OB讲义(1)

《案例》：达克林公司1. 引子Peter向来睡眠很好，但这几天难以入睡。

他确信必须采取行动解决公司中的危机了。

一大早他便召集全体会议，宣布三天之后将在广州近郊的花都芙蓉嶂度假区召开一次公司管理层扩大会议，参加者有6人：副总经理Peter, 培训讲师Gilbert, 培训讲师Paul, 行政主任Maxine, 客户部经理Michael, 客户助理Lily。

Peter还特别要求：会议召开前每人必须先做“功课”，思考目前公司内存在的三大问题，及解决问题的上、中、下三策，要在动身去花都之前交作业，各人作业严格保密。

最后，他脸色凝重地调侃了一句：希望这是我们达克林公司的“遵义会议”，而不是“庐山会议”。

1999年7月下旬的广州，天气格外炎热，令Peter 的心情也焦躁不安。

2. 达克林培训公司广州达克林培训公司是一家针对商界白领的培训机构，由国外一间从事教育投资的上市公司投资，1997年5月成立。

由于教育领域并不对外开放，所以达克林公司只能用民办教育机构的形式在广州市教委注册，外籍老板遥控。

达克林的市场定位是小规模的高级在职培训，办公地点设在市中心的高级写字楼内。

两年来，达克林逐步发展为当地较有影响的培训机构。

公司的主要培训业务是商务英文和工商管理两大类，客户集中在广州地区的大型外资企业。

从财务数据来看，企业内训（上门服务）占70%，公开课程（在高级宾馆的会议室举行）占30%。

自98年下半年以来，由于集团业务调整，Peter以副总经理的职务主持公司的管理工作，甚至人事，财务也全权处理。

在制定99年业务发展计划时，集团方面认为经过一年半的运营，培训公司必须迈上一个新台阶，将声誉转化为收益，当年必须达到收支平衡并略有赢利。

虽然没有说明达不到目标又怎样，但Peter知道商场如战场，恶果将是停业重组，甚至关门大吉。

Peter感觉压力很大，但也不愿认输投降，最后决计放手一搏。

他计算了一下，幸好手中还有30多万元，基本能够应付日常运转，但要达到今年的战略目标，必须将费用开支压缩30%，营业收入增加70%，而且时间上必须在第二季度见到成效，使公司收支进入良性循环，否则周转资金就不够维持日常开支了。

第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。

本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。

希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。

总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。

A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。

讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。

第1讲 等腰三角形 1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算． 知识点01 等腰三角形1.等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，则它叫等腰三角形，其中AB 、AC 为腰，BC 为底边,∠A 是顶角，∠B 、∠C 是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A ＝180°－2∠B ，∠B ＝∠C ＝1802A ︒-∠ . 2.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．3.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．4.等腰三角形是轴对称图形 目标导航知识精讲等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．5.等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【知识拓展1】根据等边对等角求角度例1．（2021·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？例2．（2021·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB 的度数例3．（2021·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．例4．（2021·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．【知识拓展2】利用三线合一求解与证明例1．（2021·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD ＝CE．⊥，垂足为D，E是BC延长线上的一点，例2．（2021·重庆·八年级期中）如图：已知等边ABC中，BD AC=，且CE CD（1）求证：BD DE=；（2）若M为BE中点，求证：DM平分BDE∠．例3．（2021·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB 上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．……任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如图2，连接EF．①求证：△CEF ≌△DFE ；②求证：△PEF 是等腰三角形；③小军作图得到的射线OP 是∠AOB 的平分线吗？请判断并说明理由．例4．（2021·广东广州·八年级阶段练习）如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AB ：AD ：13BD =：12：5，ABC 的周长为36，求ABC 的面积．例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于点D ，点E 为CD 上一点，且DE ＝AD ，连接BE 并延长交AC 于点F ，连接DF ．（1）求证：BE ＝AC ；（2）若AB ＝BC ，且BE ＝2cm ，则CF ＝ cm ．例6．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC ＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．【即学即练1】（2021·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE 平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．【即学即练2】（2021·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．（1）如图1，求证：CE＝DE；AB的线段．（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于12【即学即练3】（2021·吉林·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，AD 为边BC 的中线，E 是边AB 上一点（点E 不与点A 、B 重合），过点E 作EF BC ⊥于点F ，交CA 的延长线于点G ．（1）求证：AD //FG ；（2）求证：AG AE =；（3）若3AE BE =，且4AC =，直接写出CG 的长．【即学即练4】（2021·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ，BC 交x 轴于点D ．（1）若A （﹣8，0），C （0，6），直接写出点B 的坐标 ；（2）如图2，三角形△OAB 与△ACD 均为等腰直角三角形，连OD ，求∠AOD 的度数；（3）如图3，若AD 平分∠BAC ，A （﹣8，0），D （m ，0），B 的纵坐标为n ，求2n ＋m 的值．【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．【即学即练】如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF 的周长为（ ）A ．13B ．12C ．15D ．20【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用例1、已知：如图，ABC △中，45ACB ∠=︒，AD⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ， BAD FCD ∠=∠．求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．知识点02 等边三角形1.等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．2.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.3.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【知识拓展4】等边三角形例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

下列函数中，反比例函数有 ()11y -= ②11y x =+ ③21
y x
= ④13y x = ⑤()0k y k x =< 实战演练] ．如果函数2
22
k
k y kx +-=是反比例函数，那么k 的值为
为坐标原点. 已知反比例函数轴于点B ，且△AOB 的面积为 ，且AB ∥第14题图 B O A
4.（甘肃兰州）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点221k k y x
++=的图像上。

若点A 的坐标为（－2，－2），则k 的值为（ ）
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
y
B
第5题图 第6题图
8.（福建福州）如图是我们学过的反比例函数图象,它的函数解析式可能是 （ A ．2y x = B ．4y x = C ．3y x
=- D ．12y x =
9.（河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作P Q ∥x 轴交图象于点y 随x 的增大而增大
M
P Q
第
上的点（不与A、B重合）,过点
B OD面积是S2、△P OE
第15题图。

第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。

2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

3.掌握空间向量的线性运算。

4.掌握空间向量的数量积。

知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。

我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础．利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定；假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.；B.；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面；C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D AB A B ++= B ．1111()0A C AB A A -=C ．向量1AD 与向量1A B的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++= ， 221113AC A B =，∴22111()3()AC A B = ，所以A 正确；1111A B A A AB -= ，11AB A C ⊥，∴110A C AB =，故B 正确；1ACD ∆ 是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥ ，∴10AB AA = ，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键．由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量．【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误；若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且3148OP OA OB tOC=++，若P，A，B，C四点共面，则实数t=．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC=++，且P，A，B，C四点共面，∴31148t++=18t∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC-中，棱长为2，且E是棱AB中点，则PE BC的值为．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．由E是棱AB中点，可得1()2PE PA PB=+，代入PE BC，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC⊥，可得：0PA BC=．E是棱AB中点，∴1()2PE PA PB=+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC=+=+=⨯⨯⨯︒=-．故答案为：1-．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又，所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．（2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出．【解答】（1）证明： 1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解： 111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++ ，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a=⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗ C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ= ，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a < ，b > ，再由平方关系求出sin a < ，b > 的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，||||sin b a b a b ==<⊗ ，a > ，故a b b a =⊗⊗ 恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗ ，)b > ，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗ ，b > ，故()()a b a b λλ=⊗⊗ 不会恒成立；对于C ，若a b λ= ，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗ ，c > ，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗ ，||||sin c b c b >+< ，(1)||||sin c b c b λ>=+< ，c > ，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ 不会恒成立；对于D ，cos a < ，1212||||x x y y b a b +>= ，sin a < ，b >= ，即有||||||a b a b a ==⊗=1221||x y x y ===-．则1221||a b x y x y =-⊗ 恒成立．故选：AD ．。

高中物理竞赛辅导讲义第8篇 稳恒电流【知识梳理】一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律）流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。

即∑I =0。

若某复杂电路有n 个节点，但只有（n −1）个独立的方程式。

2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律）对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。

即∑U =0。

若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。

二、等效电源定理1． 等效电压源定理（戴维宁定理）两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。

2． 等效电流源定理（诺尔顿定理）两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。

三、叠加原理若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。

四、Y−△电路的等效代换如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系时完全等效。

1． Y 网络变换为△网络122331123R R R R R R R R ++=， 122331231R R R R R R R R ++=122331312R R R R R R R R ++=2． △网络变换为Y 网络12311122331R R R R R R =++，23122122331R R R R R R =++，31233122331R R R R R R =++五、电流强度与电流密度 1．电流强度 （1）定义式：q I t∆=∆。

（2）宏观决定式：U I R=。

（3）微观决定式：I neSv =。

2．电流密度在通常的电路问题中，流过导线截面的电流用电流强度描述就可以了，但在讨论大块导体中电流的流动情况时，用电流强度描述就过于粗糙了。

课时一截面法1.基础知识题1.为了保证工程构件的正常工作，构件应满足、、。

解：强度条件、刚度条件、稳定性条件。

题2.在材料力学中，变形固体的三个基本假设为：、、。

解：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。

题3.在材料力学中，变形的四种基本形式为、、、。

解：拉压、剪切、扭转、弯曲。

2.截面法题1.杆件受力如图所示，则11-截面的轴力为，22-截面的轴力为。

解：11-截面：,11000N F +=,1100N F N⇒=-22-截面：,2100100N F +=,20N F N⇒=题2.材料力学中求内力的基本方法是。

解：截面法。

考点重要程度占分常见题型1.内容概要★★★04填空2.截面法必考基础知识填空100N ,1N F 11截面法：截、取、代、平22100NN,2F 100N21N200100N100N21x解：2234B q a a qa a F a ⨯⨯+⨯=⨯()2B F qa ⇒=↑22S F qa qa +=0S F ⇒=222qa a M qa a⨯+=⨯()22M qa ⇒=答案：0S F =，22M qa =课时一练习题1．材料力学的主要任务是解决零件设计中的强度问题、问题和问题。

2．材料力学中，对可变形固体作出了三个基本假设，即连续性、均匀性和假设。

3．下列变形中，不属于基本变形的是（）。

.A 扭转.B 剪切.C 斜弯曲.D 拉伸与压缩4．在材料力学中，分析计算杆件内力采用的是（）。

.A 几何法.B 解析法.C 截面法.D 矢量法5．如图所示结构，截面11-、22-、33-的轴力分别为、、。

6．如图所示外伸梁，截面B 的内力分别为：=S F ，M =。

S F ：使隔离体顺时针转动为正M ：下侧受拉为正qa2MCDBqa 2S F q2F qa =ABCDa2aaqABCDaaa2qa 23123140kN 20kN30kN课时二拉压变形1.轴力图题1.如图所示杆件，画出轴力图解题思路（考试时不必写出）（1）11-截面：（2）22-截面：（3）33-截面：解：考点重要程度分值常见题型1.轴力图必考58 作图题2.应力、应变与变形812 大题3.应力应变曲线★★★03填空、选择213140kN30kN20kN2350kNx1150kN1N F ，,150N F kN=,2,2504010N N F F kN=+⇒=3320020N N F F kN+=⇒=-，，50kN40kN,2N F 2220kN3N F ，3350kN 10kN+-+xNF2.应力、应变与变形题1.图示阶梯形杆221212,10,200,100,40,200AC P kN l l mm A mm A mm E GPa ======,求：（1）绘制轴力图；（2）确定杆横截面上的最大正应力是多少？处于哪一段？（3）AC 杆轴向总变形ACL ∆解：（1）（2）3861301031030010010σ-⨯===⨯=⨯ABN ABF Pa MPa A 38621010 2.5102504010σ-⨯===⨯=⨯BCN BCF Pa MPa A max 300σσ==AB MPa ，处于AB 段（3）2112BC AB N N AC AB BC F l F l l l l EA EA ⋅⋅∆=∆+∆=+333396963010200101010200102001010010200104010m ----⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭45.5100.55m mm -=⨯=（1）应力：σ=N F A（单位面积上的内力）（2）应变：NF E EAσε==（单位长度变形）（3）变形：N F l l l EAε∆=⋅=6110=MPa Pa 9110=GPa Pa3P2PPCBA1l 2l [][][]22444σσππσσπ⎧=≤⇒⎪⎪⎪⎪⇒≥⇒⎨⎪⎪⋅⎪≤⇒⎪⎩N N NF d F d d F 强度校核截面尺寸设计载荷设计（以圆截面杆为例）()2242σππ===N N NF F F A d d （:E 弹性模量）30kN 10kN++F题2.刚性杆ACB 由圆杆CD 悬挂在C 点，B 端作用集中力25P kN =。

1．弦切角定理（1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．如图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA＝∠PBC（∠PCA为弦切角）．2、相交弦定理【结论1】如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，半径为r,则①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.3、切割线定理【结论2】如图，PBC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，半径为r,则①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r24、割线定理【结论3】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，半径为r,则①PA·PB＝PC·PD②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2口诀：从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲考点一：相交弦定理【例1】．已知：如图弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，且AP＝2，PB＝3，则是⊙O的半径等于（）A．B．C．D．解：延长CO交⊙O于D，设⊙O的半径是R，∵弦AB经过⊙O的半径OC的中点P，∴CP＝R＝OP，PD＝R+R，由相交弦定理得：AP×BP＝CP×DP，则2×3＝R×（R+R），解得：R＝2，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝2：3．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．【变式1-2】．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD，CA＝CB，过点A作AC的垂线交CD的延长线于点E，连结BE．若cos∠ACB＝，则的值为．解：设AC，BD交于点F，过点B作BG⊥EA，交EA的延长线于点G，如图，∵AC⊥BD，cos∠ACB＝，∴cos∠ACB＝＝，设CF＝3k，则CB＝5k，∴BF＝＝4k．∵CA＝CB，∴AC＝5k，∴AF＝AC﹣CF＝2k．∵CF•AF＝DF•BF，∴DF＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，∴DF∥AE，∴，∴，∴AE＝k．∴CE＝＝k．∵AC⊥BD，AE⊥AC，BG⊥EA，∴四边形AFBG为矩形，∴BG＝AF＝2k，AG＝BF＝4k，∴EG＝AE+AG＝k，∴BE＝＝k，∴＝，故答案为：．考点二：弦切角定理【例2】．如图，割线PAB过圆心O，PD切⊙O于D，C是上一点，∠PDA＝20°，则∠C的度数是110度．解：连接BD，则∠BDA＝90°，∵PD切⊙O于点D，∴∠ABD＝∠PDA＝20°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣20°＝70°；又∵四边形ADCB是圆内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠DAB＝180°﹣70°＝110°．变式训练【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙O相切于A点，另一边交⊙O于B、C两点，⊙O的半径为，AC＝，则AB的长度为（）A．B．6C．D．5解：连接OA，OB，作OD⊥AC于D，CE⊥AP于E，∵OA＝OB，∴∠AOD＝∠AOC，AD＝DC＝，∴OD＝＝2，∵PA切⊙O于A，∴∠CAE＝∠B，∵∠B＝∠AOC，∴∠CAE＝∠AOD，∵∠AEC＝∠ADO＝90°，∴△ACE∽△OAD，∴＝＝，∴＝＝，∴CE＝，AE＝，∵∠P＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝CE＝，PC＝，∵PA＝AE+PE，∴PA＝，∵∠CAE＝∠B，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA，∴AC：AB＝PC：PA，∴2：AB＝：，∴AB＝6．故选：B．【变式2-2】．如图，BP是⊙O的切线，弦DC与过切点的直径AB交于点E，DC的延长线和切线交于点P，连接AD，BC．若DE＝DA＝，BC＝2，则线段CP的长为．解：连接BD，如图，∵DE＝DA，∴∠A＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DCB＝∠A，∴∠BEC＝∠DCB．∴BE＝BC＝2．∵∠DEB＝180°﹣∠BEC，∠BCP＝180°﹣∠BCE，∴∠DEB＝∠BCP，∵BP是⊙O的切线，∴∠BDE＝∠PBC，∴△DEB∽△BCP，∴，∴，∴CP＝．故答案为：．考点三：切割线定理【例3】．如图，直线PA过半圆的圆心O，交半圆于A，B两点，PC切半圆与点C，已知PC＝3，PB＝1，则该半圆的半径为4．解：∵PC切半圆与点C，∴PC2＝PA•PB，即PA＝9，则AB＝9﹣1＝8，则圆的半径是4．故答案为4．变式训练【变式3-1】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OA为半径作圆O与BC相切于点D，分别交AC、AB于E、F，若CD＝2CE＝4，则⊙O的直径为（）A．10B．C．5D．12解：连接OD，过O作AC的垂线，设垂足为G，∵∠C＝90°，∴四边形ODCG是矩形，∵CD是切线，CEA是割线，∴CD2＝CE•CA，∵CD＝2CE＝4，∴AC＝8，∴AE＝6，∴GE＝3，∴OD＝CG＝5，∴⊙O的直径为10．故选：A．【变式3-2】．如图，在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C，D．AC与BD相交于点E，CD2＝CE•CA，分别延长AB，DC相交于点P，PB＝BO，CD＝2．则BO的长是4．解：连接OC，如图，∵CD2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4（负根已经舍弃），∴OB＝4，故答案为4．【变式3-3】．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．考点四：割线定理【例4】．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3B．7.5C．5D．5.5解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．变式训练【变式4-1】．如图，P是圆O外的一点，点B、D在圆上，PB、PD分别交圆O于点A、C，如果AP＝4，AB＝2，PC＝CD，那么PD＝4．解：如图，∵AP＝4，AB＝2，PC＝CD，∴PB＝AP+AB＝6，PC＝PD．又∵PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝PD2，则PD＝4．故答案是：4．【变式4-2】．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB＝2，BC＝CD＝10，AD＝6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BE﹣BF的值为4．解：延长CD交⊙O于点G，设BE，DG的中点分别为点M，N，则易知AM＝DN，∵BC＝CD＝10，由割线定理得，CB•CF＝CD•CG，∵CB＝CD，∴BF＝DG，∴BE﹣BF＝BE﹣DG＝2（BM﹣DN）＝2（BM﹣AM）＝2AB＝4．故答案为：4．1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM＝60°，则∠B的正切值是（）A．B．C．D．解：连接BD．AB是直径，则∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠BCM＝60°．∴∠CDA＝∠CDB+∠ADB＝150°．∵∠CBA＝180°﹣∠CDA＝30°，∴tan∠ABC＝tan30°＝．故选：B．2．如图，从圆外一点P引圆的切线PA，点A为切点，割线PDB交⊙O于点D、B．已知PA＝12，PD＝8，则S△ABP：S△DAP＝9：4．解：由切割线定理可得PA2＝PD×PB，∵PA＝12，PD＝8∴PB＝18．由弦切角和公共角易知△PAD∽△PBA．：S△PBA＝PA2：PB2＝4：9．∴S△P AD3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O过AB两点且与BC切于B，与AC交于D，连接BD，若BC＝﹣1，则AC＝2．解：∵AB＝AC，∠C＝72°，BC是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠BAC＝36°，∴∠ABD＝36°，∴∠BDC＝∠BCD＝72°，∴AD＝BD＝BC；又∵BC是切线，∴BC2＝CD•AC，∴BC2＝（AC﹣BC）•AC（设AC＝x），则可得到：（x﹣）2＝，解得：x1＝2，x2＝（x2＜0不合题意，舍去）．∴AC＝2．4．如图，⊙O的直径AB＝8，将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，则△ABC的面积为8．解：设弧BC沿弦BC折叠后的圆弧的圆心为O′，连接O′B，如图，∵将弧BC沿弦BC折叠后与∠ABC的角平分线相切，∴O′B⊥BD，∴∠O′BD＝90°．设∠ABD＝α，则∠BCD＝∠ABD＝α，∴∠ABC＝2α．由折叠的性质得：∠ABC＝∠O′BC＝2α，∴∠O′BD＝∠O′BC+∠DBC＝3α＝90°，∴α＝30°．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝AB•cos∠ABC＝8×cos60°＝4，AC＝AB•sin∠ABC＝8×＝4．∴△ABC的面积为AC•BC＝4×＝8．故答案为：8．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则DE的长是．解：连接OB，OC，OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，解法一：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴GE＝，∴DE＝GE﹣GD＝．解法二：在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝，∵AD×DE＝BD×CD，∴DE＝＝．故答案为：．6．如图，已知AC＝AB，AD＝5DB＝4，∠A＝2∠E．则CD•DE＝56．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，交CD于点H；过点B作BG∥AH，交DE于点G；∵AB＝AC，∴CF＝BF，∠A＝2∠HAD；而∠A＝2∠E，∴∠HAD＝∠E，∴A、H、B、E四点共圆，∴DH•DE＝DA•DB＝4×5＝20；∵BG∥AH，且CF＝BF，∴△AHD∽△BGD，CH＝HG；∴，设HD＝5λ，则DG＝4λ，∴CD＝CH+HD＝14λ，∴DH＝，∴•DE＝20，∴CD•DE＝56．故答案为56．7．如图：BE切⊙O于点B，CE交⊙O于C，D两点，且交直径于AB于点P，OH⊥CD于H，OH＝5，连接BC、OD，且BC＝BE，∠C＝40°，劣弧BD的长是．解：连接AD，BD∵BE＝BC∴∠E＝∠C＝40°，∠BOD＝80°，∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD）÷2＝50°∵BE是切线∴∠DBE＝∠C＝40°∴∠BDE＝180°﹣∠E﹣∠DBE＝100°∴∠HDO＝180°﹣∠ODB﹣∠BDE＝30°∵OH⊥CD∴OD＝＝10，即圆的半径是10∴弧BD的度数是80度弧BD＝＝．8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点A（4，3），点B与点C在y轴上，点B与原点O重合，且AB＝AC，AC与⊙O交于点D，延长AO与⊙O交于点E，连接CE、DE与x轴分别交于点G、F，则tan∠DFO＝，tan∠A＝．解：设圆O与y轴交于点H，K，过点A作AM⊥OC于点M，过点D作DN⊥OC于点N，如图，∵A（4，3），∴AM＝4，MO＝3，∴AO＝＝5．∵AB＝AC，点B与原点O重合，∴AB＝AC＝5．∴AE＝2AO＝10．∵AE为⊙O的直径，∴ED⊥AD．∵AB＝AC，AM⊥OC，∴OC＝2OM＝6．∴CH＝CO﹣OH＝6﹣5＝1，∴CK＝CH+HK＝1+10＝11．∵CD•CA＝CH•CK，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣＝．∴DE＝＝．∴tan∠DAE＝＝＝．∵DH⊥OC，FO⊥OC，∴DH∥OF．∴∠DFO＝∠NDF．∵ED⊥AD，∴∠NDF+∠CDN＝90°．∵DN⊥OC，∴∠CDN+∠NCD＝90°．∴∠NDF＝∠NCD．∴∠DFC＝∠NCD．∴tan∠DFC＝tan∠NCD＝．故答案为：；．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，C为切点，且CD＝CB，连接AD，与⊙O交于点E．（1）求证AD＝AB；（2）若AE＝5，BC＝6，求⊙O的半径．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠ACB，∵BC＝BD，AC＝AC，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴AB＝AD；（2）连接OB，OC，CE，连接AO并延长交BC于点F，∵△ACB≌△ACD，∴∠CAB＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CE，∵BC＝CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠D＝∠CED，∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ACD＝∠D，∴∠CED＝∠ACD，∴△DEC∽△DCA，∴＝，∴＝，∴DE＝4或DE＝﹣9（舍去），∴AD＝AE+DE＝9，∴AB＝AC＝AD＝9，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AF是BC的垂直平分线，∴AF⊥BC，BF＝CF＝BC＝3，∴AF＝＝＝6，设⊙O的半径为r，在Rt△OFC中，OF2+CF2＝OC2，∴（6﹣r）2+32＝r2，∴r＝，∴⊙O的半径为．10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，过点A作⊙O 的切线交CD的延长线于点F，连接FB．（1）求证：FB是⊙O的切线．（2）若AC＝4，tan∠ACD＝，求⊙O的半径．（1）证明：连接OA，OB，∵FA是⊙O的切线，∴OA⊥FA，∴∠FAO＝90°，∵直径CD⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠FBE＝∠FAE，∵OA＝OB，∴∠OBE＝∠OAE，∴∠OBE+∠FBE＝∠FAE+∠OAE＝∠FAO＝90°，∴半径OB⊥FB，∴FB是⊙O的切线（2）解：∵tan∠ACD＝＝，∴令AD＝x，则CD＝2x，∵△ADC是直角三角形，∴AC＝＝＝x＝4，∴x＝4，∴AD＝4，CD＝8，∵AD2＝DE•CE，∴42＝8DE，∴DE＝2，∴CD＝DE+CE＝2+8＝10，∴⊙O的半径长是5．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴．∴∠DBA＝∠G．∵∠EFB＝∠BFG，∴△EFB∽△BFG，∴，∴FB2＝FE•FG；（2）解：连接OE，如图，∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，∴BD＝＝6．∴OB＝BD＝3．∵点E为AB的中点，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．∴．∴，∴，∴BF＝2；∵点E为AB的中点，∴AE＝BE＝3，∴EC＝＝3．∵AE•BE＝EG•EC，∴EG＝．12．如图，⊙O的割线PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，PE＝4，PB＝4，∠AEB＝60°．（1）求证：△PDE∽△PCA；（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；（3）求⊙O的面积．（答案保留π）（1）证明：由弦切角定理得∠PEB＝∠EAB，∵PC是∠APE的平分线，∴∠CPE＝∠CPA，∴△PDE∽△PCA；（2）解：由切割线定理得PE2＝PA•PB，∵PE＝4，PB＝4，∴PA＝12，∴PA+PB＝16，PA•PB＝48，∴所求方程为：x2﹣16x+48＝0；（3）解：连接BO并延长交⊙O于F，连接AF，则BF是⊙O的直径，∴∠BAF＝90°，∴∠AEB＝∠F＝60°在Rt△ABF中，sin60°＝＝＝＝＝，∴BF＝．∴⊙O的面积为：π（）2＝π（面积单位）．13．如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE．（1）求证：CF是圆O的切线；（2）若，BE＝2，求圆O的半径和DE•EC的值．证明：（1）∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD．∵FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC．∵∠ABC＝90°，∴∠CEF+∠BCE＝90°．∴∠ECF+∠ACD＝90°，即∠ACF＝90°．∴AC⊥CF．又∵点C在圆O上，∴CF是圆O的切线；（2）连接AD．∵AC是直径，点D是的中点，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，∠ACD ＝∠BCD ．∴△BEC ∽△DEA ．∴DE •EC ＝AE •BE ，在Rt △ACF 和Rt △BCF 中，∵＝＝，设CF ＝3k ，则AF ＝5k ．∴BF ＝k ，AC ＝＝4k ．∵FC ＝FE ＝3k ，BE ＝FE ﹣BF ，∴3k ﹣k ＝2．∴k ＝．∴AC ＝．∴圆O 的半径＝AC ＝．∵AE ＝AF ﹣FE ＝5k ﹣3k ＝2k ＝，∴AE ×BE ＝×2＝．∴DE •EC ＝．14．如图，AB 为⊙O 的直径，点P 在AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，且PC 2＝PB •PA ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）已知PC＝20，PB＝10，点D是的中点，DE⊥AC，垂足为E，DE交AB于点F，求EF的长．（1）证明：连接OC，如图1所示：∵PC2＝PB•PA，即＝，∵∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴∠PCB＝∠PAC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图2所示：∵PC＝20，PB＝10，PC2＝PB•PA，∴PA＝＝＝40，∴AB＝PA﹣PB＝30，∵△PBC∽△PCA，∴＝＝2，设BC＝x，则AC＝2x，在Rt△ABC中，x2+（2x）2＝302，解得：x＝6，即BC＝6，∵点D是的中点，AB为⊙O的直径，∴∠AOD＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴∠DFO＝∠ABC，∴△DOF∽△ACB，∴＝＝，∴OF＝OD＝，即AF＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴EF＝BC＝．15．已知：如图，PF是⊙O的切线，PE＝PF，A是⊙O上一点，直线AE、AP分别交⊙O 于B、D，直线DE交⊙O于C，连接BC，（1）求证：PE∥BC；（2）将PE绕点P顺时针旋转，使点E移到圆内，并在⊙O上另选一点A，如图2．其他条件不变，在图2中画出完整的图形．此时PE与BC是否仍然平行？证明你的结论．（1）证明：∵PF与⊙O相切，∴PF2＝PD•PA．∵PE＝PF，∴PE2＝PD•PA．∴PE：PD＝PA：PE．∵∠APE＝∠APE，∴△EPD∽△APE．∴∠PED＝∠A．∵∠ECB＝∠A，∴∠PED＝∠ECB．∴PE∥BC．（2）解：PE与BC仍然平行．证明：画图如图，∵△EPD∽△APE，∴∠PEA＝∠D．∵∠B＝∠D，∴∠PEA＝∠B．∴PE∥BC．16．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．证明：（1）如图①，∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，∴∠BID＝∠DBI，∴BD＝DI；（2）如图②，连接OD，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，∴∠MCH＝90°，∴∠M+∠CHM＝90°，∵∠B＝∠M，∴∠B+∠CHM＝90°，∵GH是⊙O的切线，∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，∴∠CHG＝∠B，如图③，连接BH，CH，∵GH是⊙O的切线，∴∠CHG＝∠HBG，∵∠CGH＝∠BGH，∴△HCG∽△BHG，∴＝，∴GH2＝BG•CG，∵AD∥GF，∴∠AFG＝∠CAD，∵∠CAD＝∠FBG，∴∠FBG＝∠AFG，∵∠CGF＝∠BGF，∴△CGF∽△FGB，∴＝，∴FG2＝BG•CG，∴FG＝HG．17．【提出问题】小聪同学类比所学的“圆心角“与“圆周角”的概念，将顶点在圆内（顶点不在圆心）的角命名为圆内角．如图1中，∠AEC，∠BED就是圆内角，所对的分别是、，那么圆内角的度数与所对弧的度数之间有什么关系呢？【解决问题】小聪想到了将圆内角转化为学过的两种角，即圆周角、圆心角，再进一步解决问题：＝＝＝的度数的度数）（1）如图1，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，若弧的度数是65°，弧的度数是40°，则∠AED的度数是127.5°．【类比探究】顶点在圆外且两边与圆相交的角，命名为圆外角．（2）如图3，在⊙O中，弦AB，CD的延长线相交于点E，试探索圆外角∠E的度数与它所夹的两段弧、的度数之间的关系．【灵活运用】（3）如图4，平面直角坐标系内，点A（，1）在⊙O上，⊙O与y轴正半轴交于点B，点C，点D是线段OB上的两个动点，满足AC＝AD．AC，AD的延长线分别交⊙O 于点E、F．延长FE交y轴于点G，试探究∠FGO的度数是否变化．若不变，请求出它的度数；若变化，请说明理由．解：（1）∵∠AEC的度数＝（的度数+的度数），∴∠AEC＝（65°+40°）＝52.5°，∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝180°﹣52.5°＝127.5°，故答案为：127.5°；（2）连接OA，OB，OC，OD，BC，∵∠E＝∠ABC﹣∠BCE＝∠AOC﹣∠BOD＝（的度数﹣的度数），∴∠E＝（的度数﹣的度数）；（3）∠FGO的度数不变，连接OA，作AH⊥x轴于H，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴（的度数+的度数＝（的度数+的度数），∴的度数+的度数＝的度数+的度数，∴的度数﹣的度数＝的度数﹣的度数，由（2）知，∠FGO＝（的度数﹣的度数）＝（的度数﹣的度数），∵点A（，1），∴OH＝，AH＝1，∴tan∠AOH＝，∴∠AOH＝30°，∴∠AON＝120°，∠AOB＝60°，∴∠FGO＝（120°﹣60°）＝30°，∴∠FGO的度数不变，为30°．。

第1讲三角形的初步知识1（认识三角形、定义与命题、证明）一、知识建构1. 三角形按角分类：（1）锐角三角形：三角形的，这样的三角形称之为锐角三角形（2）直角三角形：三角形有，这样的三角形称之为直角三角形（3）钝角三角形：三角形有，这样的三角形称之为钝角三角形2. 三角形的角平分线：在三角形中，，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：在三角形中，，叫做这个三角形的中线。

（1）三角形的中线的形状也是一条；（2）三角形的三条角中线.4.三角形高的定义：从三角形的一个顶点线，的线段叫做三角形的高。

5.三角形三边之间的关系为：6.能清楚地规定某一名称或术语的句子叫做该名称或术语的______．7．对某一件事情作出_______判断的句子叫做命题．•每个命题都是由______•和______两部分组成的．8.思考下列命题的条件和结论分别是什么？并判断那些命题正确? 那些命题不正确?(1)相等的角是对顶角。

(2)直角三角形两锐角互余。

(3)同位角相等。

(4)一个角的补角一定大于这个角的余角。

9. 阅读教材内容后请回答：(1)怎样判断一个命题是真命题还是假命题？(1)真命题、公理、定理三者的区别与联系各是什么？10.判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请说明理由；如果是真命题，请用推理的方法来说明.（1）如果ab=0，那么a=b=0；（2）如图，若AC∥DE，∠1=∠2，则AB∥CD.二、经典例题例1．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个判断：①a∥b②b∥c；•③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．请以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题（至少写两个命题）．例2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（）A．44°B．60°C．67°D．77°例3. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2=B1A2，连接A2B2…按此规律下去，记∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn，则（1）θ1= , （2）θn= .例4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为．图1图2DC EA B例5. 一个三角形的三条边长分别为1、2、x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1≤x ≤3B ．1＜x ≤3C ．1≤x ＜3D ．1＜x ＜3例6. 已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 ．例7. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连结DC ．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．例8.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别截AB 、CD 于 点M 、N ，MG 、NH 分别是∠EMB 与∠END 的平分线.求证：MG ∥NH . 请根据分析思路，写出证明过程.三、基础演练1.在△ABC 中，若∠A +∠B =88°，则∠C =_______，这个三角形是______ 三角形.∠EMG=12∠∠ENH=12∠END可证∠EMG=∠MNH要证MG ∥NH 只需证：∠EMB=∠END已知AB ∥CDABCDE FHMN2.直角三角形的一个锐角为42°，则另一个锐角为_________.3.在△ABC 中，若∠A =35°，∠B =68°，则与∠C 相邻的外角等于_______ °.4．若5条线段长分别为1cm ，2cm ，3cm , 4cm ，5cm ，则以其中3条线段为边长可以构成三角形的个数是___________ .5．一木工师傅有两根70，100长的木条，他要选择第三根木条，将它们钉成三角形木架，则第三根木条取值范围_____________ ，木架周长的取值范围_____________ . 6. 如图所示，下面的推理中正确的是 ( ) A ．∵∠1＝∠2，∴AB ∥CDB ．∵∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∴AD ∥BC C ．∵AD ∥BC ，∴∠3＝∠4D ．∵∠ABC ＋∠DAB ＝180°，∴AD ∥BC 7.命题“若a b >，则1ab>”是真命题还是假命题？请说明理由.8．若等腰三角形腰长为6,则底边x 的取值范围是 （ ） A . 6<x <12 B . 0<x <6 C . 0<x <12 D . 无法确定9. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形 10.如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE ∥BC •交AB 于点E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F .求证：BC ＝DE ＋EF .四、直击中考1. （2013广西）一个三角形的周长是36cm ，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（ ）A ．6cmB ．12cmC ．18cmD ．36cm2．（2013衡阳）如图，∠1=100°，∠C =70°，则∠A 的大小是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．80°3241D CBA B CE DF A3．（2013鄂州）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）A ．165°B ．120°C ．150°D ．135°4.（2013黔东南州）在△ABC 中，三个内角∠A 、∠B 、∠C 满足∠B ﹣∠A =∠C ﹣∠B ，则∠B = 度．5.（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．6.（2013雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．7．（2013东城）.如图，∠ACD 是△ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A . 设A θ∠=,则1A ∠＝ ；n A ∠＝ 8.(2014杭州)下列命题中，正确的是（ ）A .梯形的对角线相等B . 菱形的对角线不相等C . 矩形的对角线不能互相垂直D . 平行四边想的对角线可以互相垂直五、能力拓展1.如图，OB 、OC 是∠AOD 的任意两条射线，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠DOC ，若∠MON =α，∠BOC =β，则∠AOD 可表示为（ ）A . 2α－βB . α－βC . α+βD . 2α2.如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC上的高，•且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）A．150°B．130°C．120°D．1003.已知等腰三角形的周长为14cm，底边与腰的比为3：2，求各边长.4. 已知a,b,c是一个三角形的三条边长,则化简|a+b－c|－|b－a－c|的结果是多少?5.如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线L经过点C，•AD•⊥L，BE⊥L，垂足分别为D，E．（1）证明：△ACD≌△CBE；（2）求证：DE=AD+BE；（3）当直线L经过△ABC内部时，其他条件不变，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，猜想这时DE，AD，BE有什么关系？证明你的猜想．六、挑战竞赛1. 在△ABC中,∠A= 50°, 高BE，CF所在的直线相交于点Ｏ，求∠BOC.FEC AB2.△ABC 中,已知∠ABC = 74°, ∠A = 56°, BE 是AC 边上的高,CF 是△ ABC 的角平分线,求∠ACF 和∠BFC .4.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AD 的中点，S △ABC =4cm 2，求S △ABE ．5．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．6.在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.OA BCDEA EBCD图1 图2。