数值计算chapter1 误差共26页

了解误差可以帮助我们评估数值计算结果的可靠性和适用性。
常见的误差类型
1 绝对误差
绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异的绝对值。
2 相对误差
相对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异与真实值的比值。
3 截断误差
截断误差是由于计算方法中所采用的有限精 度导致的误差。
4 舍入误差
舍入误差是由于将无限精度的数值结果截断 为有限精度导致的误差。
Hale Waihona Puke 误差分析的方法前向误差分析
通过正向推导和逐步改进方法，分析误差在计算过 程中如何积累。
后向误差分析
通过反向推导和逆向改进方法，分析误差在计算过 程中如何传播。
误差的减小技术
1
增加迭代次数
2
通过增加迭代次数来逐渐逼近精确结果，
减小误差的影响。
3
提高精度
使用更高精度的计算方法和数据类型来 减小误差的累积。
优化算法
优化算法可以减小误差的产生，并提高 计算效率。
实际应用中的误差控制
科学计算
在科学研究和工程领域中，准 确的数值计算结果对实际应用 至关重要。
金融领域
在金融市场中，准确计算利息、 风险和收益是关键，误差可能 导致巨大损失或风险。
物理模拟
在物理模拟中，误差的积累可 能导致模拟结果与真实现象之 间存在显著差异。
总结
数值计算的误差是不可避免的，但我们可以通过技术和方法来减小误差的影 响。了解误差类型和分析方法对提高计算结果的准确性和可靠性至关重要。
《数值计算的误差》PPT 课件
欢迎来到《数值计算的误差》的PPT课件。在本课程中，我们将深入探讨数值 计算中常见的误差类型，并学习如何分析和减小这些误差。

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0 . 4 9 0 . 4 0 0 8 . 0 0 4 1 0 . 0 2 1 3 1 2 1 9 1 5 0 7 1 1 ( 2 1 ) 0
0 . 484
2 4 2 4
我们不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
x-x*=0.4900-0.484=0.0060>0.005
即可知近似值x*并不具有两位有效数字。
例４ 对于绝对值小的 x，可利用泰勒级数
ex–1= x+x2/2+x3/6+…
取前n项来计算。
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23
（二）要防止大数“吃掉“小数，注意保护重要数据
在数值运算中，参加运算的数有时数量级相差很大，而计算 机位数有限，如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的
现 象，影响计算结果的可靠性。
5 .编制源程序并调试
6 .做出算法的误差分析
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2
从工程实际中抽象出来的数学问题往往很复杂，典型的有： 1、数据点的插值 2 、曲线拟和 3、复杂函数的微积分运算 4、非线性方程f(x)=0的根的求解
5、当n很大时线性方程组AX=B的求解 6、常微分方程的求解
minf (x) xX
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3
参考书籍的几种名称： 1、数值分析 2、数值计算原理 3、计算方法 4、算法设计 5、计算机数值计算方法与程序设计
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4
数值计算中的误差
1、误差的种类和来源
① 模型误差
② 观测误差
③ 截断误差
④ 舍入误差
真
2、误差的有关概念：
值
近似值
① 绝对误差： (x)xx
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就能保证 I * 的相对误差不大于0.1%。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
四、误差的传播与估计
1、误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都 是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次 运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。 而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分 重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一 些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种 常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的 泰x2
)*
.
* r
(
x
2
)
x1* ( f )* 和 x2* ( f )*
y* x1
y* x2
分别是x1*和x2*对y *的绝对误差增长因子，它
们分别表示绝对误差

* r
(
x1
)和
* r
(
x2
)
经过传播后增大或缩小的倍数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
2、误差在算术运算中的传播
2 误差的含义及其理解
误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
3 算法的数值稳定性
算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会 由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计 算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的 算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
•几点注意
•有效数尾部的零的作用 203（3），0.0203（3），
0.0203（3），0.020300（5）
•存疑数字：准确值 x* 0.1524 ，近似值 x 0.15 4

所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学
模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑 运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对 算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说 的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指 由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解 题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来 较直观地描述算法的全貌。
问题急待解决。它们的复杂程度已达到非手工计 算所能解决的地步。数字式电子计算机的出现和 飞速发展大大推动了数值计算方法的进展，许多 复杂的数值计算问题现在都可以通过电子计算机 进行数值计算得到妥善解决。
用数值计算的方法来解决工程实际和科学技 术中的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象 为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际 问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程 、代数方程……等等，然后选择合适的计算方法 ( 算法），编制出计算机程序，最后上机调试并 进行计算，以得到所欲求解的结果。
表1-1
12 3 4
序 算式
号
计 算结 果
2 7/5
2 17 /12
2 1 6
2 5
6
0.004096152
6
0.005233
99 70 2 1
1 0.166667 6
1 2 1
6
5 12
6
0.0052331229
6
0.005020
1 99 70
2
1 197
0.005076
加法。若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法
，将多项式P(x)改成
P(x) ((((an x an1)x an2)x a2)x a1)x a0
来计算时,只要做n次乘法和n次加法即可。 对于小型问题，计算的速度和占用计算机内

显然，从相对误差看，近似值
x1
比
x
2
的精确程度要好得多.
例4 设 x 2.18是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，
则 x的绝对误差限为 0.005 ,
相对误差限为
r
0.005 2.18
0.23%
注 凡是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，其绝对误
差限取近似值末位数位的半个单位。
e S
2
D1
e D1
2
D2
e D2
10 0.05 5 0.1 0.5 1.5708 cm2
2
2
12
相对误差满足
er S
e S
S
1.5708 0.027 2.7% 58.905
即若取 S 58.905cm2作为圆环面积的近似值，则其绝对误差
不超过1.5708cm2 , 相对误差小于 2.7% .
注: ⑶ 相对误差和相对误差限都是无量纲数，常用百分数表示.
⑷
r
常用以下公式求：
r
x
.
5
例3 x1 100 2 的近似值 x1 100的相对误差限为
e1 x
e x1
x1
2 2% 100
x2 10 1 的近似值 x2 10 的相对误差限为
e2 x
ex2
x2
1 10% 10
再用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为：
y 3.3921911108
19
由此，当相邻两数相减时，可考虑改变一下算法， 如
当
x1与
x 2 相近时，
ln
x1
ln
x2
ln
x1 x2
当 很小时， sinx sin x 2cos x sin

* *
即
f * * f * * e ( z ) ( ) e ( x) ( ) e ( y ) x y
*
(1)
函数近似值 z* 的相对误差
e* ( z ) f * x * f * y * e ( z ) * ( ) * er ( x) ( ) * er ( y ) x z y z z
得到一个精度很高的近似值。
四、避免“大数除以小数”
由二元函数的误差传播规律式知
y e x x e y x e y y2
可知，当 y 相对
x e* x 小时， y
会很大。
五、 防止大数“吃掉”小数 由于计算机采用浮点制，在数值运算中，如果 数据的数量级相差很大，如不注意运算次序，就可
因而实际计算的递推公式是：
I 5I
* n
* n 1
1 n
n 1, 2, , 20
（
I I0 e0
* 0
(2）
误差 e0 是怎么传递的
（1）-（2）得
* * I n I n 5(I n1 I n1 )
n 1, 2,, 20
递推得到
I n I (5) e0
z f ( x, y)
时，
用 z* f ( x , y ) 作为函数 z f ( x, y) 的近似值，
于是函数近似值 z* 的绝对误差
f * f * e ( z) z z f ( x, y) f ( x , y ) ( ) ( x x ) ( ) ( y y ) x y
e* (v) V V * 2(v)
绝对误差可以刻画近似值的准确程度。
2、相对误差与相对误差限 若 x 的近似值 x* 的绝对误差为

时，则得 e ≈ 2.72, e ≈ 2.71828 。
不管取几位小数得到的近似数，其绝对误差都不超过末位数
的半个单位，即 e − 2.72 ≤ 1 ×10−2 , e − 2.71828 ≤ 1 ×10 −5.
2
2
� “有效数字”的概念：若近似值 x* 的绝对误差限是某一位
的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位直到 x* 的
� 数值计算主要过程：实际问题→建立数学模型→设计 高效、可靠的数值计算方法→程序设计→上机计算求 出结果。
数值计算方法不同于纯数学：它既具有数学的抽象性与严 格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性，它是一门与计 算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的 计算数学课程。
1
� 数值计算方法的特点：提供能让计算机直接处理的，切
例如，用毫米刻度的直尺去测量一长度为 x 的物体，测得其
近似值为 x* = 84mm ，由于直尺以毫米为刻度，所以其误差不超
过 0.5mm，即 x − 84 ≤ 0.5(mm) 。这样，虽然不能得出准确值 x 的
长度是多少,但从这个不等式可以知道 x 范围是
83.5mm ≤ x ≤ 84.5mm ，即 x 必在[83.5mm,84.5mm]内。
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法 的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的密 切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次 还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解各种 方法的异同及优缺点。
2
§1.2 误差与数值计算的误差估计
一、误差的来源与分类 在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作，而影响精确度的因素是各种各样的误差，它们可分为两大类： 一类称为“过失误差”，它一般是由人为造成的，这是可以避免 的，故在数值计算中我们不讨论它；而另一类称为“非过失误差”， 这在“数值计算”中往往是无法避免的，也是我们要研究的。 � 按照误差的来源，误差可分为四种：模型误差、观测误差、 截断误差、舍入误差。 1．模型误差 用数值计算方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型． 由于实际问题的复杂性，在对实际问题进行抽象与简化时，往往 为了抓住主要因素而忽略了于次要因素，这就会使得建立起来的 数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述，它与实际问题之间 总会存在一定的误差．我们把数学模型与实际问题之间出现的误 差称为模型误差。 2．观测误差 在数学模型中往往包含一些由观测或实验得来的物理量，由 于工具精度和测量手段的限制，它们与实际量大小之间必然存在 误差。 3．截断误差 由实际问题建立起来的数学模型，在很多情况下要得到准确 解是困难的，通常要用数值方法求出它的近似解。例如常用有限

f
(x1, x2 )

f
(x1*, x2* )


f x1
*

(x1

x1* )


f x2
*

(x2

x2* )


1 2!

2 f x12
*
(x1

x1* )2

2
2 f x1x2
*

2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播

* r

n
xi
n

* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.

n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203

x y


x y y x
y2
, 当 x y
时,舍入误
差会扩大。
例:x, y
的舍入误差均为0.5103 ,而 y* x* 107
x ,则
y
的舍入误差为:
x
x 107 0.5 103 x 2 1014

1 5 1011 x
§1.1 误差的来源和分类
数值方法求解数学问题的过程
实际问题
抽 象 简 化
数学模型
数 值 计 算
问题近似解
模型误差：实际问题的解与数学模型的解之差. 观测误差：由观测所产生的数学问题（模型）
中参量（数据）的误差. 截断误差：数学问题的准确解与数值方法所求
得的近似解之差.
I

b
a
f
( x)dx

b 2
)
e( x1
x2 )
1 x2
e( x1 )
x1
x
2 2
e( x2 )
er ( x1 x2 ) er ( x1 ) er ( x2 )
( x1 x2 ) ( x1 ) ( x2 ) r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 )
af
(a)
f
(b)
I1
(ba)3 R I I1 12 f ( ) (a, b)
舍入误差：计算过程中对数字的舍取所产生 的误差.（计算机可以表示的数是有限的）
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1 绝对误差与相对误差
设x*为准确值x的一个近似值
绝对误差: e x x*

3
例子
将3.14159舍入到小数点后两位得到3.14，舍入 误差为0.00059。
截断误差
截断误差
在数值计算中，由于对高次项或无穷大项的截断而产生的误差。
解决方法
采用适当的数学近似方法，如泰勒级数展开、幂级数展开等，以减 小截断误差的影响。
例子
在计算圆周率π时，采用级数展开的方式，将π的近似值展开为1/1 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...，截断误差为未展开的高次项。
《数值计算误差》 ppt课件
目录
• 误差来源 • 误差类型 • 误差分析 • 减小误差的方法 • 误差检验
01
误差来源
舍入误差
1 2
舍入误差
由于计算机的有限精度，将数值舍入到最接近的 整数、小数或分数时产生的误差。
解决方法
采用适当的舍入方式，如四舍五入、向上取整或 向下取整，以减少舍入误差的影响。
数值不稳定性
数值不稳定性是指算法在计算过程中产生的误差累积导致结果偏离真实值。解决数值不稳定性是数值计算的重要 任务之一。
误差传播与控制
误差传播
误差传播是指算法在计算过程中误差的传递和扩散。了解误差传播规律有助于 更好地控制误差。
误差控制
误差控制是指采取一系列措施减小算法产生的误差，包括选择合适的算法、改 进计算方法、增加计算精度等。有效的误差控制可以提高数值计算的精度和可 靠性。
加速收敛法
总结词
通过改进算法或调整参数来加速数值计算的收敛速度，从而减小误差的方法
详细描述
在数值计算中，收敛速度慢可能导致计算结果不准确。通过改进算法或调整参数，可以加速计算的收敛速度，从而提 高结果的精度。例如，在求解线性方程组时，可以采用共轭梯度法等加速收敛的算法。