5三角函数应用举例

利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。

无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。

一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。

利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。

假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。

二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。

利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。

假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。

三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。

利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。

假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。

四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。

利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。

假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。

初中数学三角函数的定义与应用三角函数是初中数学中的一个重要概念，它是数学中用于研究三角形和周期性现象的函数。

三角函数有正弦、余弦和正切三种常见形式，它们在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的定义和其在初中数学中的应用。

一、正弦函数的定义与应用正弦函数是三角函数中最基本的一种，通常用sin表示。

它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinα = 对边/斜边。

正弦函数在初中数学中的应用非常广泛，例如在解决直角三角形的问题中，我们可以利用正弦函数来求解未知边长或角度。

二、余弦函数的定义与应用余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。

它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosα = 邻边/斜边。

与正弦函数类似，余弦函数也在解决直角三角形的问题中起到了重要作用。

三、正切函数的定义与应用正切函数是三角函数中的第三种形式，通常用tan表示。

它的定义是：在直角三角形中，对于任意一个锐角α，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanα = 对边/邻边。

正切函数的应用也非常广泛，特别是在解决梯度问题、角度关系问题等方面具有重要意义。

四、三角函数的周期性三角函数具有周期性的特点，即在一定范围内呈现出重复的规律性。

正弦函数、余弦函数和正切函数的周期均为2π（弧度制下）或360°（角度制下）。

因此，我们可以利用周期性特点来简化计算，并在解决周期性问题时加以应用。

五、三角函数的图像与性质正弦函数、余弦函数和正切函数都具有特定的图像形态和性质。

例如，正弦函数的图像呈现出上下波动的曲线，余弦函数的图像则是波浪形的曲线，而正切函数的图像则是以原点为对称中心的S形曲线。

对于初中生来说，理解这些图像形态及其性质对于学习和应用三角函数非常有帮助。

六、三角函数的应用举例在实际生活中，三角函数有许多应用。

例如，利用三角函数可以解决测量高楼大厦的高度问题，通过测量垂直角和距离，可以利用三角函数计算出高楼大厦的实际高度。

高中数学三角函数的应用举例与解析三角函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。

在这篇文章中，我将通过一些具体的题目来说明三角函数的应用，并分析解题的方法和技巧，希望对高中生及其父母有所帮助。

一、角度的计算与应用题目一：一艘船从A点出发，以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时后到达B点。

然后，船改变航向，以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时后到达C点。

求船从A点到C点的直线距离。

解析：这个问题涉及到角度的计算和三角函数的应用。

首先，我们可以根据船的速度和时间计算出船从A点到B点的距离，由于船以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时，所以A点到B点的距离为60公里（30公里/小时 × 2小时 = 60公里）。

接下来，我们需要计算船从B点到C点的距离。

由于船以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时，所以B点到C点的距离为120公里（40公里/小时 × 3小时 = 120公里）。

最后，我们可以利用三角函数中的正弦函数来计算出船从A点到C点的直线距离。

设直线距离为x，船从A点到B点的距离为60公里，船从B点到C点的距离为120公里。

根据正弦函数的定义，我们可以得到以下等式：sin(90°) = 60/x，sin(90°) = 120/x。

由于sin(90°) = 1，所以60/x = 1，解得x = 60公里。

因此，船从A点到C点的直线距离为60公里。

二、三角函数的周期性题目二：一辆车以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后，车辆突然停下来。

问车辆在2小时内行驶的距离。

解析：这个问题涉及到三角函数的周期性。

由于车辆以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后停下来，所以车辆在2小时内行驶的距离为120公里（60公里/小时 × 2小时 = 120公里）。

三、三角函数的图像与性质题目三：已知函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的图像如下所示，请问在该区间内，函数f(x)的最大值和最小值分别是多少？解析：这个问题涉及到三角函数的图像与性质。

初二三角函数的计算与应用三角函数是数学中一种常见且重要的函数类型，广泛应用于不同领域的计算和问题解决。

在初二阶段，学生们开始学习并掌握三角函数的计算方法，并进一步了解其在实际问题中的应用。

本文将介绍初二三角函数的计算方法和一些典型的应用案例。

一、正弦、余弦和正切的计算方法三角函数中常见的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

它们的计算方法如下：1. 正弦函数（sin）的计算方法：对于一个给定的角度a（弧度制或角度制），我们可以利用三角表、计算器或在线工具等进行计算。

例如，计算sin a，我们可以直接查找三角表，然后找到对应的sin值。

如果使用计算器，只需输入角度a，然后按下sin按钮即可得到结果。

2. 余弦函数（cos）的计算方法：计算cos a的方法与计算sin a类似。

根据给定的角度a，我们可以使用三角表、计算器或在线工具进行计算。

如果使用计算器，只需输入角度a，然后按下cos按钮即可得到结果。

3. 正切函数（tan）的计算方法：计算tan a的方法也与计算sin a和cos a类似。

根据给定的角度a，我们可以使用三角表、计算器或在线工具进行计算。

如果使用计算器，只需输入角度a，然后按下tan按钮即可得到结果。

二、三角函数的应用举例三角函数的应用广泛存在于各个领域，包括几何学、物理学、工程学等。

下面将介绍一些典型的应用案例。

1. 三角函数在几何学中的应用：- 计算不规则图形的面积：通过分解不规则图形为若干个已知图形，再利用三角函数计算各部分的面积，最后求和得到整个图形的面积。

- 计算三角形的边长：通过已知的一边和一个角或两个角，可以利用三角函数计算出三角形的其他两条边的长度。

2. 三角函数在物理学中的应用：- 研究物体的运动：对于一些周期性运动的物体，可以通过三角函数来描述其运动规律。

例如，振动物体的位置随时间的变化可以用正弦函数来表示。

- 计算力的分解：当物体受到多个力的作用时，可以利用三角函数来将力分解为水平和垂直方向上的分量。

三角函数的使用方法与技巧三角函数是数学中重要的一个分支，主要研究角的度量与三角关系。

它广泛应用于几何学、物理学等领域，在实际应用中非常常见。

下面我将介绍一些三角函数的使用方法与技巧。

一、定义与性质：1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。

在直角三角形中，正弦函数等于斜边与斜边对应的直角边的比值，余弦函数等于斜边与邻边的比值，正切函数等于对边与邻边的比值。

2. 基本性质：正弦函数与余弦函数的值域在-1到1之间，而正切函数的值域为实数集。

三角函数具有周期性，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)，tan(x+π)=tan(x)等。

3. 常用三角函数值：可以记住一些常见角度对应的三角函数值，如sin(30)=0.5，cos(45)=1/√2，tan(60)=√3等。

这些常用的三角函数值会在计算中经常用到，能节省很多时间。

二、角度与弧度的转换：1. 角度转弧度：角度与弧度是两种不同的度量方式，有时候需要在两者之间进行转换。

1弧度（rad）等于180/π≈57.3。

所以一个角度x可以转化为弧度表示为x/180*π。

2. 弧度转角度：与角度转弧度的公式类似，一个弧度x rad可以转化为角度表示为x*180/π。

三、和差角公式：1. 正弦和差角公式：sin(A±B) = sinAcosB ±cosAsinB，利用这个公式可以简化正弦函数的计算，特别是对于和差角为特殊角的情况。

2. 余弦和差角公式：cos(A±B) = cosAcosB ∓sinAsinB，利用这个公式可以简化余弦函数的计算。

四、倍角与半角公式：1. 正弦倍角公式：sin2A = 2sinAcosA，sinA = ±√[(1 - cos2A)/2]。

这个公式可以将正弦函数的计算从角度转化为更简单的计算。

2. 余弦倍角公式：cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A，cosA = ±√[(1 +cos2A)/2]。

三角函数的恒等变换三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理以及工程等领域都有广泛的应用。

在进行数学推导和计算时，使用三角函数的恒等变换是非常常见的技巧。

本文将介绍常见的三角函数恒等变换，以及它们的应用。

一、正弦和余弦的恒等变换1. 正弦函数的恒等变换正弦函数的恒等变换之一是正弦函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB该公式可以将正弦函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。

同时，也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。

2. 余弦函数的恒等变换余弦函数的恒等变换之一是余弦函数的和差化积公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB该公式与正弦函数的和差化积公式类似，可以将余弦函数的和差转化为乘积形式，并且也可以通过该公式将乘积形式转化为和差形式。

二、正切和余切的恒等变换1. 正切函数的恒等变换正切函数的恒等变换之一是正切函数的和差化积公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)该公式可以将正切函数的和差转化为乘积形式，方便进行进一步的计算和推导。

2. 余切函数的恒等变换余切函数的恒等变换之一是余切函数的和差化积公式：cot(A ± B) = (cotAcotB ∓ 1) / (tanA ± tanB)该公式与正切函数的和差化积公式类似，可以将余切函数的和差转化为乘积形式。

三、正弦、余弦和正切的恒等变换1. 正弦函数的平方与余弦函数的平方的关系：sin²A + cos²A = 1这是三角函数中最为著名的恒等变换之一，称为三角恒等式。

它表明了正弦函数的平方与余弦函数的平方之和始终等于1。

2. 正切函数与余切函数的关系：tanA = 1 / cotA这个恒等变换表明了正切函数和余切函数互为倒数关系。

三角函数的应用高中数学中的三角恒等变换技巧三角函数的应用 - 高中数学中的三角恒等变换技巧三角函数是高中数学中重要的概念之一，而三角恒等变换则是运用三角函数的重要技巧。

本文将介绍三角函数的基本概念，并详细讨论三角恒等变换的应用。

一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其对边与斜边之比。

用sin表示，即sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其邻边与斜边之比。

用cos表示，即cosθ = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tangent function）正切函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其对边与邻边之比。

用tan表示，即tanθ = 对边/邻边。

以上三个函数是最基本的三角函数，它们在解决实际问题中起着重要的作用。

二、三角恒等变换的介绍三角恒等变换是指由三角函数之间的关系得出的等式，它们在求解三角方程和简化复杂三角式中非常有用。

下面将介绍一些常用的三角恒等变换。

1. 基本的三角恒等变换- 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos^2θ + sin^2θ = 1- 正切可以表示成正弦与余弦的比值：tanθ = sinθ / cosθ2. 与角度和双角的关系- 正弦函数的二倍角恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ- 余弦函数的二倍角恒等式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ3. 和差角公式- 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ- 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ以上只是三角恒等变换中的一部分，还有更多的变换公式可供运用。

三、三角恒等变换的实际应用三角恒等变换在解决实际问题时可起到简化计算的作用，下面举例说明：例1：求解三角方程已知sinθ = 1/2，求解θ的值。

§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？题型二测量角度问题例2如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．题型三利用三角函数模型求最值例3如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y>x>0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？变式如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 3．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．4.8三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m的水轮，水轮的圆心O距离水面2m．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝A sin(ωx＋φ)＋2(ω>0，A>0)，则ω＝________，A＝________.2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3.如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，求塔高AB.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)； (2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．§4.8 三角函数模型及解三角形应用举例解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．题型一 测量距离、高度问题例1(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ (1)答案 30＋30 3解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin30°＝ABsin15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.(2)解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1040m.②假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．③由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝12606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得125043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤125043，62514(单位：m/min)范围内． 题型二 测量角度问题例2 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．思维点拨 设缉私船t 小时后在D 处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC ，再利用正弦定理求出时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里)，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15(分钟)． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟． 思维升华 测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离； (2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．题型三 利用三角函数模型求最值例3 如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y >x >0.(1)将十字形的面积表示为θ的函数；(2)θ满足何种条件时，十字形的面积最大？最大面积是多少？ 思维点拨 由题图可得：x ＝cos θ，y ＝sin θ.列出面积函数后，利用三角函数性质求解，注意θ的范围． 解 (1)设S 为十字形的面积，则S ＝2xy －x 2＝2sin θcos θ－cos 2θ (π4<θ<π2)；(2)S ＝2sin θcos θ－cos 2θ＝sin2θ－12cos2θ－12＝52sin(2θ－φ)－12，其中tan φ＝12， 当sin(2θ－φ)＝1，即2θ－φ＝π2时，S 最大．所以，当θ＝π4＋φ2(tan φ＝12)时，S 最大，最大值为5－12.思维升华 三角函数作为一类特殊的函数，可利用其本身的值域来求函数的最值．变式 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8米，圆上最低点与地面距离为0.8米，且60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h . (1)求h 与θ间关系的函数解析式； (2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？解 (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))， ∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在圆上转动的角速度是π30弧度/秒，故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2，t ∈[0，＋∞)．到达最高点时，h ＝10.4米．由sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30秒， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30秒．课堂练习：1．已知△ABC ，C 为坐标原点O ，A (1，sin α)，B (cos α，1)，α∈⎝⎛⎦⎤0，π2，则当△OAB 的面积达到最大值时，α＝______.答案 π2解析 ∵S ＝1－12×1×sin α－12×1×cos α－12(1－cos α)(1－sin α)＝12－12sin αcos α ＝12－14sin2α. ∴当α＝π2时，S 取到最大值．3．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好是3km ，那么x 的值为________． 答案 3或2 3解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC ＝30°， 由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.4．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°且相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，所以BC ＝207. 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114.4.8 三角函数模型及解三角形应用举例作业1．如图为一半径是3m 的水轮，水轮的圆心O 距离水面2m ．已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(ω>0，A >0)，则ω＝________，A ＝________.答案 2π153 解析 每分钟转4圈，每圈所需时间T ＝604＝15. 又T ＝2πω＝15，∴ω＝2π15，A ＝3. 2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米 解析 如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan60°＝203(米)，又CM＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 3.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin30°sin135°＝15 2 (m)． 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为156m.4．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10nmile 的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10nmile/h 的速度向某小岛B 靠拢，我海军舰艇立即以103nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t .在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，可得：(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos120°.整理得：2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 所以舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103，BC ＝10. 在△ABC 中，由正弦定理得：BC sin ∠CAB ＝AB sin120°， 所以sin ∠CAB ＝BC ·sin120°AB ＝10×32103＝12. 所以∠CAB ＝30°.所以舰艇航行的方位角为75°.5.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB ＝BD ＝l ，∠B ＝π3的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于地面(C 不与A ，B 重合)，且CD 可伸缩(当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D →C →A 运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v .为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB ＝θ的大小．(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数(用含有v 和l 的式子表示)；(2)当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？解 (1)在△BCD 中，∵∠BCD ＝θ，∠B ＝π3，BD ＝l ， ∴BC ＝l sin (2π3－θ)sin θ，CD ＝3l 2sin θ， ∴AC ＝AB －BC ＝l －l sin (2π3－θ)sin θ， 则t ＝AC 3v ＋CD v ＝l 3v －l sin (2π3－θ)3v sin θ＋3l 2v sin θ(π3<θ<2π3)． (2)t ＝l 6v (1－3cos θsin θ)＋3l 2v sin θ＝l 6v ＋3l 6v ·3－cos θsin θ. 令m (θ)＝3－cos θsin θ，θ∈(π3，2π3)，则m ′(θ)＝1－3cos θsin 2θ. 令m ′(θ)＝0，得cos θ＝13，设cos θ0＝13，θ0∈(π3，2π3)， 则θ∈(π3，θ0)时，m ′(θ)<0；当θ∈(θ0，2π3)时，m ′(θ)>0，∴当cos θ＝13时，m (θ)取得最小值22，此时BC ＝6＋48l . 故当BC ＝6＋48l 时货物运行时间最短. 6某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．规范解答解 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里， 则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[4分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分] 即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇小艇的航行距离最小．[7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇．则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.[9分] ∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.[10分] 又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.[12分] 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[14分]。

三角函数的应用三角函数是数学中的重要内容之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机图形学等。

本文将从不同领域的角度介绍三角函数的应用。

一、物理中的三角函数应用1. 弹道学中的三角函数应用在弹道学中，我们可以使用三角函数来描述抛物线弹道的轨迹。

假设我们以水平方向飞行的火箭为例，其运动轨迹可以用函数 y = f(x) 来表示，其中 x 表示时间，y 表示高度。

由于重力的作用，火箭在垂直方向上存在加速度。

通过三角函数，我们可以推导出火箭的高度随时间变化的函数表达式，并进一步分析火箭的运动轨迹。

2. 波动学中的三角函数应用在波动学中，三角函数被广泛应用于描述波动的性质。

例如，海浪的起伏可以用正弦函数来表示。

正弦函数具有周期性，因此能够准确地描述出海浪的周期和振幅等特征。

此外，在声波和光波的传播中，也会使用到正弦函数和余弦函数来描述波的传播方程。

二、工程中的三角函数应用1. 测量学中的三角函数应用在测量学中，三角函数被广泛应用于距离和角度的测量。

例如，利用正弦定理和余弦定理，我们可以在不直接测量距离的情况下，通过测量角度和长度来计算两个不可测量的物体之间的距离。

这在大地测量和建筑测量中都有重要的应用价值。

2. 结构力学中的三角函数应用在结构力学中，三角函数被用于求解力学问题中的角度和向量关系。

例如，通过正弦定律和余弦定律，我们可以计算力的分解、合成以及受力物体之间的角度关系。

这对于分析建筑物和桥梁等结构的稳定性和强度是非常重要的。

三、计算机图形学中的三角函数应用1. 三维建模中的三角函数应用在计算机图形学中，三角函数被广泛应用于三维建模和渲染中。

例如，在计算机游戏中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来计算光照的强度和方向，以达到逼真的渲染效果。

此外，在三维模型的旋转、缩放和平移中，三角函数也被用于计算变换矩阵，从而实现模型的变换和动画效果。

2. 图像处理中的三角函数应用在图像处理中，三角函数被用于图像的滤波和变换。