江苏省南通高中高三数学小题校本作业函数模型及应用

2013届南通高中数学小题校本作业（17）函数综合训练一、填空题（共12题，每题5分）1． （12鲁文）函数1()ln(1)f x x =+的定义域为 ．2． 若方程ln x －6＋2x ＝0的解为x 0，则不等式x ≤x 0的最大整数解是 ． 3． 已知定义域为R 的函数f (x )在区间()8,+∞上为减函数，且函数y ＝f (x ＋8)为偶函数， 则f (7)与f (10)的大小关系为 ．4． 设g (x )是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为 ． 5． 设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0），则{x |f (x －2)＞0}＝ ．6． 已知定义在实数集上的奇函数f (x )始终满足f (x +2)=－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )=x ，则15()2f 的值等于 ．7． 函数()f x 对一切实数x 都满足11()()22f x f x +=-，并且方程()0f x =有三个实根，则这三个实根的和为 ．8． 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在()0,+∞上单调递增，又()30f -=，则()0xf x >的解集为 ．9． 当x ∈(1,2)时，不等式()21log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 10．（12鲁理）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -<-≤时,2()(2)f x x =-+；当13x -<≤时,()f x x =．则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅+= ．11．定义在R 上的偶函数f (x )满足(1)()f x f x +=-，且在[－1,0]上是增函数，给出下面关于f (x )的判断：f (x )是周期函数； ②f (x )关于直线x =1对称； ③ f (x )在[0,1]上是增函数； ④f (x )在[1,2]上是减函数； ⑤f (2)=f (0)． 其中正确判断的序号为 （写出所有正确判断的序号）．12．已知函数f (x )满足：x ≥4,则f (x )＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；当x ＜4时f (x )＝f (x ＋1)，则2(2log 3)f +＝ ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧为有理数）（为无理数）x x 1(0. （1）证明这个函数为偶函数；（2）证明T =12是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其它的周期，最后说明这个函数的周期组成什么集合.。

2013届南通高中数学小题校本作业（9）函数的单调性与奇偶性一、填空题：（共12题，每题5分）1． 函数2y x bx c =++((,1))x ∈-∞是单调函数时，b 的取值范围 ． 2． 函数()f x 在R上为奇函数，且()1,0f x x =>，则当0x <，()f x = ． 3． 函数2||y x x =-+，单调递减区间为 ．4． 已知2()(2),[1,3]f x x x =-∈-，则函数(1)f x +的单调递减区间为 ． 5． （12皖文）若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a ＝ ．6． 若1()21x f x a =+-是奇函数，则a ＝ ． 7． 函数()f x 在R 上增函数，图象过(2,2),(1,2)A B --，则不等式|(2)|2f x -<的 解集 ． 8． 已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围 ． 9． 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是 ．10．下列函数具有奇偶性的是 ． ①31y x x=+；②y = ③4y x x =+； ④222(0)0(0)2(0)x x y x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩.11．（12全国新课标）设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m = ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x , 则1234x x x x +++= ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．已知函数2()1f x x =+，且()[()]g x f f x =，()()()G x g x f x λ=-，试问，是否存在实数λ，使得()G x 在(,1]-∞-上为减函数，并且在(1,0)-上为增函数？。

南通中学数学高考小题专题复习练习三角函数的图象一、填空题（共12题，每题5分）1、如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图象关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么 ||ϕ的最小值为 ．2、要得到函数)63cos(π-=x y 的图象，只需将x y 3cos =的图象向_____平移_____单位． 3、2sin(4)3y x π=-的周期是 ．4、函数3sin 26y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭图象的对称轴方程是 ． 5、函数cos 34y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标是 ． 6、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图 象的函数解析式是 ．7、把函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标伸长为原来的两倍，在将图象向左平移2π个 单位，所得曲线的解析式为x y sin 21=，那么)(x f y =的一个解析式是 ．8、已知函数()f x =Acos(x ωϕ+)的图象如图所示，2()23f π=-，则(0)f = ．9、若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ω的最小值为 ． 10、关于函数()()24sin f x x π=+()x ∈R ，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成()24cos y x π=-；③()y f x =的图象关于点(),06π-对称；④()y f x =的图象关于直 线6x π-=对称.其中正确的命题序号为 .11、函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .。

南通中学数学高考小题专题复习练习导数的综合应用一、填空题：（共12题，每题5分）1、曲线2ln y x x =-在点（1，2）处的切线方程是 ．2、函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ．3、在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．4、（2010辽宁）已知点P 在曲线41xy e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的 取值范围是 ．5、一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为 时，盒子容积最大．6、函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ．7、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=， 则a ＝ ，b ＝ ．8、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为 ．9、若函数()24(),211xf x m m x =++在区间上是单调递增函数，则实数m 的取值范围是 ．10、若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 ．11、13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有()0f x ≥成立，则a = ．12将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积，则S 的最小值是________．南通中学数学高考小题专题复习练习（71）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3、 4、 5、 6 、 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设函数()()ln ln 2(0)f x x x ax a =+-+>． （1）当a =1时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在(]01，上的最大值为12，求a 的值．导数的综合应用1．10x y -+= ; 2．3，-17 ; 3．（-2，15）提示：231022y x x '=-=⇒=±，又点P 在第二象限内，2x ∴=-点P 的坐标为（-2，15）; 4．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，解析：2441212x x x x x e y e e e e'=-=-++++，12,10xx e y e '+≥∴-≤<，即1tan 0α-≤<，3[,)4παπ∴∈;5．1㎝ ; 6．(1,11)- 提示：2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-．亦可填写闭区间或半开半闭区间; 7．1,1a b ==8．)11,4(- 解得3,3;4,11a b a b ==-=-=后注意检验，前者不满足在1=x 处有极值109．(]1,0-由2/224(1)()0,11(1)x f x x x -=>-<<+得，所以()()11⊆-m,2m+1，解得范围为(]1,0- 10．(),0-∞提示：由题意该函数的定义域0x >，由()12f x ax x'=+．因为存在垂直于y 轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x >范围内导函数()12f x ax x'=+存在零点． 解法1 （图像法）再将之转化为()2gx ax =-与()1h x x=存在交点．当0a =不符合题意，当0a >时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a <如图2，此时正好有一个交点，故有0a <应填(),0-∞或是{}|0a a <．解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程120ax x+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02a x =-∈-∞11．4 若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立．当x ＞0 即[]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x≥-设()2331g x x x=-，则()()'4312x g x x -=，所以()gx 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a≥4． 当x<0 即[]1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≤- 设()2331g x x x=-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间[]1,0-上单调递增，因此()()min 14g x g =-=，从而a ≤4．12．设剪成的小正三角形的边长为x ，则：222(3)(01)1x S x x -=<<-（方法一）利用导数求函数最小值．22(3)()1xS xx-=-，2222(26)(1)(3)(2)()(1)x x x xS xx-⋅---⋅-'-222222(26)(1)(3)(2)2(31)(3)(1)(1)x x x x x xx x-⋅---⋅----=--1()0,01,3S x x x'=<<=，当1(0,]3x∈时，()0,S x'<递减；当1[,1)3x∈时，()0,S x'>递增；故当13x=时，S的最小值是3．（或者通过变形后换元化为二次函数求）13．解析：对函数求导得：11()2f x ax x'=-+-，定义域为（0，2）（1）单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成．当a=1时，令2112()0+1=0022xf xx x x x-+'=-⇒=--得（）当()0,x f x'∈>为增区间；当()0,x f x'∈<为减函数．（2）区间(]01，上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．当(]01x∈，有最大值，则必不为减函数，且11()2f x ax x'=-+->0，为单调递增区间．最大值在右端点取到．max1(1)2f f a===．。

南通中学数学小题校本作业（27）三角函数的性质（2）一、填空题（共12题，每题5分）1． 函数cos 2cos y x x =-的值域为 ．2． 函数π2πsin ()63y x x =≤≤的值域为 ．3．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为 ． 4． 函数y ＝sin(π4－2x )的单调递增区间是 ．5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调递增区间是 ．6．已知0ω>，函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是 ． 7． 函数sin 2sin 1x y x +=+的值域是 ．8． 已知函数()2sin(2)f x a x ϕ=+的值域是[4,4]-及5ππ0,[,]1212a >-且在区间上单调 递减，则常数a = ，ϕ= ．9． 函数2()sin cos f x x x x =在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 ．10．当函数sin (02π)y x x x =<≤取得最大值时，x = ．11．已知223sin sin sin 2ααβ=+，则函数22sin sin y αβ=+的最大值是 ．12．设函数32sin ()tan 3f x x θθ=++，其中5π[0,]12θ∈，则导数(1)f '的取值 范围是 ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13．（12渝理）设()π4cos()sin cos(2π)6f x x x x ωωω=--+,其中0.ω>(1)求函数()y f x =的值域；(2)若()y f x =在区间3ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值. ．。

直线与圆锥曲线一、填空题（共12题，每题5分）1． 已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 ．2． （12渝文）设P 为直线3by x a=与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>左支的交点，1F 是左焦点，1PF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率e = ．3． 已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ．4． 设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 ．5． 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与抛物线y =x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ．6． 直线l 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 ． 7． 过(0,1)M 且与抛物线C :24y x =仅有一个公共点的直线方程是 ．8． 已知点F 1，F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线 离心率的取值范围是 ．9． 直线1y kx =+，当k 变化时，直线被椭圆2214x y +=截得的最大弦长是 ．10．（12川文）椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，△FAB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ．11．（12渝理）过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点，若25,12AB AF BF =<，则AF = ．12．已知121(0,0)m n m n +=>>，当mn 取得最小值时，直线2y =+与曲线1x x y ym n+=的交点个数为 ．二、解答题（共20分,要求写出主要的证明、解答过程）13．如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆221 42x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B．设直线PA的斜率为k．（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．。

南通中学数学小题校本作业（14）幂函数一、填空题（共12题，每题5分）1． 设11,1,,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 ． 2． 设函数213123()()()f x x f x x f x x -===，，，则123(((2013)))f f f = ．3． 若f (x )=－x 2＋2ax 与()1a g x x =+在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是 ． 4． 幂函数()f x 的图象过点(9,27)，则()f x 的解析式是 ． 5． 下列函数：①f (x )＝ln x ；②f (x )＝1x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝e x 中，与函数y ＝1x有相同 定义域的是 ．6． 函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则m = ． 7． 比较2223332(),3,23-的大小 ． 8． 下列命题中正确的有 ．（1）当0α=时函数y x α=的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点；（3）若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数；（4）幂函数的图象不可能出现在第四象限．9． 如图所示，幂函数y x α=在第一象限的图象， 比较12340,,,,,1αααα的大小 ．10．若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝ ．11．若1133(3)(12)x x ---<+，则实数x 的取值范围 ． 12．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13．已知函数1(),x a f x a a x+-=∈-R . （1）证明函数()y f x =的图象关于点(,1)a -成中心对称图形； （2）当3[1,2],:()[2,]2x a a f x ∈++∈--时求证； （3）用函数()y f x =构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令2132(),(),,x f x x f x == 1()n n x f x -=，…在上述构造数列的过程中， 如果(2,3,4,)i x i =在定义域中，构造数列的过程将继续下去； 如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止． 如果取定义域中任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出 一个无穷数列{x n }，求实数a 的值．。

南通中学数学高考小题专题复习练习三角函数的性质（ 2）一、填空题（共12 题，每题 5 分）π的单调递增区间是．1、函数 y ＝ sin(－ 2x) 42、函数 y cosx 2cos x 的值域为．3、 “2k (k1”的 条件．Z ) ”是“ cos 26224、函数 ysin x(x) 的值域为 ．635、已知函数f (x)3sinxcos x(0) ， yf (x) 的图象与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，则 f ( x) 的单调递增区间是．6、函数 y3cos( 2x) 2 的单调递减区间是．67、函数 ysin x2的值域是 ．sin x 18、设函数 ，其中，则导数的取值范围是．9、已知函数 f ( x)2a sin(2 x) 的值域是4,4 及 a0, 且在区间5 , 上单调1212递减，则常数 a == ．10、已知 sin3sin2sin2，则函数 ysin2sin2的最大值是．211、已知函数f ( x) f '() cos x sin x, 则 f ( ) 的值为．4412、函数 f ( x) sin 2x3sin x cosx 在区间, 上的最大值是 _____________．4 2南通中学数学高考小题专题复习练习答题纸班级姓名分数一、填空题：（共 12 小题，每小题 5 分）1、2、34、5、67、8、9 、10、11、12、二、解答题 ( 共 20 分 , 要求写出主要的证明、解答过程)13、（本小题共12 分）已知函数 f (x) 2sin(x)cos x ．（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）求 f ( x) 在区间,上的最大值和最小值．62三角函数的性质（ 2）１． 5, k(k Z ) ；2．1,3；3．充分而不必要条件k881, 1；５．[ k, k ], k Z ；６．k, k 7 Z)４．(k2361212７．3 , 提示： sin x2 11 ；８． 2sin x 1sin x 1f ( 1 )23 c xo x1s s i n3 c o s2 s i n ( )s i nx35sin()2,1f (1)2, 2９．a2,2k 2(k Z ) 提示：0,323 12由值域4,4 ，a>0, 得 a2 ，因为周期为，区间5 , 的长度为 ，所以当 x取最小1221212值-4 ，即 sin() 1；4 61 sin21(sin110．提示： ysin1)2，9222而sin23sin2sin0 sin2 ，当 sin 2 时， y max 4233911.1因为 f '( x)f '( ) sin x cos x 所以 f '( )f '( )sincos 44444f '( )2 1 故f () f '( )cos 4 sin4f ( ) 144 4 412.3 提示：f ( x)1 cos 2x3sin 2x1 sin(2 x ) ,22 22 64x32x65 , f ( x) max1 1 3 .262213. （Ⅰ）∵ f x 2sinx cosx 2sin x cosx sin2x ，∴函数 f ( x) 的最小正周期为 .（Ⅱ）由x2x，∴3 sin 2x 1 ，6223∴ f ( x) 在区间,上的最大值为 1，最小值为32.62。

二次函数一、填空题（共12题，每题5分）1． （12渝文）函数()()(4)f x x a x =+-为偶函数，则实数a = ．2． 函数y =的定义域是 ，值域是 ．3． 已知函数()y f x =为奇函数，且当0x >时2()23f x x x =-+，则当0x <时，()f x 的解析式为 ．4． 按以下法则建立函数 f (x )：对于任何实数x ，函数 f (x )的值都是3－x 与x 2－4x ＋3中的最大者，则函数f (x )的最小值等于 ． 5． 设函数()f x x x bx c =++，给出四个命题：①0c =时，有()()f x f x -=-成立；②0,b c =＞0时，方程()0f x =只有一个实数根； ③()y f x =的图象关于点（0,c ）对称； ④方程()0f x =，至多有两个实数根．上述四个命题中所有正确的命题序号是 ．6． 已知函数224,0;()4,0.x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩≥若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围 是 ．7． （12鲁理）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b a x==+∈≠R ,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确 的序号是 ．A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>；B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<；C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<；D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>． 8． 已知函数221(1)x x y a a a =+->在区间[－1,1]上的最大值是14，则a = ．9． 已知函数22x x y b a +=+(a 、b 是常数且a ＞0，a ≠1)在区间[－32,0]上有y max =3，y min =52，则a ＋b ＝ ．10．某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是20,025,,2530,.100,t t t p t t t +<<∈⎧=⎨∈-+⎩N N ≤≤该商品的日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系是40Q t =-+(030,)t t <∈N ≤，这种商品的日销售金额的最大值为 ． 11．若函数()21f x ax x =++在区间[)2,-+∞上为单调增函数，则实数a 的取值范围是 ．12．集合A =2{(,)20}x y x mx y +-+=，集合B ={(,)10x y x y -+=，且02x ≤≤}，又A B ≠∅，则实数m 的取值范围 ．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程) 13．如图，A ，B ，C 为函数13log y x 的图象上的三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4(t ≥1)． (1)设△ABC 的面积为S ，求S ＝f (t )； (2)判断函数S ＝f (t )的单调性； (3)求S ＝f (t )的最大值．。