模型拟合(精)

面型拟合精度表征-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述面型拟合是一种常见的技术，用于将一个给定的曲面或形状与目标曲面或形状进行最佳匹配。

它在许多领域中都有广泛应用，例如工业制造、航空航天、医疗影像等。

在过去的几十年中，面型拟合技术得到了快速发展，随着计算机技术的进步和数值算法的改进，面型拟合的精度得到了大大提高。

然而，面型拟合的精度表征仍然是一个重要的课题，因为精度的提高直接影响到面型拟合的效果和应用的可靠性。

本文旨在对面型拟合精度进行全面的表征和评价。

首先，我们将介绍面型拟合的基本概念和意义，包括其在工程实践中的重要性和应用领域。

其次，我们将详细介绍面型拟合的方法和步骤，包括数学模型的建立、数据采集和处理以及参数拟合等。

最后，我们将介绍面型拟合精度的评价指标，包括拟合误差、拟合度和曲面平滑度等。

通过对面型拟合精度的全面表征，我们可以更好地理解面型拟合技术的优缺点，为相关领域的应用提供准确可靠的数据支持。

同时，面型拟合精度的评价也有助于指导面型拟合算法的改进和优化。

面型拟合精度的重要性不仅在于提高产品的制造质量和性能，还在于减少生产成本和提高效率。

本文将在下文中详细探讨面型拟合精度的各个方面，并对其重要性进行深入分析和讨论。

通过对相关理论和实践问题的综合研究，我们希望可以为面型拟合技术的改进和应用提供有力的支持和指导。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以参考以下写法：1.2 文章结构本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。

引言部分将对面型拟合精度表征的概念进行概述，并介绍本文的目的。

在正文部分，我们将详细讨论面型拟合的概念和意义，包括对面型拟合方法和步骤的介绍。

同时，本文还将提出用于评价面型拟合精度的指标，并进行详细讨论。

在结论部分，我们将对全文进行总结，强调面型拟合精度对相关领域的重要性，并展望未来在面型拟合研究中的潜在发展方向。

通过以上结构的安排，本文希望能够全面而准确地阐述面型拟合精度表征的相关知识，并对其在实际应用中的重要性和未来的发展方向做出探讨，为读者深入了解和研究面型拟合精度提供参考。

拟合模型的概念拟合模型的概念拟合模型是指在给定一组数据的情况下，通过建立数学模型来描述数据间的关系，从而预测未来或者进行数据分析。

拟合模型可以用于各种领域，如物理、经济、生物、社会等。

一、拟合模型的基本概念1. 数据集：指收集到的一组数据，包括自变量和因变量。

2. 自变量：也称为解释变量或输入变量，是对因变量有影响的变量。

3. 因变量：也称为响应变量或输出变量，是受自变量影响而发生改变的变量。

4. 模型：是对自变量和因变量之间关系的描述，通常用数学公式表示。

5. 参数：是模型中需要确定的未知数值，通过对数据进行拟合求解得到。

6. 残差：是实际值与预测值之间的差异，用于评估模型拟合程度。

二、常见的拟合模型类型1. 线性回归模型：线性回归是最基本和常用的统计方法之一。

它假设自变量与因变量之间存在线性关系，并且误差项服从正态分布。

线性回归可以用于预测和建立因变量与自变量之间的关系。

2. 非线性回归模型：非线性回归指的是自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。

非线性回归模型可以用于研究复杂的现象，如物理、生物等领域。

3. 时间序列模型：时间序列是指一组按时间顺序排列的数据，时间序列模型可以用来预测未来的趋势和周期性。

4. 机器学习模型：机器学习是一种通过算法让计算机从数据中学习规律，并用于预测和分类等任务的方法。

常见的机器学习模型包括决策树、支持向量机、神经网络等。

三、拟合模型的评估方法1. 均方误差（MSE）：均方误差是实际值与预测值之间差异平方和的平均值，用于评估拟合模型的精度。

MSE越小，说明拟合效果越好。

2. 决定系数（R²）：决定系数是实际值与预测值之间相关性解释比例，范围在0到1之间。

R²越接近1，说明拟合效果越好。

3. 残差分析：残差分析是评估拟合模型的重要方法之一。

通过绘制残差图、QQ图等方式，来检查残差是否满足正态分布和同方差性等假设。

四、拟合模型的应用1. 预测：拟合模型可以用于预测未来的趋势和变化。

拟合指标sse-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拟合指标SSE（Sum of Squared Errors）是评估模型拟合优度的一种常见指标。

在数据分析和机器学习领域中，我们经常需要使用拟合指标来衡量模型与观测数据之间的拟合程度。

SSE作为一种常见的拟合指标，被广泛应用于各个领域和问题中。

SSE的计算方法基于误差的平方和，即将观测值与模型预测值之间的差异进行求和并取平方。

这样做的原因是为了消除正负差异的影响，同时强调较大误差的重要性。

计算SSE的过程可以简洁地表示为将每个观测值与对应模型预测值之间的差异平方求和。

拟合指标SSE具有一些优点。

首先，SSE是一个直观的拟合指标，它将误差的平方和作为一个整体来衡量模型的拟合效果。

其次，SSE的计算相对简单，只需要对差异平方进行求和操作即可。

此外，SSE对较大误差具有较高的敏感度，从而能够更好地反映模型对异常值的适应性。

然而，SSE也存在一些缺点。

首先，由于平方操作的存在，SSE会放大极端差异的影响，可能导致模型对异常值过于敏感。

其次，SSE没有考虑到样本数量的差异，可能会导致在样本较多的情况下得到较大的误差值。

此外，SSE只能衡量整体的拟合效果，无法提供关于拟合的具体方向和趋势的信息。

尽管SSE具有一些局限性，但在实际应用中，它仍然具有重要的意义。

例如，在回归分析中，我们可以使用SSE来评估不同模型之间的拟合优度，从而选择最佳的模型。

此外，在机器学习中，SSE可以作为损失函数来优化模型的参数，使其能够更好地拟合训练数据。

总之，拟合指标SSE在实际应用中起着重要的作用，帮助我们评估和改善模型的拟合效果。

1.2 文章结构文章结构是指文章的组织方式和呈现顺序，它对于读者理解和掌握文章内容具有重要意义。

本文按照以下顺序组织:1. 引言：介绍本文的主题和背景，概述拟合指标SSE的定义和意义，以及文章结构。

2. 正文：2.1 拟合指标SSE的定义和意义：详细阐述拟合指标SSE的含义和作用，解释SSE在拟合模型中的重要性，以及其对拟合效果和精度的评估。

文章编号：1009-6825（2013）01-0180-02线状地区似大地水准面拟合模型的精化探析收稿日期：2012-10-20作者简介：邵彩军（1978-），男，实验师邵彩军（绍兴文理学院，浙江绍兴312000）摘要：首先介绍高程拟合原理和线状地区常用的拟合模型，然后以某个线状地区工程为实例，对多项式拟合及三次样条拟合进行了分析，分析结果表明：三次曲线拟合精度最高，而三次样条曲线计算方法复杂，更适用于线路较长的拟合。

关键词：线状地区，似大地水准面，高程拟合，拟合模型中图分类号：TU198文献标识码：A0引言全球定位系统一直以定位速度快，操作简单，不受天气影响，广泛的应用于线状线路地区的平面定位，平面定位精度相当高，精度能够达到0．1－6D 10－6D ，满足工程要求。

但GPS 高程测量由于受各种因素的影响，它的测量精度还不够稳定，从而还没有充分发挥GPS 测量三维坐标的优越性。

随着我国市政基础设施大规模的建设，为了更好的发挥GPS 在线状线路地区的高程应用，通过建立一定的拟合模型把大地高转化成正常高，以达到线状线路地区的精度要求。

1高程拟合原理及精度评定1．1高程拟合原理大地高：是以参考椭球面作为高程基准面，即点到椭球体面的铅垂距离，用H 表示。

正高：是以大地水准面作为高程基准面，櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅櫅即地面点到大地水准方位角；各边的方位角、边长值的改正数及中误差，各边长的相对中误差）。

3精度分析GPS 网精度统计见表1。

表1GPS 网精度统计控制网名盖孜水电站施工控制网引测网观测日期2012年3月等级三等执行规范DL /T 5173-2003仪器型号Trimble5700平均边长/m 1345．520测量精度5mm +2ppm ˑD 标准差σ/mm5．68仪器精度5mm +0．5ppm ˑD统计误差项目所在位置基线长误差值/mm 限差/mm 复测基线最大较差GZ25-GD172305．71318．26ʃ14．20同步环最大闭合差W x W y W z W s GZ23-GZ22-GZ24闭合环全长/m1292．924－0．9ʃ3．93．1ʃ3．92．3ʃ3．94．0ʃ6．5异步环最大闭合差W xW y W z W sGZ05-GZ04-GZ06闭合环全长/m928．4161－0．50ʃ17．450．30ʃ17．45－2．80ʃ17．452．86ʃ30．23高斯面三维最弱点点位中误差GZH036．3ʃ10二维最弱点点位中误差GZ073．7ʃ10施工网三维最弱点点位中误差GZH035．4ʃ（7 10）二维最弱点点位中误差GZH035．4ʃ（7 10）为了验证GPS 测量和盖孜水电站工程坐标系的可靠度，对测区内的平面控制点用Leica TCR402全站仪按三等边测量技术要求进行检核，并将全站仪所测的边长与GPS 所测的边长进行了比较，其比较结果见表2。

GPS\水准高程拟合模型的探讨与应用发布时间：2021-06-28T16:18:04.290Z 来源：《工程管理前沿》2021年3月7期作者：岳兴盛杨浪浪通讯作者，赵萌生[导读] 近年来，GPS卫星定位技术已在测量领域得到广泛应用岳兴盛杨浪浪通讯作者，赵萌生（中国地质调查局昆明自然资源综合调查中心，云南昆明 650100）摘要：近年来，GPS卫星定位技术已在测量领域得到广泛应用，平面位置的测量已经达到了很高的精度，人们期待着在可行的条件下用GPS高程测量代替传统水准测量，以提高工作效率。

但是利用GPS定位技术测定的GPS高程是基于WGS-84参考椭球的大地高，而工程所采用的高程一般是基于似大地水准面的高程，所以GPS技术提供的高程不能直接应用到工程实践中，需要进行高程转换，把GPS所测的大地高转换使用的正常高有着非常重要的现实意义，也是目前GPS研究领域的一个热点话题。

GPS高程拟合是进行GPS高程转换常用的方法。

可以通过拟合的方式进行高程异常的结算，从而利用大地高取代正常高进行使用。

本篇论文将借助云南某县的GPS测图控制网，着重探讨GPS水准高程拟合模型的探讨与应用。

关键字：GPS高程、正常高、拟合1 绪论1.1前言GPS全球卫星定位系统是随着现代科学技术的迅速发展而建立起来的新一代精密卫星定位系统，20世纪70年代开始，GPS技术不断的成熟和迅猛发展，现在已渗透入除专业领域外的民用领域，从最初的的航天及军事应用，逐步走进人们的生活。

再测绘专业领域，GPS以全天候、高精度、自动化、高效等显著特点，赢得广大测绘工作者的信赖。

在民用领域里，它除了继续在高精度大地测量和控制测量，建立各种类型和等级的测量控制网等领域发挥着重要作用外，还在测量领域的其它方面得到充分的应用。

但是利用GPS定位技术测定的GPS高程是基于WGS-84参考椭球的大地高，而工程所采用的高程一般是基于似大地水准面的高程，所以GPS技术提供的高程不能直接应用到工程实践中，需要进行高程转换，把GPS所测的大地高转换使用的正常高有着非常重要的现实意义。

模型拟合优度模型拟合优度（modelfittingaccuracy）是统计学中一个重要的概念。

它是指模型参数估计值能够拟合观察数据的精度，表示模型的拟合能力以及模型参数的准确度。

拟合优度可以通过估计偏差，残差，相关系数等方式来衡量。

模型的拟合优度越高，表明模型对样本数据的拟合能力越强，参数估计值越准确，模型的预测能力也就越强。

因此，模型的拟合优度是检验模型的有效性的重要指标之一。

模型拟合优度取决于模型的结构以及参数的估计，也就是说，模型本身和参数估计是模型拟合优度的决定因素。

因此，有必要综合评估模型结构和参数估计，以提高模型拟合优度。

首先，在模型结构方面，要选择合适的模型结构，以确保模型能够有效地表示数据特征，更好地拟合数据。

由于不同的模型结构和参数估计可能会导致不同的拟合优度，因此在模型结构选择上应根据数据对模型结构的适应性进行综合评估。

其次，在参数估计方面，模型参数的估计是影响模型拟合优度的关键。

常用的参数估计方法有极大似然估计、最小二乘估计和梯度下降法等。

根据不同的估计方法，可以计算出不同的参数估计值，从而影响模型的拟合优度。

因此，在模型参数估计上也要综合评估，确定最优的参数估计方案，以提高模型的拟合优度。

最后，模型的拟合优度也受到样本规模和观测误差的影响。

如果样本数量太少，或者观测数据有较大的噪声，则会影响模型拟合优度。

因此，在模型参数估计之前，要先确定合适的观测样本，以提高模型拟合优度。

总之，模型拟合优度是一个衡量模型有效性的重要指标。

要提高模型的拟合优度，应该综合评估模型结构和参数估计，同时确定合适的观测样本，以期达到最优的拟合优度。

结构方程模型精讲结构方程模型（Structural Equation Modeling，即SEM）是一种多变量统计分析方法，主要用于建立和验证变量之间的因果关系模型。

SEM在社会科学研究领域中被广泛应用，可以用于研究因果关系的生成机制、模型拟合度评估和预测效果等。

一个SEM模型通常包括以下几个重要的组成部分：1. 构念（Latent variables）：构念是无法直接观察到的理论概念，代表研究对象的特征、态度或行为。

通过测量指标来间接度量构念。

构念可以是单一的或多个指标组合而成的。

2. 指标（Indicators）：指标是可以直接观察到的变量，用于测量构念的表现。

指标可以是连续变量、二元变量、有序变量等。

3. 因果路径（Causal paths）：因果路径是指构念之间或构念与指标之间的直接或间接影响关系。

因果路径可以是正向的、负向的或双向的。

4. 误差项（Error terms）：误差项是构念和指标之间的测量误差或未被模型涵盖的因素。

误差项是模型的随机部分，代表了模型解释不了的部分。

5. 模型拟合度（Model fit）：模型拟合度指模型是否能够较好地解释观察数据。

常用的模型拟合度指标包括卡方检验、比较拟合指数（CFI）、均方根误差逼近指数（RMSEA）等。

在进行SEM分析时，通常需要进行以下步骤：1.建立理论模型：根据研究问题和理论背景，构建起变量间的理论关系模型。

2.设计测量指标：选择符合研究目标的指标，考虑指标之间的相关性和可信度。

3.收集数据：通过问卷调查或实验等方法，收集观察数据。

4.编码和建模：将数据输入到结构方程模型软件进行分析和建模。

5.评估拟合度：使用适当的拟合度指标，评估模型对实际数据的拟合效果。

6.参数解释和检验：分析模型结果，解释参数估计值和检验统计量，判断变量间的因果关系和显著性。

通过SEM分析，可以帮助研究者建立潜在的因果关系模型，验证理论假设和推断变量间的关系。

SEM具有灵活性和广泛适用性，可以应用于各种类型的数据和研究领域。

8.2 一元线性回归模型及其应用（精讲）考点一 样本中心解小题【例1】（2021·江西赣州市）某产品在某零售摊位上的零售价x （元）与每天的销售量y （个）统计如下表：据上表可得回归直线方程为 6.4151y x =-+，则上表中的m 的值为（ ） A ．38B ．39C ．40D ．41【答案】D 【解析】由题意1617181917.54x +++==，50343111544m my ++++==，所以115 6.417.51514m+=-⨯+，解得41m =．故选：D ． 【一隅三反】1．（2021·江西景德镇市·景德镇一中）随机变量x 与y 的数据如表中所列，其中缺少了一个数值，已知y关于x 的线性回归方程为ˆ0.93yx =+，则缺少的数值为（ ）A ．6B ．6.6C ．7.5D ．8【答案】A【解析】设缺少的数值为m ，由于回归方程为ˆ0.93yx =+过样本中心点(),x y ， 且2345645x ++++==，代入0.943 6.6y =⨯+=，所以5679 6.65my ++++==，解得6m =.故选：A.2．（2021·河南信阳市）根据如下样本数据：得到的回归方程为y bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b > B ．0a >，ˆ0b < C ．0a <，0b > D ．0a <，ˆ0b< 【答案】B【解析】由图表中的数据可得，变量y 随着x 的增大而减小，则ˆ0b<， 2345645x ++++==，4 2.50.5230.25y +---==，又回归方程y bx a =+经过点(4,0.2)，可得0a >，故选：B ．3．（2021·安徽六安市·六安一中）蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：C ）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+.则当蟋蟀每分钟鸣叫62次时，该地当时的气温预报值为（ ） A ．33C B ．34CC ．35CD ．35.5C【答案】D【解析】由表格中的数据可得2030405060405x ++++==，2527.52932.536305y ++++==，由于回归直线过样本中心点(),x y ，可得300.2540k =⨯+，解得20k =.所以，回归直线方程为0.2520y x =+.在回归直线方程中，令62x =，可得0.25622035.5y =⨯+=.故选：D.考点二一元线性方程【例2】（2021·兴义市第二高级中学）在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示： 通过分析，发现销售量y 对商品的价格x 具有线性相关关系，求 （1）销售量y 对商品的价格x 的回归直线方程； （2）若使销售量为12，则价格应定为多少.附：在回归直线ˆˆy bxa =+中1221ˆni ii nii x y nxyb xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =- 【答案】（1） 3.240y x =-+ （2） 8.75 【解析】（1）由题意知10x =，8y =，∴999580635551083.28190.25100110.25121ˆ5100b++++-⨯⨯==-++++-⨯，8(3.2)1040a =--⨯=，∴线性回归方程是 3.240y x =-+；（2）令 3.24012y x =-+=，可得8.75x =，∴预测销售量为12件时的售价是8.75元．【一隅三反】1．（2020·河南开封市）配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.图1是一个马拉松跑者的心率y （单位：次/分钟）和配速x （单位：分钟/公里）的散点图，图2是一次马拉松比赛（全程约42公里）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；（2）该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次.参考公式：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，12()()ˆ()nii i nixx y y b xx =--=-∑∑，ˆˆay bx =- 参考数据：135y =.【答案】（1）25285x y ∧=-+；（2）210分钟，192名． 【解析】（1）由散点图中数据和参考数据得 4.55677.565x ++++==，1001091301651711355y ++++==，()()()51522222211.536(1)300(5)1(26) 1.5(35)25( 1.5)(1)01 1.5ˆiii i i x x y y bx x ==---⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，135(25)62ˆ85ˆay bx =-=--⨯=， 所以y 与x 的线性回归方程为25285x y ∧=-+. （2）将160y =代入回归方程得5x =，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为425210⨯=分钟. 从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为()0.0008500.00242102000.064⨯+⨯-=，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.0643000192⨯=名.2．（2020·云南红河哈尼族彝族自治州）随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，特别是每年的“双十一”，天猫的交易额数目惊人.2020年天猫公司的工作人员为了迎接天猫“双十一”年度购物狂欢节，加班加点做了大量准备活动，截止2020年11月11日24时，2020年的天猫“双十一”交易额定格在3700多亿元，天猫总公司所有员工对于新的战绩皆大欢喜，同时又对2021年充满了憧憬，因此公司工作人员反思从2014年至2020年每年“双十一”总交易额(取近似值)，进行分析统计如下表：（1）通过分析，发现可用线性回归模型拟合总交易额y 与年份代码t 的关系，请用相关系数加以说明； （2）利用最小二乘法建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.1)，预测2021年天猫“双十一”的总交易额. 参考数据：71()()138.5ii i tt y y =--=∑26.7= 2.646≈；参考公式：相关系数()()niit t y y r --=∑；回归方程y bt a ∧∧∧=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()711722211niii ii i niii i tty y t y nx yb tttnx∧====---==--∑∑∑∑，=a y bt ∧∧-.【答案】（1）答案见解析；（2）回归方程为ˆ 4.9 1.2yt =-，预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.【解析】（1）4t =，721()28ii tt =-=∑，17()()138.5i ii t t yy =--=∑26.7=所以()()138.50.982 2.64626.7niit t y y r --=≈≈⨯⨯∑因为总交易额y 与年份代码t 的相关系数近似为0.98， 说明总交易额y 与年份代码t 的线性相关性很强，从而可用线性回归模型拟合总交易额y 与年份代码t 的关系. （2）因为18.4y =，721()28ii tt =-=∑，所以()()71271()138.5ˆ 4.928i ii i i t t yy bt t ==--==≈-∑∑， ˆˆay b =-，18.4 4.94 1.2b ≈-⨯=- 所以y 关于t 的回归方程为ˆ 4.9 1.2yt =- 又将2021年对应的8t =代入回归方程得：ˆ 4.98 1.238y=⨯-=. 所以预测2021年天猫“双十一”的总交易额约为38百亿.3．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若0.75r>，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？附：相关系数公式()()n ni i i ix x y y x y nx y r---==∑∑0.55≈0.95≈．回归方程y bx a=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1122211n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ybx x x nx====---==--∑∑∑∑，a y xb=-．【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）0.3 2.5y x=+；610千克.【解析】（1）由已知数据可得2456855x++++==，3444545y++++==，所以()()()()()5131100010316i iix x y y=--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，====所以相关系数()()50.95iix x y y r --===≈∑．因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）()()()5152160.320iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑，450.3 2.5a =-⨯=， 所以回归方程为0.3 2.5y x =+． 当12x =时，0.312 2.5 6.1y =⨯+=，即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．考点三 非一元线性方程【例3】（2020·全国高二课时练习）在一次抽样调查中测得5个样本点，得到下表及散点图．（1）根据散点图判断y a bx =+与1y c k x -=+⋅哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果试建立y 与x 的回归方程；（计算结果保留整数） （3）在（2）的条件下，设=+z y x 且[)4,x ∈+∞，试求z 的最小值．参考公式：回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.【答案】（1）1y c k x -=+⋅；（2）41y x=+；（3）6. 【解析】（1）由题中散点图可以判断，1y c k x -=+⋅适宜作为y 关于x 的回归方程； （2）令1t x -=，则y c kt =+，原数据变为由表可知y 与t 近似具有线性相关关系，计算得4210.50.251.555t ++++==，16125217.25y ++++==，222222416212150.520.2515 1.557.238.4544210.50.255 1.559.3k ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==≈++++-⨯，所以，7.24 1.551c y kt =-=-⨯=，则41y t =+． 所以y 关于x 的回归方程是41y x=+． （3）由（2）得41z y x x x=+=++，[)4,x ∈+∞， 任取1x 、24x ≥，且12x x >，即124x x >≥，可得()()()21121212121212124444411x x z z x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212124x x x x x x --=，因为124x x >≥，则120x x ->，1216>x x ，所以，12z z >，所以，函数41z x x =++在区间[)4,+∞上单调递增，则min 44164z =++=. 【一隅三反】1．（2020·江苏省如皋中学高二月考）某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间x （天数）与销售单价y （元）的一组数据，且做了一定的数据处理（如表），并作出了散点图（如图）.表中10111,10i i i i w w w x ===∑.（1）根据散点图判断y a bx =+，与dy c x=+哪一个更适合作价格y 关于时间x 的回归方程类型？（不必说明理由）（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程. （3）若该产品的日销售量()g x （件）与时间x 的函数关系为()()100120g x x N x-=+∈，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,...,,n n u v u v u v u v ，其回归直线vuαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()nii i nii vv u u v u u u βαβ==--==--∑∑.【答案】（1）dy c x =+更适合作价格y 关于时间x 的回归方程；（2）120(1)y x=+；（3）第10天，最高销售额为2420元；【解析】（1）根据散点图知dy c x=+更适合作价格y 关于时间x 的回归方程类型； （2）令1w x=，则y c dw =+， 而1011021()()18.4200.92()iii ii w w yy d w w ==--===-∑∑， 37.8200.8920c y dw =-=-⨯=，即有120(1)y x=+；（3）由题意结合（2）知：日销售额为1100()()20(1)(120)f x y g x x x=⋅=+-， ∴2110015()20(1)(120)400(6)f x x x x x=+-=+-， 若1t x =，令221121()655()1020h t t t t =+-=--+， ∴110t =时，max 1121()()1020h t h ==，即10x =天，max 121()(10)400242020f x f ==⨯=元, 所以该产品投放市场第10天的销售额最高，最高销售额为2420元.2．（2021·江苏苏州市）我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划.某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金.现该企业为了了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额i x 和年盈利额i y 的数据.通过对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②x t y e λ+=，其中α，β，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数．令2i i u x >，()ln 1,2,,10i i v y i ==⋅⋅⋅，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?（2）（ⅰ）根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程;（系数精确到0.01）（ⅱ）若希望2021年盈利额y 为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额x 为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数()()niix x y y r --=∑，回归直线ˆˆˆya bx =+中：121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =- ②参考数据：ln 20.693≈，ln5 1.609≈． 【答案】（1）模型x ty eλ+=的拟合程度更好；（2）（ⅰ）0.180.56ˆx ye +=；（ⅱ）27.56.【解析】（1）设{}i u 和{}i y 的相关系数为1r ，{}i x 和{}i v 的相关系数为2r ，由题意，()()101130.8715iiu u y y r --===≈∑，()()102120.9213iix x v v r --===≈∑，则12r r <，因此从相关系数的角度，模型x ty e λ+=的拟合程度更好．（2）（ⅰ）先建立v 关于x 的线性回归方程， 由x ty eλ+=，得ln y t x λ=+，即v t x λ=+，()()()101102112ˆ65iii ii x x v v x x λ==--==-∑∑， 12ˆˆ 5.36260.5665tv x λ=-=-⨯=， 所以v 关于x 的线性回归方程为ˆ0.180.56vx =+， 所以ˆln 0.180.56yx =+，则0.180.56ˆx y e +=．（ⅱ）2021年盈利额250y =（亿元）， 所以0.180.56250x e +=，则0.180.56ln 250x +=， 因为ln 2503ln5ln 23 1.6090.693 5.52=+≈⨯+=， 所以 5.520.5627.560.18x -≈≈．所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．。

中介效应是指一个变量在两个其他变量之间的作用机制。

在社会科学研究中，特别是心理学和社会学领域，中介效应是一个重要的研究课题。

研究人员经常使用统计模型来检验中介效应的存在和大小。

AMOS模型是一种常用的结构方程建模软件，它可以用于估计中介效应的大小。

而中介效应大小的指标之一是模型拟合指数，它可以帮助研究人员判断他们的模型对观察数据的拟合程度。

了解AMOS模型拟合指数的正常值对于正确解释中介效应的大小至关重要。

1. AMOS模型拟合指数AMOS模型拟合指数是用来评价结构方程模型（SEM）对观察数据的拟合程度的指标。

常见的AMOS模型拟合指数包括：- 拟合优度指数（Goodness of Fit Index, GFI）- 比较拟合指数（Comparative Fit Index, CFI）- 均方根误差逼近度指数（Root Mean Square Error of Approximation, RMSEA）- 标准化均方根残差（Standardized Root Mean Square Residual, SRMR）2. AMOS模型拟合指数的正常值根据研究者的经验和已有的文献，一般认为，GFI和CFI的值应该大于0.90，RMSEA的值应该小于0.08，SRMR的值应该小于0.05。

当这些值达到或接近这些标准时，可以认为模型对观察数据的拟合是较好的。

3. 如何解释AMOS模型拟合指数当进行结构方程建模时，研究人员首先需要对模型的理论基础有清晰的认识。

需要根据实际数据进行模型的拟合和估计，并对拟合指数进行解释。

如果拟合指数达到或超过正常值，那么这个模型就有较好的拟合度；反之，则需要考虑修改模型。

4. 其他影响AMOS模型拟合指数的因素除了模型本身的设定和数据质量外，AMOS模型拟合指数还可能受到其他因素的影响。

比如样本量的大小、模型的复杂程度、变量之间的相关关系等都可能对拟合指数产生影响，因此在解释拟合指数时需要综合考虑这些因素。