人教版初中数学九年级上册第二十二章 二次函数周周测6(整章)

第二十二章二次函数一、选择题1. 关于二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列说法错误的是( )A．对称轴都是y轴B．顶点都是坐标原点C．与x轴都有且只有一个交点D．它们的开口方向相同2. 如图，关于抛物线y=(x−1)2−2，下列说法错误的是( )A．顶点坐标为(1,−2)B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x>1时，y随x的增大而减小3. 将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为( )A．y=3(x+2)2+3B．y=3(x−2)2+3C．y=3(x+2)2−3D．y=3(x−2)2−34. 如图是二次函数y=−x2+2x+4的图象，使y≤4成立的x的取值范围是( )A ． 0≤x ≤2B ． x ≤0C ． x ≥2D ． x ≤0 或 x ≥25. 一抛物线的形状、开口方向与 y =12x 2−2x +3 相同，顶点为 (−2,1)，则此抛物线的解析式为 A ． y =12(x−2)2+1 B ． y =12(x +2)2−1 C ． y =12(x +2)2+1D ． y =12(x +2)2−16. 心理学家发现：学生对概念的接受能力 y 与提出概念的时间 x (min) 之间是二次函数关系，当提出概念 13 min 时，学生对概念的接受能力最大，为 59.9；当提出概念 30 min 时，学生对概念的接受能力就剩下 31，则 y 与 x 满足的二次函数表达式为 ( )A ．y =−(x−13)2+59.9B ．y =−0.1x 2+2.6x +31C ．y =0.1x 2−2.6x +76.8D ．y =−0.1x 2+2.6x +437. 已知点 (−1,y 1)，(−312,y 2)，(12,y 3) 在函数 y =3x 2+6x +12 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为 ( ) A ． y 1>y 2>y 3B ． y 2>y 1>y 3C ． y 2>y 3>y 1D ． y 3>y 1>y 28. 在某建筑物上从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状，如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙 1 m ，离地面403 m ，则水流落在点 B 与墙的距离 OB 是 ( )A ． 2 mB ． 3 mC ． 4 mD ． 5 m9. 二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的大致图象如图所示，顶点坐标为 (−2,−9a )，下列结论：① 4a +2b +c >0；② 5a−b +c =0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1<x2，则−5<x1<x2<1；④若方程∣ax2+bx+c∣=1有四个根，则这四个根的和为−4．其中正确的结论有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题10. 如果y=(m2−1)x m2−m是二次函数，则m=．11. 若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx的函数值为．12. 若抛物线y=x2−2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．13. 如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，点B(1,−2)，则关于x的不等式ax2+bx<mx+n的解集为．14. 如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(−1,0)，B(3,0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是．15. 已知抛物线：y=ax2+bx+c(a<0)经过A(2,4)，B(−1,1)两点，顶点坐标为(ℎ,k)，则下列正确结论的序号是．①b>1；②c>2；③ℎ>1；④k≤1．216. 物体自由下落的高度 ℎ（单位：m ）与下落时间 t （单位：s ）之间的关系是 ℎ=4.9t 2，有一个物体从 44.1m 高的建筑物上自由下落，到达地面需要s ．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =13x 2 经过平移得到抛物线 y =13x 2−2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为．三、解答题18. 已知二次函数 y =a (x−1)2+4 的图象经过点 (−1,0)．(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 判断这个二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．19. 已知二次函数 y =x 2+4x +3．(1) 用配方法将二次函数的表达式化为 y =a (x−ℎ)2+k 的形式；(2) 在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；(3) 根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线顶点为C(1,2)，且与直线y=x交于点B(32,32)；点P为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q．(1) 求抛物线的解析式；(2) 当PQ的长度为最大值时，求点Q的坐标；(3) 点M为抛物线上O，B两点之间一个动点（不与O，B两点重合），点N为线段OB上一个动点；当四边形PQNM为平行四边形，且PN⊥OB时，请直接写出Q点坐标．21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−4ax+3a−2(a≠0)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．(1) 当抛物线过原点时，求实数a的值；(2) ①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；(3) 当AB≤4时，求实数a的取值范围．22. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC．点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面距离为2米，OC=8米．(1) 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2) 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）(3) 为了施工方便，现需计算出点O，P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O，P之间的距离是多少？（请写出求解过程）23. 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．(1) 求y与x之间的函数表达式．(2) 当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？(3) 若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？24. 如图所示抛物线y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，点C(0,3)，且OB=OC．(1) 求抛物线的解析式及其对称轴．(2) 点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长最小值．(3) 点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，求点P的坐标．答案一、选择题1. D2. D3. A4. D5. C6. D7. C8. B9. B二、填空题10. 211. 612. m>113. x<−3或x>114. x1=−1，x2=315. ①②③16. 317. 9三、解答题18.(1) 把(−1,0)代入二次函数解析式得：4a+4=0，即a=−1，则函数解析式为y=−(x−1)2+4．(2) ∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线x=1．19.(1) y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3 =(x+2)2−1.(2) 略(3) 当x<−2时，y随x的增大而减小，当x>−2时，y随x的增大而增大．（答案不唯一）20.(1) ∵抛物线顶点为C(1,2)，∴设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2(a≠0)．∵点B(32,32)在抛物线上，∴32=a(32−1)2+2，∴a=−2，∴抛物线的解析式为y=−2(x−1)2+2，即y=−2x2+4x．(2) 设点P的坐标为(x,−2x2+4x)(0<x<32)，则点Q的坐标为(x,x)，∴PQ=−2x2+4x−x=−2x2+3x=−2(x−34)2+98，∵−2<0，∴当x=34时，PQ的长度取最大值，∴当PQ的长度为最大值时，点Q的坐标为(34,34)．(3) (12,12)21.(1) ∵点O(0,0)在抛物线上，∴3a−2=0，a=23．(2) ①对称轴为直线x=2；②顶点的纵坐标为−a−2．(3) （i）当a>0时，依题意，{−a−2<0,3a−2≥0.解得a≥23．（ii）当a<0时，依题意，{−a−2>0,3a−2≤0,解得a<−2．综上，a<−2或a≥23．22.(1) 以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为y=ax2，由题意知点A的坐标为(4,8)．∵点A在抛物线上，∴8=a×42，解得a=12，∴所求抛物线的函数解析式为：y=12x2．(2) 找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，则点A，D关于OC对称．连接BD交OC于点P，则点P即为所求．(3) 由题意知点B的横坐标为2，∵点B在抛物线上，∴点B的坐标为(2,2)，又∵点A的坐标为(4,8)，∴点D的坐标为(−4,8)，设直线BD的函数解析式为y=kx+b，∴{2k+b=2,−4k+b=8,解得：k=−1，b=4．∴直线BD的函数解析式为y=−x+4，把x=0代入y=−x+4，得点P的坐标为(0,4)，两根支柱用料最省时，点O，P之间的距离是4米．23.(1) y=300+30(60−x)=−30x+2100．(2) 设每星期的销售利润为W元，则W=(x−40)(−30x+2100)=−30(x−55)2+6750.所以当x=55时，W取最大值，为6750．所以每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润是6750元．(3) 由题意得(x−40)(−30x+2100)≥6480，解得52≤x≤58．当x=52时，销售量为300+30×8=540（件）；当x=58时，销售量为300+30×2=360（件）．所以若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件．24.(1) ∵OB=OC，∴点B(3,0)，则抛物线的表达式为：y=a(x+1)(x−3)=a(x2−2x−3)=ax2−2ax−3a，故−3a=3，解得a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3 ⋯⋯①，对称轴为：直线x=1．(2) ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=10，DE=1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点Cʹ(2,3)，则CD=CʹD，取点Aʹ(−1,1)，则AʹD=AE，故：CD+AE=AʹD+DCʹ，则当Aʹ，D，Cʹ三点共线时，CD+AE=AʹD+DCʹ最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=10+1+AʹD+DCʹ=10+1+AʹCʹ=10+1+13.(3) 如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分，又∵S△PCB:S△PCA=12EB×(y C−y P):12AE×(y C−y P)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3，则AE=52或32，即：点E的坐标为(32,0)或(12,0)，将点E，C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，解得：k=−6或−2，故直线CP的表达式为：y=−2x+3或y=−6x+3 ⋯⋯②，联立①②并解得：x=4或8（不合题意已舍去），故点P的坐标为(4,−5)或(8,−45)．。

第二十二章二次函数章节测试题一．选择题1．已知点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，那么a的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．关于抛物线y＝﹣x2+2x﹣3的判断，下列说法正确的是（）A．抛物线的开口方向向上B．抛物线的对称轴是直线x＝﹣1C．抛物线对称轴左侧部分是下降的D．抛物线顶点到x轴的距离是23．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c 的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b4．若点A（﹣2，m），B（3，n）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a为常数，且a＞0）的图象上，则m和n的大小关系是（）A．m＞n B．m＝nC．m＜n D．以上答案都不对5．圆环的内圆半径是x，外圆半径是R，圆环的面积是y，则y与x之间的函数关系式是（）A．y＝π（R2﹣x2）B．y＝π（R﹣x）2C．y＝πR2﹣x2D．y＝π（2πR﹣2πx）26．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．二次函数y ＝ax 2﹣8ax （a 为常数）的图象不经过第三象限，在自变量x 的值满足2≤x ≤3时，其对应的函数值y 的最大值为﹣3，则a 的值是（ ） A ．B ．﹣C ．2D ．﹣28．如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x ＝，且经过点（2，0）．下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若（﹣，y 1），（，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；⑤b ＞m （am +b ）（其中m ≠）． 其中说法正确的是（ ）A ．①②④⑤B ．①②④C ．①④⑤D ．③④⑤9．A （﹣，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3）三点都在二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2+k 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 110．抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位后的抛物线解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．11．对于二次函数y ＝2（x ﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ） A ．图象开口向下B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝﹣112．已知二次函数y ＝x 2﹣2ax +a 2﹣2a ﹣4（a 为常数）的图象与x 轴有交点，且当x ＞3时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＜3C ．﹣2≤a ＜3D ．﹣2≤a ≤3二．填空题13．请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：．14．抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．若关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．15．已知A（﹣1，6），B（4，1），抛物线y＝x2+b与线段AB只有唯一公共点时，则b的取值范围是．16．若关于x的函数y＝（a﹣3）x2﹣（4a﹣1）x+4a的图象与坐标轴只有两个交点，则a 的值为．17．已知实数a，b，c满足a≠0，且a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，则抛物线y＝ax2+bx+c图象上的一点（﹣2，4）关于抛物线对称轴对称的点为．三．解答题18．已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x 的增大而增大，且该函数图象经过点（2，1），求该函数的解析式．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，直线BC的解析式为y＝x﹣4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，连接BE、CE，设点E的横坐标为t，△BEC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（3）在（2）的条件下，当点E在第四象限抛物线上时，且△BEC的面积为6，在抛物线上取一点Q，连接BQ，若∠EBQ＝45°，求点Q的坐标．20．金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：（1）求y与x之间的函数解析式；（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．21．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．（1）当x＝5时，求种植总成本y；（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．22．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝﹣（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y 轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．（1）当m＝5时，求n的值．（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），该抛物线的对称轴为直线x＝﹣．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）求点B、C的坐标；（3）假设将线段BC平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x 轴上，若将点B、C平移后的对应点分别记为点D、E，求以B、C、D、E为顶点的四边形面积的最大值．参考答案一．选择题1．解：∵点（﹣1，2）在二次函数y＝ax2的图象上，∴2＝a×（﹣1）2，解得a＝2，故选：C．2．解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴A、B、C不正确；∵抛物线顶点到x轴的距离是|﹣2|＝2，∴D正确，故选：D．3．解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x 的增大而减小，∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，∴a＞c＞b，故选：D．4．解：二次函数y＝ax2﹣2ax+5（a为常数，且a＞0）可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x＝1，∵1+2＞3﹣1∴m＞n．故选：A．5．解：外圆的面积为πR2，内圆的面积为πx2，故y＝πR2﹣πx2＝π（R2﹣x2），故选：A．6．解：由图象可知a＜0，c＞0，对称轴为x＝﹣，∴x＝﹣＝﹣，∴b＝3a，①正确；∵函数图象与x轴有两个不同的交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，②正确；当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，当x＝﹣3时，9a﹣3b+c＞0，∴10a﹣4b+2c＞0，∴5a﹣2b+c＞0，③正确；由对称性可知x＝1时对应的y值与x＝﹣4时对应的y值相等，∴当x＝1时，a+b+c＜0，∵b＝3a，∴4b+3c＝3b+b+3c＝3b+3a+3c＝3（a+b+c）＜0，∴4b+3c＜0，④错误；故选：C．7．解：∵二次函数y＝ax2﹣8ax＝a（x﹣4）2﹣16a，∴该函数的对称轴是直线x＝4，又∵二次函数y＝ax2﹣8ax（a为常数）的图象不经过第三象限，∴a＞0，∵在自变量x的值满足2≤x≤3时，其对应的函数值y的最大值为﹣3，∴当x＝2时，a×22﹣8a×2＝﹣3，解得，a＝，故选：A．8．解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为x＝﹣＝，∴b＝﹣a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵对称轴为x ＝，且经过点（2，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣1，0）， ∴＝﹣1×2＝﹣2， ∴c ＝﹣2a ， ∴﹣2b +c ＝2a ﹣2a ＝0 所以②正确；③∵抛物线经过（2，0）， ∴当x ＝2时，y ＝0， ∴4a +2b +c ＝0， 所以③错误；④∵点（﹣，y 1）离对称轴要比点（，y 2）离对称轴远， ∴y 1＜y 2， 所以④正确；⑤∵抛物线的对称轴x ＝， ∴当x ＝时，y 有最大值，∴a +b +c ＞am 2+bm +c （其中m ≠）． ∵a ＝﹣b ，∴b ＞m （am +b ）（其中m ≠）， 所以⑤正确．所以其中说法正确的是①②④⑤． 故选：A ．9．解：二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2+k 的图象开口向下，对称轴为x ＝2，点A （﹣，y 1），B （1，y 2）在对称轴的左侧，由y 随x 的增大而增大，有y 1＜y 2，由x ＝﹣，x ＝1，x ＝4离对称轴x ＝2的远近可得，y 1＜y 3，y 3＜y 2，因此有y 1＜y 3＜y 2， 故选：B ．10．解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2﹣1．故选：B．11．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，∵a＝2＞0，∴图象的开口向上，故本选项错误；B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．故选：C．12．解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣4（a为常数）的图象与x轴有交点，∴△＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣4）≥0解得：a≥﹣2；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，抛物线开口向上，且当x＞3时，y随x的增大而增大，∴a≤3，∴实数a的取值范围是﹣2≤a≤3．故选：D．二．填空题（共5小题）13．解：∵图象的对称轴是y轴，∴函数表达式y＝x2（答案不唯一），故答案为：y＝x2（答案不唯一）．14．解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）．∴，得即抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，当y＝t时，t＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x﹣3﹣t＝0，∵关于x的一元二次方程x2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，∴t＝x2﹣2x﹣3有实数根，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴当﹣1＜x≤4时，x＝1时，y有最小值﹣4，当x＝4时，y取得最大值5，∴t的取值范围是﹣4≤t＜5，故答案为：﹣4≤t＜5．15．解：设直线AB的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，6），B（4，1）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣x+5，抛物线y＝x2+b的开口向上，与线段AB：y＝﹣x+5只有唯一公共点，需要x2+b＝﹣x+5 △＝12﹣4×1×（b﹣5）＝0，∴b＝，抛物线y＝x2+b过A点，得b＝5，抛物线y＝x2+b过B点，得b＝﹣15，∴﹣15≤b＜5或b＝16．解：①当a﹣3≠0时，图象与坐标轴只有两个交点，则与x轴只有一个交点，则△＝（4a﹣1）2﹣4（a﹣3）×4a＝0，解得：a＝﹣，当抛物线过原点时，图象与坐标轴也只有两个交点，故a＝0；②当a＝3时，y＝﹣11x+12，与坐标轴只有两个交点，故答案为：﹣或3或0．17．解：∵a﹣b+c＝0和9a+3b+c＝0，∴c＝﹣3a，b＝﹣2a，∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴对称轴为x＝﹣＝1，∴（﹣2，4）关于抛物线对称轴对称的点为（4，4）．故答案是：（4，4）．三．解答题（共6小题）18．解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），设关系式为y＝a（x﹣5）2+4，把（2，1）代入得，1＝9a+4，解得，a＝﹣，∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣5）2+4．19．解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣4，∴当x＝0时，y＝﹣4；当y＝0时，x＝4，∴C（0，﹣4），B（4，0），将C（0，﹣4），B（4，0）代入抛物线y＝ax2﹣3x+c，得，，解得，a＝1，c＝﹣4，∴抛物解析式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）当点E在直线BC下方时，如图1，过点E作EF∥y轴交直线BC于点F，设E（t，t2﹣3t﹣4），则F（t，t﹣4），∴EF ＝t ﹣4﹣（t 2﹣3t ﹣4）＝﹣t 2+4t ， ∴＝＝﹣2t 2+8t ，自变量t 的取值范围是0＜t ＜4， 当点E 在直线BC 上方时，如图2，过点E 作ED ∥y 轴交直线BC 于点D ，设E （t ，t 2﹣3t ﹣4），则D （t ，t ﹣4），∴ED ＝t 2﹣3t ﹣4﹣（t ﹣4）＝t 2﹣4t ，∴＝2t 2﹣8t ，自变量t 的取值范围是﹣1＜t ＜0，∴S 与t 之间的函数关系式为．（3）∵点E 在第四象限抛物线上，∴0＜t ＜4，∴S ＝﹣2t 2+8t ＝6，解得t 1＝1，t 2＝3，∴E （3，﹣4）或E （1，﹣6），①当E点坐标为（3，﹣4）时，如图3，连接CE，过点E作EN⊥BC，作∠EBQ＝45°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°，∴∠OBM＝∠CBE，∵E（3，﹣4），C（0，﹣4），B（4，0），∴BC＝4，CE＝3，CE∥OB，∴∠BCE＝∠OBC＝45°，∴CN＝EN＝，BN＝，∴tan∠NBE＝，∴，∴OM＝，∴M（0，﹣），设直线BQ的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BQ的解析式为y＝x﹣，联立直线和抛物线解析式得，整理得5x2﹣18x﹣8＝0，＝4（舍去），解得，x2∴Q（﹣）；②当E点坐标为（1，﹣6）时，如图4，作∠EBQ＝45°，过点E作EG⊥BC于点G，连接CE，∵E（1，﹣6），C（0，﹣4），B（4，0），∴CE＝，BC＝4，BE＝3，设CG＝a，∴5﹣，解得a＝，∴，BG＝，∴tan，∴tan∠OBH＝tan∠GBE＝，∴OH＝，∴H（0，﹣），同理求得直线BQ的解析式为y＝x﹣，∴，解得，x2＝4（舍去），∴Q（﹣，﹣）．综合以上可得点Q的坐标为（）或（﹣，﹣）．20．解：（1）①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），得解得∴y＝﹣200x+4400②当20＜x≤24时，y＝400．综上，y＝（2）①当12≤x≤20时，W＝（x﹣12）y＝（x﹣12）（﹣200x+4400）＝﹣200（x﹣17）2+5000当x＝17时，W的最大值为5000；②当20＜x≤24时，W＝（x﹣12）y＝400x﹣4800．当x＝24时，W的最大值为4800．∴最大利润为5000元．（3）①当12≤x≤20时，W＝（x﹣12﹣1）y＝（x﹣13）（﹣2000x+4400）＝﹣200（x﹣17.5）2+4050令﹣200（x﹣17.5）2+4050＝3600x 1＝16，x2＝19∴定价为16≤x≤19②当20＜x≤24时，W＝400（x﹣13）＝400x﹣5200≥3600∴22≤x≤24．综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24．21．解：（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×（EH+AD）×20x+2×（GH+CD）×x×60+EF•EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；（2）EF＝（20﹣2x）米，EH＝（30﹣2x）米，参考（1），由题意得：y＝（30+30﹣2x）•x•20+（20+20﹣2x）•x•60+（30﹣2x）（20﹣2x）•40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；＝2×（EH+AD）×x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，（3）S甲＝﹣2x2+40x，同理S乙∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．22．解：（1）当m＝5时，y＝﹣（x﹣5）2+4，当x＝1时，n＝﹣×42+4＝﹣4．（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y＝﹣（x﹣m）2+4，得2＝﹣（1﹣m）2+4，解得m＝3或﹣1（舍去），∴此时抛物线的对称轴x＝3，根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，∴x的取值范围为1≤x≤5．（3）∵点A与点C不重合，∴m≠1，∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），∴抛物线的顶点在直线y＝4上，当x＝0时，y＝﹣m2+4，∴点B的坐标为（0，﹣m2+4），抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，﹣m2+4＝0，解得m＝2或﹣2（不合题意舍去），当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，∴点B（0，4），∴﹣m2+4＝4，解得m＝0，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜2．23．解：（1）所求抛物线的对称轴为直线x ＝﹣，且过点A （﹣3，0），∴，解得，，∴该抛物线的函数表达式为y ＝x 2+x ﹣6；（2）令x ＝0，得y ＝﹣6，∴C （0，﹣6），令y ＝0，得x 2+x ﹣6＝0，解得x 1＝2，x 2＝﹣3（舍去），∴B （2，0）；（3）由平移的性质可知，BC ∥DE 且BC ＝DE ，∴四边形BCED 为平行四边形， 如图，符合条件的四边形有三个，▱BCE 1D 1，▱BCE 2D 2，▱BCE 3D 3．∴＝OC •BD 1，＝OC •BE 2，＝OC•BE 3，∵BE 3＞BD 1，BE 2＞BE 3，∴▱BCE 2D 2的面积最大，令y ＝6，得x 2+x ﹣6＝6，解得x 1＝3，x 2＝﹣4，∴D 2（﹣4，6），E 2（﹣6，0）， ∴BE 2＝2﹣（﹣6）＝8，∴＝OC ×BE 2＝48． ∴四边形BCED 面积的最大值为48．。

第 1 页 共 56 页人教版数学九年级上册第22章二次函数单元综合测试（含答案） 一、精心选一选（每题3分，共30分）1．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ，ac）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若双曲线)0(≠=k xky 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的图象大致是图中的（ ）xyOxyO xyO O yx DCBA3．如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）A ．直线1=xB ．直线2=xC ．直线3=xD ．直线4=x 5．已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．47- kB ．047≠-≥k k 且C ．47-≥kD ．047≠-k k 且6．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根Oyx第 2 页 共 56 页C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（ ） A ．118 B ．112 C ．19 D ．168．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③ 第9题图 10. 已知二次函数y x x =++29342，当自变量x 取两个不同的值x x 12,时，函数值相等，则当自变量x 取x x 12+时的函数值与（ ）。

第22章二次函数考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列函数中，二次函数是（）A．y=﹣4x+5 B．y=x（2x﹣3） C．y=（x+4）2﹣x2 D．y=2．（4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k的图象如图所示，直线y=ax+hk的图象经第几象限（）A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四3．（4分）抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．（4分）设点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x2+a上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y3＞y2＞y1B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y1＞y2＞y35．（4分）设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两根分别为α，β．且α＜β，则二次函数y=（x﹣2）（x﹣3）的函数值y＞m时自变量x的取值范围是（）A．x＞3或x＜2 B．x＞β或x＜αC．α＜x＜βD．2＜x＜36．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：则一元二次方程ax2+bx+c=0的一个解x满足条件（）A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.67．（4分）已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或68．（4分）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（）A．y=（x﹣35）（400﹣5x）B．y=（x﹣35）（600﹣10x）C．y=（x+5）（200﹣5x）D．y=（x+5）（200﹣10x）9．（4分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m10．（4分）如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A． B．C．﹣2 D．评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）抛物线y=﹣2x2﹣1的顶点坐标是．12．（5分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为．13．（5分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则方程ax2=bx+c的解是．14．（5分）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．16．（8分）下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …﹣x2+bx+c … 5 n c 2 ﹣3 ﹣10 …（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值．17．（8分）已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？18．（8分）设方程x2﹣x﹣1=0的两个根为a，b，求满足f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1的二次函数f（x）．19．（10分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（0，3），B（﹣4，﹣）两点．（1）求b，c的值．（2）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．20．（10分）已知二次函数y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？21．（12分）已知函数y=﹣x2+mx+（m+1）（其中m为常数）（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是个．（2）若该函数的图象对称轴是直线x=1，顶点为点A，求此时函数的解析式及点A的坐标．22．（12分）已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b（1）当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）①求a的值；②求当a≤x≤b时，一次函数y=ax+b的最大值及最小值；（2）若a≥3，b﹣1=2a，函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0，求实数c的取值范围．23．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（I）直接写出A，B两点的坐标（用含a，b的代数式表示）．（II）直线y=kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE，求证：CE∥AB．（III）在（II）的条件下，连接OB，当∠OBA=120，≤k≤时，求的取值范围．xx年九年级上学期第22章二次函数单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、y=﹣4x+5为一次函数；B、y=x（2x﹣3）=2x2﹣3x为二次函数；C、y=（x+4）2﹣x2=8x+16为一次函数；D、y=不是二次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2．【分析】根据二次函数的图象可以判断a、h、k的符号，然后根据一次函数的性质即可判断直线y=ax+hk的图象经第几象限，本题得以解决．【解答】解：由函数图象可知，y=a（x﹣h）2+k中的a＜0，h＜0，k＞0，∴直线y=ax+hk中的a＜0，hk＜0，∴直线y=ax+hk经过第二、三、四象限，故选：D．【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．3．【分析】根据方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式即可判断；【解答】解：由，消去y得到：2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣（﹣32）=33＞0，∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．4．【分析】由题意可得对称轴为y轴，则（﹣1，y1）关于y轴的对称点为（1，y1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+a∴对称轴为y轴∴（﹣1，y1）关于对称轴y轴对称点为（1，y1）∵a=﹣1＜0∴当x＞0时，y随x的增大而减小∵1＜2＜3∴y1＞y2＞y3故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键5．【分析】依照题意画出图象，观察图形结合二次函数的性质，即可找出结论．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m（m＞0）的两根分别为α、β，∴二次函数y=（x﹣2）（x﹣3）的函数值y＞m时自变量x的取值范围是x＞β或x＜α．故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的图象，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．6．【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．【解答】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．故选：C．【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．7．【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【解答】解：当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6．综上所述：h的值为1或6．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．8．【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润；【解答】解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y=（x﹣35）（400﹣5x），故选：A．【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价2元，其销售量就减少10个”．9．【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．【解答】解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．10．【分析】连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．【解答】解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOC=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为1，则OB=；Rt△OBD中，OB=，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（，﹣），代入抛物线的解析式中，得：（）2a=﹣，解得a=﹣；故选：B．【点评】此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵y=﹣2x2﹣1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．12．【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解答】解：∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点”是解题的关键．13．【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解．【解答】解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为x1=﹣2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=﹣2，x2=1故答案为x1=﹣2，x2=1．【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．14．【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），∴，解得，，即a的值是1，b的值是﹣2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．【分析】（1）把（﹣2，5）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；（2）利用表中数据求解．【解答】解：（1）根据表格数据可得，解得，∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．17．【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：依题意得∴∴m=0；（2）依题意得m2﹣m≠0，∴m≠0且m≠1．【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．18．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求得ab=﹣1，a+b=1，a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3．根据题意知，二次函数经过点（a，b），（b，a），（1，1）．把它们代入二次函数解析式f（x）=kx2+dx+c （k≠0），列出方程组，通过解方程组可以求得k、d、c的值．【解答】解：∵方程x2﹣x﹣1=0的两个根为a、b，∴ab=﹣1，a+b=1，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3．设f（x）=kx2+dx+c（k≠0），∵f（a）=b，f（b）=a，f（1）=1，∴，由①﹣②，得（a+b）k+d=﹣1，即k+d=﹣1，④由①+②，得k（a2+b2）+d（a+b）+2c=a+b，即3k+d+2c=1，⑤把④代入③解得c=2．则由⑤得3k+d=﹣3，⑥由③⑥解得，k=﹣1，d=0．故该二次函数是f（x）=﹣x2+2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数解析式的求解及其常用方法，解方程组．解题时要认真审题，仔细解答．19．【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；（2）利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点，由题意得到方程﹣x2+x+3=0，通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标．【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣4，﹣）分别代入y=﹣x2+bx+c，得，解得；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：y=﹣x2+x+3．△=（）2﹣4×（﹣）×3=＞0，所以二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴有公共点．∵﹣x2+x+3=0的解为：x1=﹣2，x2=8∴公共点的坐标是（﹣2，0）或（8，0）．【点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系．20．【分析】（1）代入y=0求出x的值，分m+3=1和m+3≠1两种情况考虑方程解的情况，进而即可证出：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．【解答】（1）证明：当y=0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0，解得：x1=1，x2=m+3．当m+3=1，即m=﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x=0时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）由方程2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0有解证出该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．21．【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；（2）先依据抛物线的对称轴方程求得m的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可求得点A的坐标．【解答】解：（1）∵函数y=﹣x2+mx+（m+1）（m为常数），∴△=m2+4（m+1）=（m+2）2≥0，∴该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2．故答案为：1或2．（2）∵抛物线的对称轴是直线x=1，∴=1，解得m=2，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．y=﹣x2+2x+3═﹣x2+2x﹣1+4=﹣（x﹣1）2+4，∴A（1，4）．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点个数与△之间的关系是解题的关键．22．【分析】先求出该抛物线的对称轴，然后根据对称轴的位置即可求出a的取值范围．【解答】解：（1）①∵y=9x2﹣6ax+a2﹣b，当b=﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）∴4=9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，解得，a1=﹣2，a2=﹣4，∴a的值是﹣2或﹣4；②∵a≤x≤b，b=﹣3∴a=﹣2舍去，∴a=﹣4，∴﹣4≤x≤﹣3，∴一次函数y=﹣4x﹣3，∵一次函数y=﹣4x﹣3为单调递减函数，∴当x=﹣4时，函数取得最大值，y=﹣4×（﹣4）﹣3=13x=﹣3时，函数取得最小值，y=﹣4×（﹣3）﹣3=9（2）∵b﹣1=2a∴y=9x2﹣6ax+a2﹣b可化简为y=9x2﹣6ax+a2﹣2a﹣1∴抛物线的对称轴为：x=≥1，抛物线与x轴的交点为（，0）（，0）∵函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b在﹣＜x＜c时的值恒大于或等于0∴c≤，∵a≥3，∴﹣＜c≤．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象，本题属于中等题型．23．【分析】（Ⅰ）令y=0，可求A点坐标，根据顶点公式可求B点坐标．（Ⅱ）如图作BF⊥AO，根据根与系数关系可求D的横坐标，即可求OC，OE，AF，BF的长度（用a，b，m表示），可证△OEC∽△ABF，即可证AB∥EC（Ⅲ）由∠ABO=120°，根据抛物线的对称性可得∠FBA=60°，可求b的值，则可求B点坐标，直线y=kx+m过B点，可求m与k的关系，由△OEC∽△ABF，可求得的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当y=0时，有ax2+bx=0，解得：x1=0，x2=﹣，∴点A的坐标为（﹣，0）．∵抛物线y=ax2+bx=a（x+）2﹣，∴点B的坐标为（﹣，﹣）．（II）如图作BF⊥AO∵直线y=kx+m（k＞0）与抛物线相交于B，D∴kx+m=ax2+bx∴ax2+bx﹣kx﹣m=0∴x B×x D=﹣∴﹣×x D=﹣∴x D=∴OE=∵C（0，m），B（﹣，﹣），A（﹣，0）∴OC=﹣m，AF=﹣，BF=∴，且∠COA=∠BFA=90°∴△ABF∽△OCE∴∠FAB=∠OEC∴AB∥CE（Ⅲ）∵∠OBA=120°∴∠FBA=60°∴tan∠FBA=∴b=﹣∴B（，﹣）∵直线y=kx+m过B点∴﹣=k+m∴m=﹣﹣k∵△ABF∽△OCE∴∵≤k≤∴≤≤即【点评】本题考查了二次函数综合题，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，通过相似三角形证明角相等是本题的关键．（本资料素材和资料部分来自网络，供参考。

最新人教版九年级数学上册精品资料设计第二十二章二次函数周周测 6一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1.抛物线的顶点坐标是（ ）A.（3,1） B.（3，-1） C.（-3,1）D.（-3，-1）2.抛物线与的形状相同，开口方向相反，则 的值为（ ）A.B.3.二次函数A.B.4.在二次函数A.B.5.把二次函数 A.C.6.二次函数A.函数有最小值C.D.的图像的对称轴为（ ）C.D.的图像上，若 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）C.D.配方成顶点式为（ ）B.D.的大致图像如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）B.函数的对称轴是C.当， 随 的增大而增大 D.当时，7.二次函数 A.8.把抛物线 A.的图像与 轴有两个不同的交点，则 的取值范围是（）B.且C.D.且绕原点旋转 1800 后得到的抛物线为（ ）B.C.D.9.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱桥，抛物线的解析式为.小强骑自行车从拱桥的一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 的时间是（ ）A.36 秒B.42 秒C.38 秒D.44 秒10.二次函数 数）在的对称轴为，若关于 的一元二次方程的范围内有解，则 的取值范围是（ ）（t 为实A.B.C.D.第 6 题图第 9 题图二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）最新人教版九年级数1学上册精品资料设计最新人教版九年级数学上册精品资料设计11.抛物线有点（填“高”或“低”），其坐标是.12.若抛物线与 轴分别交于 A，B 两点，A，B 两点的坐标分别是13.已知抛物线的对称轴是。

则 的值为14.若抛物线的顶点与原点的距离为 5，则 的值为15.在距离地面 2m 的高的某处把一物体以初速度 （m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度 （m）与抛出时间 （s）满足：（其中 是常数，通常取10 m/s2）.若， 则该物体在运动过程中最高点距地面16.当，函数的图像记为 G，将图像 G 在图像 G 的其余部分保持不变，得到一个新图像 M，若直线点，则 的取值范围是.m. 轴上方的部分沿 轴翻折， 与图像 M 有且只有两个公共三、解答题（共 8 题，共 72 分）17.（本题 8 分）已知二次函数.（1）求它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）判断点 A（-1,6）是否在此二次函数的图像上？18.（本题 8 分）已知抛物线经过点（2,3），且顶点坐标为（1,1），求这条抛物线的解析式.19.（本题 8 分）如图，已知抛物线（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当，求 的取值范围。

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.《二次函数》检测题一．选择题（每小题4分，共40分） 1、抛物线y=x 2-2x+1的对称轴是 ( )A 、直线x=1B 、直线x=-1C 、直线x=2D 、直线x=-2 2、下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ． 只有②③④． 3、对于2)3(22+-=x y 的图象下列叙述正确的是（ ） A 、顶点坐标为(－3，2) B 、对称轴为y=3C 、当3≥x 时y 随x 增大而增大D 、当3≥x 时y 随x 增大而减小4、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为 A. 0 B. －1 C. 1 D. 25、函数y =ax 2(a ≠0)的图象经过点(a ，8)，则a 的值为（ ） A.±2 B.－2 C.2 D.3 6、自由落体公式h =21gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是（ ） A.正比例函数 B.一次函数C.二次函数D.以上答案都不对 7、下列结论正确的是（ ）A.y =ax 2是二次函数B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例D.二次函数的取值范围是非零实数8、下列函数关系中，可以看作二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）模型的是 （ ）文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.A 、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系9、对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是 （ ）A ．22)1(x m y -= B ．22)1(x m y += C ．22)1(x m y += D ．22)1(x m y -=10、二次函数y=x 2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是 （ ）Ａ.y=x 2+3 Ｂ.y=x 2-3Ｃ.y=（x+3）2 Ｄ.y=（x-3）2第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题（每小题4分，共40分）11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y 万元，与平均年增长率x 之间的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿。

第 1 页 共 45 页人教版数学九年级上册第22章二次函数单元综合测试（含答案） 一、精心选一选（每题3分，共30分）1．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（a ，ac）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若双曲线)0(≠=k xky 的两个分支在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的图象大致是图中的（ ）xyOxyO xyO O yx DCBA3．如图是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则一次函数bc ax y +=的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若点（2，5），（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）A ．直线1=xB ．直线2=xC ．直线3=xD ．直线4=x 5．已知函数772--=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．47- kB ．047≠-≥k k 且C ．47-≥kD ．047≠-k k 且6．函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax 2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个异号的实数根Oyx第 2 页 共 45 页C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7．现有A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），用小莉掷A 立方体朝上的数字为x ，小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，y ），那么他们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y=－x 2+4x 上的概率为（ ） A ．118 B ．112 C ．19 D ．168．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 2）都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 3 9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a －b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（ ）A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③ 第9题图 10. 已知二次函数y x x =++29342，当自变量x 取两个不同的值x x 12,时，函数值相等，则当自变量x 取x x 12+时的函数值与（ ）。

人教版初中数学九年级上册第22章《二次函数》整章水平测试（总分：120分，时间：120分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1.在抛物线y＝－x2+1上的一个点是（）A.(1，0)B.(0，0)C.(0，－1)D.(1，1)2.二次函数y＝x2+2x－5有（）A.最大值－5B.最小值－5C.最大值－6D.最小值－63.已知二次函数y＝x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则它与x轴的另一个交点坐标是（）CA .(1，0) B.(2，0) C.(－2，0) D.(－1，0)4.在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是（）A.y＝3(x－3)2+3B.y＝3(x－3)2－3C.y＝3(x+3)2+3D.y＝3(x+3)2－35.如图，将二次函数y＝31x2－999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程式31x2－999x+892＝0的两根，下列叙述何者正确？（）A.两根相异，且均为正根B.两根相异，且只有一个正根C.两根相同，且为正根D.两根相同，且为负根6.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）BA.y＝－(x+1)2+2B.y＝－(x－1)2+4C.y＝－(x－1)2+2D.y＝－(x+1)2+47.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A.4米B.3米C.2米D.1米8.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A.50mB.100mC.160mD.200m9.如图为抛物线y＝ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA＝OC ＝1，则下列关系中正确的是（）A.a+b＝－1B.a－b＝－1C.b＜2aD.ac＜0xyOOCB Axy10.如图，抛物线y ＝x 2+1与双曲线y ＝x k 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式x k +x 2+1＜0的解集是（ ） A.x ＞1 B.x ＜－1 C.0＜x ＜1 D.－1＜x ＜0 二、填空题（每题3分，共24分） 11.写出一个开口向下的二次函数的表达式_________.12.将抛物线y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为_________.13.出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝_________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.14.点A (2，y 1)、B (3，y 2)是二次函数y ＝x 2－2x +1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1_________y 2（填“＞”、“＜”、“＝”）.15.如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点(0，－3)，请你确定一个b 的值，使该抛物线与x 轴的一个交点在(1，0)和(3，0)之间你所确定的b 的值是_________.16.如图，已知函数.y ＝－3x与y ＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0标为1，则关于x 的方程ax 2+bx+3x ＝0的解为_________.17.如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点(－1，0)，一个交点为C ，则AC 长为_________. 3 18.给出下列命题：命题1，点(1，1)是双曲线y ＝1x 与抛物线y ＝x 2的一个交点.命题2，点(1，2)是双曲线y ＝2x与抛物线y ＝2x 2命题3，点(1，3)是双曲线y ＝3x与抛物线y ＝3x 2的一个交点. … …请你观察上面的命题，猜想出命题n （n 是正整数）：_________.三、解答题（共46分）19.若二次函数y ＝x 2－2x －8的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，试求△ABCc的面积.20.已知抛物线y ＝12x 2+x +c 与x 轴有交点. （1）求c 的取值范围；（2）试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由.21.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm ，菱形的面积S （单位：cm 2）随其中一条对角线的长x （单位：cm ）的变化而变化.（1）请直接写出S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？【参考公式：当x ＝－2b a 时，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)有最小（大）值244ac b a 】22.已知：关于x 的方程ax 2－(1－3a )x +2a －1＝0.（1）当a 取何值时，二次函数y ＝ax 2－(1－3a )x +2a －1的对称轴是x ＝－2；（2）求证：a 取任何实数时，方程ax 2－(1－3a )x +2a －1＝0总有实数根.23.利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件.经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件.为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？24.已知：二次函数y ＝x 2+bx －3的图像经过点P (－2，5).（1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设点P 1(m ，y 1)、P 2(m +1，y 2)、P 3(m +2，y 3)在这个二次函数的图像上.①当m ＝4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由.四、拓展题（共20分）25.设函数y ＝kx 2+(2k +1)x +1（k 为实数）.（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，DCB A O用描点法画出这两个特殊函数的图象.（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数K ，函数的图象都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值. 26.已知二次函数y ＝a (x 2－6x +8)（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点.（1）如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O ′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG 位于边EF 的右侧.小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段P A 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段P A 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由.参考答案：一、1.A ；2.D.点拨：y ＝x 2+2x －5＝y ＝(x +1)2－6，即二次函数y ＝x 2+2x －5的最小值－6；3.C ；4.D ；5.A ；6.B ；7.A.点拨：由于y ＝－x 2+4x ＝－(x －2)2+4，所以抛物线的顶点坐标是(2，4)，由此，水喷出的最大高度是4米；8.C ；9.B.点拨：根据OA ＝OC ＝1和图象，得C (0，1)，A (－1，0)，把C (0，1)代入求出c ＝1，把A (－1，0)代入，得a －b ＝－1，故应选B ；10.D.点拨：由抛物线y ＝x 2+1与双曲线y ＝xk 的交点A 的横坐标是1，代入y ＝x 2+1可得交点A 的纵坐标是2.把(1，2) 代入y ＝x k 可得k ＝2，从而x k +x 2+1＜0转化为2x＜－x 2－1，则求不等式x k +x 2+1＜0的解集等同于当x 为何值时函数y ＝xk 图像在函数y ＝x 2+1图像下方，由二次函数图像性质知，函数y ＝x 2+1图像开口向下，顶点在(0，－1)，与y ＝2x图像的交点横坐标是－1.故当－1＜x ＜0时，函数y ＝2x图像在函数y ＝x 2+1图像下方，即关于x 的不等式x k +x 2+1＜0的解集是－1＜x ＜0. 二、11.答案不惟一.如，y ＝－x 2+2x +1；12.y ＝x 2+1；13.4.点拨：依题意，得y ＝(8－x )x图①图②＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16；14.＜；15.答案不唯一.如，－12；16.－3.点拨：先把y ＝1代入.y ＝－3x ，求出点P 的横坐标为－3，而关于x 的方程ax 2+bx +3x ＝0的解就是函数.y ＝－3x与y ＝ax 2+bx （a ＞0，b ＞0）的图象交点的横坐标－3；17.3；18.点(1，n )是双曲线y ＝n x 与抛物线y ＝nx 2的一个交点.点拨：从已知得出点的横坐标都是1，纵坐标与反比例函数的k 相同，与二次函数的a 相同，得出点(1，n )是双曲线y ＝n x与抛物线y ＝nx 2的一个交点. 三、19.24.点拨：由x 2－2x －8＝0，求得A 、B 的坐标，由x ＝0，求得点C 的坐标，进而利用三角形的面积公式求得.20.（1）因为抛物线与x 轴没有交点，所以Δ＜0，即即1－2c ＜0，解得c ＞12.（2）因为c ＞12，所以直线y ＝12x +1随x 的增大而增大.因为b ＝1，所以直线y ＝12x +1经过第一、二、三象限. 21.（1）S ＝12x (60－x )＝－12x 2+30x .（2）因为S ＝－12x 2+30x ，a ＝－12＜0，所以S 有最大值，所以x ＝－2b a ＝－30122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝30，S 的最大值为244ac b a -＝2140302142⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭＝450，即当x 为30cm 时，菱形风筝面积最大，最大面积是450cm 2.22.（1）因为二次函数y ＝ax 2－(1－3a )x +2a －1的对称轴是x ＝－2，所以－()132a a--＝－2，解得a ＝－1.经检验a ＝－1是原分式方程的解.所以当a ＝－1时，二次函数y ＝ax 2－(1－3a )x +2a －1的对称轴是x ＝－2.（2）分两种情况：当a ＝0时，原方程变为－x －1＝0，方程的解为x ＝－1；当a ≠0时，原方程为一元二次方程，此时，当b 2-4ac ≥0时，方程ax 2－(1－3a )x +2a －1＝0总有实数根，即[－(1－3a )]2－4a (2a －1)≥0，整理，得a 2－2a +1≥0，即(a －1)2≥0，显然，无论a 取任何实数，总有(a －1)2≥0成立，所以a 取任何实数时，方程ax 2－(1－3a )x +2a －1＝0总有实数根.23.（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元.则根据题意，得()()5,3122119.x y x y +=⎧⎪⎨++-=⎪⎩解得2,3.x y =⎧⎨=⎩答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元.（2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则s ＝(1－m )(500+100×0.1m )+(5－3－m )(300+100×0.1m )，即s ＝－2000m 2+2200m +1100＝－2000(m －0.55)2+1705.所以当m ＝0.55时，s 有最大值，最大值为1705.答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.24.（1）把点P 代入二次函数解析式得5＝(－2)2－2b －3，解得b ＝－2.当1＜x ≤3时，y 的取值范围为－4＜y ≤0.（2）①m ＝4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长.②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2－2m －3、m 2－4、m 2+2m －3，由于，m 2－2m －3+m 2－4＞m 2+2m －3，(m －2)2－8＞0，当m 不小于5时成立，即y 1+y 2＞y 3成立.所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长.四、25.（1）答案不惟一.如，当k ＝1时，y ＝x 2+3x +1，当k ＝0时，y ＝x +1，如图所示.（2）对任意实数k ，函数的图象都经过点(－2，－1)和点(0，1).证明：把x ＝－2代入函数y ＝kx 2+(2k +1)x +1，得y ＝－1，即函数y ＝kx 2+(2k +1)x +1的图象经过点(－2，－1)；把x ＝0代入函数y ＝kx 2+(2k +1)x +1，得y ＝1，即函数y ＝kx 2+(2k +1)x +1的图象经过点(0，1).（3）当k 为任意负实数，该函数的图象总是开口向下的抛物线，其对称轴为x ＝－212k k +＝－1－12k ，当负数k 所取的值非常小时，正数－12k 靠近0，所以x ＝－1－1靠近－1，所以只要M 的值不大于－1即可.26.（1）令y ＝0，由a (x 2－6x +8)＝0解得x 1＝2，x 2＝4；令x ＝0，解得y ＝8a .所以点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a )，该抛物线对称轴为直线x ＝3.所以OA ＝2，如图①，设抛物线对称轴与x 轴的交点为M ，则AM ＝1.由题意得O ′A ＝OA ＝2.所以O ′A ＝2AM ，所以∠O ′AM ＝60°.所以∠OAC ＝∠O ′AC ＝60°.所以OC AO ＝8a ＝，所以a ＝4.（2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结果同样成立.（I ）如图②，设P 是边EF 上的任意一点（不与点E 重合），连接PM .因为点E (4，4)、F (4，3)与点B (4，0)在一直线上，点C 在y 轴上，所以PB ＜4，PC ≥4，所以PC ＞PB .又PD ＞PM ＞PB ，P A ＞PM ＞PB ，所以PB ≠P A ，PB ≠PC ，PB ≠PD ，所以此时线段P A 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形.（II ）设P 是边FG 上的任意一点（不与点G 重合），点F 的坐标是(4，3)点G 的坐标是(5，3).所以FB ＝3，GB 3≤PB 因为PC ≥4，所以PC ＞PB .又PD ＞PM ＞PB ，P A ＞PM ＞PB ，所以PB ≠P A ，PB ≠PC ，PB ≠PD ，所以此时线段P A 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形.（3）存在一个正数a ，使得四条线段P A 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）.如图③，因为点A 、B 是抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上，所以P A ＝PB .所以当PC ＝PD 时，线段P A 、PB 、PC 、PD 能构成平行四边形.因为点C 的坐标是(0，8a )，点D 的坐标为(3，－a )，点P 的坐标是(3，t )，所以PC 2＝32+(t －8a )2，PD 2＝(t +a )2，由PC ＝PD ，得PC 2＝PD 2，所以32+(t －8a )2＝(t +a )2，整理得7a 2－2ta +1＝0，所以Δ＝4t 2－28.因为t 是大于3的常数，所以Δ＝4t 2－28＞0，所以方程7a 2－2ta +1＝0有两个不相等的实数根a ＝214t ＝7t ±，显然，a ＝7t +＞0，满足题意.所以当t 是一个大于3的常数时，存在一个正数aP A、PB、PC、PD能构成平行四边形.图①图②图③。