高中数学必修5教学设计：2.1《数列的概念与简单表示法》教案(1课时)(新人教A版必修5)

普通高中课程标准实验教科书数学必修⑤第二章数列2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）【教学目标】知识与技能：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列是一种特殊的函数；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．在解决问题的过程中，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力和实践能力。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

同时增强爱国情感、环保意识，激发学生为国富民强而勤奋学习的精神。

通过小组讨论，培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探究相结合.【教学手段】多媒体辅助教学【教学重点】1．理解数列概念；2．用通项公式写出数列的任意一项，会求简单数列的通项公式。

【教学难点】根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式；将数列作为一种特殊的函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

[问题2]写出下面数列的一个通项公式,使它的前４项分别是下列各数（1（2（4（3本节教学过程流程图板书设计2.1数列的概念与简单表示法（第一课时）教学设计的说明本节课在理念的指导下，本着“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为主攻”的教学原则组织本节课的教学。

1、数列的概念与简单表示法是数列这一章的第一节课，学生肯定会遇到一定的学习障碍：比如数列定义的理解、数列与函数的关系、由前几项求数列的通项公式等。

为了突破这些难点，首先我们可以多用学生身边的例子，一方面学生便于理解，同时也让学生体会到数列的广泛应用，以此激发他们学习的兴趣和动力。

2、由于学生已经学习了函数、映射的概念，我们可以让学生把数列和函数进行类比学习，这样既可以帮助学生理解数列与函数的关系，也能够对旧的知识进行复习和巩固，同时帮助掌握新知识，使所学的知识能够系统化。

《数列的概念与简单表示法》教案（1）
教学目标
1．理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.
2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3．通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学重点难点
1．重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用;
2．难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教法与学法
1．教法选择：“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；
2．学法指导：类比、联想、猜想、求证.
教学过程
一、设置情境，激发学生探索的兴趣
三、思维拓展，课堂交流
四、归纳小结，课堂延展
1．教材地位分析
根据新课程的标准，“数列”这一章首先通过“三角形数”、“正方形数”等大量的实例引入数列的概念，然后将数列作为一种特殊函数，介绍数列的几种简单表示法，等差数列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让学生体会到数学就在我们身边.
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端.教学中从日常生活中大量实际问题入手，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受数列模型的广泛应用(如存款利息、购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题).
2．学生现实状况分析
学生目前已经学习了函数的知识，本课时的内容是数列的定义，通项公式及运用；
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列.。

2．1 数列的概念与简单表示法第1课时 数列的概念与简单表示法【知识梳理】1．数列的概念及一般形式2．3.如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的表示法数列的表示法有三种，分别是列表法、图象法、解析法． 【例题导读】P 29例1.由本例学会由数列若干项归纳出该数列的通项公式． 试一试：P 31练习T 4你会吗？P 30例2.通过本例学习，理解数列是一种特殊的函数． 试一试：P 33A 组T 5你会吗？1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列1，1，1，…是无穷数列．( )(2)数列1，2，3，4和数列1，2，4，3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( )解析：(1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误，虽然都是由1，2，3，4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确，某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．答案：(1)√ (2)× (3)√2．下列四个数中，哪个是数列{n (n ＋1)}中的一项( ) A ．380 B ．392 C ．321 D ．232解析：选A.因为19×20＝380， 所以380是数列{n (n ＋1)}中的第19项．3．数列0.3，0.33，0.333，0.333 3，…的通项公式是a n ＝( )A.19(10n －1)B.13⎝⎛⎭⎫1－110n C.29(10n －1) D.310(10n －1) 解析：选B.1－1101＝0.9，1－1102＝0.99，…，故原数列的通项公式为a n ＝13⎝⎛⎭⎫1－110n . 4．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 解析：令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23，解得n ＝3.答案：31．对数列概念的两点认识(1)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项数是指这个数在这个数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .(2)次序对一个数列来说相当重要，几个不同的数由于它们的次序不相同，可构成不同的数列．显然，数列与数集有本质的区别．2．数列的项的三个性质(1)确定性：一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与这些数的排列顺序有关． 3．解读数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，…，n }为定义域的函数解析式．(2)和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． (3)有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．数列的概念[学生用书P 16](1)下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是同一数列C ．数列－1，3，6，－5的第三项为6D ．数列可以看成是一个定义域为正整数集N *的函数 (2)已知下列数列：①2 010，2 012，2 014，2 016，2 018；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤1，0，－1，…，sinn π2，…； ⑥9，9，9，9，9，9.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上)[解析] (1)由数列定义知A ，B 不正确；D 不正确的原因是数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．故选C.(2)①是有穷递增数列；②是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n )；③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列； ⑤是摆动数列，是无穷数列；⑥是常数列，是有穷数列．[答案] (1)C(2)①⑥ ②③④⑤ ①② ③ ⑥ ④⑤ [方法归纳](1)判断一个数列是有穷或无穷数列的关键是判断数列的项数是有穷的或是无穷的． (2)判断数列单调性的方法：①若数列{a n }满足a n <a n ＋1，则是递增数列． ②若数列{a n }满足a n >a n ＋1，则是递减数列． ③若数列{a n }满足a n ＝a n ＋1，则是常数列．1．(1)下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A ．1，18，127，164，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：选C.对于A ，a n ＝1n3，n ∈N *，它是无穷递减数列；对于B ，a n ＝－n ，n ∈N *，它也是无穷递减数列；D 是有穷数列；对于C ，a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，它是无穷递增数列．(2)分别写出下列数列：①不大于10的自然数按从小到大的顺序组成的数列________． ②－2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂…构成的数列________．解析：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；②－2，22，－23，24，….答案：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 ②－2，22，－23，24，… (3)给出以下数列：①1，－1，1，－1，…； ②2，4，6，8，…，1 000； ③8，8，8，8，…；④0.8，0.82，0.83，0.84，…，0.810.其中，有穷数列为________；无穷数列为________；递增数列为________；递减数列为________；摆动数列为________；常数列为________．解析：有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；摆动数列为①；常数列为③.答案：②④ ①③ ② ④ ① ③由数列的前几项写出数列的通项公式[学生用书P 16]写出以下数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数． (1)－1，12，－13，14；(2)112，245，3910，41617；(3)12，34，78，1516. (链接教材P 29例1)[解] (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，故有：a n ＝(－1)n ·1n .(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1， 3910＝3＋3232＋1， 41617＝4＋4242＋1， ……，故a n ＝n ＋n 2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121， 34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123， 1516＝24－124＝1－124， ……，故a n ＝2n －12n ＝1－12n (n ∈N *)．[方法归纳]给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若n 和n ＋1项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n ＋1或(－1)n －1来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式．(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．2．(1)数列35，12，511，37，…的一个通项公式是________．解析：数列可写为：35，48，511，614，…，分子满足：3＝1＋2，4＝2＋2，5＝3＋2，6＝4＋2，…，分母满足：5＝3×1＋2，8＝3×2＋2，11＝3×3＋2，14＝3×4＋2，…， 故通项公式为a n ＝n ＋23n ＋2.答案：a n ＝n ＋23n ＋2(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．①12×4，13×5，14×6，15×7，…； ②－3，7，－15，31，…； ③2，6，2，6，….解：①均是分式且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，∴a n ＝1（n ＋1）（n ＋3）.②正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n 来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数次幂减1，∴a n ＝(－1)n (2n ＋1－1)．③这样的摆动数列，一般求两数的平均数2＋62＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n 来表示．a n ＝4＋(－1)n·2或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 （n 是奇数），6 （n 是偶数）.通项公式的简单应用[学生用书P 17]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项．[解] (1)a 4a 6＝3×62－28×6＝－60.(2)由3n 2－28n ＝－49解得n ＝7或n ＝73(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n 2－28n ＝68解得n ＝－2或n ＝343，均不合题意，所以68不是该数列的项．若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？解：(1)因为a n ＝3n 2－28n ， 所以a 3＝3×32－28×3＝－57， a 8＝3×82－28×8＝－32.(2)令3n 2－28n ＝20，解得n ＝10或n ＝－23(舍去)，所以20是该数列的第10项． [名师点评]已知数列{a n }的通项公式，判断某一个数是否是数列{a n }的项，即令通项公式等于该数，解关于n 的方程 ，若解得n 为正整数k ，则该数为数列{a n }的第k 项，若关于n 的方程无解或有解且为非正整数解则该数不是数列{a n }中的项．3．(1)600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的第________项． 解析：a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24. 答案：24(2)数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋n ＋30. ①问－60是否是{a n }中的一项？②当n 分别取何值时，a n ＝0，a n >0，a n <0?解：①假设－60是{a n }中的一项，则－n 2＋n ＋30＝－60.解得n ＝10或n ＝－9(舍去)．所以－60是{a n }的第10项．②令－n 2＋n ＋30＝0，解得n ＝6或n ＝－5(舍去)，所以n ＝6时，a n ＝0；0<n <6且n ∈N *时，a n >0；n >6(n ∈N *)时，a <0.易错警示设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－1 （x <2）.a n ＝f (n )，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C.⎝⎛⎭⎫－∞，74 D.⎣⎡⎭⎫138，2[解析] 由题意，知f (x )＝(a －2)x 在[2，＋∞)上是减函数，且a 1>a 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，f （1）>f （2），即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫121－1>2（a －2）.解得a <74，故选C.[答案] C[错因与防范] (1)本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，⎝⎛⎭⎫122－1≥2（a －2），即a ≤138，错选B.(2)因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．4．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3] 解析：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．1．下列说法正确的是( )A ．数列1，3，5，7，…，2n －1可以表示为1，3，5，7，…B ．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0，2，4，6，8，…可记为{2n }解析：选C.A 错，数列1，3，5，7，…2n －1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列；B 错，数的顺序不同就是两个不同的数列；C 正确，a k ＝1＋k k ＝1＋1k ；D 错，a n＝2n －2.2．在数列1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14解析：选C.观察数列可知，后一项是前两项的和，故x ＝5＋8＝13. 3．数列1，2，7，10，13，…中的第26项为________． 解析：∵a 1＝1＝1，a 2＝2＝4 a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13， ∴a n ＝3n －2，∴a 26＝3×26－2＝76＝219.答案：2194．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2＋n，那么110是它的第________项．解析：令2n 2＋n ＝110，解得n ＝4或n ＝－5(舍去)，所以110是该数列的第4项．答案：4,[学生用书单独成册])A 层 基础达标1．下列说法中不正确的是( ) A ．数列a ，a ，a ，…是无穷数列B ．数列{f (n )}就是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数值C ．数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列D ．已知数列{a n }，则{a n ＋1－a n }也是一个数列解析：选B.A ，D 显然正确；对于B ，因为数列{f (n )}是定义在正整数集N *上或它的有限子集{1，2，3，…，n }上的函数a n ＝f (n )，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，所以B 项不正确；对于C ，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列．2．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．32解析：选B.因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.3．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C.由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2 解析：选C.已知数列化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1.5．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7，∴25是该数列的第7项． 答案：76．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为__________．解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：97．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，( )，512，13，…； (2)53，( )，1715，2624，3735，…； (3)2，1，( )，12，…；(4)32，94，( )，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ( ) 512 412于是括号内填612，而分子恰为10减序号，故括号内填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故括号内填108，通项公式为a n ＝（n ＋1）2＋1（n ＋1）2－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n.(4)先将原数列变形为112，214，( )，4116，…，所以括号内应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .B 层 能力提升 1．数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }各项中最小项是( ) A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：选B.a n ＝3n 2－28n ＝3(n －143)2－1963，当n ＝143时，a n 最小，又n ∈N *，故n ＝5时，a n ＝3n 2－28n 最小．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6 D.log 23＋log 31325解析：选 B.a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5. 3．如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________．解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…， 所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n 4．已知数列{a n }的前4项为11，102，1 003，10 004，…，则它的一个通项公式为________． 解析：由于11＝10＋1，102＝102＋2，1 003＝103＋3，10 004＝104＋4，…，所以该数列的一个通项公式是a n ＝10n ＋n . 答案：a n ＝10n ＋n5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n 2＋3n.(1)写出此数列的前3项；(2)试问110和1627是不是它的项？如果是，是第几项？解：(1)a 1＝412＋3×1＝1，a 2＝422＋3×2＝25，a 3＝432＋3×3＝29.(2)令4n 2＋3n ＝110，则n 2＋3n －40＝0，解得n ＝5或n ＝－8.又n ∈N *，故n ＝－8舍去，所以110是数列{a n }的第5项．令4n 2＋3n ＝1627，则4n 2＋12n －27＝0，解得n ＝32或n ＝－92. 又n ∈N *，所以1627不是数列{a n }的项． 6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n ＋q (p ，q ∈R )，且a 1＝－12，a 2＝－34. (1)求{a n }的通项公式；(2)－255256是{a n }中的第几项？ (3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵a n ＝p n ＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34， ∴⎩⎨⎧p ＋q ＝－12p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1， 因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)令a n ＝－255256，即⎝⎛⎭⎫12n －1＝－255256， 所以⎝⎛⎭⎫12n ＝1256，解得n ＝8. 故－255256是{a n }中的第8项． (3)由于a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，且⎝⎛⎭⎫12n 随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．C 层 拓展升华1．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( )A ．3n －1B ．3nC ．3n ＋1D ．3(n ＋1) 解析：选C.通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．2．根据下图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点．解析：观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．答案：n 2－n ＋13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝（3n －1）（3n －2）（3n －1）（3n ＋1）＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ＝N *，∴0<1－33n ＋1<1， ∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0，1)内．(4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧n >76，n <83. ∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

第二章数列课题: §2.1数列的概念与简单表示法（第1课时）●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：na n 1=来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 1第二章 数列概 述数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.根据课程标准的要求，在本章中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的数列的求和公式广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.1．内容与课程学习目标本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系.通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数．（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．2．教学要求（1）基本要求①理解数列的定义，了解数列是一类特殊函数.②了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.③认识数列是反映自然规律的基本模型，能根据给出的递推公式写出数列的前几项.④理解等差（等比）数列的概念，掌握等差（等比）数列的通项公式.⑤了解等差数列（等比）与一次函数（指数函数）的关系，能在具体的问题情境中，识别数列的等差（等比）关系，进而用等差（等比）数列有关知识解决相应的问题.⑥掌握等差（等比）数列前n 项和的公式，并能用公式解决简单的问题.⑦理解等差（等比）数列前n 项和公式的推导方法，能利用等差（等比）数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.⑧理解n S 与n a 的关系.⑨等比数列的求和公式能够灵活应用.（2）发展要求①能根据数列的前几项写出一个通项公式.②掌握等差（等比）数列典型性质及应用.③能灵活运用等差数列的求和公式.④能用类比观点推导等比数列性质.教师备课系统──多媒体教案2 ⑤理解等差数列与等比数列简单组合的数列的前n项和.（3）说明：复杂的递推关系不作要求；已知数列的前几项写一个通项公式，不必太难.3.教学内容及课时安排建议2.1数列的概念及简单表示法（约2课时）2.2等差数列（约1课时）2.3等差数列的前n项的和（约2课时）2.4等比数列（约2课时）2.5等比数列的前n项的和（约2课时）人教版新课标普通高中◎数学⑤必修2.1 数列的概念及简单表示方法教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数.二、过程与方法1. 通过应用实例引入数列的概念.2. 通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.三、情感、态度与价值观体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力.教学重点和难点教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学关键：数列通项公式的归纳.教学突破方法：创设数学情境，提出问题，学生自主探究、合作交流及教师指导解决问题.教法与学法导航教学方法通过创设探究情境，以问题为主线，让学生通过、合作交流的方式，亲历数学知识的形成过程，自主建构知识．同时注重学生自己提出问题或自己提出解决问题的方法，带领学生寻找解决问题的途径，体验解决问题的过程，从而提高解决问题的能力．学习方法学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式.教学准备教师准备：多媒体、投影仪、直尺等.学生准备：笔、稿纸.教学过程一、创设情境，导入新课大千世界蕴含着无数的自然规律，从细胞分裂到放射性物质的衰变，从树木的生长模式到葵花种子……它们都有其生长的方式和特点．如：1. 树木生长规律1，1，2，3，5，8，…2. 慧星每隔83年出现一次1740，1823，1906，1989，2072，…3教师备课系统──多媒体教案4 3. 一尺之棰，日取其半，万世不竭1，21，41，81，…4. 从1984年到2004年我国参加6次奥运会获得的金牌总数分别为15，5，16，16，28，32．5. 从1979年开始到2002年（共24年），我国的夏季高考时间月份一直固定为7，7，7，7， (7)问题1：上述例子有何共同特点？二、主题探究，合作交流生1：每个情境中都是一列数.生2：这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒．生3：它们共同的特点是都有一组按照一定顺序排列的数．师：板书课题，并引导学生归纳得出数列的定义.1. 数列的定义像这样，按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．问题2：数列中的数可以相同吗？数列中的数可以调换位置吗？生：数列中的数可以相同（如数列5中的每项都是7），数列中的数不可以调换位置（以数列4说明）．师：强调数列中的每一项都和它的序号有关，并说明数列与集合的差异．2.数列的表示数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，a n，…，简记为a n，其中n为数列的项数，a i（i=1，2，3，…）叫做数列的项.三、合作交流，整合结果问题3：前面5个数列各有什么特点？我们可以将它们如何进行分类？学生讨论.3. 数列的分类（1）按数列的项数是有限或无限，可分为有穷数列或无穷数列.（2）按数列的每一项随序号变化的情况，可分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列等.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.教师引导学生阅读教材第28页的“观察”，然后回答.问：下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，…．（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132．（3）无穷多个3构成数列人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 53，3，3，3，…．（4） 目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位:元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01．（5） -1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，……构成数列-1，1，-1，1，….（6） 2的精确到1，0.1，0.01，0.001，…，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1，1.4，1.41，1.414，…；2，1.5，1.42，1.415，…．问题4：我们再观察上面6个数列，哪些数列的项与序号之间存在着必然的、内在的规律？能不能用数学式子把其中的规律表示出来（让学生自主探究，合作交流，教师适时指导）？生1：数列（5）可用来a n =（-1）n 表示．生2：数列（1）可用来a n =n -1表示．生3：数列（3）可用来a n =3表示．从而引导学生得到数列的通项公式.4.数列的通项公式如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．记为n a n f =)(（教师引导学生在函数观下理解数列的通项公式）.问题5：所有数列都有通项公式吗？为什么？生：有的数列没有通项公式，如数列（1）和数列（4）．这正如有的函数没有解析式一样．5.数列的图象师生互动作出上述数列（1）、（3）、（5）的图象．（实物投影学生的答案）问题6：通过作这两个数列的图象，你发现了什么？生1：数列的图象是一群孤立的点．师：仅仅是一些孤立的点吗？你有没有发现这些孤立的点的位置特征？生2：数列（1）表示的点在函数y =x -1的图象上，数列（3）表示的点在函数y =3的图象上.四、拓展创新，应用提高例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1111;234--，，， （2） 2，0，2，0． 解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为教师备课系统──多媒体教案6na n n 1)1(+-=. （2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为1)1(1+-=+n n a .例2 写出数列23451 (471013)，，，，的一个通项公式，并判断它的增减性. 解：一个通项公式为32n n a n =-， )53)(23(22)1(31231---=-----=--n n n n n n a a n n . 当n ≥2时，01<--n n a a ，所以这个数列是递减数列. 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列前几项写出的通项公式唯一吗？例3 根据下面数列{}n a 的通项公式，写出前五项：（1）1+=n n a n ； （2）(1)n n a n =-． 解： （1） a 1=21，a 2=32，a 3=43，a 4=54，a 5=65. （2） a 1=-1，a 2=2，a 3=-3，a 4=4，a 5=-5.五、小结数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.第2课时教学目标一、知识与技能1. 理解数列的概念及其表示.2. 掌握数列的通项公式与递推公式.二、过程与方法1. 通过研究数列的本质属性，学会通过找差异、找联系的方法认识问题.2. 在数列概念、公式的应用中，学习思考和解决问题.三、情感、态度与价值观通过本节知识与技能、过程与方法的学习经历，感受数学发现的愉快，体验解决问题成功的快乐.教学重点和难点教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 7教学关键：由数列的递推公式写出数列的通项公式.教学突破方法：利用计算机辅助教学，通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，提高学生的学习数学兴趣.教法与学法导航教学方法采用点拨引导、自主探究”的教学方法.通过教师点拨引导，学生自主探究，学会用找差异、找联系的方法去认识问题，学会从大量实例中提炼数学定义，学会数学问题的思考和解决.学习方法学生通过阅读与思考，了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式，递推公式与通项公式的关系.教学准备教师准备：多媒体、投影仪、直尺等.学生准备：笔记本.教学过程一、创设情境，导入新课1. 在以下四个数中，是数列{})1(+n n 中的一项的是 （ ）.A. 380B. 39C. 32D. 18参考答案：A2. 设数列为K ,11,22,5,2则24是该数列的 （ ）.A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项参考答案：C3. 数列12 3 4 5--，，，，的一个通项公式为n a n n 1)1(+-=．4. 图1中的三角形称为谢宾斯基（Sierpinski ）三角形，在图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象.图1教师借助多媒体动画演示，师生共同探讨数列的特征，并得到通项公式.解：如图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1，3，9，27. 则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n =3n -1.教师备课系统──多媒体教案8二、主题探究，合作交流1. 观察以下数列，并写出其通项公式：Λ,11,9,7,5,3,1)1( 答：12-=n a n ；Λ,8,6,4,2,0)2(---- 答：)1(2--=n a n ；Λ,81,27,9,3)3( 答：n n a 3=．思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？2,,25,2213,1)1(123121+=+==+=+===-n n a a a a a a a Λ；2,0)2(11-==-n n a a a ；113,3)3(-==n n a a a ．2. 定义：已知数列}{n a 的第一项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.练习: 运用递推公式确定一个数列的通项：（1）2，3，4，11，… 答： )2(3,211≥+==-n a a a n n ；Λ,21,13,8,5,3,2,1,1)2( 答： )3(,1,12121≥+===--n a a a a a n n n ．三、拓展创新，应用提高例1 已知数列}{n a 的第一项是1，以后的各项由公式111-+=n n a a 给出，写出这个数列的前五项．解:据题意可知： 3211,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+=a a a . 例2 已知4,211-==+n n a a a ，求n a .解法一:可以写出12342,2,6,10,,a a a a ==-=-=-L 观察可得：)1(42)4)(1(2 --=--+=n n a n ——观察法 解法二:人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 9由题设：111223214 444 4n n n n n n n n a a a a a a a a a a +------=-∴-=--=--=--=-L L ，，，，，——累加法 1 :4(1) 24(1).n n a a n a n -=--∴=--相加得， 例3 已知n n a a a 2,211==+，求n a .解法一: 观察法2122332222222a a a ==⨯==⨯=L，，，， 观察可得：2n n a =.解法二: 迭乘法1111122123111 2,2,2, 2, 22.n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +---------=∴==∴⨯⨯⨯⨯=∴=⋅=L L 由即 四、小结1. 递推公式的概念.2. 递推公式与数列的通项公式的区别是：（1） 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相临两项（或n 项）之间的关系.（2） 对于通项公式，只要将公式中的n 依次取Λ,4,3,2,1即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n 项），才可依次求出其它项.3．用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.五、课堂作业1. 阅读教材第30-33页.2. 第33—34页习题2.1A 组第4、5、6题.教师备课系统──多媒体教案10教案 B第1课时教学目标一、知识与技能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.二、过程与方法通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程一、课题导入引导同学阅读课本第28页可得到三角形数：1，3，6，10，… ……①正方形数：1，4，9，16，25， ……②又如一列数：1，51,41,31,21 ……③2，3，5，3，4，7 ……④二、讲授新课⒈ 数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2. 数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项（或首项），“6”是这个数列中的第3项.3. 数列的一般形式人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11ΛΛ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项．结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）？对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式na n =来表示其对应关系. 即只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项. 结合上述其他例子，练习找其对应关系. 4. 数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④； （2）一个数列的通项公式表达方式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是1|cos π|2n n a +=. ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给定了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n }）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f （x ），如果f （i ）（i=1，2，3，4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f （1）、 f （2）、 f （3）、 f （4）…，f （n ），…6．数列的分类（1）根据数列项数的多少分为：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列. 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列. （2）根据数列项的大小分为：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.教师备课系统──多媒体教案12常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 观察：课本第28-29页的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）;41,31,21,1-- （2） 2，0，2，0．解：（1）这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的的一个通项公式为na n n 1)1(+-=.（2） 这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为1)1(1+-=+n n a .三、课堂练习课本第31页练习第3、4题.补充练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1） 3， 5， 9， 17， 33，……； （2）32， 154， 356， 638， 9910， ……； （3） 0， 1， 0， 1， 0， 1，……； （4） 1， 3， 3， 5， 5， 7， 7，9， 9， ……；（5） 2， －6， 12， －20， 30， －42，…….解：（1） n a ＝2n ＋1； （2） n a ＝)12)(12(2+-n n n； （3） n a ＝2)1(1n-+；（4） 将数列变形为1＋0， 2＋1， 3＋0， 4＋1， 5＋0， 6＋1， 7＋0， 8＋1， ……，∴n a ＝n ＋2)1(1n-+；（5） 将数列变形为1×2， －2×3， 3×4， －4×5， 5×6，……，∴ n a ＝（－1）1+n n （n ＋1）.四、课时小结本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式.五、课后作业课本第33页习题2.1A 组 第1、2、3题．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13第2课时教学目标一、知识与技能了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与a n 的关系.二、过程与方法经历数列知识的感受及理解运用的过程. 三、情感、态度与价值观通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 教学重点根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程一、课题导入 数列及有关定义. 二、讲授新课（一）数列的表示方法 1. 解析法如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列0，1，2，3，…的通项公式为*1()n a n n N =+∈1，1，1，…的通项公式为 *1(,13)n a n N n =∈≤≤；*)(1,41,31,21,1N n na n ∈=的通项公式为Λ. 数列的通项公式 a n =f （n ）表示数列抽象简洁. 2. 列表法不需要计算就可以直接看出与项相对应的关系（1）函数图象法-数列的图象是一系列孤立的点. 点的坐标为（n ，a n ）启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以（n ，a n ）为坐标在平面直角坐标系中做出点（以图1中对应的教师备课系统──多媒体教案14数列a n =2n ，n ∈N *为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．图1图象能直接形象地表示出随着项数的变化，相应项变化的趋势，直观明了.（二）递推公式法知识都来源于实践，最后还要应用于生活，用其来解决一些实际问题． 如图2，观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）.运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a . 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）. 图2人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修15对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要. 定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n .数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法、图象法、解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用a 1表示第一项，用 a 2表示第二项，……，用 a x 表示第n 项，依次写出成为a 1， a 2 ，a 3 ，…，a n ，…．简记为{}n a ． 三、范例讲解例1 设数列{}n a 满足11111(1)，．-=⎧⎪⎨=+>⎪⎩nn a a n a 写出这个数列的前五项. 分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：111-+=n n a a .解：据题意可知：123121131,12,12a a a a a ==+==+=，58,3511534==+=a a a . 例2 已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．解法一：21=a ，22222=⨯=a ，323222=⨯=a ，观察可得 n n a 2=；解法二：由n n a a 21=+，∴12-=n n a a ，即21=-n na a ； ∴112322112------=⨯⨯⨯⨯n n n n n n n a aa a a a a a ΛΛ. ∴ nn n a a 2211=⋅=-.四、课堂练习1. 课本第31页练习第2题教师备课系统──多媒体教案16 2. 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.（1）1a＝0，1+na＝na＋（2n－1）（n∈N）；（2）1a＝1，1+na＝22+nnaa（n∈N）；（3）1a＝3，1+na＝3na－2（n∈N）.解：（1）1a＝0，2a＝1，3a＝4，4a＝9，5a＝16，∴na＝（n－1）2；（2）1a＝1，2a＝32，3a＝4221=，4a＝52，5a＝6231=，∴na＝12+n；（3）1a＝3＝1+203⨯，2a＝7＝1+213⨯，3a＝19＝1+223⨯.4a＝55＝1+233⨯，5a＝163＝1+243⨯，∴na＝1＋2·31-n.五、课时小结本节课学习了以下内容：1．递推公式及其用法.2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.六、课后作业第33-34页习题2.1A组第4、5、6题，B组第1，2，3题.。

2.1 数列的概念与简单表示法2.1.1 数列的概念与简单表示法(一从容说课本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教具准备 课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程 导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？生 1，3，6，10，师 图212中正方形数呢？生 1，4，9，16，25，师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，推进新课 ［合作探究］ 折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数 ［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列：各项相等的数列摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列 ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n ［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16序号你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n 师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 ［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1+n n ;(2)a n =(-1)n ·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65(2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n -+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+； (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，∴an ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式 ［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集 N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式y=f(x) a n =f(n ) 图象 点的集合 一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 生 与我们学过的反比例函数x y 1=的图象有关 师 这两数列的图象有什么特点？生 其特点为：它们都是一群孤立的点生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念 课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义1.数列例1 2.项3.一般形式例2 函数定义 4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列 备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-序号：所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n n n ； (3)序号: 1 2 3211⨯- 321⨯- 431⨯- 541⨯-)11(11+⨯- )12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯- 所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n 2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154- ,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕 (3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕 点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{an }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项 B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决 答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a ，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？答案：这个数列的通项公式为a n =2002n ， 裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm ＞56 294 995 km ，大于地球到月球距离的146倍 二、阅读材料 无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？2.1.2 数列的概念与简单表示法(二从容说课这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点 理解递推公式与通项公式的关系教具准备 多媒体三维目标 一、知识与技能1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项 二、过程与方法1.经历数列知识的感受及理解运用的过程2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验3.理论联系实际，激发学生的学习积极性三、情感态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣教学过程导入新课师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生 如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师 你能举例说明吗？生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an =n -1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21 ,31 ,41 ,…的通项公式为a n =n 1 (n ∈N * ［合作探究］ 数列的表示方法师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？ 生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n 为横坐标，相应的项a n 为纵坐标，即以(n ,a n )为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, 21,31,41,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势师 说得很好，还有其他的方法吗？生师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.生 模型一：自上而下第1层钢管数为4,即＝第2层钢管数为5,即＝第3层钢管数为6,即＝第4层钢管数为7,即＝第5层钢管数为8,即＝第6层钢管数为9,即＝第7层钢管数为10,即＝若用a n 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a n =n +3(1≤n ≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律生 模型二：上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多即a 1=4；a 2=5=4+1=a 1+1；a 3=6=5+1=a 2依此类推：a n =a n -1+1(2≤n师对于上述所求关系，同学们有什么样的理解生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项师看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式 推进新课1.递推公式定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n -1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 注意：递推公式也是给出数列的一种方法如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，递推公式为：a 1=3,a 2=5,a n =a n -1+a n -2(3≤n2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法 ［例题剖析］【例1】 设数列{a n }满足1,11111＞n a a a n n ⎪⎩⎪⎨⎧+==-.写出这个数列的前五项 师 分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n =1+11-n a 我们将如何应用呢生 这要将n 的值2和a 1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了师 请大家计算一下生 解：据题意可知：a 1=1,a 2=1+11a =2,a 3=1+21a =32,a 4=1+31a =35,a 5=58师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系【例2】 已知a 1=2，a n +1=2a n ，写出前5项，并猜想an师 由例1的经验我们先求前5项生 前5项分别为2，4，8，16，师 对，下面来猜想第n 项生 由a 1=2，a 2=2×2=22，a 3=2×22=23观察可得，我猜想a n =2n师 很好生 老师，本题若改为求a n 是否还可这样去解呢师 不能.必须有求解的过程生 老师，我由a n +1=2a n 变形可得a n =2a n -1，即21=-n n a a ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有⨯⨯⨯-----32211n n n n n n a a a a a a …×1122-=n aa ，所以a n =a 1·2n -1=2n师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法 ［知识拓展］已知a 1=2，a n +1=a n -4,求a n师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢 生1 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，观察可得：an =2+(n -1)(n -4)=2-4(n -生2 他这种解法不行，因为不是猜出a n ，而是要求出a n我这样解：由a n +1-a n =-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来a n -a n -1=-a n -1-a n -2=-a n -2-a n -3=-)1(44a )112--=--=-+n a a a n ∴a n =2-4(n -师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会 ［教师精讲］(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的例如，由数列{a n }中的递推公式a n +1=2a n +1无法写出数列{a n }中的任何一项，若又知a 1=1，则可以依次地写出a 2=3,a 3=7,a 4(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式 ［学生活动］根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片(1)a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n -1)(n ∈N )；(2)a 1＝1，a n +1＝2+n n a a (n ∈N )； (3)a 1＝3，a n +1＝3a n -2(n ∈N(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答解：(1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9，a 5＝16，∴a n ＝(n -1)2 (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝21=42，a 4＝52，a 5＝31 =62，∴a n ＝12+n(3)a 1＝3＝1+2×30，a 2＝7＝1+2×31，a 3＝19＝1+2×32，a4＝55＝1+2×33，a 5＝163＝1+2×34，∴a n ＝1＋2·3 n -1 注：不要求学生进行证明归纳出通项公式 ［合作探究］一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到爬一级梯子的方法只有一种爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种若设爬一个n级梯子的不同爬法有a n种则an=a n-1+a n-2+a n-3(n则得到a1=1,a2=2,a3=4及a n=a n-1+a n-2+a n-3(n≥4)，就可以求得a8课堂小结师这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？生通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系生对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力布置作业课本第38页习题2.1A组第4、6题预习内容：课本P41～P 44板书设计数列的概念与简单表示法(二)一、定义二、例题讲解小结：7.递推公式：例通项公式与例2 递推公式区别。

2.1数列的观点与简单表示法（第 1 课时）一、课标要求：（1）理解数列及其相关观点，认识数列的简单分类；（2）认识数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；（3）关于比较简单的数列，会依据其前几项写出它的个通项公式；（4）认识数列是一种特别的函数；（5）借助函数的背景和研究方法来研究相关数列的问题，能够进一步让学生领会数学知识间的联系，培育用已知去研究未知的能力。

二、教课要点、难点：要点：理解数列的观点，认识数列是反应自然规律的基本数学模型，探究并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

难点：认识数列是一种特别的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、设计思路：新课标重申数学知识产生、发展、和应用。

教课过程中注意生活实质的引入，使学生体会数学根源于生活，提升数学学习的兴趣。

重视对学生学习数列的观点及表示法的过程。

本节课经过三角形数与正方形数引入数列的观点；经过类比函数的思想认识数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）。

所以设计流程以下：给出数列观点数列的分类数列的通项公式数列是特别的函数，领会数列与函数的关系典范解说归纳与小结四、教课 程：（一） 情形， 入(1)多媒体展现三角形数、正方形数，提 ： 些数有什么 律？与它所表示的 形的序号有什么关系？三角形数： 1， 3， 6， 10，⋯正方形数： 1， 4， 9， 16， 25，⋯（ 本）象 ，按必定序次摆列的一列数叫做数列（教 板 ）（二） 授新 (2)三角形数与正方形数同数集中元素的特色有何不一样？ 引 学生回 、比 ，并 ：⑴数列的数是按必定序次摆列的，所以，假如 成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它 就是不一样的数列；⑵定 中并无 定数列中的数必 不一样，所以，同一个数在数列中能够重复出.归纳数列的观点：(1) 依据必定 序摆列着的一列数称 数列，数列中的每一个数叫做 个数列的 。

各 挨次叫做 个数列的第 1 （或首 ），第 2 ，⋯，第 n ，⋯ .(2) 数列的一般形式：a 1 , a 2 , a 3 , ,a n ,，或a n ，此中 a n 是数列的第n(3) 析数列的观点： 1 “1， 1 ,1 , 1 , 1”与 2 “1, 1 ,1 , 1,1”是同一个数列 ？○○23455432合上述例子，帮助学生理解数列及 的定. （它 不是同一个数列；且○1 中，它的首 是“ 1”，“ 1”是 个数列的第“3” ，等等）3数列的分 ：（ 1）依据数列 数的多少分：有 数列： 数有限的数列. 比如数列 1， 2，3， 4， 5， 6。

2.1.1 数列的概念与简单表示法一、教学目标（1）了解数列的概念通过实例，引入数列的概念，并理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型。

同时了解数列的几种分类。

（2）了解数列是一种特殊的函数了解数列是一类离散函数，体会数列之间的变量依赖关系，了解数列与函数之间的关系。

二、教学重点与难点（1）教学重点：了解数列的概念，以及数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型。

（2）教学难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系。

三、教学过程<1>创设情境，实例引入1、引导学生观察P26章节前的知识背景图片，构建自然现象中体现出的数的规律。

留下问题思考：你能发现下面这一列数的规律吗1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...（我们先一起来观察一下课本P26的这幅大图，大家来数数这些花各有几片花瓣。

我们发现，第一朵花有3片花瓣，第二朵花有5片花瓣，第三朵花有8片花瓣，第四朵花有13片花瓣。

那大家来观察一下书上的那一组数：1，1，2.，3，5，8，13，21，34，55，89,...，你能发现它们有什么规律吗？带着这个问题，我们要来探讨一个有关数的新问题。

）2、引导学生观察课本P28的两幅图-三角形数与正方形数，进而引出数列的概念。

（大家都知道古希腊拥有着灿烂的文明，它的数学文化同样值得我们去探究。

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，书本上的这两幅图正是他们所研究的一小部分，即三角形数与正方形数。

大家一起来观察一下，在三角形数这幅图中每个图形分别对应着数1，3，6，10....，而在正方形数这幅图中每个图形分别对应着数1，4，9，16...，大家能发现它们的共同特点吗？每个图形代表的数与在图中的序列号有没有什么联系呢？这样的一组数我们在数学上称之为数列。

现在我们一起来认识这个全新的概念：数列。

第二章 数列课题：个教课设计2.1 数列的观点与简单表示法 （ 1）第课时总序第课型： 新讲课编写不时间： 年 月 日履行时间： 年 月 日教课目的：批 知识与技术： 理解数列及其相关观点，认识数列和函数之间的关系；认识数列 注的通项公式，并会用通项公式写出数列的随意一项；关于比较简单的数列，会 依据其前几项写出它的个通项公式。

过程与方法： 经过对一列数的察看、归纳，写出切合条件的一个通项公式，培 养学生的察看能力和抽象归纳能力．感情态度与价值观： 经过本节课的学习，领会数学根源于生活，提升数学学习 的兴教课要点：数列及其相关观点，通项公式及其应用教课难点：依据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教课器具：投影仪教课方法：经过对一列数的察看、归纳，写出切合条件的一个通项公式，培育学生的察看能力和抽象归纳能力． 教课过程： Ⅰ . 课题导入三角形数： 1，3， 6， 10， 正方形数： 1，4， 9， 16， 25，Ⅱ . 解说新课⒈ 数列的定义 ：按必定序次摆列的一列数叫做数列 .注意 ：⑴数列的数是按必定序次摆列的，所以，假如构成两个数列的数同样而摆列序次不一样，那么它们就是不一样的数列；⑵定义中并无规定数列中的数一定不一样，所以，同一个数在数列中能够重复出现 .⒉ 数列的项 ：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项挨次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项， ，第 n 项， .比如， 上述例子均是数列， 此中①中，“ 4”是这个数列的第 1 项（或首项），“ 9”是这个数列中的第6 项 .⒊ 数列的一般形式 ： a 1 , a 2 , a 3 , , a n ,，或简记为a n ，此中 a n 是数列的第 n 项联合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“ 1”，“ 1”是这个数列的第“ 3”项，等等3下边我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号能否有必定的对应关系？这一关系能否用一个公式表示？（指引学生进一步理解数列与项的定义，进而发现数列的通项公式）关于上边的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项111112345↓↓↓↓↓序号 1 2 3 451这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：a n来表示其对应关系n即：只需挨次用 1，2，3取代公式中的 n，就能够求出该数列相应的各项联合上述其余例子，练习找其对应关系⒋数列的通项公式：假如数列a n的第n项a n与n之间的关系能够用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意：⑴其实不是全部数列都能写出其通项公式，如上述数列④；.⑵一个数列的通项公式有时是不独一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1， 0，它的通项公式能够是 a n 1 ( 1) n 1，也能够是 a n | cos n1|.22⑶数列通项公式的作用：①求数列中随意一项；②查验某数是不是该数列中的一项 .数列的通项公式拥有两重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中全部各项的一般表示．通项公式反应了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确立了，代入项数便可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列能够当作以正整数集N*（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数 a n f (n) ，当自变量从小到大挨次取值时对应的一列函数值。

人教版高中必修5-2.1 数列的概念与简单表示法教学设计一、教学目标1.知道什么是数列，掌握数列的概念和序列的性质；2.掌握数列的简单表示法，并能够运用；3.能够运用数列的简单表示法解决实际问题。

二、教学内容1.数列的概念和性质；2.数列的简单表示法；3.数列的实际应用。

三、教学重难点1.数列的概念、性质和简单表示法的理解；2.数列应用题的解决。

四、教学方法1.归纳法；2.讲授法；3.实例分析法。

五、教学流程1. 导入环节1.给学生出示“$2, 4, 6, 8, 10, \\ldots$”的数字序列，让学生自愿回答这是一个什么序列，以及这个序列有哪些规律。

2.引出数列的概念和定义，通过对学生的思考和讨论形成数列的一般概念和数列的一些基本性质。

2. 正式教学1.简单数列的定义和性质：明确什么是数列、数列中元素的个数、数列中元素的含义、数列的公式表示和一些基本的性质。

2.数列的简单表示法：通项公式的定义和规律，借助一些典型的数列示例，让学生进行抽象思考，培养学生发现规律和总结规律的能力。

3.数列的实际应用：通过实际例子的引导，让学生掌握数列在实际应用中的重要性和地位，并能够运用数列的思想方法解决实际问题。

3. 巩固与拓展1.给予学生一些数列在基础知识上的练习和拓展，让学生巩固理论学习。

2.引导学生寻找数列在实际生活中的应用，并结合其它数学知识进行探究。

3.让学生通过模拟应用数列的实际场景进行实践探索，从而加深对数列概念和应用的理解。

六、教学效果评估1.在学习过程中检测学生对数列概念、性质和简单表示法的掌握情况，结合实际例子进行解析。

2.考查学生对数列实际应用的理解和掌握情况，测试学生的数列应用能力。

3.教师在课下进行综合性评估，包括平时课堂表现、课后作业及课堂练习等成果。

七、教学反思数列作为一种概念相对简单、应用非常广泛的数学工具，具有很大的实际意义和应用价值。

在此次教学中，利用合适的教学方法和教学手段，让学生在欣赏到数列优美之处的同时，也能深刻理解数学背后的知识与智慧。