≤x <15)5 (15≤x ≤20)其图象如图所示．变式迁移3 解 由题意可知，变量t ∈(0，＋∞)，故x 与t 的函数关系的表达式为 x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2 t ∈(0，3]0.2(n －1) t ∈(n ，n ＋1](n ∈N ，n ≥3)， 其图象如图所示．课时作业1．A [f (2)＝22＋2－2＝4，1f (2)＝14， f (14)＝1－(14)2＝1516.故选A.] 2．A [由题意知f (3)＝f (3＋2) ＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.]3．B [当x <0时，g (x )＝－x 2<0，∴f [g (x )]＝－x 2.] 4．D [画图象可得．] 5．π＋1解析 f (－1)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋1 ∴f (f (f (－1)))＝f (f (0))＝f (π)＝π＋1. 6．{x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.7．解 作出y ＝[x ]的图象如下图所示．8．解 根据图象，设左侧射线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b (x <1)． ∵点(1,1)、(0,2)在射线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝1，b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝2. ∴左侧射线对应的函数解析式为 y ＝－x ＋2 (x <1)．同理，x >3时，函数的解析式为y ＝x －2 (x >3)． 又抛物线对应的二次函数的解析式为 y ＝a (x －2)2＋2 (1≤x ≤3，a <0)，∵点(1,1)在抛物线上，∴a ＋2＝1，a ＝－1， ∴当1≤x ≤3时，函数的解析式为 y ＝－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)． 综上所述，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)，－x 2＋4x －2 (1≤x ≤3)，x －2 (x >3).9．解 当x ∈[0,1]时，恒有f [f (x )]＝f (1)＝1 当x ∉[0,1]时，f [f (x )]＝f (x －3)若0≤x －3≤1，即3≤x ≤4时，f (x －3)＝1 若x －3∉[0,1]，f (x －3)＝(x －3)－3 令其值为1，即(x －3)－3＝1，∴x ＝7. 综合知：x 的值构成的集合为 {x |0≤x ≤1或3≤x ≤4或x ＝7}．。

2.2一次函数和二次函数 2.2.1一次函数的性质与图象[学习目标]1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题.[知识链接]函数y ＝2x ＋1的自变量为x ，它的次数为1；函数y ＝1x 称为反比例函数，函数y ＝2x 为正比例函数. [预习导引]一次函数的性质与图象要点一一次函数的概念及性质例1已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，只需且必须2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R .(3)据题意，2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.规律方法解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解.跟踪演练1函数①y ＝－2x ，②y ＝15－6x ，③c ＝7t －35，④y ＝1x ＋2，⑤y ＝13x ，⑥y ＝x 2x 中，正比例函数是________，一次函数是________. 答案①⑤①②③⑤解析正比例函数是y ＝－2x ，y ＝13x ；一次函数是y ＝－2x ，y ＝15－6x ，c ＝7t －35，y ＝13x .需要特别说明的是，尽管函数y ＝x 2x ＝x (x ≠0)，但是它既不是正比例函数，也不是一次函数.要点二一次函数的图象与应用例2画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围.解因函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴相交于点A (0,1)，与x 轴交于点B (－12，0)，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象.如图所示. (1)直线AB 与x 轴的交点为B (－12，0)，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12. (2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是{x |x ≥－12}.(3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.规律方法直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集.跟踪演练2已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围.解由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1.下列函数中一次函数的个数为() ①y ＝－x 7；②y ＝7x ；③y ＝3；④y ＝1＋8x .A.1B.2C.3D.4 答案B解析①④是一次函数，②是反比例函数，③是常数函数. 2.一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＜0)的图象不经过() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案A解析直线y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＜0)经过点(0，b )，在y 轴的负半轴上，且y 是x 的减函数. 3.已知直线y ＝kx ＋b 过点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，若k ＜0且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是()A.y 1＞y 2B.y 1＜y 2C.y 1＝y 2D.不能确定 答案A解析∵k ＜0，∴函数在R 上单调递减，∵x 1＜x 2，则y 1＞y 2.4.下述函数中，在(－∞，0]内为增函数的是() A.y ＝x 2－2B.y ＝3xC.y ＝1＋2xD.y ＝－(x ＋2)2 答案C解析∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.5.当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数.答案1解析由2m －1＝1知，m ＝1时，函数为y ＝2x ＋4x －5＝6x －5为一次函数.1.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与y 轴的交点为(0，b )，当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点为原点.2.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)具有单调性，当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数为减函数.。

2.2 一次函数和二次函数1．一次函数的性质与图象 (1)一次函数的概念函数y ＝kx ＋b (k ≠0)叫做一次函数，又叫做线性函数；它的定义域为R ，值域为R . 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率，b 叫做该直线在y 轴上的截距．对一次函数的概念要注意以下三点：①k ≠0.若k ＝0，则函数就成为常数函数．②x 的最高次项次数为1.否则，也不是一次函数． ③b 为任意常数． RRy RR在(－∞，＋∞)上递增在(－∞，＋∞)上递减b ＝0时为奇函数，b ≠时既不是奇函数也不是偶函数(3)图象的画法因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两个点，再连成直线即可． (4)图象的特点①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0,0)的一条直线．②一次函数y ＝kx ＋b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (5)画法技巧①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0,0)，(1，k )两点，然后连线．②画一次函数y ＝kx ＋b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )，⎝⎛⎭⎫－b k ，0，然后连线．原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于－bk多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的点．谈重点 对截距b 含义的理解(1)b的取值范围：b∈R.(2)b的几何意义：直线y＝kx＋b与y轴的交点的纵坐标．(3)点(0，b)是直线y＝kx＋b与y轴的交点．当b＞0时，此交点在y轴的正半轴上；当b＜0时，此交点在y轴的负半轴上；当b＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．(4)截距与距离是两个不同的概念．截距可正可负可以为零，但距离不可能为负．【例1－1】一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象过()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限解析：由题意知k＞0，所以－k＜0，故y＝kx－k的图象过第一、三、四象限．答案：B【例1－2】函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为()A．17,22B．1，－7C．1，72D．17,22-解析：∵x－2y＋7＝0，∴17 =22y x+，∴斜率1=2k，纵截距7=2b，故选A.答案：A【例1－3】在同一直角坐标系内画出一次函数y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象．解：列表．描点(0,1)，(－0.5,0)，(0,1)，(0.5,0)．连线，即得y＝2x＋1和y＝－2x＋1的图象，如图．【例1－4】已知一次函数的图象经过A(3,5)和B(－4，－9)两点，求该一次函数的解析式．分析：一次函数的图象是一条直线，可设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，又因为其图象过A，B两点，所以A，B两点的坐标适合方程，由此解出k和b.解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)．∵当x＝3时，y＝5；当x＝－4时，y＝－9，∴3=5,4=9.k b k b +⎧⎨-+-⎩①②①－②，得7k ＝14，∴k ＝2. 把k ＝2代入①，得b ＝－1.∴这个一次函数的解析式为y ＝2x －1. 2．二次函数的定义函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，它的定义域是R .特别地，当b ＝c ＝0，则函数变为y ＝ax 2(a ≠0)．点技巧 学习二次函数的定义应注意的两点(1)对二次函数的定义，要特别注意a ≠0这个条件．函数y ＝ax 2＋bx ＋c 只有在a ≠0的条件下才是二次函数，且x 的最高次数是2，b ，c 可取任意实数．(2)任何一个二次函数的解析式都可化成y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的形式，因此把y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数的一般形式．3．二次函数的图象变换及参数a ，b ，c ，h ，k 对其图象的影响 (1)函数y ＝x 2和y ＝ax 2(a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到，参数a 的取值不同，函数及其图象也有区别，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象开口向上，当a ＜0时，图象开口向下．而且，当a ＞0时，a 的值越大，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越大；当a ＜0时，a 的值越小，函数y ＝ax 2的图象开口越小，a 的值越大，函数y ＝ax 2图象开口越大．也就是说，|a |越大，抛物线的开口越小；反之，|a |越小，抛物线的开口越大．(2)函数y ＝ax 2和y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象之间的关系函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象可以由函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象向左(h ＞0)或向右(h ＜0)平移|h |个单位长度，再向上(k ＞0)或向下(k ＜0)平移|k |个单位长度得到．h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图象的平移变换，所以函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)的图象与函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象形状相同，只是位置不同．(3)函数y ＝ax 2和y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象之间的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)通过配方可以得到其恒等形式y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，从而可以知道，由y ＝ax 2的图象如何平移就得到y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象．在二次函数y＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，即y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a(a ≠0)中，二次项系数a 决定着函数图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b 和a 共同决定抛物线的对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x ＝－b2a，它是一条平行于y 轴或与y 轴重合的直线；a ，b ，c 共同决定抛物线顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a 的位置，c 的大小决定抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点的位置，当c ＝0时，抛物线经过坐标原点，当c ＞0时，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，当c ＜0时，交点在y 轴的负半轴．【例3－1】(1)由y ＝－2x 2的图象，如何得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象？(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图象？(3)将函数y ＝4x 2＋2x ＋1写成y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，并说明它的图象是由y ＝4x 2的图象经过怎样的变换得到的？解：(1)把y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y ＝－2(x ＋1)2－3的图象．(2)把y ＝2x 2的图象，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y ＝2(x －3)2＋4，即y ＝2x 2－12x ＋22的图象．(3)y ＝4x 2＋2x ＋1＝21412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ＝21114121616x x ⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ＝21141416x ⎡⎤⎛⎫+-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝213444x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭.把y ＝4x 2的图象向左平移14个单位长度，再向上平移34个单位长度，就可得到函数y ＝4x 2＋2x ＋1的图象．【例3－2】(1)在同一坐标系中作出下列函数的图象： ①y ＝x 2；②y ＝x 2－2；③y ＝2x 2－4x .(2)分析如何把y ＝x 2的图象变换成y ＝2x 2－4x 的图象．分析：解答本题可就每个函数列表、描点连线，作出相应图象，然后利用图象以及二次函数的平移变换规律分析y ＝x 2与y ＝2x 2－4x 的图象之间的关系．描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．(2)y ＝2x 2－4x ＝2(x 2－2x )＝2(x 2－2x ＋1－1) ＝2(x －1)2－2.由y ＝x 2到y ＝2x 2－4x 的变化过程如下．方法一：先把y ＝x 2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2x 2的图象，然后把y ＝2x 2的图象向下平移2个单位长度得到y ＝2x 2－2的图象，最后把y ＝2x 2－2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．方法二：先把y ＝x 2的图象向右平移1个单位长度得到y ＝(x －1)2的图象，然后把y ＝(x －1)2的图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y ＝2(x －1)2的图象，最后把y ＝2(x －1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y ＝2(x －1)2－2，即y ＝2x 2－4x 的图象．析规律 二次函数图象的变换规律所有二次函数的图象均可以由函数y ＝x 2的图象经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：y ＝x 2------------------→横坐标不变纵坐标变为原来的a 倍y ＝ax 2----------------------→k >0，上移k 个单位长度k <0，下移|k |个单位长度y ＝ax 2＋k --------------------→h >0，左移h 个单位长度h <0，右移|h |个单位长度y ＝a (x ＋h )2＋k ，其中a 决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h 决定左、右平移，k 决定上、下平移．【例3－3】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与函数y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴，与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点． (1)求f (x )．(2)由y ＝x 2的图象能得到f (x )的图象吗？分析：(1)根据a ，b ，c 对f (x )的图象影响，由y ＝－2x 2＋3x 确定a ，由y ＝x 2－12x ＋1确定b ，由y ＝4x 2－x －1确定c ；(2)由y ＝x 2的图象得f (x )的图象要分步骤：y ＝x 2→y ＝ax 2→y ＝a (x ＋h )2→y ＝a (x ＋h )2＋k ，因此先将f (x )的解析式化为f (x )＝a (x ＋h )2＋k 的形式．解：(1)∵f (x )与y ＝－2x 2＋3x 有相同的开口方向和大小，∴a ＝－2.∵f (x )与函数y ＝x 2－12x ＋1有相同的对称轴1=4x ， ∴1=24b a -. 又∵a ＝－2，∴b ＝1.∵f (x )与函数y ＝4x 2－x －1在y 轴上有相同的交点(0，－1)， ∴c ＝－1.∴f (x )＝－2x 2＋x －1.(2)f (x )＝217248x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭.将函数y ＝x 2图象上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的－2倍得到函数y ＝－2x 2的图象；将函数y ＝－2x 2的图象向右平移14个单位长度，再向下平移78个单位长度得到函数217=248y x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的图象，即函数y ＝－2x 2＋x －1的图象．析规律 二次函数的图象变换应先配方解决本题的关键是明确a ，b ，c 对函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的影响以及利用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化为y ＝a (x ＋h )2＋k 的形式，这是一项基本要求，往往由于配方过程中出现错误导致后面解答全部错误．4．二次函数的性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 可以通过配方转化为f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a，结合图象观察得到其主要性质，如下表：二次函数≠0)抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎛⎫－b ，4ac －b 2对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎫－b 2由上表可以看出，函数的性质就是函数图象特征的具体描述，因此可借助于图象特征来理解记忆二次函数的主要性质．以上大部分性质在初中都已了解，新增加的是单调区间，所以，教科书首先通过图象观察得到函数的单调区间，然后利用单调性的定义进行了严格的证明，用定义证明函数单调性的方法和步骤在前面已经学过．【例4－1】分别指出下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴方程，写出函数的单调区间及最大值或最小值：(1)y ＝x 2－4x ＋9； (2)y ＝－2x 2＋4x －3.分析：首先将所给的二次函数解析式配方化成顶点式，然后利用图象研究其性质． 解：(1)y ＝x 2－4x ＋9＝(x －2)2＋5，由于x 2的系数是正数，所以函数图象开口向上； 顶点坐标为(2,5)；对称轴方程为x ＝2；函数在区间(－∞，2]上是减函数，在区间[2，＋∞)上是增函数；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值是5.(2)y ＝－2x 2＋4x －3＝－2(x －1)2－1，由于x 2的系数是负数，所以函数图象开口向下； 顶点坐标为(1，－1)； 对称轴方程为x ＝1；函数在区间(－∞，1]上是增函数，在区间[1，＋∞)上是减函数； 函数有最大值，没有最小值，函数的最大值是－1. 谈重点 配方法的重要作用配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性可直观的反应在大脑中，解题中应注意多总结这些性质，以便拓展自己的思维空间．【例4－2】抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，则m ＝________.解析：因为抛物线y ＝8x 2－(m ＋1)x ＋m －7的顶点在x 轴上，所以其顶点的纵坐标248(7)(1)=048m m ⨯⨯--+⨯，即m 2－30m ＋225＝0，所以(m －15)2＝0， 所以m ＝15. 答案：15点技巧 牢记二次函数的性质是关键抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a ，当顶点在x 轴上时，其纵坐标4ac －b 24a ＝0；当顶点在y 轴上时，其横坐标－b2a ＝0.【例4－3】若函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3，＋∞) C ．(－∞，5] D ．[5，＋∞)解析：易知函数y ＝x 2＋2(a －1)x ＋2是二次函数，其图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1－a ，此函数在区间(－∞，1－a ]上是减函数，若函数在(－∞，4]上是减函数，则1－a ≥4，所以a ≤－3.答案：A5．二次函数解析式的求法求二次函数的解析式，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，用待定系数法求之．(1)当已知抛物线上任意三点时，通常设所求二次函数为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，然后列出三元一次方程组求解．(2)当已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y ＝a (x ＋h )2＋k (其顶点是(－h ，k )，a ≠0)．(3)当已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1,0)，(x 2,0)，则设所求二次函数为交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．【例5－1】如图，坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则下列式子能成立的是( )A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b解析：图中出现的点(1,0)和(－1,0)要注意观察． A 中，∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在x 轴上方，∴c ＞0. 又∵=1>02ba-，∴b ＞0.∴abc ＜0.因此A 是错误的．B 中，∵当x ＝－1时，y ＜0(抛物线上横坐标为－1的点在x 轴下方)， ∴a －b ＋c ＜0(把x ＝－1代入函数得y ＝a (－1)2＋b (－1)＋c ＝a －b ＋c )， ∴b ＞a ＋c .因此B 是错误的．C 中，∵抛物线上横坐标为1的点在x 轴上方，即y ＞0， 又∵当x ＝1时，函数y ＝a ·12＋b ·1＋c ＝a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c ＞0.因此C 是错误的．D 中，由上得b ＞a ＋c .又∵=12b a -，∴1=2a b -. ∴2c ＜3b .因此D 正确．答案：D【例5－2】已知二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．分析：本题已知图象上两点的坐标(1，－3)和(2,0)，若不考虑已知点的特点，设二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)似乎差一个条件，但注意到点(1，－3)是抛物线的顶点，再利用对称轴方程，就可以列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组，从而得解；根据顶点坐标是(1，－3)，也可设二次函数的顶点式y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)，只需将点P (2,0)的坐标代入，即可求出a ；若看到P (2,0)点是图象与x 轴的交点，利用对称性即可求出图象与x 轴的另一个交点，设二次函数的交点式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)也能求解．解：(方法1)设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得=3,42=0,=1,2a b c a b c b a ⎧⎪++-⎪++⎨⎪⎪-⎩解得=3,=6,=0.a b c ⎧⎪-⎨⎪⎩∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .(方法2)设所求函数的解析式为y ＝a (x －1)2－3(a ≠0)， 由图象经过点P (2,0)，得a (2－1)2－3＝0，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . (方法3)∵二次函数的图象的顶点坐标为(1，－3)， ∴其对称轴为直线x ＝1.又∵图象与x 轴的一个交点坐标为P (2,0)，∴由对称性可知，图象与x 轴的另一个交点坐标为(0,0)． ∴可设所求函数的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)(a ≠0)． ∵图象的顶点坐标是(1，－3)， ∴a (1－0)(1－2)＝－3，解得a ＝3. ∴所求函数的解析式为y ＝3x (x －2)， 即y ＝3x 2－6x .析规律 由二次函数的图象与x 轴的交点求解析式若二次函数y ＝f (x )的图象与x 轴的两个交点坐标为(x 1,0)和(x 2,0)，则其对称轴方程为x ＝x 1＋x 22，由此可以看出，已知二次函数的对称轴及其与x 轴的一个交点坐标，即可求出另一个交点的坐标．6．二次函数图象的草图画法 画二次函数的图象时，重点体现抛物线的特征“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征，在坐标系中可快速画出抛物线的草图，使画图的操作更简便，使图象更精确．【例6】画出函数y ＝2x 2－4x －6的草图． 解：y ＝2x 2－4x －6 ＝2(x 2－2x )－6＝2(x 2－2x ＋1－1)－6 ＝2[(x －1)2－1]－6 ＝2(x －1)2－8.函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x ＝1.令y ＝0，得2x 2－4x －6＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3，故函数图象与x 轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．画法步骤：①描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，画出直线x ＝1； ②连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x ＝1对称，即得函数y ＝2x 2－4x －6的草图，如图所示．7．待定系数法一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．待定系数法求解析式的基本步骤如下： (1)设出含有待定系数的解析式；(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组； (3)解方程或方程组求出待定系数，从而使问题得到解决．【例7】若f (x )为一次函数，且满足f [f (x )]＝1＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：已知f (x )为一次函数，可以使用待定系数法． 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f [f (x )]＝f (kx ＋b )＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ，利用对应系数相等即可求得=k -=1b 或k 1b .答案：()=1f x 或(1f x -8．给定区间上二次函数的最值或值域的求法求二次函数的最值或值域，基本的方法是配方法，当限定在某个闭区间上时，关键是确定函数图象的开口方向和对称轴与所给区间的相对位置，结合函数图象确定该函数的单调性、最大值或最小值是在端点处取得还是在顶点处取得．一般地，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在闭区间[p ，q ]上的最值有下列四种情况：(1)当－b2a＜p ，即对称轴在区间[p ，q ]的左边时，画出草图如图①，从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )．(2)当p ≤－b 2a ≤p ＋q2，即对称轴在区间[p ，q ]的左端点与区间中点之间时，画出草图如图②.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a，f (x )max ＝f (q )．(3)当p ＋q 2＜－b 2a≤q ，即对称轴在区间[p ，q ]的中点与右端点之间时，画出草图如图③.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a，f (x )max ＝f (p )．(4)当－b2a＞q ，即对称轴在区间[p ，q ]的右边时，画出草图如图④.从图象上易得f (x )在[p ，q ]上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．【例8】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数在[－5,5]上的最值；(3)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在[－5,5]上是单调函数．分析：f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2.(1)当a ＝－1时，由于对称轴x ＝1在区间[－5,5]内，则由图象知函数f (x )的最大值是f (－5)，最小值是f (1)；(2)中对称轴x ＝－a ，要根据对称轴与区间[－5,5]的相对位置来讨论最值，因此要对对称轴的位置分类讨论；(3)切入点是单调函数，结合图象可知对称轴不能在区间[－5,5]内部，因此也要讨论对称轴的位置．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， 当x ＝1时，f (x )取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝1.当x ＝－5时，f (x )取得最大值，即f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37. 所以函数f (x )的最大值为37，最小值为1.(2)函数y ＝f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2图象的对称轴为x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增函数， 所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a ；当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；当0＜－a ≤5，即－5≤a ＜0时， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ， f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2；当－a ＞5，即a ＜－5时，函数在区间[－5,5]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .故当a ≥5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝27－10a ；当0≤a ＜5时，f (x )max ＝27＋10a ， f (x )min ＝2－a 2；当－5≤a ＜0时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝2－a 2； 当a ＜－5时，f (x )max ＝27－10a ，f (x )min ＝27＋10a .(3)由(2)可知若函数f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，则有a ≤－5或a ≥5. 释疑点 如何在给定区间求二次函数的最值或值域 当函数的解析式中含有参数或给定的区间不固定时，求二次函数在此区间上的最值，应按开口方向或对称轴与所给区间的相对位置进行正确合理的讨论，一要考虑二次函数的对称轴在区间的某侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．9．一元二次方程与二次函数的关系一元二次方程与二次函数的关系是方程与函数关系的特例，是研究函数与方程关系的典范．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时的自变量x 的值，从图象上看，就是抛物线与x 轴交点的横坐标．当一元二次方程的判别式Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点，其解析式又可写成两根式的形式：y ＝a (x －x 1)·(x －x 2)，抛物线与x 轴的两个交点间的距离|x 2－x 1|＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－b a 2－4c a＝b 2－4ac|a |.当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴只有一个公共点；当Δ＜0时，方程没有实数根，此时对应的二次函数的图象与x 轴没有交点．当a ＞0时，它们之间的关系如下图所示：Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0求解一元二次方程根的问题，一般使用求根公式或根与系数的关系，但有些问题用这种方法解决比较繁琐，甚至无法求解，此时若借助于二次函数，并借助于图象，则问题会转化为易于理解和表达的问题．例如，实数a 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋2a ＝0有一根小于－1，另一根大于1?显然，如果使用根与系数的关系或求根公式求解非常困难，我们可以利用相应的二次函数的图象解决该问题．设f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋2a ，画出该函数的图象(如下图)，方程的两根中一根小于－1，另一根大于1，等价于函数的图象与x 轴的一个交点在－1的左侧，另一个交点在1的右侧，只需⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，由此可解得a ＜－23.通过上述实例，我们可以看到，用函数的思想解决一元二次方程根的分布问题，运用了数形结合的思想，使难以处理的问题转化的非常直观简单．一般情况下，用二次函数的图象处理一元二次方程根的分布问题，要从多个方面考虑使结论成立的等价条件，如判别式、对称轴、函数值的正负大小等．【例9－1】已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )，并且m ，n 是方程f (x )＝0的两根，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是( )A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b解析：由f (x )＝1－(x －a )(x －b )可知，二次函数f (x )的开口向下，且f (a )＝f (b )＝1＞0.∵m ，n 是方程f (x )＝0的两根， ∴f (m )＝f (n )＝0.由f (x )的图象可知，实数a ，b ，m ，n 的关系可能是m ＜a ＜b ＜n (如图所示)． 答案：A点技巧 由二次函数图象比较参数大小比较实数a ，b ，m ，n 的大小，可转化为比较四个函数值f (a )，f (b )，f (m )，f (n )的关系．根据条件可容易画出函数的图象并得到a ，b ，m ，n 四个变量在x 轴上的位置，从而写出a ，b ，m ，n 的大小关系．【例9－2】若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围． 分析：显然利用求根公式求解不可取，我们可以利用相应二次函数的图象解决该问题，或将其转化为二次函数k ＝x 2－32x 在区间(－1,1)上的值域问题． 解：(方法1)设f (x )＝x 2－32x －k ，函数f (x )的图象开口向上，对称轴为直线3=4x . 若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有两个实根，则函数f (x )的图象如图甲所示， 故2223()40,23(1)110,23(1)(1)(1)0,2k f k f k ⎧∆=-+≥⎪⎪⎪=-⨯->⎨⎪⎪-=--⨯-->⎪⎩即9,161,25,2k k k ⎧≥-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪<⎪⎩∴91<162k -≤-.若方程x 2－32x ＝k 在(－1,1)上有一实根，则函数f (x )的图象如图乙、丙所示，故(1)0,(1)0,f f ->⎧⎨≤⎩即223(1)(1)0,23110,2k k ⎧--⨯-->⎪⎪⎨⎪-⨯-≤⎪⎩∴5,21,2k k ⎧<⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩ ∴15<22k -≤.综上所述，实数k 的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.(方法2)方程23=2x x k -可以看作是k 关于x 的二次函数23=2k x x -， 配方得239=416k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其对称轴方程为3=4x ，函数在区间31,4⎛⎤- ⎥⎝⎦上是减函数，在区间3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数(图象如图所示)．由函数的单调性可知，此函数在区间(－1,1)上的值域为3,(1)4f f⎡⎫⎛⎫-⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，∵233339==442416 f⎛⎫⎛⎫-⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，f(－1)＝(－1)2－32×(－1)＝52，∴实数k的取值范围是95,162⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.。

《函数的定义域》教学设计课题：专题----函数的定义域课时：1课时课型：复习课教学目标：理解函数的定义域的概念，熟练掌握函数定义域的求法。

学情分析：本课是一轮复习的复习课，高一的学习中学生已经初步掌握了函数的定义域的求法，但是由于学生的基础比较差，属于数学学困生，所以尽管是复习课，题目的设置仍然比较基础，为的是循序渐进，激发学生的学习兴趣，而后渐入佳境。

教学流程：教学环节教学内容设计图课前展示学生准备，主持人提问学生简单函数的定义域复习简单函数定义域，为所复习的内容作铺垫阅读感悟一学生复习不同形式函数的定义域的求法自我检测一1、某种杯子每只元，买只，所需钱数为元，用下表表示这个函数，则函数的定义域为______________2则函数的定义域是的函数，是、右图表示xy检测学生对以表格形式和图象形式给出的函数的定义域的求法阅读感悟二1、求函数定义域的主要依据：①整式函数的定义域为R；②分式函数中分母____________；③偶次根式函数被开方式_____________；④函数=0的定义域为_________；⑤指数函数＝aa＞0且a≠1的定义域为__ _________；⑥对数函数＝og a a＞0且a≠1的定义域为________2、通过例题总结求函数定义域的步骤：()().13lg1132的定义域求函数例：++-+=xxxxf⎪⎭⎫⎝⎛-<<-⎩⎨⎧>+>-1,31131131所以函数的定义域为解得当且仅当解：若使函数有意义，xxx复习所学基本初等函数的定义域；求函数定义域步骤：第一步——列：第二步——解：第三步——答：（注意用集合或区间的形式写出）自我检测二求下列函数的定义域：1、()xxxf-+-=732；2、()53-+=xxxf；3、()()33xxxf+-=4、()()12log21+=xxf1、练习不同类型的函数定义域的求法，锻炼学生解题能力与速度及规范步骤；2、组内研讨，核对答案，提高自主解决问题的能力；。

高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。

2.1.1函数(二)自主学习学习目标1．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．2．知道函数与映射的关系．自学导引1．映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中________________________________元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的________________．这时，称y是x在映射f作用下的________，记作________，x称作y 的________．2．一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的______________，在集合A 中都________________，这时我们说这两个集合的元素之间存在______________，并把这个映射叫做从集合A到集合B的______________．3．映射与函数由映射的定义可以看出，映射是________概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A，B必须是__________________．对点讲练知识点一映射的概念例1 在下列对应关系中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？(1)A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，对应法则f：“加1”；(2)A＝(0，＋∞)，B＝R，对应法则f：“求平方根”；(3)A＝N，B＝N，对应法则f：“3倍”；(4)A＝R，B＝R，对应法则f：“求绝对值”；(5)A＝R，B＝R，对应法则f：“求倒数”．规律方法判断对应f：A→B是否是A到B的映射，须注意两点：(1)明确集合A、B中的元素；(2)判断A的每个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同．变式迁移1 下列对应是否是从A 到B 的映射，能否构成函数？(1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1；(2)A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,64}，f ：a →b ＝(a －1)2； (3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ；(4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．知识点二 象与原象例2 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．(1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象．规律方法 解答此类问题，关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则．变式迁移2 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的象和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原象．知识点三 映射的个数问题例3 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )．求满足条件的映射的个数．规律方法 求解含有附加条件的映射问题，必须按映射的定义处理，必要时进行分类讨论．变式迁移3 若将本例中的条件改为“B ＝{－1,0,1}，f (a )·f (b )＝f (c )”，这样的映射有几个？本节学习的主要内容是映射的概念，重点是对映射的理解，难点是映射的判定，在学习中要注意下列三个方面的问题：1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往是不一样的．2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应法则下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原象，则不作要求.课时作业一、选择题1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( ) A ．A 中的每一个元素在B 中必有象 B ．B 中每一个元素在A 中必有原象 C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个象 D ．A 中不同元素的象必不同2．设集合A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}，对于以下对应的关系中，不是A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →12xB ．f ：x →13xC ．f ：x →14xD ．f ：x →16x3．设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D ．(1,3)4．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：①A＝{你们班的同学}，B＝{体重}，f：每个同学对应自己的体重；②M＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f：n＝2m，n∈N，m∈M；③M＝R，N＝{x|x≥0}，f：y＝x4；④A＝{中国，日本，美国，英国}，B＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f：对于集合A中的每一个国家，在集合B中都有一个首都与它对应．上述四个对应中是映射的有______，是函数的有______，是一一映射的有________．()A．3个2个1个B．3个3个2个C．4个2个2个D．2个2个1个5．集合A＝{1,2,3}，B＝{3,4}，从A到B的映射f满足f(3)＝3，则这样的映射共有() A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题6．设A＝Z，B＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，C＝R，且从A到B的映射是x→2x－1，从B到C的映射是y→12y＋1，则经过两次映射，A中元素1在C中的象为________．7．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：映射g的对应法则如下：则f[g(1)]的值为________．8．根据下列所给的对应关系，回答问题．①A＝N*，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．三、解答题9．设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中A＝{正实数}，B＝R，f：x→x2－2x－1，求A中元素1＋2的象和B中元素－1的原象．10．已知A＝{1,2,3，m}，B＝{4,7，n4，n2＋3n}，其中m，n∈N*.若x∈A，y∈B，有对应关系f：x→y＝px＋q是从集合A到集合B的一个映射，且f(1)＝4，f(2)＝7，试求p，q，m，n的值．2．1.1 函数(二) 答案自学导引1．有一个且仅有一个 映射 象 f (x ) 原象2．任意一个元素 有且只有一个原象 一一对应关系 一一映射3．函数 非空数集 对点讲练例1 解 (1)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应法则f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原象与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．(2)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应法则f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．(3)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应法则f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原象与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．(4)中集合A 中的每一个元素通过法则f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故法则f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原象，故f ：A →B 不是一一映射．(5)当x ＝0∈A ，1x无意义，故法则f 不是从A 到B 的映射．变式迁移1 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数．(2)在f 的作用下，A 中的0,1,2,9分别对应到B 中的1,0,1,64，∴是映射，也是函数． (3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，∴不是映射，更不是函数． (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是数集．例2 解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9)．(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝14x ＋3y －1＝2， 得⎩⎨⎧x ＝617y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.变式迁移2 解 将x ＝2代入对应关系，可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．由⎩⎨⎧x ＋1＝32，x 2＋1＝54， 得x ＝12.所以2在B 中的象为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原象为12. 例3 解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有一个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时， 满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个， 分别为2＋0＝2,0＋2＝2， (－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有两个映射， 分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件中的映射共有7个．变式迁移3 解 由于f (a )、f (b )、f (c )的取值属于{－1,0,1}，故f (a )·f (b )＝f (c )时，f (a )，f (b )，f (c )f (a ) f (b ) f (c ) 1 －1 －1 －1 1 －1 1 1 1 －1 －1 1 －1 0 0 0 －1 0 0 0 0 1 0 0 01由表可知这样的映射有课时作业1．A 2.A 3.B 4.C5．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能．]6.13解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，而1在C 中象为12×1＋1＝13.7．1解析 g (1)＝4， ∴f [g (1)]＝f (4)＝1. 8．①③ ①解析 ①对x ∈A ，在f ：x →y ＝3x ＋1作用下在B 中都有唯一的象，因此能构成映射，又A 、B 均为数集，因而能构成函数；②当x ＝1时，y ＝|x －1|＝|1－1|＝0∉B ，即A 中的元素1在B 中无象，因而不能构成映射，从而不能构成函数．③对高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数．④当x ≤0时，|x |＋x ＝0，从而1|x |＋x 无意义，因而在x ≤0时，A 中元素在B 中无象，所以不能构成映射．9．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的象是0.当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2. 因为0∉A ，所以－1的原象是2.10．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3q ＝1. 故对应法则为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N *，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的象是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的象是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.。

高一数学第二章第二课时学案2.1.1函数-------变量与函数的概念一．学习目标1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。

2. 能正确求一些简单函数的定义域和值域。

3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。

二． 自主学习三.小试牛刀：1.求下列函数的定义域：（1）()f x = （2）1()2f x x =-；（3）y = （4）()1f x x =+2求下列函数的值域（1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y（3）223y x x =++3.想一想如何求一个函数的定义域和值域？四．典例分析：例1. .求下列函数的定义域：（1）11)(-=x x f （2）1||1)(-=x x f（3）2314)(2+---=x x x x f （4）0()(21)f x x =-思考：给出解析式的函数的定义域需注意什么？[].1,41例2设函数f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（）[][]1(1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。

[].(1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。

问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域。

例3. 求下列函数的值域：112++=x x y ）（ xy 112+=）（ 1)3(++=x x y 1)4(22+++=x x x x y 五．快乐体验1. .求下列函数的定义域：（1）y = (2) xx x f -++=211)( (3) 1212)(2--+=x x x x f(4) y =(5) 3)y x =-(6) 1y x =+ 2. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ; ()(){}2(2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈-()()2(3)11f x x =-+ (4)28(12)y x x=≤≤ 3.(1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域;(2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域；(3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域.六．今天我学到了什么？。