新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十系统知识__平面向量的数量积含解析

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在△ABC 中，AD →＝2DC →，BA →＝a ，BD →＝b ，BC →＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝32a －12bD ．c ＝32b －12a解析：依题意得BD →－BA →＝2(BC →－BD →)，即BC→＝32BD →－12BA →＝32b －12a . 答案：D2．下列四个结论：①AB→＋BC →＋CA →＝0；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0；④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0，其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①AB →＋BC →＋CA →＝A C →＋CA →＝0，①正确；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋MO→＋OM →＝AB →，②错；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝CB →＋BD →＋DC →＝CB →＋BC →＝0，③正确；④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0，④正确．故①③④正确．答案：C3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE→等于( )A.12b －a B ．12a －b C ．－12a ＋bD ．12b ＋a解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选C. 答案：C4．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，所以λ<0，故λ＝－12. 答案：B5．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：∵D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA→＋OB →＋2OC →＝0， ∴OD→＝－OC →，∴O 为CD 的中点， 又∵D 为AB 中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，则S △ABCS △AOC＝4.答案：B6．已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |，则p ⇒q ， 若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb ，且λ>0，故qp .所以p 是q 的充分不必要条件，故选A. 答案：A7．(2017届石家庄市第一次模考)已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ>0，μ>0)，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(0，2)解析：由题意可得OD→＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k >1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，选项B 正确．答案：B8．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD→＝( )A.13a ＋23bB ．23a ＋13bC.35a ＋45b D ．45a ＋35b解析：因为CD 平分∠ACB ，由角平分线定理得AD DB ＝CACB ＝2，即D 为AB 靠近B 的三等分点．∴AD→＝23AB →＝23(CB →－CA →)． ∴CD→＝CA →＋AD →＝23CB →＋13CA →＝23a ＋13b ，故选B.答案：B9．如图，正六边形ABCDEF 中，B A →＋CD →＋E F →等于( )A ．0B ．BE → C.AD→D ．CF→ 解析：∵DE →＝BA →.∴原式＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.故选D.答案：D10．已知P 为△ABC 所在平面内一点，当P A →＋PB →＝PC →时，点P 位于△ABC的( )A ．AB 边上 B ．BC 边上 C ．内部D ．外部解析：由题知P A →＝PC→－PB →＝BC →，如图所示，P 在△ABC 外部．答案：D11．若|AB→|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是________． 解析：BC→＝AC →－AB →，当AB →，AC →同向时，|BC →|＝8－5＝3；当AB →，AC →反向时，|BC→|＝8＋5＝13；当AB →，AC →不共线时，3<|BC →|<13.综上可知，3≤|BC →|≤13. 答案：[3,13]12．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE→＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________． 解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， 所以AB→＝2DC →. 因为点E 在线段CD 上， 所以DE→＝λDC →(0≤λ≤1)． 因为AE→＝AD →＋DE →， 又AE→＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →， 所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1213．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解：(1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又∵AB→与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可得BD →＝e 1－4e 2，∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12. [能 力 提 升]1. (2017届河南中原名校3月联考)已知a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(－∞，－3)∪(－3，＋∞)D ．[－3,3)解析：根据平面向量基本定理，得向量a ，b 不共线，∵a ＝(1,3)，b ＝(m,2m －3)，∴2m －3－3m ≠0，∴m ≠－3.故选C.答案：C2．(2018届湖北黄石质检)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM→＝xAB →，AN →＝yAC →，则xy x ＋y的值为( ) A.12 B ．13 C ．2D ．3解析：解法一：由已知得M ，G ，N 三点共线， ∴AG→＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)yAC →. ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13·(AB→＋AC →)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13x ，1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13. 解法二(特例法)：利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝23，y ＝23，∴xy x ＋y＝13.3．(2017届湖南邵阳一模)如图，在△ABC 中，设AB→＝a ，AC →＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点为P ，若AP →＝m a ＋n b ，则m ，n 对应的值为( )A.27，47 B ．12，14C.16，27D ．16，37解析：根据已知条件得，BQ→＝AQ →－AB →＝12AP →－AB →＝12(m a ＋n b )－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n2b ，CR →＝BR →－BC →＝12BQ →－AC →＋AB →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－1a ＋n 2b －b ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1b ，∴QP →＝m 2a ＋n2b ， RQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4－12a ＋n 4b ， RP→＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8＋14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b . ∵RQ→＋QP →＝RP →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 4－12a ＋3n 4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 8－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n 8b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 4－12＝－m 8－14，3n 4＝12－n 8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝27，n ＝47，故选A.4．(2017届河南豫北重点中学第二次联考)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |＝|a ＋b －c |＝1，则|c |的最大值M ＝________.解析：由于|a |＝|b |＝|a －b |＝1，根据向量运算的几何意义，知|a |，|b |，|a －b |组成一个边长为1的等边三角形，如图所示．由|a ＋b －c |＝1可知，c 的终点位于以D 为圆心，半径为1的圆上，|c |＝|AE →，故其最大值M ＝|AD→|＋1＝3＋1. 答案：3＋1。

[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2 解析：∵ a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12， ∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos 〈a ，b 〉＝－4. 答案：A2．(2018届河南八市重点高中质检)已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3D ．4解析：因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－ |a ||b |cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4. 答案：D3．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b|＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：由题意，得|2a ＋b |2＝4＋4a ·b ＋3＝7，所以a ·b ＝0，所以a ·(a ＋b )＝1，且|a ＋b |＝(a ＋b )2＝2，故cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝12，所以〈a ，a ＋b 〉＝π3，故选B.答案：B4．(2018届辽宁抚顺一中月考)在△ABC 中，C ＝90°，且CA ＝CB ＝3，点M 满足BM →＝2MA →，则CM →·CB→＝( )A ．2B ．3C ．－3D ．6解析：∵BM→＝2MA →，∴BM →＝23BA →＝23(CA →－CB →)，∴CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13CB →＋23CA →·CB →＝13CB 2→＋23CB →·CA →＝3.故选B. 答案：B5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)，若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )A ．10－5 3B ．10＋5 3C ．10－2 3D ．10＋2 3解析：∵m ⊥n ，∴m ·n ＝0，即2cos 2C －cos C －2cos C －2＝0.整理得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)．又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos C )＝102－2ab ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12≥100－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝100－25＝75，∴c ≥53，则△ABC 的周长为a ＋b ＋c ≥10＋5 3.故选B.答案：B6．已知|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：由a ＋b ＝(3，1)得|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝4，又|a |＝1，|b |＝3，所以|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝1＋2a ·b ＋3＝4，解得2a ·b ＝0，所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝2，设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则由夹角公式可得cos θ＝(a ＋b )·(a －b )|a ＋b ||a －b |＝|a |2－|b |22×2＝－12，且θ∈[0，π]，所以θ＝23π，即a ＋b 与a －b 的夹角为23π答案：C7．(2017届山东师大附中模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值等于( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8解析：取BC →的中点D ，连接OD ，AD ，则OD →·BC →＝0且AO →＋OD →＝AD →，即AO →＝AD →－OD →.而 AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →·BC →＝AD →·BC →－OD →·BC →＝AD →·BC→＝12(AB →＋AC →)·(AC→－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(52－32)＝8，故选D.答案：D8．(2018届衡水调研)若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．解析：∵(2a ＋b )·b ＝0，∴2|a ||b |cos θ＋b 2＝0. 由|a |＝|b |，可得cos θ＝－12，∴θ＝120°. 答案：120°9．已知正方形ABCD 的边长为1点，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC→的最大值为________． 解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．设E (1，a )(0≤a ≤1)，所以DE →·CB →＝(1，a )·(1,0)＝1，DE →·DC →＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1.故 DE →·DC→的最大值为1.答案：1 110．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |；(3)若AB→＝a ，AC →＝b ，作△ABC ，求△ABC 的面积． 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 得4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.∵|a |＝4，|b |＝3，代入上式求得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－64×3＝－12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.同理，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. (3)由(1)知∠BAC ＝θ＝120°， |AB→|＝|a |＝4，|AC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AC →|·|AB →|·sin ∠BAC ＝12×3×4×sin120°＝3 3. 11．已知a ，b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，求|a －b |. 解：由已知，|a ＋b |＝4，∴|a ＋b |2＝42， ∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.①∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3，又∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10，∴|a －b |＝10.12．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 为直角三角形，求实数k 的值．解：当A ＝90°时，AB →·AC →＝0，∴2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23； 当B ＝90°时，AB →·BC→＝0， BC→＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)． ∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0，∴k ＝113； 当C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0，∴k ＝3±132.综上所述，k ＝－23或113或3±132.[能 力 提 升]1．(2018届辽阳质检)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →， 又AO→＝13AB →＋13AC →，即得3AO →＝2AD →， ∴AD 为BC 的中线且O 为重心，又O 为外心， ∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C. 答案：C2．(2017届湖南十校联考)在△ABC 中，点M 是BC 的中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－12，则|AM →|的最小值是( )A. 2B.22C.32D.12解析：由已知得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ，所以－12＝|AB →|·|AC →|·cos120°，则|AB →|·|AC →|＝1. 因为M 为BC 的中点，所以AM→＝12(AB →＋AC →)， |AM→|＝12|AB →＋AC →|＝12 (AB→＋AC →)2＝ 12|AB →|2＋2AB →·AC→＋|AC →|2.因为|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2，所以|AM →|≥ 122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，所以|AM →|min＝12 答案：D3．若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值是________． 解析：由|2a －b |≤3可知，4a 2＋b 2－4a ·b ≤9，所以4a 2＋b 2≤9＋4a ·b .而4a 2＋b 2＝|2a |2＋|b |2≥2|2a |·|b |≥－4a ·b ，所以a ·b ≥－98，当且仅当2a ＝－b 时取等号．答案：－984．已知a ＝(1,1)，向量a 与b 的夹角为3π4，且a ·b ＝－1. (1)求向量b ；(2)若向量b 与向量p ＝(1,0)的夹角为π2，向量q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C 2，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A ＋C ＝2π3，求|b ＋q |的最小值．解：(1)设b ＝(x ，y )，由a ·b ＝－1得，x ＋y ＝－1，① ∵a 与b 的夹角为3π4，∴a ·b ＝|a ||b |cos 3π4＝－1， 即2·x 2＋y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，∴x 2＋y 2＝1.② 由①②解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1.∴b ＝(－1,0)或b ＝(0，－1)．(2)由b ⊥p 得b ＝(0，－1)，由A ＋C ＝2π3得0<A <2π3.又b ＝(0，－1)，∴b ＋q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A ，2cos 2C2－1＝(cos A ，cos C )．∴|b ＋q |2＝cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C2＝1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos2A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2A＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2A －32sin2A＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3，∵0<A <2π3，∴π3<2A ＋π3<5π3.∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1时，|b ＋q |取得最小值． ∴|b ＋q |2min ＝12，∴|b ＋q |min ＝22.。

课时跟踪检测（三十） 系统知识——平面向量的数量积1．(2019·长沙雅礼中学月考)已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b)＝3，且|a|＝1，|b|＝2，则|a ＋b|＝( )A. 3B. 5C.7D ．2 2解析：选A 因为|a|＝1，|b|＝2，b ·(a ＋b)＝3，所以a ·b ＝3－b 2＝－1，所以|a ＋b|2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1－2＋4＝3，所以|a ＋b|＝3，故选A.2．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，则(AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝( ) A ．－132B.－112C ．－6－32D ．－6＋32解析：选 B (AB ―→－2BC ―→)·(3BC ―→＋4CA ―→)＝3AB ―→·BC ―→－6BC ―→2＋4AB ―→·CA ―→－8BC ―→·CA ―→＝3|AB ―→|·|BC ―→|·cos 120°－6|BC ―→|2＋4|AB ―→|·|CA ―→|cos 120°－8|BC ―→|·|CA ―→|·cos 120°＝3×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－6×12＋4×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－8×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32－6－2＋4＝－112，故选B.3．(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a|＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b|＝( )A ．6 B.3 2 C ．2 2D ．3解析：选D 因为a ·(a ＋b)＝a 2＋a ·b ＝|a||a ＋b |·cos π4，所以|a ＋b|＝32，将|a ＋b|＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b|＝3，故选D.4．(2018·永州二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，|2a －b|＝1，则|a|＝( )A.12B.1C. 2D ．2解析：选A ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b|＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2.∵|2a －b|＝1，∴|2a －b|2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，∴4|a|2－2|a|＝0，∴|a|＝12或|a|＝0(舍)，故选A.5．(2019·北京四中期中)已知向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，则下列向量与a ＋2b 垂直的是( )A ．c ＝(－1,2) B.c ＝(2，－1) C ．c ＝(4,2)D ．c ＝(－4,2)解析：选C ∵向量a ＝(3,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12，∴a ＋2b ＝(3,1)＋(－4,1)＝(－1,2)，∵(－1,2)·(－1,2)＝1＋4＝5，(－1,2)·(2，－1)＝－2－2＝－4，(－1,2)·(4,2)＝－4＋4＝0，(－1,2)·(－4,2)＝4＋4＝8，∴向量c ＝(4,2)与a ＋2b 垂直，故选C.6．(2019·漯河高级中学模拟)已知向量a ＝(－2，m )，b ＝(1,2)，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则实数m ＝( )A ．－4 B.－6 C ．4D ．5＋1解析：选D 由题意可得a ·b ＝－2＋2m ，且|b|＝12＋22＝5，则向量a 在向量b 方向上的投影为a·b |b|＝－2＋2m5＝2，解得m ＝5＋1.故选D. 7．(2018·茂名二模)已知a ＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，则a ·b ＝( ) A ．2 B.3 C ．4D ．5解析：选B ∵a ＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2.又∵|a －b|＝1，a 与a －b 的夹角为π3，∴a ·(a －b)＝|a||a －b |·cos π3，∴a 2－a ·b ＝2×1×12＝1，∴a ·b ＝3.故选B.8．(2019·鞍山一中一检)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．6 B.5 C ．1D ．－6解析：选A ∵向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,2)，∴2a ＋b ＝(3,0)，则(2a ＋b )·a ＝6.故选A.9．(2019·南充一诊)已知向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，则(3a －b ＋5c )·b ＝( )A ．－1B.1C ．6D ．－6解析：选D 因为向量a ，b 是互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝－1，所以(3a －b ＋5c )·b ＝0－b 2＋5c ·b ＝－1＋5×(－1)＝－6.故选D.10．(2019·闽侯第六中学期末)已知AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)，则△ABC 的面积为( )A ．2 B. 2 C ．1D ．22解析：选D 根据题意，AB ―→＝(cos 23°，cos 67°)，∴BA ―→＝－(cos 23°，sin 23°)， 则|BA ―→|＝1.又∵BC ―→＝(2cos 68°，2cos 22°)＝2(cos 68°，sin 68°)，∴|BC ―→|＝2.∴BA ―→·BC ―→＝－2(cos 23°cos 68°＋sin 23°sin 68°)＝－2×cos 45°＝－2，∴cos B ＝BA ―→·BC ―→|BA ―→||BC ―→|＝－22，则B ＝135°，则S △ABC ＝12|BA ―→||BC ―→|sin B ＝12×1×2×22＝22，故选D. 11．(2019·四川广安、眉山第一次诊断性考试)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，则AB ―→·AD ―→的值为( )A ．1－33B.23C.43D ．1＋33解析：选B ∵△ABC 是边长为1的等边三角形，且BD ＝2DC ，∴BD ―→＝23BC ―→，∴AB ―→·AD―→＝AB ―→·(AB ―→＋BD ―→)＝AB ―→2＋23AB ―→·BC ―→＝1＋23×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝23，故选B.12．(2019·福建基地校质量检测)已知非零向量AB ―→与AC ―→满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC―→＝0，且AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，则△ABC 为( )A ．三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形解析：选D 由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB ―→|AB ―→|＋AC ―→|AC ―→|·BC ―→＝0，得BC 垂直于角A 的平分线，则△ABC 为等腰三角形，AB ，AC 为腰．由AB―→|AB ―→|·AC ―→|AC ―→|＝12，得A ＝60°.所以△ABC 为等边三角形，故选D.13．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则|a ＋2b|＝________. 解析：∵|a ＋2b|2＝(－1)2＋72＝50，∴|a ＋2b|＝5 2. 答案：5 214．(2019·山东师大附中一模)已知两个单位向量a ，b 满足|a ＋2b|＝3，则a ，b 的夹角为________．解析：因为|a ＋2b|＝3，所以|a ＋2b|2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(3)2.又a ，b 是两个单位向量，所以|a|＝1，|b|＝1，所以a ·b ＝－12.因为a ·b ＝|a |·|b |a ，b ，所以a ，b ＝－12，则a ，b 的夹角为2π3.答案：2π315．(2019·云南师范大学附属中学月考)在边长为23的等边三角形ABC 中，点O 为△ABC 外接圆的圆心，则OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝________.解析：如图，O 是正三角形ABC 外接圆的圆心(半径为2)，则O 也是正三角形ABC 的重心．设AO 的延长线交BC 于点D ，则OB ―→＋OC ―→＝2OD ―→＝－OA ―→，∴OA ―→·(OB ―→＋OC ―→)＝－OA ―→2＝－4.答案：－416．已知向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，若AB ―→·AC ―→>11，则m 的取值范围为________．解析：由向量AB ―→＝(m,1)，BC ―→＝(2－m ，－4)，得AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝(2，－3)．又因为AB ―→·AC ―→>11，所以2m －3>11，解得m >7.答案：(7，＋∞)。

课时跟踪检测（二十八）平面向量的概念及其线性运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1.已知O , A , B 是同一平面内的三个点，直线 AB 上有一点C 满足2 AC + CB = 0, 则6=（） A . 2~O A - 0E3C .2OA -3OlB ------- B -------------- B ----------- B ------------ B --------------- B ------------ B ----- B ------------- B ------- B解析：选 A 依题意，得 OC = 0B + BC = OB + 2 AC = OB + 2(0C — OA),所以 OC 2-O A -"O B .2. (2019石家庄质检)在厶ABC 中，点D 在边AB 上，且 晶=舟-恳，设"盲=a , "C A =b ，贝V CD =() 1 2時+3b ^3,4.C. a + b 5 5 解析：选 B •/"B D = 2"X ,.・.——B =3"B A ,二-= _C B + "BD ="? +B A = "C B + 23 3 ——B 2——B 1——B 2 1C B )=2 CB + 3 CA = 2a +3b . 3.在四边形 ABCD 中，AB = a + 2b , BC = — 4a — b , CD = — 5a — 3b ,则四边形 ABCD 的形状是() A •矩形B .平行四边形C .梯形D .以上都不对—B B B B-- B B 解析：选 C 由已知，得 AD = AB + BC + CD =- 8a - 2b = 2( — 4a — b )= 2 BC ,故 AD // "B —.又因为AB 与C D 不平行，所以四边形 ABCD 是梯形.-- — 1 -- B4. （2018扬州模拟）在厶ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN =" NC , P 是BN 上一点, 若A — = mAB + 2A —，则实数m 的值是 ________________ .9解析：如图，因为A — = 2 "N C C , P 是"BN 上一点.所以AN = 1 AC ,.-vtiB .- 6)A + 2—O B D . - 3"O A + 315B2 1 B.2a + 1b D .43+ 3 b 1 —B 1(CA ――A P = m A!B + 2—AC = m瓦B + £——N，因为B, P, N 三点共线，所以m +£= 1,贝U m=£9 3 3 31答案：1---- B 1 ---- >5.在△ ABC中，/ A= 60° / A的平分线交BC于点D，若AB = 4，且AD =- AC +4-- C入AB （入€ R），则AD的长为____1 3解析：因为B, D, C三点共线，所以寸+入=1,解得匸3如图，4 4过点D分别作AC, AB的平行线交AB, AC于点M , N,则4-- C 3 ---- CAM= 3AB,因为在△ ABC中, / A = 60° / A的平分线交BC于点D,所以四边形ANDM为菱形，因为AB= 4，所以AN = AM = 3, AD = 3 3.答案：3 3二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知向量a, b，且AB = a+ 2b, BC =- 5a+ 6b, CD = 7a—2b，则一定共线的三点是（）A. A, B, DB. A, B, CC. B, C, DD. A, C, D--- C ----- C --- C ---- C --- C --- C ---- C解析：选A AD = AB + BC + CD = 3a + 6b = 3 AB .因为AB与AD有公共点A,所以A, B, D 三点共线.2.已知向量a, b不共线，且c= ?a+ b, d= a + (2 :—1)b，若c与d共线反向，则实数入的值为()A. 1B.—11 1C. 1或—2 D . —1或—2解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c = k d(k v 0)，于是七+ b =k [a+ 2 Z—1 b].整理得扫+ b= k a+ (2入k k)b.X= k,由于a, b不共线，所以有/|2 入k k = 1,整理得2 Z2—入一1= 0，解得 =1或Z= —2.又因为k v 0，所以入V 0,故Z=—:…S A PAB =------ D ------------ D ------------ D ------------ D -------------- D6.已知 O ABC 内一点，且 2 AO = OB + OC , AD = tAC ，若 B , O , D 三点共 线，贝U t 的值为 ___________________ .-- > --- > ---- >解析：设线段BC 的中点为M ，则OB + OC = 2OM.因为 2—OO = _OB + CJC ，所以；A O = OM , 3. （2019浙江六校联考）在平行四边形 ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交 点为F , 设-AB = a ,瓦D = b ，则向量-?=( )B . - 1 a -3b 3 3D . £a — 3b 3 3解析：选C 如图，因为点E 为CD 的中点，CD // AB ，所以BFAB = 2,所以"B ? = 3"BE ? = 3(I B C +_C B) = 3 b -2a =-3a +3b . 4. （2018遂昌期初）已知a , b 是两个不共线的非零向量， 且起点在同一点上， 若a , t b , 1亍（a + b ）三向量的终点在同一直线上，则t 的值为（解析：选D 由题可设 1+ b ）=扫+ 讪，因为a , t b , -（a + b ）三向量的终点在同一直线上，所以有卅尸1•所以3=入尸2，所以1=ft ,解得t =2.---- T -------- T -------- T5. （2019丹东五校协作体联考）P 是厶ABC 所在平面上的一点， 满足PA + PB + PC = 2 -AB ，若 S A ABC = 6，则△ PAB 的面积为（B . 3解析：选 - > ---- > --- > ---- > ----- > --- > --------> ---- > --- > --- > A •/ PA + PB + PC = 2 AB = 2( PB - PA ),• 3 PA = PB - PC = CB ,-- > --- > ••• PA // CB , 且方向相同，••• ABC BC | ~CE B| C S APAB AP D ' s PAB | PA |11 1由B , O , D 三点共线，得-+ -- = 1,解得t =-. 4 4t 31答案：1- 》2 ----------- 》 - 》 ---- 》 -- 》7. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 夕卜，BC 2= 16 , | AB + AC|=|AB — AC ------- >|,则 |AM |= _________ .------- > -------------- > --------------- > ----------- > ----------------------------- > ------------ >解析：由 | AB + AC|=|AB — AC |可知，AB 丄 AC ,则AM 为Rt △ ABC 斜边BC 上的中线，因此，-1 = 2|1B C |= 2. 答案：28. 已知 D ，E ，F 分别为△ ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且"B(C = a ，"CA = b ，给-- A 1 ------------------- A 1 ----------------- A 1 1 ------------------- A ----- A ---- A出下列命题：① AD = ?a — b ;② BE = a + ?b :③ CF = — ?a + ?b :④ AD + BE + CF = 0. 其中正确命题的个数为 ___________ .--- A -------- A --------- A 1 ------ A --- A 1解析：BC = a ， CA = b ， AD = 2 CB + AC = — -a — b ，故①错；BA = "B e + 2 CA = a + 2b ，故②正确；--- A 1 ---- A ----- A 1 1 1CF = CB + CA )= 2(— a + b )=—尹 +，故③正确; ------ A ---------------- A ---------- A 1 111AD + BE + CF =— b — - a + a + 二 b +匚 b —： a = 0，故④正确. 2 2 2 2•••正确命题为②③④.答案：39.设 e 1， e ?是两个不共线的向量，已知 AB = 2e 1—8e 2， CB = e i + 3e 2， CD = 2e 1 — e ?.(1) 求证：A ，B ，D 三点共线；(2) 若-？ = 3e 1 — k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求 k 的值.------ A ------------ A ----------- A 解：(1)证明：由已知得 BD = CD — CB = (2e 1 — e ：)— (e 1 + 3e 2)= e 1 — 4e ：，—AAB = 2e 1— 8e 2，• ；AB = 21B D .又•/ ^AB 与BA 有公共点B ，则 (O = AM = 4( AB + AC) =—B 1 —B 4AB + 4t AD .> 1 4 +1 A D T 」•A，B，D三点共线.------- A(2)由(1)可知BD = e1 —4e2，•••"B己=3e 1—k e2,且B, D, F 三点共线,••• BF = XB D （入€ R）, 即3一k e2= ^e 1 —4 ?e2,入=3, 得.—k=—4 入解得k = 12.------- D------ D ------ D ------ D 、10. 已知a, b 不共线，OA = a, OB = b, OC = c, OD = d, OE —= e,设t€ R, 如果3a = c,2b= d, e = t(a+ b)，是否存在实数t使C, D, E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知，CD = d—c= 2b—3a, 能=e—c= （t—3）a + t b, C, D , E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得6D = k C D T，即(t—3)a+ t b=—3k a+ 2k b, 整理得（t—3+ 3k）a = （2k—t）b.t—3+ 3k= 0, 6因为a, b不共线，所以有t—2k=0,解得t= i故存在实数t= 6使C, D, E三点在一条直线上.5三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图，在△ ABC中，点D在线段BC上，且满足BD = 过点D的直线分别交直线AB, AC于不同的两点M , N，若AM T =A N = n ^AC，则（）A. m+ n是定值，定值为2B. 2m + n是定值，定值为3C/Z + £是定值，定值为2m nD.~ +1是定值，定值为3m n解析：选D 因为M , D, N三点共线，所以^AD = ?AM+ (1 —升-T又-M =m—B , 6N = n 6C，所以A D =入m-B + (1 —^n-AC.又-=殳"CC，所以"J -— = AC —丁——D , 所以6J = 3"A C + B.比较系数知入m= 2，(1—为n = 1，所以叮+ 1= 3，故选D.------ C --------------- C ------- C2. (2019长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点.若AB = ^AM + QB , 贝V —(1= _______________ .解析：如图，在平行四边形ABCD中，1AB = "D C，所以瓦B =--- C ------- C ----- C 1 ---- C ------ C 1 --- C -- C ----- C 1 ---- C --- CAM + MB = AM + © CB = AM + Q(DB—DC ) = AM + 空(DB —AB )=- C 1 ----- C 1 ------ C 3 ---- > -- C 1 ------ C -- C 2 ---- > 1 --- C 2 1 AM + © D B —© AB，所以3 AB = A M+ - D B,所以A B = 3AM + - D B，所以入=尸3，1所以「尸-.3 1答案：-—C ------- C----- C3.已知O, A, B是不共线的三点，且OP = mOA + nOB (m, n€ R).(1) 若m + n = 1,求证：A, P, B三点共线；(2) 若A, P, B三点共线，求证：m+ n = 1.证明：(1)若m+ n = 1,则O— =m OA + (1 —m) OB = OB + m( OA —OB ),------ C------------- C ----- C------------ C••• OP —OB = m( OA —OB),------ C ---- C -------- C ------------ C即BP = mBA , • BP 与BA 共线.又••• B?与B—有公共点B,• A, P, B三点共线.(2)若A, P, B三点共线，------- C---------------- C则存在实数入使BP = XBA ,• O? —O? = X O? —OB ). 又O— =m O— + n O—.故有mO? + (n—1) O? = xO? —XOB ,—C ------- C即(m — X OA + (n+ X—1)OB = 0.•/ O, A, B不共线，• O? , O?不共线,m— X= 0, n+ X—1=0,• m+ n = 1.。