2021届福建省莆田二中、泉州一中、南安一中高三上学期三校联考数学试题(解析版)

福建省泉州市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，且||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒，则||EB =（ ）A B ．C D 【答案】A【解析】【分析】 根据向量的线性运算可得3144EB AB AC =-,利用22||B EB E =及||1,||2AB AC ==，120BAC ∠=︒计算即可.【详解】 因为11131()22244EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC =+=-+=-⨯++=-, 所以22229311216441||6EB AB AB B AC AC E =-⨯=⨯⋅+ 229311112()2168216=⨯-⨯⨯⨯-+⨯ 1916=， 所以19||EB =， 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.2．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ）A ．43-B ．34-C ．34D ．43【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可．结合题意，绘制图像要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以斜率为1041314k -==--，故选A ． 【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．3．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π 【答案】B【解析】 函数23353sin (3sin 4cos )3sin 4sin cos 2sin 2cos 2sin(2)2222y x x x x x x x x x θ=+=+=-+=-+（θ为辅助角）∴函数的最大值为4M =，最小正周期为22T ππ== 故选B4．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ）A ．[﹣3，2）B ．（﹣3，2）C ．（﹣1，0]D ．（﹣1，0） 【答案】C【解析】【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集.因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（）.A．6500元B．7000元C．7500元D．8000元【答案】D【解析】【分析】设目前该教师的退休金为x元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故选D．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．6．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种B．27种C．37种D．47种【答案】C【解析】【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.7．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12 B ．π6 C ．π3 D ．5π12 【答案】A【解析】【分析】 a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．【详解】 由题意3114126T ππ=-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=，在y 轴左边第一个零点是6412πππ-=-， ∴a 的最小值是12π． 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．8．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．1【答案】D【解析】【分析】 利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min PM ，由PQ 取得最小值为min 1PM-，求得结果. 【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2p x =-， 则点(5,)t 到焦点的距离为562p d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：24y x =， 设(,)P x y ，圆22:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，则PM ===，当4x =时，PQ 11=，故选D.【点睛】该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目.9．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【答案】B【解析】【分析】分成甲单独到A 县和甲与另一人一同到A 县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到A 县的分法数.【详解】如果甲单独到A 县，则方法数有22326C A ⨯=种. 如果甲与另一人一同到A 县，则方法数有12326C A ⨯=种.故总的方法数有6612+=种.故选：B本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.10．已知函数2()ln(1)f x x x -=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【详解】设2()(1)ln 1g x f x x x -=-=-+，由于120112ln 22g -⎛⎫=> ⎪⎝⎭+，排除B 选项；由于()2222(e),e 2e 3e g g --==--，所以()g e >()2e g ，排除C 选项；由于当x →+∞时，()0>g x ，排除D 选项.故A 选项正确.故选：A【点睛】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.11．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为2AB =（ ）A ．6B ．9C ．2D ．2【答案】B【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为2p x my =+，由2AF FB =得122y y =-，将直线AB的方程代入韦达定理，求得1y ，结合ACF ∆的面积求得p 的值，结合焦点弦长公式可求得AB .【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设直线AB 的方程为x my p =+，将直线AB 的方程与抛物线方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得2220y pmy p --=，由韦达定理得122y y pm +=，212y y p =-，11,2p AF x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，22,2p FB x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2AF FB =，122y y ∴-=，122y y ∴=-， 221222y y y p ∴=-=-，可得222y p =，1222y y p ==， 抛物线的准线l 与x 轴交于,02p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ACF ∆的面积为2122822p p p ⨯⨯==，解得4p =，则抛物线的方程为28y x =， 所以，2221212524988p y y AB x x p p +=++=+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 12．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．43【答案】D【解析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA ⊥底面ABCD 的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2， ∴四棱锥的体积为21242323V =⋅⋅=. 故选：D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省南安一中2021届高三数学（文）上学期期中试题本试卷考试内容为：函数与导数、三角函数、数列、立体几何、直线与圆。

分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，总分值150分，考试时刻120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

依照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案利用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =,{}3,4,5B =，以下图中阴影部份所表示的集合为 A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}4,5 D ．{}1,2,3,4,5 2.在复平面上，复数i1i3++=z 对应点所在的象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.函数()4log 2-+=x x x f 的零点所在的区间是 A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．()2,1C ．()3,2D ．()4,3 4.假设某几何体的三视图(单位：cm)如下图，那么此几何体的表．面积．．等于 A ．12πcm 2B ．15πcm 2C ．24πcm 2D ．30πcm 25.“1m =”是“直线20mx y ++=与直线10x my +-=彼此平行”的 A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是 A ．假设l ∥α，l ∥β，那么α∥β B ．假设α⊥β，l ∥α，那么l ⊥β C ．假设α⊥β，l ⊥α，那么l ∥β D ．假设l ∥α，l ⊥β，那么α⊥β7.设0,0a b >>，假设3是3a 与3b的等比中项，那么11a b+的最小值为 BAA ．14B ．1C ．4D ．8 8.已知函数()log ()a f x x b =+的大致图象如右图，其中b a ,为常数，那么函数b a x g x +=)(的大致图象是9.已知向量a , b 均为单位向量，假设它们的夹角是60°，那么b a 3-等于A ．3B ．2C ．13D ．710.已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，那么5πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是 A ．235-B ．235C ．45D ．45-11.设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，那么123n x x x x ⋅⋅⋅⋅⋅的值为 A ．11n + B ．1n n + C ．1nD ．1 12.概念运算：12122112a a a b a b b b =-，将函数sin 21()cos 23x f x x-=的图象向左平移t （0t >）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，那么t 的最小值为 A ．6π B ．512π C ．3πD ．56π第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，总分值16分．13.假设等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，那么a 6＝ ．14.已知实数x y ，知足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-3102x y x y x ，那么y x z 32+=的最小值是 ．15.已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，假设△ABC 的面积为33,4A B CD3,a =3B π=,那么b = ．16.在一次研究性学习中小李同窗发觉，以下几个式子的值都等于同一个常数M ： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°=M ； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°=M ； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°=M ； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°=M ； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°=M ； 请计算出M 值，并将该同窗的发觉推行为一个三角恒等式..三、解答题：本大题6小题，总分值74分．解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤． 17.（本小题总分值12分）已知三棱柱ADF BCE -中，DF ⊥平面ABCD ，AD DC =，G 是DF 的中点 （Ⅰ）求证：//BF 平面ACG （Ⅱ）求证：平面ACG ⊥平面BDF 18.（本小题总分值12分）已知直线l 与直线20x y +-=垂直，且过点(2,1) （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）假设圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l 被该圆所截得的弦长为22，求圆C 的标准方程.19.（本小题总分值12分）已知(cos ,23cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==，且()f x a b =⋅ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，,,a b c 别离是,,A B C 的对边，假设2)cos cos a c B b A +=-（成立，求()f A 的取值范围.20.（本小题总分值12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． (Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)证明：1211134n S S S +++<． 21．（本小题总分值12分）如图，四棱锥P ABCD -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2BC PD ==，E 为PC 的中点，3CB CG =（Ⅰ）求证：;BC PC ⊥（Ⅱ）求三棱锥C DEG -的体积；（Ⅲ）AD 边上是不是存在一点M ，使得//PA 平面MEG .假设存在，求AM 的长；假设不存在，说明理由. 22.（本小题总分值14分）已知函数()21)ln f x ax a x b =--+（.（Ⅰ）假设()f x 在点(1,(1)f )处的切线方程为y x =，求实数a b 、的值; （Ⅱ）当0a >时，讨论()f x 的单调性;（Ⅲ）当1a =时，()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点，求实数b 的取值范围.南安一中2021～2021学年度高三（上）期中考 文科数学试卷答案及评分标准 说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，若是考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对照评分标准制订相应的评分细那么．二、对计算题当考生的解答在某一步显现错误时，若是后续部份的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定给分，但不得超过该部份正确解许诺得分数的一半；若是后续部份的解答有较严峻的错误，就再也不给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每题5分，总分值60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDCCADCBDDAB二、填空题：本大题每题4分，总分值16分． 13.11 14.9 15.7 16. sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34三、解答题：本大题总分值74分． 17.证明：（Ⅰ）设AC 、BD 相交于点O ，连结OG∵AD DC = ∴ABCD 为菱形 ∴O 为BD 的中点 ∵G 是FD 的中点 ∴//OG BF又∵OG ⊂平面AGC BF ⊄平面AGC∴//BF 平面ACG ……………………………6分 （Ⅱ）∵ABCD 为菱形∴AC BD ⊥又∵DF ⊥平面ABCD AC ⊂平面ABCD ∴DF ⊥AC 又∵BDDF D = BD DF ⊂、平面BDF∴AC ⊥平面BDF 又∵AC ⊂平面ACG∴平面ACG ⊥平面BDF ……………………………12分O18.解：（Ⅰ）∵l 与20x y +-=垂直 ∴1l k =∵l 过点(2,1) ∴l 的方程1(2)y x -=- 即1y x =- ……………………………4分 （Ⅱ）设圆的标准方程为222()x a y r -+=2222(1)2a r r ⎧-=⎪+=⎪⎩ 解得：3,2a r == …………………………8分 ∴圆的标准方程为22(3)4x y -+= …………………………12分 19.解：（Ⅰ）(cos ),(2cos ,sin )a x x b x x ==1)62sin(2++=πx ……………………………3分T π∴= (4)分 单调递增区间为：)222(Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴单调递增区间为：()36x k k k Z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈-++∈，……………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得：(sinA+2sinC)cosB=－sinBcosA∴ sin(A+B)= －2sinCcosB ∴ cosB=12-∵B 为三角形的内角 ∴B =23π……………………………8分 ∴()2sin(2A )16f A π=+-+1又5023666A A ππππ<<∴<+<1sin(2A )126π∴<+≤ ……………………………10分 故(()0,1f A ⎤⎦∈2，3] ……………………………12分 20.解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，那么0d >，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=．依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩．解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)． ……………4分∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= ……………………………6分 (Ⅱ)∵35(21)(2)n S n n n =++++=+，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭． ……………………………10分 ∵n N *∈ ∴1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭∴12111n S S S +++34< ……………………………12分 21.(Ⅰ)证明：⊥PD 平面ABCD ，BC PD ⊥∴ 又∵ABCD 是正方形 ∴BC CD ⊥ ∵PD CD D =∴BC ⊥平面PCD ……………………………3分 又∵PC ⊂面PBC ∴PC BC ⊥……………………………4分(Ⅱ)解：∵BC ⊥平面PCD ，∴GC 是三棱锥G DEC -的高 ……………………………5分 ∵E 是PC 的中点1)2221(212121=⋅⋅⋅===∴∆∆∆PDC EDC EDC S S S ……………………………6分 921323131=⋅⋅=⋅==∴∆--DEC DEC G DEGC S GC V V……………………………8分 (Ⅲ)连结AC ，取AC 中点O ，连结EO GO ,，延长GO 交AD 于点M ，则PA //平面MEG……………………………9分下面证明之∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点， ∴EO //PA ，……………………………10分又MEG PA MEG EO 平面平面⊄⊂, ∴PA //平面MEG……………………………11分在正方形ABCD 中， ∵O 是AC 的中点，OCG ∆∴≌OAM ∆,32==∴CG AM ∴所求AM 的长为.32 ……………………………12分22.解：（Ⅰ）21(21)'()a ax a f x a x x---=-=……………………………1分 依题意，'(1)11(1)1f a f a b =-=⎧⎨=+=⎩ ……………………………2分解得： 01a b =⎧⎨=⎩ ……………………………4分 （Ⅱ）()f x 的概念域为0,+∞（） ①当102a <≤时，恒有'()0f x > 故()f x 的单调递增区间为0,+∞（） ……………………5分 ②当12a >时, (21)[]'()a a x a f x x--=, 令'()0f x =得，210a x a-=>, ………………………………6分 ()f x 及'()f x 的值转变情形如下表：………………………………8分故()f x 的单调递减区间为21(0,)a a-，单调递增区间为21(,)a a-+∞ ………………………9分 （Ⅲ）当1a =时，()ln f x x x b =-+，由（Ⅱ）知，()f x 在(0,1)为减函数，在(1,)+∞为增函数，∴()f x 的最小值为(1)1f b =+. ………………………………10分11()1f b e e=++，()1f e e b =-+ 即：1()()f f e e < ………………………………11分()f x 在区间1(,)e e上恰有一个零点()0(1)01()0f e f f e >⎧⎪∴=⎨≤⎪⎩或 即：1010110e b b b e-+>⎧⎪+=⎨++≤⎪⎩或 ………………………………13分 解得：1b =-或11--1-e b e<≤ ………………………………14分。

福建省泉州市南安第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题理（含解析）一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分） 1.设集合{}| 0M x x =<，1|282x N x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，R 是实数集，则()R C M N =（ ）A. {|3}x x ≥B. {}|10x x -<<C. {}|10x x x ≤-≥或 D.{}|3x x <【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合N ，再求解并集和补集. 【详解】因为1282x <<，所以13222x -<<，即13x ，{3}M N x x ⋃=<，所以(){3}RM N x x ⋃=≥，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点(1,3)P -，则cos2θ=（ ） A.35B.45C.35D. 45-【答案】D 【解析】 【分析】先求出cos θ，再求出cos2θ得解.【详解】由题得cos 10θ==， 所以214cos2=2cos 121105θθ-=⨯-=-. 故答案为：D【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义和二倍角的公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知,m n 表示两条不同直线，,αβ表示两个不同平面，下列说法正确的是（ ） A. 若,m n n α⊥⊂，则m α⊥ B. 若,m m αβ∕∕∕∕，则αβ∕∕ C. 若αβ∕∕，m β∕∕，则m α∕∕ D. 若,m n αα⊥∕∕，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】由线线，线面，面面的位置关系对选项逐个进行判断即可得到答案. 【详解】若m ⊥n ，n ⊂α，则m ⊥α不一定成立，A 错；m ∥α，m ∥β，则α∥β或α，β相交，B 错；α∥β，m ∥β，则m ∥α或m ⊂α，C 错；m ∥α，由线面平行的性质定理可得过m 的平面与α的交线l 平行， n ⊥α，可得n ⊥l ，则m ⊥n ，D 对．故选D ．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．4.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝A.【答案】D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值．【详解】：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212132q q 2a a a ==⇒=，所以47213q a f f a === D 【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列．5.在平行四边形ABCD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=，点E 在CD 上，2CE ED =，则AE BE ⋅=（ ） A. 49-B. 29-C.29D.49【答案】B 【解析】 【分析】以向量,AB AD 为基底，根据向量加减法的运算可将,AE BE 表示出来，利用数量积法则运算即可.【详解】因为22AB AD ==，60BAD ∠=，设1AD =， 则1AB AD ⋅=，因为13AE AD DE AD AB =+=+，23BE AE AB AD AB =-=-， 所以222193AE BE AD AB AB AD ⋅=--⋅8121939=--=-.故选B【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，数量积的运算，属于中档题. 6.数列{}n a 满足()122n na n N a *+=∈-，13a =，则2019a =（ ） A. 3 B. 2-C.12D.43【答案】C 【解析】【分析】先求出数列的周期，再根据数列的周期求出2019a 的值得解. 【详解】当1n =时，2122=2223a a ==---， 当2n =时，321=2(2)2a =--，当3n =时，424=132()2a =-， 当4n =时，52=342()3a =-， 所以数列的周期为4， 所以2019(4504+3)312a a a ⨯===. 故选：C【点睛】本题主要考查数列的周期的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7.设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若4225S S -=，则64S S -的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设该等比数列的首项为1a ，公比为q ，结合题意可得242122(1)()5S S q a a -=-+=，变形可得1225()1a a q +=-， 进而可得4426456122251()()5[(1)2]11S S a a q a a q q q q -=+=⨯+=⨯=-++--，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设该等比数列的首项为1a ，公比为q ，若4223S S -=，24212341234121222()()()(1)()5S S a a a a a a a a a a q a a -=+++-+=+-+=-+=，又由数列{}n a 为正项的等比数列，则0q >，则1225()0,11a a q q +=>∴>-，4426456122251()()5[(1)2]10522011S S a a q a a q q q q -=+=⨯+=⨯=-+++⨯--当且仅当22q =时等号成立；即64S S -的最小值为20；故选：D ．【点睛】本题主要考查等比数列和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：若用同一行业中应聘人数和招聘人数的比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（ ） A. 计算机行业好于化工行业 B. 建筑行业好于物流行业 C. 机械行业最紧张 D. 营销行业比贸易行业紧张【答案】B 【解析】试题分析：就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值，比值越大，就业形势越好，故选B ．考点：本题主要考查不等式的概念、不等式的性质．点评：解答此类题目，首先要审清题意，明确就业形势的好坏，主要看招聘人数与应聘人数的比值．9.下图是某几何体的三视图，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 20 3B.163C. 4D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图得出原图，由此计算出几何体的体积.【详解】画出三视图对应的几何体如下图所示三棱锥11F B D E-，根据三棱锥体积计算公式得所求体积为11243432V=⨯⨯⨯⨯=，故选C.【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体的体积计算，属于基础题.10.已知数列{}n a满足1212a a++…2*1()na n n n Nn+=+∈，数列{}nb满足：121nn nnba a++=,数列{}n b的前n项和为n T，若(2)1nnTnλ+>+*()n N∈恒成立，则λ的取值范围为（）A. 1(,)8-∞ B. 1(,] 8-∞C. 3(,) 8-∞D. 3(,]8-∞【答案】A 【解析】 【分析】先求出2221112,()4(1)n n a n b n n ==-+，再利用裂项相消法求出n T ，即得λ的取值范围.【详解】由题得1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，（1）， 1212a a ++…211(1)1(2)1n a n n n n -+=-+-≥-，（2） 所以（1）-（2）得212,2n n a n a n n=∴=，适合12a =.所以22n a n =，所以222221111()4(1)4(1)n n b n n n n +==-++，所以2222221111111=)41223(1)n T n n -+-++-+（， 所以2221111(2)=)=41(1)41)n n n T n n +-⋅++（（， 因为(2)1n n T n λ+>+，所以21(2)(2)1=41)141n n n n nT n n n λλ++⋅>∴<⋅+++，（ 因为1111n y n n==++是增函数，所以112n n ≥+，所以18λ<.故选：A【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查裂项相消法求和和数列的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，底边3BC =，侧棱AB =点E 在线段BD 上，且3BD DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []2,4ππC. 9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设BCD ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接11,,,O D OD O E OE ，可得223(3)R R =+-，可得R 的值，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【详解】解：如图，设BCD ∆的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接11,,,O D OD O E OE ，则02211123sin 603,33O D AO AD DO =⨯==-=， 在1Rt D OO ∆中，223(3)R R =+-，解得2R =，3,2BD BE DE =∴=，在1DEO ∆中，0134232cos301O E +-⨯⨯⨯=，22112OE O E OO ∴=+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， 222(2)2-=2π． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故选B【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．12.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A.14B.2 C.3 D. 1【答案】A 【解析】 【分析】将正四面体补成正方体易得截面为平行四边形MNKL ，可求得1NK KL +=；根据平行关系及AD BC ⊥可得KN KL ⊥，则MNKL S NK KL =⋅四边形，利用基本不等式可求得最大值. 【详解】将正四面体补成正方体，如下图所示：EF α⊥ ∴截面为平行四边形MNKL ，可得1NK KL +=又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥ KN KL ∴⊥ 可得2124MNKLNK KL S NK KL +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭四边形（当且仅当NK KL =时取等号） 本题正确选项：A【点睛】本题考查截面面积最值的求解，难点是能够将正四面体补全为正方体，从而可准确判断出截面图形的形状；求解最值的关键是能够得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最值.二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且55n n S n T n =+，则1011813a ab b +=+___.【答案】4； 【解析】 【分析】 化简10112081320a a Sb b T +=+，即得解.【详解】由题得1101112081232020212001020(5202=420205(2))a a a a a a S b b b b T b b +++⨯====++++. 故答案为：4【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.若向量a 、b 满足()7a b b +⋅=，且||3a =，||2b =，则向量a 在b 上的投影为_______. 【答案】32【解析】 【分析】根据数量积的运算及向量在向量上的投影的定义即可求解. 【详解】因为()7a b b +⋅=， 所以27a b b⋅+=，又||3a =，||2b =，所以227a b ⋅+=，即3a b ⋅=，所以向量a 在b 上的投影为32||a b b ⋅=， 故答案为32【点睛】本题主要考查了数量积的运算，向量在向量上的投影，属于中档题.15.如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是棱AB 的中点，Q 为侧面11CDD C 上的动点，且1B Q ∥面1A EF ，则Q 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是________.【答案】54a ； 【解析】 【分析】如图所示，先求出点Q 的轨迹是线段GH,再求GH 的长度得解.【详解】如图，点G,M,N 分别是1C C ,CD,11C D 的中点，H 是1C N 的中点， 由题得11||B G A E ,1B G 不在平面1A EF 内，1A E ⊆平面1A EF ，所以1||B G 平面1A EF .因为11||||||GH CN D M A F ,GH 不在平面1A EF 内, GH ⊆平面1A EF ， 所以||GH 平面1A EF ,因为1,B G GH ⊆平面1A EF ，1B G GH G =,所以平面1||B GH 平面1A EF ,因为1B G ||平面1A EF ,1B H ||平面1A EF . 所以Q 在侧面11CDD C 上的轨迹为线段GH,因为GH ==.【点睛】本题主要考查空间线面关系的证明和轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16.已知函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩，函数()()g x f x m =-有3个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则1232x x x -的取值范围是_____________. 【答案】[1,2ln 22]-- 【解析】 分析】作出()f x 的图象，根据()()g x f x m =-有三个不同的零点，转化为()0f x m -=有三个根，求出1x ，2x ，3x ，关系，构造函数求出函数的导数，利用导数研究取值范围即可． 【详解】作出函数()f x 的图象如图：则当20x -时，抛物线的对称轴为1x =-，若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，不妨设123x x x <<， 即()()0g x f x m =-=，()f x m =有三个不同的根， 则0m ≤＜1，当0x 时，220x x m ---=，即220x x m ++=， 则12x x m =，当0x >时，由30lnx m -=，得3lnx m =，即3m x e =， 则1232=2mx x x m e --，设h （m ）2m m e =-，0m ≤＜1， 则导数h '（m ）2m e =-，所以函数h(m)在[0,ln 2]上单调递增，在[ln 2,1)上单调递减， 所以max ()2ln 22h m =-， 因为(0)1,(1)21h h e =-=->-， 所以min ()1h m =-.所以1232x x x -的取值范围是[1,2ln 22]--. 故答案为：[1,2ln 22]--【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为关于m 的函数，构造函数，求出函数的导数，利用导数研究函数的取值范围是解决本题的关键．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.如图所示，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的菱形，其中60DAB ∠=︒，SD 垂直于底面ABCD ，3SB =M 为棱SA 的中点．（1）求三棱锥B AMC -的体积；（2）求异面直线DM 与SB 所成角的余弦值． 【答案】(1) 624(2) 12【解析】 【分析】（1）连结BD ，利用12B AMC M ABC S ABC V V V ---==求三棱锥B AMC -的体积；（2）取AB 中点E ，连结ME 、DE ，先证明EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角，再求它的大小即得解.【详解】（1）连结BD ，SD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ SD BD ⊥，ABCD 为边长为1的菱形，且60DAB ∠=︒，∴ 1BD AB ==，3SB = ∴ 2SD =∵12B AMC M ABC S ABC V V V ---== ； ∵13sin1202ABC S AB BC ∆=⨯⨯⨯︒=； ∴ 111622423324B AMC S ABC V V --==⨯⨯=. （2）取AB 中点E ，连结ME 、DE ，∴ //ME SB 且12ME SB ==， ∴ EMD ∠为异面直线DM 与SB 所成的角；又∵ 在Rt SDA 中，SA =122DM SA ==，同时，2DE =， ∴ DME ∆为等边三角形，∴ 3DME π∠=，即异面直线DM 与SB 所成角的余弦值为12. 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积的计算，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18.设2()sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12A f a ==，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）,,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2【解析】 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()y Asin x ωϕ=+的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）根据0,12A f a ⎛⎫==⎪⎝⎭，求出sin A ，可得cos A ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的最大值，可得ABC ∆面积的最大值． 【详解】解：（1）2()sin cos cos ,4f x x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭． 化简可得：111()sin 2cos 22222f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭111sin 2sin 2222x x =+- 1sin 22x =-，由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈．可得：()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间是：,,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）由02A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，即1sin 02A -=， 可得1sin 2A =， 02A π<<cos 2A ∴=． 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，可得221b c =+．222b c bc +，当且仅当b c =时等号成立．12bc ∴，2bc ≤．ABC ∆∴面积的最大值12sin 24S bc A +=≤．故得三角形ABC 面积最大值为24+． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．19.给定数列{}n a ，若满足1a a =(0a >且1)a ≠，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称数列{}n a 为“指数型数列”．(1)已知数列{}n a 的通项公式4n n a =，证明：{}n a 为“指数型数列”；(2)若数列{}n a 满足：112a =，()1123*n n n n a a a a n N ++=+∈； ①判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：34n S <. 【答案】(1) 证明见解析；(2) ①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”， 证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】(1)利用“指数型数列”的定义即可证明{}n a 是指数型数列；（2）①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”，证明111113331n m m nn m n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅==+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即得证；②先由题得131n n a =-11123n -≤⋅，再利用等比数列的求和公式即得解证. 【详解】(1)解：对于数列{}n a ，任意*,m n N ∈，444n m n m n m n m a a a ++==⋅=⋅， 所以{}n a 是指数型数列. (2)①数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是“指数型数列”， 证明如下： n 1123n n n a a a a ++=+，1113112131n n n n a a a a ++⎛⎫⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，11111133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭，111113331n m m nn m n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=⋅==+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭“指数型数列”． ②由①可得，11113123n nn a -=≤⋅-；故211111(1)2333n n T -≤++++313(1)434n =-<.【点睛】本题主要考查新定义的理解掌握和应用，考查等比数列的求和放缩法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.在五面体ABCDEF 中，AB ∥CD ∥EF ,222CD EF CF AB AD =====,60DCF ∠=，AD CD ⊥，平面CDEF ⊥平面ABCD（1）证明: CE ⊥平面ADF ；（2）棱BC 上是否存在一点P ，使得二面角P DF A --的大小为60？若存在，求出CPCB的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，23CP CB = 【解析】 【分析】（1）先证明AD ⊥平面ACDEF ，再证明CE ⊥平面ADF ；（2）以D 为原点，,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤，利用二面角的大小求出a 的值即得解. 【详解】（1）∵CDEF , ∴2CD EF CF ===∴四边形CDEF 为菱形,∴CE DF ⊥优质资料\word 可编辑∵面CDEF ⊥面ABCD ，面CDEF 面ABCD CD =,∵AD CD ⊥∴AD ⊥平面ACDEF ∴CE AD ⊥,又∵AD DF D ⋂= ∴直线CE ⊥平面ADF ； （2）∵60DCF ∠=,∴DEF 为正三角形，取EF 的中点G ,连接GD ,则GD EF ⊥ ∴GD CD ⊥,∵平面CDEF ⊥平面ABCD ,GD ⊂平面CDEF ，平面CDEF 平面ABCD CD =,∴GD ⊥平面ABCD ；∵AD CD ⊥∴,,DA DC DG 两两垂直，以D 为原点，,,DA DC DG 的方向为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系； ∵2CD EF CF ===, 1AB AD ==,∴((0,3,3E F -， 由（1）知(0,3CE =-是平面ADF 的法向量 ∵(3DF =,()1,1,0CB =-设()(),,001CP aCB a a a ==-≤≤， 则(),2,0DP DC CP a a =+=-． 设平面PDF 的法向量为(),,n x y z =∵0,0n DF n DP ⋅=⋅=, ∴()3020y z ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，令3y a =，则)32,x a z a =-=-优质资料\word 可编辑∴()()32,n a a =--∵二面角P DF A --为60, ∴cos ,n CE n CE n CE⋅==12=，解得23a =，即23CP CB =. 【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间向量的应用和立体几何的探究性问题，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21.已知函数221()2ln (0)2f x ax x a x a =-+≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)当13a =时，设()f x 的两个极值点为1x ，2x ，证明:121212()()11f x f x x x x x -+-＜. 【答案】（1）详见解析（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用导函数分子的判别式分情况讨论，即可，注意参数0a <时，函数图像开口也会发生相应的变化．（2）利用对数平均不等式，证明即可．【详解】解：（1）22222()1(0)a ax x a f'x ax a x x-+=-+=≠，(0,)x ∈+∞，对于一元二次方程2202ax x a -=+，318a ∆=- ， ①当0∆≤时，即12a ≥时，2202ax x a -=+无解或一个解， 有(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≥，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增， ②当>0∆时，即12a <时，2202ax x a -=+有两个解， 其解为x =， 当102a <<时，0x =>，故在0x << 及12xa +>时，'()0f x >；且1122x a a+<时，'()0f x <，即()f x 在及)+∞上单调递增，在上单调递减，当0a <时，一个实根小于0，一个实根大于0，所以在0x <<'()0f x >，在12x a >，'()0f x <，即()f x 在(0,)1 2a -上单调递增，在(12)a+∞上单调递减．综上所述：即12a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当102a <<时，即()f x 在(0,)1 2a-及(1,2)a +∞上单调递增，在112(2a a +上单调递减；当0a <时，()f x 在(0,)1 2a-上单调递增，在)+∞上单调递减．（2）当13a =时，22()ln 691f x x x x =-+，2392()9x x f'x x-+=，又因为()f x 的两个极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 是方程23920x x -+=的两实数根，121223,,3x x x x +==设12x x >． 121212*********()()()ln ln )2(()()69=x x x x x x f x x x f x x x x x -++------12212(12n ln 9l )x x x x ---= 又因为1212121192x x x x x x ++==，故要证121212()()11f x f x x x x x -+-＜， 只需证2121ln ln )22(1992x x x x -<--，只需证21212l n 5l 4n x x x x <--，只需证121212ln ln 0)x x x x x x -<>>-，下面证明不等式1212ln ln x x x x -<-120x x >>，要证1212ln ln x x x x -<-，即证12ln ln x x -<12ln xx <，令1)t t =>，设()12ln (1)f t t t t t =-+>，则()()22212110t f t t t t-+'=--=<，所以，函数()f t 在()1,+∞上递减，而()10f =，因此当1t > 时，()12ln 0f t t t t=-+<恒成立，即12lnx x <成立，即121212ln ln 0)x x x x x x -<>>-成立，所以12122l n ln 45x x x x <=<--，得证． 【点睛】本题考查利用导函数讨论、求解带参函数的单调性，以及证明不等式，属于难题． 选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 0m θρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）)y x m =-；（Ⅱ）1m =或1m =-或3m = 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据参数方程与普通方程互化原则、极坐标与直角坐标互化原则可直接求得结果；（Ⅱ）P 为直线l 上一点，以P 为定点可写出直线l 参数方程标准形式，将直线l 参数方程代入曲线C的普通方程进行整理，从而利用参数t 的几何意义可构造方程122PA PB t t ，从而得到关于m 的方程，解方程求得结果.【详解】（Ⅰ）由1x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩得：()2212x y -+=即曲线C 的普通方程为：()2212x y -+= 由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：直线l 0x m-+=，即)y x m =- （Ⅱ）直线l 的参数方程可以写为：2 12x m t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数） 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程可得：2211222m t t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即：)()221120t m t m -+--=()212122PA PB t t m ∴⋅==--=，解得：1m =或1m =-或3m =【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程、直线参数方程的应用，关键是能够利用直线参数方程中参数t 的几何意义，将距离之和转变为韦达定理的形式，从而可构造出关于所求变量的方程，属于常考题型. 23.已知*R a b c ∈，，，2221a b c ++=． （1）求证：1ab bc ac ++≤；（2）求证：4442221a b c c a b++≥．【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】(1)由2222ab bc acab bc ac ++++=结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；(2)由题意利用均值不等式首先证得4442222222a b c a b c c a b+++++≥，然后结合题意即可证得题中的结论，注意等号成立的条件.【详解】（1）()()()22222222222a b c b a c ab bc ac ab bc ac +++++++++=≤2221a b c =++=，3a b c ===取等号． （2）444444222222222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b c ≥=++=，所以4442221a b c c a b ++≥，a b c ===【点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.。

2020-2021学年福建省泉州市南安一中高三（上）期初数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M={﹣1，1}，N=，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N=∅D．M∪N=R2．（5分）i为虚数单位，若（+i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）4．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c5．（5分）已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y=4x B．y=log4x C．y=2x D．y=（）x6．（5分）定义min{a，b}=，设f（x）=min{x2，}，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．8．（5分）设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．（5分）若函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且对任意实数x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x ﹣1]=2，则f（8）=（）A．2 B．3 C．4 D．512．（5分）∀x∈R，e x≥ax+b，则实数a，b的乘积a•b的最大值为（）A．B．2 C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是．14．（5分）若函数，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是．15．（5分）若f（x）=ln（e2x+1）+ax是偶函数，则a= ．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥|x|+1；（Ⅱ）若f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范围．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P（），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在C1上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．20．（12分）设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B，求|AB|2020-2021学年福建省泉州市南安一中高三（上）期初数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）设集合M={﹣1，1}，N=，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．M⊆N C．M∩N=∅D．M∪N=R【分析】由集合M={﹣1，1}，N=={x|x＜0或x}，逐一判断即可得答案．【解答】解：集合M={﹣1，1}，N=={x|x＜0或x}，则M⊆N，故A错误；M⊆N，故B正确；M∩N={﹣1，1}，故C错误；M∪N=N，故D错误．故选：B．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，考查了分式不等式的解法，属于基础题．2．（5分）i为虚数单位，若（+i）z=（1﹣i），则|z|=（）A．1 B．C．D．2【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式得答案．【解答】解：由（+i）z=（1﹣i），得，∴|z|=1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．（5分）已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案．【解答】解：由题意可知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；而命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，故选B【点评】本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题．4．（5分）设a=log36，b=log510，c=log714，则（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c【分析】利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，∵，，所以log32＞log52＞log72，所以a＞b＞c，故选D．【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．5．（5分）已知函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），则其反函数的解析式为（）A．y=4x B．y=log4x C．y=2x D．y=（）x【分析】由对数函数的图象过定点求出a的值，然后化指数式为对数式，再把x，y互换求得原函数的反函数．【解答】解：∵y=log a x（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，），∴，解得a=4．∴y=log4x，则x=4y，把x，y互换得到函数y=log4x的反函数为y=4x．故选：A．【点评】本题考查了对数函数的运算性质，考查了函数的反函数的求法，是基础题．6．（5分）定义min{a，b}=，设f（x）=min{x2，}，则由函数f（x）的图象与x轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2，}，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2，}=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．【点评】本题考查了定积分在求面积中的应用，考查了新定义，训练了学生的作图能力，解答要用数形结合画出所求面积的区域，此题是中档题．7．（5分）若正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），则+的值为（）A．36 B．72 C．108 D．【分析】设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，由此能求出+的值．【解答】解：∵正数a，b满足2+log2a=3+log3b=log6（a+b），∴设2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=x，则a=2x﹣2，b=3x﹣3，a+b=6x，∴+===108．故选C．【点评】本题考查代数和的值的求法，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．8．（5分）设函数f（x）=ln（x+），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的（）A．充分必要条件 B．充分而非必要条件C．必要而非充分条件 D．既非充分也非必要条件【分析】由题设条件知对于任意的实数a和b，a+b≥0⇒f（a）+f（b）≥0；f（a）+f（b）≥0⇒a+b≥0，从而判断出结论即可．【解答】解：显然，函数f（x）在R上是递增函数，而且是奇函数，于是，由a+b≥0，得a≥﹣b，有f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b），即f（a）+f（b）≥0．反过来，也成立．故选：A．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，解题时要注意函数单调性的合理运用．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，则函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为（）A．{1，3} B．{﹣3，﹣1，1，3} C．{2﹣，1，3} D．{﹣2﹣，1，3}【分析】首先根据f（x）是定义在R上的奇函数，求出函数在R上的解析式，再求出g（x）的解析式，根据函数零点就是方程的解，问题得以解决．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣3x，令x＜0，则﹣x＞0，∴f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x）∴f（x）=﹣x2﹣3x，∴∵g（x）=f（x）﹣x+3∴g（x）=令g（x）=0，当x≥0时，x2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3，当x＜0时，﹣x2﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣，∴函数g（x）=f（x）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣，1，3}故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，考查函数的零点，函数方程思想．10．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选A．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．11．（5分）若函数f（x）是（0，+∞）上的单调函数，且对任意实数x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x ﹣1]=2，则f（8）=（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据题意，由单调函数的性质，可得f（x）﹣log2x﹣1为定值，可以设t=f（x）﹣log2x﹣1，则f（x）=log2x+t+1，又由f（t）=2，即log2t+t+1=2，解可得t的值，可得f（x）的解析式，求出f（8）即可．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x﹣1]=2，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x﹣1为定值，设t=f（x）﹣log2x﹣1，则f（x）=log2x+t+1，又由f（t）=2，即log2t+t+1=2，解可得，t=1；则f（x）=log2x+2，故f（8）=5，故选：D．【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查指数函数的性质，求出f（x）的解析式是解题的关键，是一道中档题．12．（5分）∀x∈R，e x≥ax+b，则实数a，b的乘积a•b的最大值为（）A．B．2 C．1 D．【分析】由题意：令f（x）=e x，设f（x）上一点坐标为P（x0，e），则f'（x）=e x，所以k=e，所以切线方程为：y﹣e=e（x﹣x0），整理得：y=e x+（1﹣x0）e，求出a、b，f（x）=ab，令f'（x）=0，求出a•b的最大值即可【解答】解：由题意：令f（x）=e x，设f（x）上一点坐标为P（x0，e），则f'（x）=e x，所以k=e，∴切线方程为：y﹣e=e（x﹣x0），整理得：y=e x+（1﹣x0）e，∴a=e，b=（1﹣x0）e，令f（x）=ab=（1﹣x）e2x，那么：f'（x）=﹣e2x+2（1﹣x）e2x=（1﹣2x）e2x，令f'（x）=0，解得：极大值点：x=，∴f（x）max=．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）=e x lnx在点（1，f（1））处的切线方程是y=ex﹣e ．【分析】求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：函数f（x）=e x lnx的导数为f′（x）=e x（lnx+），可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为e（ln1+1）=e，切点为（1，0），即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=e（x﹣1），即为y=ex﹣e．故答案为：y=ex﹣e．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．14．（5分）若函数，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】根据f（a）＞f（﹣a）求a得范围须知道f（a），f（﹣a）的解析式因此根据需对a进行讨论显然a=0不合题意故分a＞0，a＜0进行讨论再解不等式即可得解．【解答】解：①当a＞0时﹣a＜0则由f（a）＞f（﹣a）可得∴log2a＞0∴a＞1②当a＜0时﹣a＞0则由f（a）＞f（﹣a）可得∴log2（﹣a）＜0∴0＜﹣a＜1∴﹣1＜a＜0综上a的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本体组要考查了利用分段函数的解析式解不等式．解题的关键是要分清楚自变量的取值范围所在的取值区间，而本题中的a的范围不定则需分类讨论同时本题还考查了利用对数函数的单调性解有关的对数不等式！15．（5分）若f（x）=ln（e2x+1）+ax是偶函数，则a= ﹣1 ．【分析】根据f（x）为偶函数，便可得到f（﹣1）=f（1），从而得到，这样便可求出a的值．【解答】解：f（x）为偶函数；∴f（﹣1）=f（1）；即；解得a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】考查偶函数的定义，以及对数的运算性质．16．（5分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，则实数a的取值范围为{a|a＜﹣，或a＞} ．【分析】由条件根据△=4（a2+2a﹣3）＞0，再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a的范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2ax+3﹣2a的两个零点x1，x2，且在区间（x1，x2）上恰有两个正整数，∴△=4（a2+2a﹣3）＞0，即a＜﹣3 或a＞1．再根据 x2 ﹣x1 =2∈（2，3），求得a＜﹣，或a＞，综上可得，a的范围是：{a|a＜﹣，或a＞}．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，函数零点的定义，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）当a=2时，解不等式f（x）≥|x|+1；（Ⅱ）若f（x）≤1在[0，1]上恒成立，求a的取值范围．【分析】（I）当a=2时，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．（II）先求得f（x）≤1的解集，根据f（x）≤1在[0，1]上恒成立，根据解集端点与0、1的关系，求得a的范围．【解答】解：（I）当a=2时，不等式为|x﹣2|≥|x|+1，当x≤0时，不等式即2﹣x≥﹣x+1，即2≥1，所以解为x∈（﹣∞，0]；当0＜x≤2时，不等式即2﹣x≥x+1，即，所以解为；当x＞2时，不等式即x﹣2≥x+1，解集为∅；综上可得，该不等式的解为（﹣∞，]．（II）因为f（x）≤1，即|x﹣a|≤1，解得a﹣1≤x≤a+1，而f（x）≤1在[0，1]上恒成立，所以，解得a∈[0，1]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．18．（12分）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜7，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）由由a＞0，有f（x）=|x+|+|x﹣a|≥丨（x+）﹣（x﹣a）丨=+a≥2，即可证明：f （x）≥2；（Ⅱ）f（3）＜7，当a＞3时，f（3）=a+，由f（3）＜7，求得3＜a＜6，0＜a≤3时，f（3）=6﹣a+，求得2＜a≤3，即可求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：由a＞0，有f（x）=|x+|+|x﹣a|≥丨（x+）﹣（x﹣a）丨=+a≥2，当且仅当=a，即a=时，取等号，∴f（x）≥2；…（5分）（Ⅱ）f（3）=3++|3﹣a|．当a＞3时，f（3）=a+，由f（3）＜7，得1＜a＜6，∴3＜a＜6．…（8分）当0＜a≤3时，f（3）=6﹣a+，由f（3）＜7，得a＞2或a＜﹣3，∴2＜a≤3，…（11分）综上，a的取值范围是（2，6）．…（12分）【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查基本不等式的应用，一元二次不等式不等式的解法，考查分类讨论思想，属于中档题．19．（12分）在直角坐标系中，曲线C1：（θ为参数，a＞0）过点P（），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=．（Ⅰ）求曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在C1上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．【分析】（I）由曲线（θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，可得，把代入方程即可得出．直线l的极坐标方程为，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，利用即可得出直角坐标方程．（II）由椭圆的参数方程为（θ为参数），可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为．利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（I）∵曲线（θ为参数），cos2θ+sin2θ=1，∴，∵在曲线C1上，则代入方程有a2=4，∴．∵直线l的极坐标方程为，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，∴直线l的直角坐标方程x+2y﹣10=0．（II）∵椭圆的参数方程为（θ为参数），∴可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为．其中，，由三角函数性质知，当θ﹣θ0=0时，d取最小值为．此时，，即点．【点评】本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程的方法、椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以，由此即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（4x﹣4a）lnx+（2x﹣4a）+2x…（1分）=4（x﹣a）（lnx+1）（x＞0）…（2分）①当a≤0时，f（x）在上单调递减，上单调递增…（3分）②当时，f（x）在（0，a）、上单调递增，在上单调递减…（4分）③当时，f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）④当时，f（x）在，（a，+∞）上单调递增，在上单调递减…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，对任意x≥1，有f（x）≥f（1）=1＞0符合题意…（9分）当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以…（10分）由条件知，a2（1﹣2lna）＞0，解得…（11分）综上可知，…（12分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，属于中档题．21．（12分）已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．【分析】（1）由求得a=b，代入原函数求得则f′（1），再求出f（1）由直线方程点斜式求得切线方程，代入（0，﹣5）求得a=﹣2；（2）求出=，令g（x）=（0＜x＜1），利用导数求得g （x）在（0，1）上为减函数，则由g（x）＞g（1）＞0得答案；（3）求出函数f（x）=lnx﹣ax+的导函数，分析可知当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△＞0求得a的范围．进一步求得导函数的两个零点，分别为，则x1＜1，x2＞1，由f（x）在（x1，1）上递增，得f（x1）＜f （1）=0，再由，可得存在，使得f（x0）=0，结合，f （1）=0，可得使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【解答】（1）解：由，且，得，即，∴a=b．则f（x）=lnx﹣ax+，∴，则f′（1）=1﹣2a，又f（1）=0，∴f（x）的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=（1﹣2a）（x﹣1），即y=（1﹣2a）x﹣1+2a．∵（0，﹣5）在切线上，∴﹣5=﹣1+2a，即a=﹣2；（2）证明：∵f（x）=lnx﹣ax+，∴=，令g（x）=（0＜x＜1），则=＜0．∴g（x）在（0，1）上为减函数，∵x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=2ln1﹣+2﹣ln2=．∴0＜a＜1时，；（3）由f（x）=lnx﹣ax+，得=．当a=0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＜0时，，f（x）为（0，+∞）上的增函数，不符合题意；当a＞0时，由△=1﹣4a2＞0，得0．则当x∈（0，），（）时，f′（x）＜0；当x∈（）时，f′（x）＞0．设，则x1＜1，x2＞1，∵f（x）在（x1，1）上递增，∴f（x1）＜f（1）=0，又，∴存在，使得f（x0）=0，又，f（1）=0，∴f（x）恰有三个不同的零点．综上，使f（x）存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是（0，）．【点评】本题考查了函数性质的应用，考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了函数最值的求法，考查了利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，曲线C3的极坐标方程为θ=．（1）把曲线C1的参数方程化为极坐标方程；（2）曲线C3与曲线C1交于O、A，曲线C3与曲线C2交于O、B，求|AB|【分析】（1）先把参数方程转化为普通方程，利用由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得极坐标方程，（2）利用|AB|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0由x=ρcosθ，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρcosθ=0所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，所以【点评】本题考查了圆的极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2020-2021学年福建省安溪一中三校联考高三（上）期中考试数学（文科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足z=+3i，则|z|=（）A．B．2 C．D．2．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（）A．|a|＞|b| B．＞C．a2＞b2D．2a＞2b3．（5分）已知cos2α=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）设函数y=log3x与y=3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知x，y满足，则z=mx+y（0＜m＜1）的最大值是（）A．﹣1 B．5 C．7 D．2m+37．（5分）为得到的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移A1个单位长度或者向右平移A2个单位长度，A1，A2均为正数，则|A1﹣A2|的最小值为（）A． B． C．D．2π8．（5分）在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（x+2）=13，若f（3）=4，则f（22017）=（）A．4 B．C．26 D．529．（5分）函数f（x）=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx的最大值等于（）A．B．C．D．10．（5分）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则△MBC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．11．（5分）在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．18 B．19 C．20 D．2112．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（+1）2，则a5= ．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B={x|log2x＞1}，则A∩B= ．15．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，则•的最大值是．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设p：关于x的不等式x+≥a2﹣a对任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：关于x的方程x+|x﹣1|=2a有实数解．若p∧q为真，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C的大小；（2）求sinBcosB+cos2B的取值范围．19．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．20．（12分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．2020-2021学年福建省安溪一中三校联考高三（上）期中考试数学（文科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z满足z=+3i，则|z|=（）A．B．2 C．D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z=+3i=+3i=﹣i+1+3i=1+2i，则|z|==．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（）A．|a|＞|b| B．＞C．a2＞b2D．2a＞2b【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但|a|＞|b|不成立，B．若a=2，b=1，满足a＞b，但＞不成立，C．若a=1，b=﹣2，满足a＞b，但a2＞b2不成立，D．若2a＞2b，则a＞b，即使a＞b成立的充要条件是2a＞2b，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系和性质是解决本题的关键．3．（5分）已知cos2α=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由余弦的二倍角公式可得cos2α=cos2α﹣sin2α=，将sin4α﹣cos4α变形可得sin4α﹣cos4α=﹣（cos2α﹣sin2α），两者联立即可得答案．【解答】解：∵cos2α=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=，∴sin4α﹣cos4α=﹣（cos2α+sin2α）（cos2α﹣sin2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣，故选：A．【点评】本题考查余弦二倍角公式以及同角三角函数基本关系式的运用，关键是将sin4α﹣cos4α恒等变形，与cos2α建立关系．4．（5分）设函数y=log3x与y=3﹣x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．【解答】解：∵方程log3x=﹣x+3的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），即则x0所在的区间是（2，3），故选：C．【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．属基础题．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知x，y满足，则z=mx+y（0＜m＜1）的最大值是（）A．﹣1 B．5 C．7 D．2m+3【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】作出不等式组对于的平面区域如图：由z=mx+y，得y=﹣mx+z，∵0＜m＜1，∴﹣1＜﹣m＜0，即目标函数y=﹣mx+z的斜率k=﹣m∈（﹣1，0），平移直线y=﹣mx+z，则当y=﹣mx+z经过点C（0，5）时，y=﹣mx+z的截距最大时，z也取得最大值，此时z=0+5=5，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）为得到的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移A1个单位长度或者向右平移A2个单位长度，A1，A2均为正数，则|A1﹣A2|的最小值为（）A． B． C．D．2π【分析】依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．【解答】解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．【点评】本题以三角函数图象变换为载体，考查诱导公式，考查图象的变换，属于基础题．8．（5分）在R上的函数f（x）满足：f（x）•f（x+2）=13，若f（3）=4，则f（22017）=（）A．4 B．C．26 D．52【分析】利用题中条件：“f（x）•f（x+2）=13”得出函数f（x）是周期函数，从而利用f（3）的值求出f （22017）即可【解答】解：∵f（x）•f（x+2）=13∴f（x+2）•f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一个周期为4的周期函数，∴f（22017）=f（4×5504+1）=f（1）==．故选：B．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．函数的周期性是高考函数题的重点考查内容，几个重要的周期公式要熟悉，如：（1）f（x+a）=f（x﹣a），则T=2a；（2）f（x+a）=﹣，则T=2a等．9．（5分）函数f（x）=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx的最大值等于（）A．B．C．D．【分析】通过三角函数的平方关系式化简函数的表达式，利用换元法通过函数的导数求解函数在闭区间上的最大值即可．【解答】解：y=sin3x+cos2x﹣cos2x﹣sinx=sin3x+1﹣2sin2x﹣cos2x﹣sinx=sin3x﹣sin2x﹣sinx，令sinx=t ∈[﹣1，1]，∴y=t3﹣t2﹣t，∴y′=3t2﹣2t﹣1，令3t2﹣2t﹣1=0，可得t=1或t=﹣，当t∈[﹣1，﹣]时，函数y是减函数，t∈[﹣，1]时函数是增函数，∴函数y的最大值为：（﹣）3﹣（）2+=．故选：B．【点评】本题考查函数在闭区间上的最大值的求法，三角函数的化简与求值，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5=+3，则△MBC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．【分析】连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，连接BE，则四边形ABED是平行四边形，利用S△ABC=S△ABD，S△AMB=S△ABE，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半，即可求得结论．【解答】解：M是△ABC所在平面内一点，连接AM，BM，延长AC至D使AD=3AC，延长AM至E使AE=5AM，如图示：∵5=+3，∴=5﹣3=，连接BE，则四边形ABED是平行四边形（向量AB和向量DE平行且模相等）由于=3，所以S△ABC=S△ABD，=，所以S△AMB=S△ABE，在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半故△ABM与△ABC的面积比==，故选：C．．【点评】本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．11．（5分）在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．18 B．19 C．20 D．21【分析】由题意可得等差数列{a n}递增，结合题意可得a11＞0＞a10，进而可得a10+a11＞0，由等差数列的性质结合求和公式可得答案．【解答】解：∵S n有最小值，∴d＞0，故可得a10＜a11，又：S20=10（a1+a20）=10（a10+a11）＞0，S19=19a10＜0∴S20为最小正值故选C【点评】本题为等差数列性质的应用，涉及项的最值问题，属基础题．12．（5分）已知实数a，b满足2a2﹣5lna﹣b=0，c∈R，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．利用导数的几何意义，研究曲线与直线y+x=0平行的切线性质即可得出．【解答】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：2x2﹣5lnx﹣y=0，即y=2x2﹣5lnx（x＞0），以x代换c，可得点（x，﹣x），满足y+x=0．因此求的最小值即为求曲线y=2x2﹣5lnx上的点到直线y+x=0的距离的最小值．设直线y+x+m=0与曲线y=2x2﹣5lnx=f（x）相切于点P（x0，y0），f′（x）=4x﹣，则f′（x0）==﹣1，解得x0=1，∴切点为P（1，2）．∴点P到直线y+x=0的距离d==．∴则的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（+1）2，则a5= 25 ．【分析】a1=1，a n+1=（+1）2＞0，可得：=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1=1，a n+1=（+1）2＞0，∴=1．∴数列是等差数列，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n，∴a n=n2．则a5=25．故答案为：25．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B={x|log2x＞1}，则A∩B= （2，3] ．【分析】求出集合A，B，然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，集合B={x|log2x＞1}={x|x＞2}，则A∩B=（2，3]．故答案为：（2，3]．【点评】本题考查不等式的解法，集合的交集的求法，是基础题．15．（5分）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，则•的最大值是8 ．【分析】先根据向量的数量积的运算，求出A=60°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，构造函数f（x），利用函数的单调性求出函数的值域m，问题得以解决．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，•，点P在边CD上，∴||•||•cos∠A=4，∴cosA=，∴A=60°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（4，0），D（1，），设P（x，），则1≤x≤5，∴=（﹣x，﹣），=（4﹣x，﹣），∴•=x（x﹣4）+3=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，设f（x）=（x﹣2）2﹣1，则f（x）在[1，2）上单调递减，在[2，5]上单调递增，∴f（x）min=f（2）=﹣1，f（x）max=f（5）=8，∴•的取值范围是[﹣1，8]，则•的最大值是8，故答案为：8．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的坐标的数量积和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）﹣bf（x）+1=0有8个不同根，则实数b的取值范围是（2，] ．【分析】作函数f（x）的图象，从而可得方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上，从而解得．【解答】解：作函数f（x）的图象如右图，∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；∴，解得，2＜b≤；故答案为：（2，]．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）设p：关于x的不等式x+≥a2﹣a对任意的x∈（0，+∞）恒成立；q：关于x的方程x+|x﹣1|=2a有实数解．若p∧q为真，求实数a的取值范围．【分析】先求出使命题p，q为真命题的实数a的取值范围，再由p∧q为真，等价于p和q都为真，求出交集可得答案．【解答】解：对于p，当x∈（0，+∞）时，，当且仅当x=1时取等号，…（2分）所以2≥a2﹣a，得﹣1≤a≤2．…（4分）对于q，由，函数的值域是[1，+∞），…（6分）所以2a≥1，得．…（8分）因为p∧q为真，等价于p和q都为真．所以，得…（10分）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了恒成立问题和存在性问题，难度中档．18．（12分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且（a2+b2﹣c2）tanC=ab．（1）求角C的大小；（2）求sinBcosB+cos2B的取值范围．【分析】（1）根据题意，利用余弦定理即可求出sinC以及C的值；（2）利用三角恒等变换化简代数式，利用B的取值范围再计算即可．【解答】解：（1）由（a2+b2﹣c2）tanC=ab得，，…（1分）即；…（2分）∴，…（3分）又锐角△ABC，∴C=；…（4分）（2）==，…（7分）又△ABC为锐角三角形，且，∴B∈（，），∴2B+∈（，），…（10分）∴sin（2B+）∈（﹣，1），∴．…（12分）【点评】本题考查了余弦定理以及三角恒等变换的应用问题，是基础题目．19．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．【分析】（Ⅰ）讨论q=1，q≠1，由等比数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到q，和a1，进而得到通项公式；（Ⅱ）由对数的运算性质，求得b n=2n，化C n===（﹣），再由数列的求和方法：裂项相消求和，预计不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．当q≠1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=﹣．综上可得：a n=或a n=6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n=log2=log2=log222n=2n，则C n===（﹣），即有C1+C2+C3+…C n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前n项和公式，考查了分类讨论方法、和不等式的证明，注意运用裂项相消求和和不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x（米），外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）为y（米）．（1）求y关于x的函数关系式，并指出其定义域；（2）要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x应在什么范围内？（3）当防洪堤的腰长x为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值．【分析】（1）先由横断面积用x表示BC，从建立y关于x的函数关系式，定义域由线段必须大于零和高度不低于米求解；（2）解y≤10.5分式不等式；（3）求函数y的最小值，根据函数特点及条件可选用不等式解决．【解答】解：（1），其中，，∴，得，由，得2≤x＜6∴；（6分）（2）得3≤x≤4∵[3，4]⊂[2，6）∴腰长x的范围是[3，4]（10分）（3），当并且仅当，即时等号成立．∴外周长的最小值为米，此时腰长为米．（15分）【点评】本题主要考查利用平面图形建立函数模型以及解模的能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1，（1）当a＜时，讨论函数f（x）的单调性；（2）设g（x）=x2﹣2bx+，当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．【分析】（1）首先求导得，再对a进行分类讨论，分别解不等式即可求出单调区间；（2）将条件对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，3]，使f（x1）≥g（x2）转化为g（x2）≤f（x）min在x2∈[1，3]有解，再参变量分离，即2b在x2∈[1，3]有解，利用基本不等式可知，故b．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，当a=0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当a＜0时，f'（x）＞0得x＞1，∴f（x）的递增区间为（1，+∞），f'（x）＜0得0＜x＜1，∴f（x）的递减区间为（0，1）；当时，f'（x）＞0得，∴f（x）的递增区间为f'（x）＜0得0＜x＜1或，∴f（x）的递减区间为（0，1）和．（2）当时，由（1）知，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，∴，依题意有在x2∈[1，3]有解在x2∈[1，3]有解，又当且仅当时等号成立，∴．【点评】本题考查函数的单调性的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题的关键是利用导数性质将条件进行合理转化．22．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣1）e x，g（x）=ax﹣a（a∈R）．（1）若y=g（x）为曲线y=f（x）的一条切线，求实数a的值；（2）已知a＜1，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的整数解只有一个x0，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，设出切点，可得切线的斜率和切线的方程，代入（1，0），解方程可得切线的横坐标，进而得到a的值；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，求出导数，对a讨论，分①当0≤a＜1时，②当a＜0时，判断F（x）的单调性，由不等式即可解得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=e x（2x+1），设切点，则切线的斜率，∴切线为：，∵y=g（x）恒过点（1，0），斜率为a，且为y=f（x）的一条切线，∴，∴，由，得a=1或；（2）令F（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，x∈R，F'（x）=e x（2x+1）﹣a，当x≥0时，∵e x≥1，2x+1≥1，∴e x（2x+1）≥1，又a＜1，∴F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上递增，∵F（0）=﹣1+a＜0，F（1）=e＞0，则存在唯一的整数x0=0使得F（x0）＜0，即f（x0）＜g（x0）；当x＜0时，为满足题意，F（x）在（﹣∞，0）上不存在整数使F（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，﹣1]上不存在整数使F（x）＜0，∵x≤﹣1，∴e x（2x+1）＜0，①当0≤a＜1时，F'（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，﹣1]上递减，∴当x≤﹣1时，，得，∴；②当a＜0时，，不符合题意．综上所述，．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和方程，以及单调区间，考查单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．。

2020年莆田二中、泉州一中、南安一中高三年三校联考化学试题（满分：100分；考试时间：90分钟）友情提示：所有答案必须写到答题卡相应的位置上。

学校姓名班级可能用到的相对原子质量：N:14 H:1 Na:23 Mg:24 S:32 O:16 Si：28Al:27 Ba:137 Cu:64第I卷选择题一、单项选择题（每小题3分，共14小题，共42分）1.用下列实验装置和方法进行相应实验，能达到实验目的的是（）甲乙丙丁A.用装置甲制备SO2B.用装置乙从碘水溶液中萃取碘C.装置丙用于制备少量含NaClO的消毒液D.用装置丁蒸干溶液获得(NH4)2CO3晶体2.安全气囊碰撞时发生反应：10NaN3+2KNO3=K2O+5Na2O+16N2 ↑，下列判断正确的是( )A.每生成16 molN2转移30 mol电子B.NaN3中N元素被还原C.还原产物与氧化产物质量之比为1∶15D.N2既是氧化剂又是还原剂3.下列有关说法正确的是（）①生产熔喷布口罩的原料聚丙烯是纯净物，在“新冠战疫”中发挥了重要作用②明矾溶于水可水解生成Al(OH)3胶体，因此可用明矾对自来水进行杀菌消毒③分解、电解、潮解、裂解都是化学变化④胶体与其他分散系的本质区别是分散质粒子直径的大小⑤淀粉、蛋白质、纤维素、油脂都是高分子化合物，氨水、王水、双氧水都是混合物 ⑥元素处在最高价态时只有强氧化性，最低价态时只有强还原性⑦CO 2、NH 3的水溶液能导电，所以CO 2、NH 3均是电解质A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．根据下列实验操作和现象所得出的结论正确的是（ ）选项实验操作和现象 结论 A 向某黄色溶液中加入淀粉KI 溶液，溶液呈蓝色溶液中含Br 2 B 烧杯中看见白色沉淀证明酸性强弱：H 2CO 3>H 2SiO 3C向Fe(NO 3)2溶液中滴入硫酸酸化的H 2O 2溶液，溶液变黄氧化性：H 2O 2>Fe 3＋ D 取5 mL 0.1 mol·L －1KI 溶液，加入1 mL 0.1 mol·L－1FeCl 3溶液，萃取分液后，向水层滴入KSCN 溶液，溶液变成血红色Fe 3＋与I －所发生的反应为可逆反应 5.设N A 为阿伏加德罗常数的值。

福建省南安一中2021届高三数学（理）上学期期中试题本试卷考试内容为：总温习第一至五章节及第七章节，总分值１５０分，考试时刻１２０分钟. 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

依照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3．答案利用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．维持答题纸纸面清洁，不破损。

考试终止后，将本试卷自行保留，答题纸交回.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.. 1. 已知复数z 知足25)43(=+z i ，那么z 为（ ）A ．i 43+B ．i 43-C ． i 43--D ．i 43+- 2. 已知向量(1,1)a =-,(3,)b m =,//()a a b +,那么m =（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．33. 某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92 C.32D.3 4. 设123log 2,ln 2,5a b c ===，那么（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．c b a <<D ．b c a <<5. 设函数)(x f 是概念在R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(， 则)5.7(f 等于（ ） A ．0.5- B ．0.5C ． 1.5-D ．1.56. 列关于命题的说法错误的选项是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，那么1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，那么0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分没必要要条件；C ．假设命题p ：,21000nn N ∃∈>，那么p ⌝：,21000nn N ∀∈≤；D ．命题“(,0),23xxx ∃∈-∞< ”是真命题7. 函数y ＝x 33x －1的图象大致是 ( ) （第3题图）211正视图 侧视图俯视图x8. 函数()()002f x A sin x A ,,πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如下图，为了取得()cos3g x x =的图象，那么只要将()f x 的图象 （ ） 度A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度9. 设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,以下命题中为真命题的个数（ ）①若m α⊥,//m n ,//n β,那么αβ⊥②若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,那么//m α③若m β⊥,m α⊂,那么αβ⊥ ④若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,那么m n ⊥ A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10. 已知函数()y f x =对任意的(,)22x ππ∈-知足'()cos ()sin 0f x x f x x +>（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），那么以下不等式成立的是( ) A ．(0)2()4f f π>B ．(0)2()3f f π<C ．2()()34f f ππ->- D ．2()()34f f ππ<二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11. 设数列}{n a 是等差数列,24321-=++a a a ,2619=a , 那么此数列}{n a 前20项和等于 .12. 如图，已知幂函数ay x =的图象过点(2,4)P ，那么图中阴影部份的面积等于 ．13. 若ΔABC 的面积为23，2BC =，60C =︒，那么角A 的大小为 .14. 已知函数2()f x x =，1()()2xg x m =-，假设对任意1[0,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥，那么实数m 的取值范围是 .15. 已知P 是函数()y f x =([,])x m n ∈图象上的任意一点，,M N 该图象的两个端点， 点Q 知足MQ MN λ=，0PQ i •=（其中01λ<<，i 为x 轴上的单位向量），假设PQ T ≤ (T 为常数)在区间[,]m n 上恒成立，那么称()y f x =在区间[,]m n 上具有 “T 级线性逼近”. 现有函数：①1y x =+;②1y x=；③2y x =;④3y x =.那么在区间[1,2]上具有“14级线性逼近”的函数的是 （填写符合题意的所有序号）. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤.16．（本小题总分值13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且知足21,n n S a =-*()n N ∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(n n b a n n =-∈*)N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题总分值13分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,24AB AC AB AC AA ⊥===，， 点D 是BC 的中点.（Ⅰ）求证：A 1B//平面ADC 1；（Ⅱ）求平面ADC 1与ABA 1所成二面角的平面角的正弦值.18．（本小题总分值13分）已知函数2()sin 22cos f x x x m =-+的图像通过点(0)8π，.(Ⅰ)求函数()f x 的递增区间； (Ⅱ)假设32()(0)252f ααπ=∈，，，求sin α的值. 19．（本小题总分值13分）已知(3sin ,2cos ),(2cos ,cos ),m x x n x x ==-函数()1f x m n =•-． (Ⅰ) 求函数)(x f 的最小正周期和对称轴的方程；(Ⅱ)设锐角ABC ∆的角C B A ,,的对边别离为c b a ,,，且1,()0a f A ==，求c b +的取值范围．20．（本小题总分值14分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数21()()2g x f x x bx =+-． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）假设函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围； （Ⅲ）设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，假设72b ≥，求12()()g x g x -的最小值． 21．（本小题总分值14分）此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2个小题作答，总分值14分．若是多做，那么按所做的前两题记分． （1）（本小题总分值7分）选修4－2：矩阵与变换（第17题图）已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b a A 23的两个特点值为6和1， （Ⅰ）求b a ,的值 （Ⅱ）求矩阵1-A .（2）（本小题总分值7分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=θθsin 22cos 22r y r x （θ为参数，0>r ），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴成立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1)4sin(=+πθρ，（Ⅰ）写出圆C 的一般方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）假设圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求半径r 的值. （3）（本小题总分值7分）选修4－5：不等式选讲 若c b a ,,为正实数且知足632=++c b a ，（Ⅰ）求abc 的最大值；的最大值． 南安一中2021～2021学年度高三上学期期中考 数学科试卷参考答案（理科） 一、选择题：（5×10=50）二、填空题：（4×5=20） 11． 180 12．83 13． 6π14．14m ≥ 15. ①②③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

福建省泉州市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）AB ．2C D【答案】A【解析】【分析】 由122PF PF =及双曲线定义得1PF 和2PF（用a 表示），然后由余弦定理得出,a c 的齐次等式后可得离心率．【详解】 由题意∵122PF PF =，∴由双曲线定义得122PF PF a -=，从而得14PFa =，22PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，化简得==c e a故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用a 表示出P 到两焦点的距离，再由余弦定理得出,a c 的齐次式． 2．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r ，则a =r （ ）A ．()4,6B ．()4,6--C ．⎝⎭D ．1313⎛-- ⎝⎭【答案】B【解析】【分析】设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r 的坐标.【详解】设(),a x y =r ，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，由//a m r u r 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--r . 故选：B.【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.3．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）A ．λ＜﹣16B ．λ＝﹣16C ．﹣12＜λ＜0D ．λ＝﹣12 【答案】D【解析】【分析】 分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，244AB k =+，然后计算，可得结果.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ， 联立()2222212404y k x k x k x k y x =-⎧⇒-++=⎨=⎩（） 则212222442k x x k k++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以12244x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k=+， 所以41612λ=-=-故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。