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广东省东莞市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题（扫描版，B卷））2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查高一数学（B 卷）参考答案及评分标准二、填空题11. 072=+-y x 12. 11 13. －3 14. b c a ,, (a c b <<) 三、解答题15．解：(1) 因为{|0A x x =<或2}x ≥，{}|11B x x =-<<所以{|1A B x x ⋃=<或2}x ≥. ……………5分 (2) 因为{|0A x x =<或2}x ≥，所以{|02}R C A x x =≤< ………………………8分 又{}|11B x x =-<<，所以(){|01}R C A B x x ⋂=≤<. ………………………12分 16．解:（1） 1为()f x 的一个零点，∴1(1)02c f -== ………………………………2分 ∴1c =. …………………………………………………4分（2）由（1）可知1()1x f x x -=+， …………5分 证明：设任意211x x >>-21212111()()11x x f x f x x x ---=-++ ……………………………………7分 ()()()2112211x x x x -=++ ……………………………………9分∵211x x >>- ∴210x x ->，1210,10x x +>+>∴()()()21122011x x x x ->++，∴2121()()0,()()f x f x f x f x ->>即 ………………………11分 所以函数()f x 在()1,-+∞上是增函数 ………………………………………12分17．解：(1)由2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1).………………3分将P 的坐标(2,1)代入直线013=+-+a y ax 中，可求得2a =. ……………………5分(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为2x =-，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意. ……………………………………7分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为,k则l 的方程为3(2)y k x -=+ 即230kx y k -++= ………………………………9分 因此点P 到直线l的距离d == ………………………………11分解方程可得2k =. …………………………………………………13分 所以直线l 的方程为270x y -+=. ……………………………………14分 18. 解：（1）证明： 依题意可知： G 是AC 中点……………1分ACE BF 平面⊥ CE ⊂平面ACE则BF CE ⊥，而BE BC =∴F 是EC 中点 ……………3分 在AEC ∆中，连接,FG 则AE FG // ………4分 又 ,AE BFD FG BFD ⊄⊂平面平面 ∴BFD AE 平面// …………………5分 （2）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //∴ABE BC 平面⊥，AE ⊂平面ABE ，则BC AE ⊥ ………7分 又 ACE BF 平面⊥，AE ⊂平面ACE ，则BF AE ⊥ ……8分且,BC BF B BC ⋂=⊂BCE 平面,BF ⊂BCE 平面 ∴BCE AE 平面⊥ ……………10分（3）解：由（2）知AE 为三棱锥A BCE -的高 ……………11分BC ⊥平面ABE BE ⊂平面ABEBC BE ∴⊥， 2===BC EB AE ∴1122222BCE S BC BE ∆=⨯=⨯⨯= ……………12分BC∴三棱锥A BCE -的体积11422333BCE V S AE ∆=⨯=⨯⨯= ……………14分19．解：（1）由题知：22(22)(0)3b -+-=(0)b >，…………………………2分 解得：1b = ………………………4分（2）方法一：因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C （-2,1）到直线l 的距离等于圆C= …………………………………………6分解得：3m =…………………………………………7分方法二：由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得：()22221220x m x m m +++-+= …………………………………………6分因为直线l 与圆C 相切，所以()()22418220m m m ∆=+--+=解得：3m =…………………………………………7分（3）设()11,M x y ，()22,N x y ，由圆的方程知120,0x x ≠≠由224220x y x y y x m⎧++-+=⎨=+⎩ 消去y 得： ()22221220x m x m m +++-+= ……………………………8分 ∴ ()()()22122124182201222m m m x x m m m x x ⎧⎪∆=+--+>⎪⎪+=-+⎨⎪-+⎪=⎪⎩ ……………………………9分OM ON ⊥∴ 11111OM ON y yk k x x ==-， 即12120x x y y += ………11分∴ ()()()21212121220x x x m x m x x m x x m +++=+++=∴ ()22222102m m m m m -+-++= 2320m m -+= 解得： 1m =，或2m = …………………………………………………13分 检验可知：它们满足0∆>，故所求m 的值为1m =，或2m =………………14分20. 解:（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立； ……………1分若A ≠∅，设t A ∈，则()()()(),f t t ff t f t t ===， ……………3分∴t B ∈，故A B ⊆. ……………4分 （2）∵()21f x x =-，∴(())2(21)143f f x x x x =--=-=，∴1x = ……………6分 ∴{1}B = ……………7分 （3）2,A x a x ≠∅∴-=有实根， 14a ∴≥-. …………8分 方程22(())()f f x x a a x =--=，可化为22()(1)0x x a x x a --+-+=. ……9分设方程210x x a +-+=的解集为C ， 方程(())f f x x =的解集B AC =A B =，C A ∴⊆ …………………………10分方程210x x a +-+=的判别式43a ∆=- ①304a ∆<⇒<时，C A =∅⊆成立 ②304a ∆=⇒=时，113,,222C A ⎧⎫⎧⎫=-=-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，C A ⊆成立 ③304a ∆>⇒>时，不合题意 由①②③得34a ≤综上所述 13[,]44a ∈- …………14分。
2014-2015学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题各有四个选项，仅有一个正确）1. 设全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，集合M={2, 3, 4, 5}，N={1, 4, 5, 7}，则M∩(∁U N)等于（）A.{2, 3}B.{1, 7}C.{1, 6, 7}D.{2, 3, 6}2. 若球的半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A.16倍B.64倍C.4倍D.8倍3. 下列函数中与函数y=x表示同一函数的是( )A.y=√x2B.y=(√x)2C.y=x2x D.y=√x334. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为()A.相交B.内切C.相离D.外切5. 若函数f(x)(x∈R)满足f(x−2)=f(x)+1，且f(−1)+f(1)=0，则f(1)等于（）A.1B.−12C.0 D.126. 设l，m是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若l // α，m⊂α，则l // mB.若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC.若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD.若α // β，l⊂α，则l // β7. 圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为（）A.2πB.πC.4πD.3π8. 已知函数f(x)=2x−2，则函数y=|f(x)|的图象可能是（）A. B.C. D.9. 把边长为√2的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A−BCD的正视图与俯视图（正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形）如图所示，则其俯视图的面积为（）A.1B.12C.√22D.210. 为了保证信息安全，传输必须加密，有一种加密、解密方式，其原理如下：明文→加密密文→发送密文→解密明文，已知加密函数为y=xα−1（x为明文，y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“26”，再发送，接受方通过加密得到明文“3”，若接受方接到密文为“7”，则原发的明文是（）A.4B.7C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）过点(−1, 3)且与直线x−2y+3=0平行的直线方程为________．823+(12)−2+log28=________．f(x)={x2+1(x≤0)−2x(x>0)，若f(x)=10，则x=________．已知f(x)是R上的减函数，设a=f(log23)，b=f(log123)，c=f(3−0.5)，则将a，b，c从小到大排列为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知集合A={x|x<0或x≥2}，集合B={x|−1<x<1}，全集为实数集R．（1）求A∪B；（2）求(∁R A)∩B．已知函数f(x)=cx−1x+1（c为常数），1为函数f(x)的零点．（1）求c的值；（2）证明函数f(x)在(−1, +∞)上单调递减．已知三条直线2x−y−3=0，4x−3y−5=0和ax+y−3a+1=0相交于同一点P．（1）求点P的坐标和a的值；（2）求过点(−2, 3)且与点P的距离为2√5的直线方程．如图，在四棱锥E−ABCD中，地面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC与BD相交于点G．（1）求证：AE // 平面BFD；（2）求证：AE⊥平面BCE；（3）求三棱锥A−BCE的体积．已知圆C：(x+2)2+(y−b)2=3(b>0)过点(−2+√2, 0)，直线l:y=x+m(m∈R)．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．对于函数f(x)，我们把使得f(x)=x成立的x称为函数f(x)的“不动点”；把使得f（f(x)）=x成立的x称为函数f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f(x)=x}，B= {x|f(f(x))=x}．（1）求证：A⊆B；（2）若f(x)=2x−1，求集合B；（3）若f(x)=x2−a，且A=B≠⌀，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2014-2015学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题各有四个选项，仅有一个正确）1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】判断射个初数是律聚同一函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定圆的正且方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】旋转验（圆柱立圆锥碳藏台）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】指数表数层图象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】进行简根的合情亮理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质有于械闭数古的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】分段函常的至析式呼法及其还象的作法函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算并集较其运脱【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函较绕肠由的判断与证明函数零都问判定定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】点到直使的距离之式两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算直线与平三平行定判定直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质函使的以值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2014-2015学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题各有四个选项，仅有一个正确）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={2，3，4，5}，N={1，4，5，7}，则M∩（∁U N）等于（）A．{1，7}B．{2，3}C．{2，3，6}D．{1，6，7}2．（5.00分）若球的半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A．64倍B．16倍C．8倍 D．4倍3．（5.00分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=4．（5.00分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离5．（5.00分）若函数f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x）+1，且f（﹣1）+f（1）=0，则f（1）等于（）A．﹣ B．1 C．D．06．（5.00分）设l，m是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α∥β，l⊂α，则l∥βD．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β7．（5.00分）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π8．（5.00分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5.00分）把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图（正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形）如图所示，则其俯视图的面积为（）A．B．1 C．2 D．10．（5.00分）为了保证信息安全，传输必须加密，有一种加密、解密方式，其原理如下：明文密文密文明文，已知加密函数为y=xα﹣1（x为明文，y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“26”，再发送，接受方通过加密得到明文“3”，若接受方接到密文为“7”，则原发的明文是（）A．7 B．4 C．3 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5.00分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为．12．（5.00分）8+（）﹣2+log28=．13．（5.00分）已知函数，则f（f（﹣2））=，若f（x）=10，则x=．14．（5.00分）已知f（x）是R上的减函数，设a=f（log 23），b=f（log3），c=f（3﹣0.5），则将a，b，c从小到大排列为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12.00分）已知集合A={x|x＜0或x≥2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，全集为实数集R．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B．16．（12.00分）已知函数f（x）=（c为常数），1为函数f（x）的零点．（1）求c的值；（2）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．17．（14.00分）已知三条直线2x﹣y﹣3=0，4x﹣3y﹣5=0和ax+y﹣3a+1=0相交于同一点P．（1）求点P的坐标和a的值；（2）求过点（﹣2，3）且与点P的距离为2的直线方程．18．（14.00分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，地面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC与BD相交于点G．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求证：AE⊥平面BCE；（3）求三棱锥A﹣BCE的体积．19．（14.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．20．（14.00分）对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f （x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f （f（x））=x}．（1）求证：A⊆B；（2）若f（x）=2x﹣1，求集合B；（3）若f（x）=x2﹣a，且A=B≠∅，求实数a的取值范围．2014-2015学年广东省东莞市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题各有四个选项，仅有一个正确）1．（5.00分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合M={2，3，4，5}，N={1，4，5，7}，则M∩（∁U N）等于（）A．{1，7}B．{2，3}C．{2，3，6}D．{1，6，7}【解答】解：∵M={2，3，4，5}，N={1，4，5，7}，∴∁U N═{2，3，6}，则M∩（∁U N）={2，3}，故选：B．2．（5.00分）若球的半径扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（）A．64倍B．16倍C．8倍 D．4倍【解答】解：设球的半径为r，球的体积为：πr3，扩展后球的体积为：π（2r）3=8×πr3，所以一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的8倍，故选：C．3．（5.00分）下列函数中与函数y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【解答】解：C．∵=x，与已知函数y=x的定义域和对应法则完全一样，∴二者是同一函数．故选：C．4．（5.00分）圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【解答】解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，两圆的圆心距d==，R+r=5，R﹣r=1，R+r＞d＞R﹣r，所以两圆相交，故选：B．5．（5.00分）若函数f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x）+1，且f（﹣1）+f（1）=0，则f（1）等于（）A．﹣ B．1 C．D．0【解答】解：令x=1，则f（1﹣2）=f（1）+1，即f（﹣1）=f（1）+1，∵f（﹣1）+f（1）=0，∴f（1）+f（1）+1=0，即f（1）=，故选：A．6．（5.00分）设l，m是两条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若α∥β，l⊂α，则l∥βD．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β【解答】解：对于A，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α；故A错误；对于B，若l∥α，m⊂α，则l与m的位置关系是平行或者异面；故B错误；对于C，若α∥β，l⊂α，根据面面平行的性质可得l∥β；故C正确；对于D，若α⊥β，l⊂α，则l与β可能平行或者相交；故D错误；故选：C．7．（5.00分）圆锥的底面半径为1，母线长为3，则圆锥的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：∵圆锥的底面半径r=1，母线长l=3，∴圆锥的表面积S=πr（r+l）=4π，故选：D．8．（5.00分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选：B．9．（5.00分）把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A﹣BCD的正视图与俯视图（正视图与俯视图是全等的等腰直角三角形）如图所示，则其俯视图的面积为（）A．B．1 C．2 D．【解答】解：如图：∵正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，∴平面BCD⊥平面ABD，又O为BD的中点，∴CO⊥平面ABD，OA⊥平面BCD，∴侧视图为直角三角形，且三角形的两直角边长为，∴侧视图的面积S==1．故选：B．10．（5.00分）为了保证信息安全，传输必须加密，有一种加密、解密方式，其原理如下：明文密文密文明文，已知加密函数为y=xα﹣1（x为明文，y为密文），如果明文“3”通过加密后得到密文为“26”，再发送，接受方通过加密得到明文“3”，若接受方接到密文为“7”，则原发的明文是（）A．7 B．4 C．3 D．2【解答】解：依题意可知明文“3”，即x=3，得到密文为“26”，即y=26，求得α=3，密码对应关系为：y=x3﹣1，接受方接到密文为“7”，即y=7，则原发的明文是x=2．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5.00分）过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+7=0．【解答】解：设过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣1，3）代入直线方程得﹣1﹣2×3+m=0，m=7，故所求的直线方程为x﹣2y+7=0，故答案为：x﹣2y+7=0．12．（5.00分）8+（）﹣2+log28=11．【解答】解：8+（）﹣2+log28=+22+3=4+4+3=11故答案为：11．13．（5.00分）已知函数，则f（f（﹣2））=﹣10，若f （x）=10，则x=﹣3．【解答】解：∵函数，∴f（f（﹣2））=f（5）=﹣10，若x≤0，由x2+1=10，得x=﹣3，或x=3（舍去），若x＞0，由﹣2x=10，得x=﹣5（舍去），综上所述，若f（x）=10，则x=﹣3，故答案为：﹣10，﹣314．（5.00分）已知f（x）是R上的减函数，设a=f（log 23），b=f（log3），c=f（3﹣0.5），则将a，b，c从小到大排列为a＜c＜b．【解答】解：∵log 23＞1，＜0，0＜3﹣0.5＜1，∴log 23＞3﹣0.5＞，∵f（x）是R上的减函数，a=f（log 23），b=f（log3），c=f（3﹣0.5），∴a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（12.00分）已知集合A={x|x＜0或x≥2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，全集为实数集R．（1）求A∪B；（2）求（∁R A）∩B．【解答】解：（1）因为A={x|x＜0或x≥2}，集合B={x|﹣1＜x＜1}，所以A∪B={x|x≥2或x＜1}．（2）因为A={x|x＜0或x≥2}，所以∁R A={x|0≤x＜2}，又B={x|﹣1＜x＜1}，所以（∁R A）∩B={x|0≤x＜1}．16．（12.00分）已知函数f（x）=（c为常数），1为函数f（x）的零点．（1）求c的值；（2）证明函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．【解答】解：（1）1为f（x）的一个零点，∴f（1）=；∴c=1；（2）由（1）可知f（x）=；证明：设任意x2＞x1＞﹣1，则：=；∵x2＞x1＞﹣1；∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0；∴；∴f（x2）＞f（x1）；所以函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增．17．（14.00分）已知三条直线2x﹣y﹣3=0，4x﹣3y﹣5=0和ax+y﹣3a+1=0相交于同一点P．（1）求点P的坐标和a的值；（2）求过点（﹣2，3）且与点P的距离为2的直线方程．【解答】解：（1）联立，解得，∴点P（2，1）．将P的坐标（2，1）代入直线ax+y﹣3a+1=0中，可得2a+1﹣3a+1=0，解得a=2．（2）设所求直线为l，当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x=﹣2，此时点P与直线l的距离为4，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，因此点P到直线l的距离d==2，解方程可得k=2．所以直线l的方程为2x﹣y+7=0．18．（14.00分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，地面ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC与BD相交于点G．（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求证：AE⊥平面BCE；（3）求三棱锥A﹣BCE的体积．【解答】（1）证明：由四边形ABCD是正方形，∴G是AC的中点，∵BF⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点，在△AEC中，连接FG，则FG∥AE，又AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD；（2）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，则BC⊥AE，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，则AE⊥BF，且BC∩BF=B，BC⊂平面BCE，∴BF⊂平面BCE．∴AE⊥平面BCE．（3）解：由（2）知AE为三棱锥A﹣BCE的高，∵BC⊥平面ABE，BE⊂平面ABE，∴BC⊥BE，AE=EB=BC=2，===2，∴S△BCE∴三棱锥A﹣BCE的体积V===．19．（14.00分）已知圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），直线l：y=x+m（m∈R）．（1）求b的值；（2）若直线l与圆C相切，求m的值；（3）若直线l与圆C相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求实数m的值．【解答】解：（1）由题，圆C：（x+2）2+（y﹣b）2=3（b＞0）过点（﹣2+，0），则（﹣2++2）2+（0﹣b）2=3（b＞0），…（2分）解得：b=1…（4分）（2）因为直线l与圆C相切，所以圆心C（﹣2，1）到直线l的距离等于圆C的半径即：=…（6分）解得：m=3±…（7分）（3）设M（x1，y1）、N（x2，y2），由直线代入圆的方程，消去y得：2x2+2（m+1）x+m2﹣2m+2=0，…（8分）所以x1+x2=﹣（m+1），x1x2=，因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，所以2x1x2+m（x1+x2）+m2=0所以m2﹣3m+2=0，解得：m=1，或m=2 …（13分）检验可知：它们满足△＞0，故所求m的值为1或2…（14分）20．（14.00分）对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f （x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f （f（x））=x}．（1）求证：A⊆B；（2）若f（x）=2x﹣1，求集合B；（3）若f（x）=x2﹣a，且A=B≠∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若A=∅，则A⊆B显然成立；若A≠∅，设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t∴t∈B，故A⊆B（2）∵f（x）=2x﹣1，∴f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，∴x=1∴B={1}（3）∵A≠∅有实根，∴a方程f（f（t））=（x2﹣a）2﹣a=x，可化为（x2﹣x﹣a）（x2+x﹣a+1）=0设方程x2+x﹣a+1=0的解集为C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C∵A=B，∴C⊆A方程x2+x﹣a+1=0的判别式△=4a﹣3①△＜0，a时，C=∅⊆A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C⊆A成立③△＞0，a时，不合题意由①②③得a综上所述a∈[，]。
2014—2015学年度第一学期教学质量检查高三理科数学（A 卷）参考答案BBDA DBAB 9. 24 10. ；623 11. 1- 12.26n n -+ 13. 7个 14.)43,2(π 15. 030（或)6π16.解:(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ…………………………………2分)2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即0)3sin(=-ϕπ …………………………………3分Z k k ∈=-∴,3πϕπ……………………………………4分Z k k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<< ……………………………………5分3,0πϕ==∴k ……………………………………6分所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f ……………………………………7分(2)由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分 22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈ 3,4πβπα==∴ ……………………………………10分βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分另解：23sin ,22)2sin(==+βπα ……………………………………9分22cos =∴α，又]2,0[,πβα∈21cos ,22sin ==∴βα ……………………………………10分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+∴ ……………………………………11分 462232221223sin4sin 3cos 4cos -=⨯-⨯=-=ππππ ……………………………………12分17.解：（1）根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． …………………2分 （2）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………4分设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，则3931128()55C P A C ==．所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． ………6分 （3）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ………………7分21293113(1)55C C P X C ===； 122931124(2)55C C P X C ===； 28(3)()55P X P A ===． ……………10分所以X 的分布列为X1 2 3 P355 2455 2855324282712355555511EX =⨯+⨯+⨯=． …………………12分18.解（1）∵,,PC AB PC BC AB BC B ⊥⊥= ………………3分∴PC ABC ⊥平面，………………4分 又∵PC PAC ⊂平面 ………………5分 ∴PAC ABC ⊥平面平面 ………………6分（2）解法一：在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）由题意有31,,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)B 设()()000,0,0P z z >， 则()()000330,1,,,,,0,0,22M z AM z CP z ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭由直线AM 与直线PC 所成的解为060，得0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即22000132z z z =+，解得：01z = ………………8分∴3331,,0,,,12222AB AM ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面MAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则111113502233022x y x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取13x =，得33(3,,)55n = …………………………10分平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = ……………………………………………………11分设m与n所成的角为θ，则93cos 31m n m nθ⋅==⋅ ………………………………………13分 显然，二面角M AC B --的平面角为锐角， 故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分解法二：在平面PCBM 内，过点M 作BC MH ⊥于H ， 则显然有PC MH //故ABC MH 面⊥ ………………………………7分过点M 作AB MG ⊥于G ，连接MG ，则MG 在平面ABC 内的摄影为HG 由三垂线定理的逆定理知AB HG ⊥MGH ∠∴为二面角M AB C --的平面角 …………………………10分 因为直线AM 与直线PC 所成的角为︒60，即︒=∠60AMHH G在ACH ∆中，AC=CH=1，︒=∠120ACH ，则AH=3AHM Rt ∆中，23sin ==∠AM AH AMH ，故1,2==MG AM …………11分 在ACB ∆中，由余弦定理7cos 2222=∠⋅⋅-+=ACB BC AC BC AC AB7=∴AB ……………………………………12分1421120sin 21=︒⋅⋅⋅=∴AB BC AC HG 31931692111421cos =+==∠∴MG HG MGH ………………………………13分 故二面角M AC B --的平面角余弦值为9331…………………………14分19．解：（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则22232c a a b c ⎧=⎪⎨⎪-=⎩∴222234,3a c c b ==……………………3分∴椭圆C 的方程为：22223314x y c c+= 代入1(3,)2P 得：3c = …………………………5分∴椭圆C 的方程为2214x y += …………………………6分 （2）设[](,),2,2Q x y x ∈-， 则222y x QO+=， ……………7分又：(1,0)A -， 222(1)QA x y =++ ……………8分2222222222221(1)1221QA x y x x y x x y x y x yQOλ-++-++====++++ ……………9分 点),(y x P 满足2214x y +=，∴2214x y =-， …………10分22281133414x xx x λ=+=+++ …………11分当0≤x 时，1≤λ …………12分 当0>x 时，(0,2]x ∈，288114343x x x xλ=+=+++ …………13分 因为4432343x x x x+≥⋅=，所以2313λ≤+，当且仅当233x =时， λ取得最大值2313+．…………14分 （说明：在求最大值部分若用导数求单调区间后再说明最值的，参考上述步骤给分） 20．解（1）：()()12323123 4 2=2n n a a a a log log log n log n +⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅++ ……2分要123n a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数，需要()()22log n k k Z +=∈ ∴22k n =- ……3分由于n N +∈， ∴2k ≥，即21222b =-=，32226b =-=，…，122m m b +=- 根据题意，2015<m b ，得2015221<-+m ∴201721<+m ，则9m ≤…………4分∴区间)2015,1(内的所有“穿越数”的和为： ()2310922229421182026+++-⨯=⨯--= …………………………7分证明（2）：341123111111112222222m m b b b b +++++=++++---………8分当1m =时，111526b =<成立；当2m =时，121111252636b b +=+=<成立； …………………………10分 当2m ≥时，由1111111122422322232m m m m m+---==≤-⋅-⋅+-⋅，…………………………12分 ∴211112311111111111511232323223262m m m m b b b b ---⎛⎫++++≤++++=+-=- ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ …………………………13分 又1102m -> ∴1211156m b b b +++< …………………………14分21.解: 由题有，22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩ …………………2分(2)由导数的几何意义可知,点A 处的切线斜率为()1f x ',点B 处的切线斜率为()2f x ',故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有()()121f x f x ''=-. …………………3分当0x <时,对函数()f x 求导,得()22f x x '=+.因为120x x <<,所以()()1222221x x ++=-, …………………4分 即：121244()5x x x x =-+-222211212121212()4()4()5(2)1x x x x x x x x x x x x -=+-=++++=+++ (6)分当122x x +=-时，1234x x =，此时1231,22x x =-=-，21x x -取得最小值1. ………8分(3)当120x x <<或210x x >>时,()()12f x f x ''≠,故120x x <<. ………9分 当10x <时,函数()f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-,即()21122y x x x a =+-+当20x >时,函数()f x 的图象在点()()22,x f x 处的切线方程为()2221ln y x x x x -=-,即221ln 1y x x x =∙+-. ………10分 两切线重合的充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①② ………11分由①及120x x <<知,110x -<<. 由①②得,()2211111ln1ln 22122a x x x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x x x x =-+--<<, ………12分 则()1111201h x x x '=-<+.- 11 - 所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln 21h x h >=--,所以ln 21a >--. ………13分 又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时,()1h x 无限增大,所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时,a 的取值范围是()ln 21,--+∞ ……14分。
高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则（ ） {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =()U A B = ðA ． B ． C ． D ．{1}{1,5}{3}{1,3}【答案】D【分析】根据集合的补集与交集运算即可.【详解】解：已知全集，集合，， {1,2,3,4,5,6}U ={1,3,5}A ={4,5,6}B =所以，则. {}1,2,3U B =ð(){}1,3U A B = ð故选：D.2．“”是“”的（ ） 0x =20x x +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件与必要条件定义判断.【详解】充分性：当时，，充分性成立；0x =20x x +=必要性：解得或，必要性不成立；故为充分不必要条件 20x x +=0x ==1x -故选：A3．已知实数a ，b ，c 满足，则下列不等式一定成立的是（ ） 0a b c >>>A ． B ．C ．D ． 22a c b c >c c b a >b a c c<11a b b a+>+【答案】D【分析】利用作差法逐项判断可得答案.【详解】因为a ，b ，c 满足，所以，，，0a b c >>>0a b ->0ab >0a b +>对于A ，，所以，故A 错误；()()220a c b c c a b a b -=+-<22a c b c <对于B ，，所以，故B 错误；()0--=<c a b c c b a abc c b a <对于C ，，所以，故C 错误； 0b a b ac c c --=>b a c c>对于D ，，所以，故D 正确；()11110⎛⎫⎛⎫+-+=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b a b b a ab 11a b b a +>+故选：D.4．已知，则下列结论正确的是（ ）3sin 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ． B ．4cos 35πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ． D ． 4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭24sin 35πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】C【分析】由诱导公式、同一三角函数的平方关系和商数关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，，所以A 不正确；4cos 35πθ⎛⎫-==± ⎪⎝⎭对于B ，，3cos =cos =cos =sin 6232335ππππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以B 不正确；对于C ，由B 知，，所以，3cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭4sin 65πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭则，所以C 正确；4tan 63πθ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭对于D ，. 23sin sin sin sin 33335ππππθπθπθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以D 不正确. 故选：C. 5．函数，的值域是（ ） ()222x xf x -=[]1,2x ∈-A ． B ．C ．D ．(]8-∞，1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]0,8【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.()[]222,1,g t x x x ∈-=-()g t ()f x 【详解】令，()[]222,1,g t x x x ∈-=-则， ()()min max (1)1,(1)3,g t g g t g ==-=-=所以()[1,3]g t ∈-又在上单调递增，2x y =R 所以()1322f x -≤≤即()182f x ≤≤故选：B.6．设函数，若关于x 的方程有4个不等实根，则a 的取值范围是()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =（ ） A ． B ．C ．D ．(0,2][0,2)(0,2)[0,2]【答案】A【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. ()f x 【详解】函数的图象如图所示，()fx关于x 的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交()f x a =()y f x =y a =点，所以. 02a <≤故选：A.7．已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为x y ､1110x y +-=0xy >490x y t +-≥t （ ） A ．9 B ．25C ．16D ．12【答案】B【分析】根据题目所给条件可知，实数均满足是正数，再利用基本不等式“1”的妙用即可求出实x y ､数的最大值.t 【详解】由得，1110x y +-=111x y +=又因为，所以实数均是正数，0xy >x y ､若不等式恒成立，即；490x y t +-≥min (49)t x y≤+， 114949132954x y y x x y y x ⎛⎫++=+++≥+= ⎪⎝⎭（）当且仅当时，等号成立；55,23x y ==所以，，即实数的最大值为25. min (49)25t x y ≤+=t 故选：B.8．函数是定义在R 上的偶函数，且当时，的解()f x 0x ≥()f x =()()1f x x -≥集为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,0-11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】先根据函数的解析式可得，再结合偶函数的性质与单调性求解即()()2,R f x x x =∈可.【详解】因为是定义在R 上的偶函数，故当时，()f x 0x <()()f x f x =-=又当时，； 0x ≥()()2f x x ===当时，， 0x <()()2f x x ===故.()()2,R f x x x =∈故即，()()1f x x -≥()()12f x f x -≥结合偶函数性质与的单调性可得，()f x =12x x -≥即，，解得.()()2212x x -≥()()3110x x -+≤11,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：D二、多选题9．已知函数的图象关于点对称，则（ ）()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π,06⎛⎫⎪⎝⎭A ．π6ϕ=B ．直线是曲线的一条对称轴 5π12x =()y f x =C ．()()πf x f x +=D ．在区间上单调递增()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ϕ【详解】依题意，ππsin 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于，所以，A 选项错误.ππ4π0π,333ϕϕ<<<+<π2ππ,33ϕϕ+==则，()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以直线是曲线的一条对称轴，B 选项正确.5π5π2π3πsin sin 112632f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π12x =()y f x =的最小正周期，所以，C 选项正确. ()f x 2ππ2T ==()()πf x f x +=由得，所以不是的递增区间，D 选项错误.π02x <<2π2π5π2333x <+<π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 故选：BC10．下列说法正确的是（ ） A ．任取，都有 x ∈R 43x x >B ．函数的最大值为113xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数（且）的图象经过定点()1xf x a =+0a >1a ≠()0,2D ．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称3xy =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭x 【答案】BC【分析】A 选项：利用特殊值的思路，令，即可得到A 不成立；B 选项：根据函数0x =13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性求最大值即可；C 选项：将代入到的解析式中验证即可；D 选项：求出函数()0,2()f x 图象关于轴对称后的解析式即可判断D 选项.3x y =x 【详解】A 选项：当时，，故A 错；0x =00431==B 选项：函数在上单调递增，上单调递减，所以1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩(),0∞-()0,∞+，故B 正确； 0max113y ⎛⎫== ⎪⎝⎭C 选项：令，则，所以的图象恒过，故C 正确； 0x =()02f =()f x ()0,2D 选项：函数图象关于轴对称后的解析式为，故D 错.3xy =x 133xxy ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭故选：BC.11．下列说法正确的是（ ）．A ．命题“，”的否定为“，” x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++>B ．“或”是“”的必要不充分条件 2x ≠3y ≠5x y +≠C ．已知，，则,,a b c ∈R 22ac bc <a b <D ．当时，的最小值是π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +【答案】BC【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、不等式的性质、基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，命题“，”的否定为“，”， A 选项错误. x ∀∈R 210x x ++>x ∃∈R 210x x ++≤B 选项，若“或”，如，，则，即“”不成立； 2x ≠3y ≠1x =4y =5x y +=5x y +≠若“”，则“或”，5x y +≠2x ≠3y ≠所以“或”是“”的必要不充分条件，B 选项正确、 2x ≠3y ≠5x y +≠C 选项，由于，，则，所以，C 选项正确. ,,a b c ∈R 22ac bc <20c >a b <D 选项，，，()π0,,sin 0,12x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭2sin sin x x +≥=但D 选项错误. 2sin ,sin sin x x x==故选：BC12．设，关于函数，给出下列四个叙述，其()31xf x =-()()()()()22R g x f x m f x m m ⎡⎤=-++∈⎣⎦中正确的有（ ）A ．任意，函数都恰有3个不同的零点 0m >()g xB ．存在，使得函数没有零点 R m ∈()g xC ．任意，函数都恰有1个零点 0m <()g xD ．存在，使得函数有4个不同的零点 R m ∈()g x 【答案】AC【分析】画出函数的图像，利用函数的零点()31xf x =-转化为函数图像的交点逐项分析.【详解】如图的图像：()31xf x =-令()()0f x t t =≥所以化为：()()()()()2[]2R g x f x m f x m m =-++∈，()()22h t t m t m =-++令，()0h t =由()222440m m m ∆+-=+>=所以有两个不同的实数根，()220t m t m -++=设为：，12,t t 所以，12122,t t m t t m +=+=由 ()()()12121211110t t t t t t --=-++=-<所以121t t <<选项A ：任意， 则如图所示：0m >有两个交点，即此时原函数有两个零点， 1()y t f x ==有一个交点，即此时原函数有一个零点， 2()y t f x ==所以共3个不同的零点，故A 选项正确； ()g x 当时，，此时， 0m =120t t =122t t +=10t =22t =故此时函数有2个零点当时，由选项A 知有3个不同的零点； 0m >当时，，0m <120t t m =<有，此时函数有1个零点， 120,1t t <>所以函数至少有1个零点，故B 不正确； 由选项B ，可知C 正确；若存在，使得函数有4个不同的零点， R m ∈()g x 如图：则即：1201,01t t <<<<有两个交点，即原函数有两个零点， 1()t f x =有两个交点，即原函数有两个零点， 2()t f x =共4个零点；此时，121202,0t t t t <+<>当时，矛盾； 0m =12122,0t t t t +==当时，矛盾； 0m >122t t +>当时，矛盾， 0m <120t t <故D 选项错误. 故选：AC.三、填空题 13．____________. 5π19πcostan 225sin 36+︒+=【答案】1【分析】由诱导公式和特殊角的三角函数值，直接得到答案.【详解】依题意，根据诱导公式，原式. π7π11cos tan 45sin113622⎛⎫⎛⎫=-++=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：114．已知函数的图像经过点，若，则的取值范围为()nf x x =()2,8()()210f x f x +-<x __________. 【答案】}{1x x <-【分析】先求出函数的解析式，再利用其单调性解不等式即可.【详解】因为幂函数的图像过点，所以，，易知函数在上()n f x x =(2,8)3n =3()f x x =3()f x x =R 是奇函数，且单调递增，所以可化为，即，解得()()210f x f x +-<()()21f x f x <-21x x <-，故取值范围为.1x <-}{1x x <-故答案为： }{1x x <-15．下列命题中：①与互为反函数，其图象关于对称; 2x y =2log y x =y x =②函数的单调递减区间是；1y x=(,0)(0,)-∞+∞ ③当，且时，函数必过定点；0a >1a ≠()23x f x a -=-()2,2-④已知，且，则实数.()231a bk k ==≠121a b +=8k =上述命题中的所有正确命题的序号是______. 【答案】①③【分析】根据反函数、单调性、指数型函数图象所过定点、对数运算等知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图象关于对称；x y a =log a y x =y x =所以当时，与互为反函数，其图象关于对称，故命题①正确； 2a =2x y =2log y x =y x =对于②，由反比例函数可知，函数的单调递减区间是，故②错误；；1y x=(,0),(0,)-∞+∞对于③，因为，所以令，即，则，()23x f x a -=-20x -=2x =()22232f a -=-=-故过定点，故命题③正确；()f x ()2,2-对于④，因为，所以，()231a bk k ==≠23log ,log a k b k ==所以， 231111log 2,log 3log log k k a k b k====故由得，即，即，121a b+=log 22log 31k k +=()2log 231k ⨯=log 181k =所以，故命题④错误. 18k =故答案为：①③16．若对于任意，任意，使得不等式成立，则实数[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-x的取值范围是__________．【答案】()4,2-【分析】应用恒成立问题与最值的关系转化两个恒成立,再解不等式即可.【详解】因为对于任意,任意，使得不等式成立,[]1,1m ∈-R y ∈()23613x m x y y +--<-+-设,则()13t y y y =-+-()()2min 36x m x t y +--<又因为,所以.()()()13132t y y y y y =-+-≥---=()min 2t y =所以即()2362x m x +--<()2380x m x +--<设,()()223838g m x m x mx x x =+--=-++-对于任意,,应用一次函数性质可知[]1,1m ∈-()2380g m mx x x =-++-< ()()2213801380g x x x g x x x ⎧=-++-<⎪⎨-=++-<⎪⎩即得,解得 22280480x x x x ⎧+-<⎨+-<⎩2242x x ⎧--<<⎪⎨-<<⎪⎩则实数的取值范围是. x ()4,2-故答案为: .()4,2-四、解答题17．若集合，． {}24A x x =-<<{}0B x x m =-<(1)若，求．3m =A B ⋂(2)若，求实数m 的取值范围． A B A = 【答案】(1) {}23x x -<<(2){}4m m ≥【分析】根据交集和子集的定义，即可求解.【详解】（1）解：当时，，3m ={}3B x x =<因为，所以；{}24A x x =-<<{}23A B x x ⋂=-<<（2）解：由得,A B A = A B ⊆所以m 的取值范围是.{}4m m ≥18．已知. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)化简；()f α(2)若角为第二象限角，且，求的值. α1sin 3α=()f α【答案】(1) 1tan α-(2)()f α=【分析】（1）由诱导公式化简；（2）由平方关系求得，再由商数关系得，从而得结论．cos αtan α【详解】（1）. cos()sin()()3sin cos tan()22f πααπαππααπα---=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 1cos sin (tan )tan αααααα-==---（2）∵，，角为第二象限角， 1sin 3α=22sin cos 1αα+=α∴，∴cos α=tanα=∴()f α=19．某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元．()*n n ∈N ()2102n n -(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以30万元的价格处理．哪种方案较为合理？并说明理由．（注：年平均盈利额） =总盈利额年度【答案】(1)3(2)方案二更合理，理由见解析【分析】（1）先设为前年的总盈利额，由题中条件得出，列出不等式求解，即可得出()f n n ()f n 结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设为前年的总盈利额，单位：万元；()f n n 由题意可得，()()()()2298102160101001601028f n n n n n n n n =---=-+-=---由得，又，所以该设备从第年开始实现总盈利；()0f n >28n <<*n ∈N 3（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，()()221010016010590f n n n n =-+-=--+当时，取得最大值；此时处理掉设备，则总利润为万元；5n =()f n 909020110+=方案二：由（1）可得，平均盈利额为， ()210100160161010010020f n n n n n n n -+-⎛⎫==-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，等号成立；即时，平均盈利额最大，此时， 16n n =4n =4n =()80f n =此时处理掉设备，总利润为万元；8030110+=综上，两种方案获利都是万元，但方案二仅需要4年即可，故方案二更合适.11020．已知函数的最小正周期． ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(1)求函数单调递增区间和对称中心；()f x (2)求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦【答案】(1)答案见解析(2)[]1,2-【分析】（1）先由最小正周期求得，再结合的性质即可求得所求；ωsin y x =（2）利用整体法及的单调性即可求得在上的值域． sin y x =()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】（1）因为的最小正周期， ()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π所以，得，故， 2ππω=2ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则由得， πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈由得， π2π,Z 6x k k +=∈ππ,Z 122k x k =-+∈所以单调递增区间为，对称中心为. ()f x ()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦()ππ,0Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭（2）因为，所以， π02x ≤≤ππ7π2666x +≤≤所以，故，即， 1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭π12sin 226x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()12f x -≤≤所以在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎣⎦[]1,2-21．已知是定义在上的奇函数，且当时，.()f x R 0x >()13x f x =-(1)求函数的解析式；()f x (2)当时，方程有解，求实数的取值范围. []2,8x ∈()()222log 4log 0f x f a x +-=a 【答案】(1)； 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥=⎨-+<⎩(2).[]4,5【分析】（1）当时，则，再利用为奇函数，和0x <()0,13x x f x -->-=-()f x ()()f x f x =--，即可求出答案.(0)0f =（2）利用函数是奇函数把方程化为，再利用()()222log 4log 0f x f a x +-=()()222log log 4f x f a x =-是上的单调减函数得，在上有解. 再令，则()f x R 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈2log t x =在有解.分离参数有解问题，即可求出答案.240t at -+=[]1,3t ∈【详解】（1）当时，则，0x <()0,13x x f x -->∴-=-是奇函数，.()f x ()()13x f x f x -∴=--=-+又当时，0x =(0)0f =. 13,0()13,0x x x f x x -⎧-≥∴=⎨-+<⎩（2）由， ()()222log 4log 0f x f a x +-=可得. ()()222log 4log f x f a x =--是奇函数，()f x .()()222log log 4f x f a x ∴=-又是上的单调减函数，()f x R 所以在有解. 222log log 40x a x -+=[]2,8x ∈令，则在有解.[]2log ,2,8t x x =∈[]21,3,40t t at ∈∴-+=[]1,3t ∈即在有解， 4a t t=+[]1,3t ∈设易知函数在（1,2）递减，（2,3）递增，故值域为 ∴()4,g t t t=+[]4,5.实数的取值范围为∴a []4,522．已知函数与，其中是偶函数． ()()()4log 41x f x kx k =++∈R ()44log 23x g x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭()f x (1)求实数的值及的值域；k ()f x (2)求函数的定义域；()g x (3)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．()f x ()g x a 【答案】(1)，函数的值域为 12k =-()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)答案见解析(3){}()31,-⋃+∞【分析】（1）利用偶函数的定义可求得实数的值，利用对数函数的单调性结合基本不等式可求得k 函数的值域；()f x （2）由已知可得出，对实数的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性可解得4203x a a ⋅->a 函数的定义域；()g x（3）令，由可知关于的方程有且只有一个正根，对实数20x t =>()()f x g x =t ()241103a t a ---=的取值进行分类讨论，结合一次函数和二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式（组），综a a 合可得出实数的取值范围.a 【详解】（1）解：由函数是偶函数可知，()f x ()()f x f x -=所以，，()()44log 41log 41x x kx kx -++=+-所以，， ()()()444444141142log log log log 441441441x x x xx x x x x x kx x ---+++=====-+++则，故，所以， 21k =-12k =-()()()4441log 41log 41log 22x x x f x x =+-=+-， ()(444411log log 22log 22x x x x -+==+≥=当且仅当时，等号成立，故函数的值域为. 0x =()f x 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）解：对于函数，则有. ()g x 4203x a a ⋅->当时，，不合乎题意； 0a =4203x a a ⋅-=当时，，得； 0a >423x >24log 3x >当时，，得. a<0423x <24log 3x <综上所述，当时，函数的定义域为； 0a >()g x 24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭当时，函数的定义域为. a<0()g x 24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（3）解：函数与的图象有且只有一个公共点，()f x ()g x 即方程有且只有一个实根， ()4414log 41log 223x x x a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝⎭即方程有且只有一个实根， 142223x x x a a +=⋅-令，则方程有且只有一个正根. 20x t =>()241103a t at ---=①当时，，不合题意; 1a =34t =-②当时，由得或， 1a ≠()216Δ4109a a =+-=34a =3-若，则不合题意；若，则满足要求. 34a =2t =-3a =-12t =若，可得或. ()2164109a a ∆=+->3a <-34a >则此时方程应有一个正根与一个负根， ()241103a t a ---=所以，，解得，因为或，故. 101a -<-1a >3a <-34a >1a >综上，实数的取值范围是a {}()31,-⋃+∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。
A . (-：： , T)U(2 , * )B . (-1,2)C . (-2,1)D .2)U(1,=)广东省东莞市 2013-2014学年度第一学期高一数学测试题一、选择题（本大题共 10小题，每小题 选择支正确.）5分，共50分•每小题各有四个选择支，仅有一个B . {2 , 4,6}C . {1,3,6 7}D . {1,3, 5 7}数m 的值为（）A . 2或-2B . 2C . -2D . 3一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ 1亠2二 1亠2二A .B .JI已知全集U = {1,2,3 4 5 ,6 7}，A ={2 ,4,5},则 C U A =()2. F 列命题中， 经过不同的三点有仅有一个平面 垂直于同一条直线的两条直线平行正确的是（3. A . C . 已知 B .分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线D .垂直于同一个平面的两条直线平行RUABC 的顶点坐标分别为 A(5 , -1) , B(1,1) , C(2 , m)，若 N C = 90、，则实 4. 5.6三个数 a = log 0.3 6 , b =0.3 , 0 3c=6 ，则的大小关系是 A . b :: c ：： a B . a . c . bC .b 函数f (x) = 1 n x -2的零点所在的大致区间是xA . 1 (丄，1)(1,2) C .:::a c(2 ,3)7. 已知直线h : ax 「y • a = 0 ,a ：：b c(e ,-)J :（2a-3）x • ay -a =0互相平行，则a 的值是（）A . 1B . -3利用斜二测画法画平面内一个三角形的直观图得到的图形还是一个三角形，那么直观图 三角形的面积与原来三角形面积的比是（）C . 1 或 _38. 9 .已知点 A(1,0) , B( -1,0)，过点 C(0 , -1)的直线 l 与线段AB 相交，则直线l 的倾斜角范围是（）A . [4^ ,135]B . [45‘ , 90)U(90” , 135‘]C . [^ ,45：]U[135" , 180] D. [0 ,135]10 .已知函数 f(x)= X 2X1,X_OI2x +1 .若f （m ） ：：： f （2 - m 2），则实数 m 的取值范围是x ： 06.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11 •幕函数f(x)的图象过点(3 ,, 3)，则f(x)= .12•已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，_________________________f(x) =log2x 1，则f(_4) = ________.13. —个几何体的三视图如图所示，俯视图是边长为2的正方形，正视图与侧视图是全等的等腰直角三角形，则此几何体的侧棱长等于________________________ .14•规定符号“ “”表示两个正实数a、b之间的运算，第13题图即a b = . OB - a b，已知1 “ k =1，则函数f (x) = k“ x(x . 0)的值域是_____________ .三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本小题满分12分)已知集合A 二｛x|1 乞x ：：7｝, B 二｛x|log2(x-2) ：：：3｝, C 二｛x|x ：：a｝，全集为实数集R.(1)求A U B；(2)如果A" C"：‘，且BPI C —：‘，求实数a的取值范围.16. (本小题满分13分)设直线h : y二2x与直线l2: x目二3交于P点.(1) 当直线m过P点，且与直线l0:x-2y=0时，求直线m的方程；(2) 当直线m过P点，且坐标原点O到直线m的距离为1时，求直线m的方程.17. (本小题满分13分)某四星级酒店有客房300间，每天每间房费为200元，天天客满.该酒店欲提高档次升五星级，并提高房费.如果每天每间客的房费每增加20元，那么入住的客房间数就减少10间，若不考虑其他因素，酒店将房费提高到多少元时，每天客房的总收入最高？18. (本小题满分14分)如图所示，四棱锥P - ABCD的底面是直角梯形，PA _底面ABCD , AB _ AD ,CD_AD , CD =2AB , E 为 PC 的中点, (1) 证明：BE//平面PAD ; (2) 证明：BE _平面PDC ; (3) 求三棱锥 E -PBD 的体积.19 .(本小题满分14分)已知函数f(x)二a-飞乙(a ，R)2x+1(1)判断并证明函数的单调性；(2)若函数为f (x)奇函数，求实a 数的值;求实数k 的取值范围.20.(本小题满分14分)2已知函数f(x)=|x-a| ,g(x)=x 2ax 1 ( a 为正实数)，且函数f (x)与g(x) 的图象在y 轴上的截距相等. (1) 求a 的值；(2) 对于函数F(x)及其定义域D ,若存在x 0・D ，使F(x 0^x 0成立，则称x 0f(x) g(x) b 在其定义域内存在不动点，求实数的取值范围；(3) 若 n 为正整数，证明：10f(n) -(4)g(n) :: 45(3)在(2)的条件下，若对任意的 t R ，不等式 f(t 22) f(t 2-tk) • 0恒成立,为F(x)的不动点.若 第18题图(参考数据：Ig3 =0.3010 , (4)9=0.1342 , C4)1^0.0281,(彳)25=0.0038)5 52011 —2012学年度第一学期期末教学质量检查2k l 高一数学(A 卷)参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 CDABDCBAAC(1)因为m 丄l 0，所以直线m 的斜率又直线m 过点P 1,2，故直线m 的方程为：y -2=-2 x-1，即11. f X 12. — 313..3三、解答题15.（本小题满分12分）解：（1） 由 log 2（x -2） ：： 3，得 Q .x-28 ,••• A B 二{x|1 mx :：: 10}.（2） A C = 一，• a 1.又••• B 「|C =：；, • a _ 2, • 1 ： a 乞 2 ,即实数a 的取值范围是 1,2 1.16. （本小题满分13分）y = 2x,解：由，解得点P 1,2 .14.-1,：：.............................. 2分 .............................. 4分 .................................. 6分................................... 8分.................................. 10分.................................. 12分 .............................. 2分(2)因为直线 m 过点P 1,2，当直线m 的斜率存在时，可设直线m 的方程为y_2 = k x -1，即kx - y - k 2=0._k +23所以坐标原点O 到直线m 的距离d -— 丄 I =1，解得k =上,...... 9分43 3 因此直线 m 的方程为：一x-y 2=0,即卩3x-4y ・5=0. .................................... 10分 44当直线m 的斜率不存在时，直线 m 的方程为x =1，验证可知符合题意.……12分 综上所述，所求直线 m 的方程为x=1或3x-4y ・5 = 0...................... 13分17. (本小题满分13分)解：设酒店将房费提高到 x 元，每天的客房的总收入为y 元....... 1分则每天入住的客房间数为 (300 _ x_20010)间，......... 3分20由 300 _x_20010 一。
2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.54．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．176．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=17．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h 0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于弧度．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n 1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．2014-2015学年广东省东莞市高一（下）期末数学试卷（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）sin420°的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故选：C．2．（5分）点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则++==；故选：A．3．（5分）某班第一小组8位同学数学测试成绩用茎叶图表示（如图），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（）A．90.5 B．91.5 C．92 D．92.5【解答】解：根据茎叶图中的数据，把这组数据按从小到大的顺序排列如下；87，88，90，91，92，93，94，97；∴这组数的中位数是=91.5；故选：B．4．（5分）已知某简谐运动的图象经过点（0，2），且对应函数的解析式为f（x）=4sin（x+φ）（|φ|＜），则该简谐运动的初相φ的值为（）A．φ=B．φ=C．φ=D．φ=【解答】解：∵简谐运动的图象经过点（0，2），∴f（0）=2，即f（0）=4sinφ=2，即sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，故选：D．5．（5分）某高中学校三个年级共有学生2800名，需要用分层抽样的方法抽取一个容量为40的样本，已知高一年级有学生910名；高二年级抽出的样本人数占样本总数的；则抽出的样本中有高三年级学生人数为（）A．14 B．15 C．16 D．17【解答】解：高二年级的人数为2800×=840人，则高三人数为2800﹣840﹣910=1050，则高三抽取的人数为=15，故选：B．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若•=•，则= B．若|+|=|﹣|，则•=0C．若∥，∥，则∥D．若与是单位向量，则•=1【解答】解：∵，∴，∴，∴，故选：B．7．（5分）在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选：D．8．（5分）已知△ABC中，cosA=，cosB=，则内角C等于（）A． B． C．D．【解答】解：△ABC中，∵cosA=＞0，cosB=＞0，∴A、B均为锐角，∴sinA==，同理可得sinB==，∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=﹣×+×=﹣，∵0＜C＜π，∴可得：C=．故选：A．9．（5分）假设△ABC为圆的内接正三角形，向该圆内投一点，则点落在△ABC 内的概率（）A．B．C．D．【解答】解：设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长R构成试验的全部区域的面积：S=πR2记“向圆O内随机投一点，则该点落在正三角形内”为事件A，则构成A的区域的面积由几何概率的计算公式可得，P（A）=故选：A．10．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．11．（5分）已知向量=（3，5），=（1，x），且∥，则x=．【解答】解：∵向量=（3，5），=（1，x），且∥，∴3x﹣1×5=0，解得x=．故答案为：．12．（5分）一个扇形弧长等于2，面积等于1，则此扇形的圆心角等于2弧度．【解答】解：根据扇形的面积公式S=lr可得：1=×2r，解得r=1，再根据弧长公式l==2，解得n=2扇形的圆心角的弧度数是2．故答案为：2．13．（5分）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移个单位，最后所得到的图象对应的解析式是．【解答】解：由题意可得：若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，所以可得函数，再将所得的函数图象向左平移个单位，可得，所以．所以答案为．14．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点P（x，y），且x+y=﹣，则tan（α+）=±．【解答】解：由题意可得x+y=﹣，x2+y2=1，tanα=，求得或，∴tanα=﹣或tanα=﹣．当tanα=﹣，tan（α+）==；当tanα=﹣，tan（α+）==﹣，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．15．（12分）生物兴趣小组的同学到野外调查某种植物的生长情况，共测量了k ∈Z株该植物的高度（单位：厘米），获得数据如下：6，7，8，9，10，14，16，17，17，18，19，20，20，21，24，26，26，27，28，29，29，30，30，30，31，31，33，36，37，41．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）n1=12，f1=0.4，n2=3，f1=0.1，（2）（3）用（2）的频率分布直方图估计该植物生长高度的平均值为：10×0.2+20×0.3+30×0.4+40×0.1=24（厘米）16．（12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表所示：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）试根据最小二乘法原理，求出y关于x的线性回归方程=x+，并在给定的坐标系中画出回归直线；（3）试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的学生的判断力．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（1分）（2），…（3分）…（4分）…（5分）…（7分）…（8分）故线性回归方程为．…（9分）画出回归方程…（10分）（3）由题意，该同学的记忆力为9，则预测他的判断力为：…（11分）预测这位同学的判断力约为4．…（12分）17．（14分）已知0＜φ＜π，且满足sin（φ+）=sin（φ﹣），设函数f（x）=sin（2x+）．（1）求φ的值；（2）设＜α＜，且f（α）=﹣，求sin2α的值．【解答】解：（1）由已知得，化简得，即cosφ=0．又0＜φ＜π，所以．（2）由（1）得，由，得，因为，所以＜2α+＜，可得．则sin2α===．18．（14分）运行如图所示的程序流程图．（1）若输入x的值为2，根据该程序的运行过程填写下面的表格，并求输出i 与x的值；（2）从问题（1）表格中填写的x的5个数值中任取两个数，求这两个数的平均数大于211的概率；（3）若输出i的值为2，求输入x的取值范围．【解答】（本小题满分14分）解：（1）…（5分）（注：每填对一个空格给1分）因为202＜211，607＞211，故输出的i的值为5，x的值为607．…（6分）（2）问题（1）表格中填写的x的5个数值为：7，22，67，202，607，从中任取两个数，共有10种不同的取法，Ω={（7，22），（7，67），（7，202），（7，607），（22，67），（22，202），（22，607），（67，202），（67，607），（202，607）}…（7分）其平均数分别是：14.5、37、104.5、307、44.5、112、314.5、134.5、337、404.5，设A表示“两个数的平均数大于211”，则A={（7，607），（22，607），（67，607），（202，607）}其平均数分别是307、314.5、337、404.5满足条件…（9分）所以…（10分）（3）因为输出i的值为2，所以该程序执行了循环体2次．…（11分）即：…（13分）解得23＜x≤70．故输入x的取值范围为（23，70]．…（14分）19．（14分）已知平面内两点A（2acos2，1），B（1，asin（ωx+φ）﹣a），（a≠0，ω＞0，0＜φ＜），设函数f（x）=•，若f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为（，0）．（1）求ω和φ的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）若a＞0，试讨论k为何值时，方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解．【解答】解：（1）…（1分）=…（2分）=…（3分）∵f（x）的图象相邻两最高点的距离为π，∴，ω=2…（4分）又其图象的一个对称中心为，故，∴，由得…（5分）（2）由（1）知当a＞0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（7分）当a＜0时，由，得f（x）单调增区间为，k∈Z…（9分）（3）当时，由x∈[0，a]得，…（10分）当时，由x∈[0，a]得，…（11分）当时，由x∈[0，a]得，…（12分）当时，由x∈[0，a]得，…（13分）综上所述：要使方程f（x）﹣k=0（x∈[0，a]）有解，当时，；当时，；当时，；当时，﹣2a≤k≤2a…（14分）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD，AC相交于点O，设向量=，=．（1）若AB=1，AD=2，∠BAD=60°，证明：；（2）若点P是平行四边形ABCD所在平面内一点，且满足5，求△ACP与△ACD的面积的比；（3）若AB=AD=2，∠BAD=60°，点E，F分别在边AD，CD上，，，且，求λ+μ的值．【解答】解：（1），∵，又∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，∴，，∴．即．（2）由，得，即，故D，P，O三点共线，且x，所以i=0与i=i+1对于边x≤211的两高之比为i，x，所以x=3x+1与△ACD的面积比为．（3），==﹣2+4（λ+μ）﹣2λμ=1，所以①又==，所以②由①②得．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
