八年级数学下册5.1矩形教案1(新版)浙教版

浙教版数学八年级下册《5.1 矩形》教案1一. 教材分析浙教版数学八年级下册《5.1 矩形》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握矩形的性质。

本节课的内容为矩形的定义、矩形的性质及矩形的判定。

教材通过生活中的实例引入矩形的概念，让学生在理解的基础上掌握矩形的性质，培养学生的空间观念和几何思维能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平行四边形的性质，对几何图形有一定的认识。

但在实际操作和解决生活中的问题时，还需要加强对矩形性质的理解和应用。

学生在学习过程中，需要通过实例感受矩形与生活的联系，提高学习兴趣，同时培养空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解矩形的定义，掌握矩形的性质，学会用矩形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等方法，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，感受数学与生活的联系，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.重点：矩形的性质及应用。

2.难点：矩形性质的推导和证明。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受矩形与生活的联系，激发学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、猜想、验证，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有生活实例、图片、动画等的多媒体课件。

2.矩形模型：准备一些矩形模型，供学生观察和操作。

3.练习题：准备一些有关矩形的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的矩形实例，如门窗、银行卡等，引导学生观察并提问：“这些图形有什么共同特点？”学生回答后，教师总结矩形的定义。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示矩形的性质，引导学生观察并总结出矩形的性质。

如：矩形的对边平行且相等，矩形的对角相等，矩形的对边垂直等。

5.1 矩形（1）教学目标知识与技能：了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．过程与方法：经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．情感态度与价值观：培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．重难点、关键重点：掌握矩形的性质，并学会应用．难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．教学准备教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，•积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．教学过程一、联系生活，形象感知【显示投影片】教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，•平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。

口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．口述：∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，∴AC=BD教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（12，12）BO是Rt△ABC的什么线？•由此你可以得到什么结论？学生活动：观察、思考后发现AO=12AC，BO=12BD，BO是Rt△ABC的中线．•由此归纳直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．二、范例点击，应用所学例1 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，•求矩形对角线的长．（投影显示）思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，•可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．【活动方略】教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程（课本P104）学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．【问题探究】（投影显示）如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1/2AC．思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．【活动方略】教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法．证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）AC，∴∠FEB=∠A，∵E为AB中点，∴EF//12BC=BF，∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=12∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，AC．∴∠1=∠2，∴DE=EF=12证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，AC=AG，∴在Rt△ADC中，DG=12∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，又∠GDA=∠1+∠2，•∴∠1+∠2=2∠1，AC．∴∠2=∠1，∴DE=DG=12【设计意图】补充这道演练题是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．三、随堂练习，巩固深化【探研时空】已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，•因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，•可以将∠E•转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=•∠DAC，问题迎刃而解．四、课堂总结，发展潜能1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，•矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：（1）边的性质：对边平行且相等．（2）角的性质：四个角都是直角．（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．（4）对称性：矩形是轴对称图形．。

浙教版数学八年级下册《5.1 矩形》教学设计1一. 教材分析《5.1 矩形》是浙教版数学八年级下册的教学内容，本节课的主要内容是矩形的性质。

矩形是四边形中的一个特殊形状，它有四个直角和四条相等的边。

学生在学习本节课之前，已经掌握了四边形的基本性质，三角形的相关知识，以及平行四边形的性质。

本节课的内容是对这些知识的进一步拓展和加深。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，能够理解和掌握四边形、三角形和平行四边形的性质。

但是，对于矩形的性质，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作和思考，来发现和理解矩形的性质。

同时，学生已经具备了一定的探究能力和合作精神，可以让他们在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。

三. 教学目标1.理解矩形的定义和性质。

2.能够运用矩形的性质解决一些简单的问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。

4.培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.矩形的定义和性质。

2.矩形的性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置一些实际问题，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.探究教学法：让学生通过自主探究和合作交流，发现和理解矩形的性质。

3.实践教学法：让学生通过动手操作，加深对矩形性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解矩形的性质。

2.学习材料：准备一些实际的例子，让学生进行观察和思考。

3.板书设计：设计好板书的格式和内容，以便在课堂上进行展示和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一些实际问题，如：为什么门的形状是矩形？矩形的特点是什么？引导学生思考，引出矩形的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，展示一些矩形的图片，让学生直观地感受矩形的形状。

然后，给出矩形的定义，并引导学生总结矩形的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选择一个矩形，用尺子和直角器来验证矩形的性质。

版本科目年级课时教学设计请同学们回顾平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．请同学们回顾平行四边形的性质：（1）两组对边分别平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分，两条对角线把它分成四个面积相等的三角形；（4）是一个中心对称图形。

请同学们观察下面的图片，说出它们的形状。

爱动脑筋的小明同学观察到矩形有一种对称的美，他说矩形不用测量就能知道四个内角的度数；只需测量出一组邻边的长，就能计算出它的周长，还能知道对角线的长，他的说法对吗？为什么？合作探究：1．用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形．（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？2．（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由．平行四边形的底边不变，当有一个角是直角时，高最大，此时平行四边形的面积最大．（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？比较它的两条对角线的长度，你又发现了什么？结论：四个内角都是直角，两条对角线的长度相等．新课讲解：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的表示方法: 矩形ABCD．小学里学过的长方形、正方形都是矩形想一想：你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？合作探究：完成表格：质疑：矩形还具有哪些特殊的性质呢？1.请同学们画一个矩形，用量角器度量每个角的度数，用直尺度量两条对角线的长度.并且根据你得到的数据提出你的猜想。

你的猜想是：矩形的四个角都是直角.这个命题正确吗？试着说说你的理由．已知：在矩形ABCD中，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，∴∠D=90°，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°2.你的猜想：矩形的对角线相等.这个命题正确吗？试着说说你的理由．已知：四边形ABCD是矩形．求证：AC = BD．证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC = ∠DCB = 90°，又∵AB = DC ，BC = CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC = BD．矩形的性质定理2：矩形的对角线相等．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD．例1．已知：如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm.(1)判断△AOB的形状；(2)求矩形对角线的长；∵∠AOD=120°例如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC 延长线于点E．（1）求证：BD=DE；（2）求△BED的面积．1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（）A ．内角和是360°B ．对角相等C ．对边平行且相等D ．对角线相等2、下面性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等 B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线垂直3、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3 cm，BC=4 cm 则AC=__________cm，AO=_________cm，BO=_________cm.5.已知ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形, 求∠BAD的度数.解:如图，△AOB是等边三角形,∴OA=OB.∵ABCD的对角线互相平分,∴AC=2AO,BD=2BO.∵ABCD的对角线互相平分,∴AC=BD，∴ABCD是矩形.∴∠BAD=900 .拓展提升：6．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=DB，AB∥DC，∴DC∥BE，又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB=CE，∴AC=CE．。

版本科目年级课时教学设计请同学们回顾平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．请同学们回顾平行四边形的性质：（1）两组对边分别平行且相等；（2）对角相等、邻角互补；（3）对角线互相平分，两条对角线把它分成四个面积相等的三角形；（4）是一个中心对称图形。

请同学们观察下面的图片，说出它们的形状。

爱动脑筋的小明同学观察到矩形有一种对称的美，他说矩形不用测量就能知道四个内角的度数；只需测量出一组邻边的长，就能计算出它的周长，还能知道对角线的长，他的说法对吗？为什么？合作探究：1．用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形．（1）能摆成多少个不同的平行四边形？它们有什么共同的特点？2．（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由．平行四边形的底边不变，当有一个角是直角时，高最大，此时平行四边形的面积最大．（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？比较它的两条对角线的长度，你又发现了什么？结论：四个内角都是直角，两条对角线的长度相等．新课讲解：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的表示方法: 矩形ABCD．小学里学过的长方形、正方形都是矩形想一想：你能举出在人们的日常生活和生产实践中，有哪些东西是矩形的？合作探究：完成表格：质疑：矩形还具有哪些特殊的性质呢？1.请同学们画一个矩形，用量角器度量每个角的度数，用直尺度量两条对角线的长度.并且根据你得到的数据提出你的猜想。

你的猜想是：矩形的四个角都是直角.这个命题正确吗？试着说说你的理由．已知：在矩形ABCD中，∠B=90°．求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°．证明：∵四边形ABCD是矩形，∠B=90°，∴∠D=90°，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠A+∠B=90°，∠C+∠D=90°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角几何语言：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°2.你的猜想：矩形的对角线相等.这个命题正确吗？试着说说你的理由．已知：四边形ABCD是矩形．求证：AC = BD．证明：在矩形ABCD中，∵∠ABC = ∠DCB = 90°，又∵AB = DC ，BC = CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC = BD．矩形的性质定理2：矩形的对角线相等．符号语言：∵四边形ABCD是矩形，∴AC = BD．例1．已知：如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm.(1)判断△AOB的形状；(2)求矩形对角线的长；∵∠AOD=120°例如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC 延长线于点E．（1）求证：BD=DE；（2）求△BED的面积．1、矩形具有而平行四边形不具有的性质（）A ．内角和是360°B ．对角相等C ．对边平行且相等D ．对角线相等2、下面性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等 B ．四个角相等C ．是轴对称图形D ．对角线垂直3、已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹锐角的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB=3 cm，BC=4 cm 则AC=__________cm，AO=_________cm，BO=_________cm.5.已知ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形, 求∠BAD的度数.解:如图，△AOB是等边三角形,∴OA=OB.∵ABCD的对角线互相平分,∴AC=2AO,BD=2BO.∵ABCD的对角线互相平分,∴AC=BD，∴ABCD是矩形.∴∠BAD=900 .拓展提升：6．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=DB，AB∥DC，∴DC∥BE，又∵CE∥DB，∴四边形CDBE是平行四边形，∴DB=CE，∴AC=CE．。

5.1 矩形-浙教版八年级数学下册教案一、教学目标1.了解矩形的定义和性质；2.掌握矩形的周长和面积的计算公式；3.能够运用所学知识解决实际问题。

二、教学重点和难点1.矩形的定义和性质；2.矩形的周长和面积的计算公式。

三、教学过程3.1 导入新课1.教师介绍本节课的主题：“矩形”；2.通过图片或实物展示，引入矩形的概念和特点；3.讨论矩形在日常生活中的应用。

3.2 讲解矩形的定义和性质1.教师通过幻灯片或黑板讲解矩形的定义和性质；2.强调矩形有四条直角边和四个内角均为直角；3.引导学生发现矩形的对边相等。

3.3 讲解矩形的周长和面积公式1.教师讲解矩形的周长和面积公式，并且说明公式的推导过程；2.强调学生记忆周长公式：C=2(a+b)和面积公式：S=ab，并通过例题的演示让学生深刻理解公式的应用。

3.4 练习巩固1.分组进行练习，利用练习册或者网络上矩形相关的题目进行尝试；2.教师现场答疑解惑，强化学生对已掌握知识的理解和运用。

3.5 布置作业1.教师布置练习册相关题目的作业；2.鼓励学生自己寻找更多的矩形实例，如地砖、窗户等，进行周长和面积的计算。

四、教学资源1.教师所带教材；2.幻灯片或黑板；3.纸质或电子版教材。

五、思考题1.如何运用矩形的周长和面积公式计算地砖的数量？2.在房子修建中，如何利用矩形的面积计算房间的面积？有哪些注意事项？六、教学反思本节课从矩形形状特点出发，结合实例介绍了矩形的定义和性质，然后重点讲解了矩形的周长和面积公式。

通过练习让学生深刻掌握矩形的计算方法，其实矩形的周长和面积公式的掌握对学生而言非常重要，以后的数学学习会经常用到。

在教学过程中，要注重引导学生发现数学知识的本质和基本规律，增强学生数学自学的能力，为今后的学习打下良好的基础。

5.1 矩形-浙教版八年级数学下册教案一、教学目标1.理解矩形的定义和性质。

2.学会用公式计算矩形的周长和面积。

3.掌握利用矩形解决实际问题的方法。

二、教学重难点1.教学重点：矩形的定义、周长和面积的计算。

2.教学难点：应用矩形解决实际问题。

三、教学过程（一）导入通过一道小学数学竞赛的题目引入矩形概念，让学生感受矩形的神奇之处。

（二）讲授1.矩形的定义和性质：梳理矩形的定义和性质并通过图文并茂的方式呈现。

2.矩形的周长和面积：讲解计算矩形周长和面积的公式和方法，并通过例题让学生运用公式。

（三）练习1.基础练习：通过课本练习册上的练习题巩固学生的基础知识。

2.拓展练习：让学生完成一些扩展性的练习题，提高学生的解决问题能力。

（四）应用让学生应用所学知识解决实际的问题，如计算教室、篮球场等矩形空间的周长和面积。

（五）归纳总结帮助学生对所学知识进行归纳总结，并进行讨论。

四、课堂互动1.小组合作：让学生分组合作完成矩形的周长和面积计算题目，促进学生的合作和交流能力。

2.学生提问：提醒学生在学习中及时提出问题并进行交流，激发他们的学习兴趣。

五、课堂作业完成练习册上的相关题目，并尝试将所学知识运用到实际生活中。

六、教学反思在讲授过程中，应适时对学生所掌握的知识点进行复习和巩固，注重学生的学习效果。

在练习环节，要注重对学生的引导和支持，让学生自主探究并及时纠正错误。

同时，应注重对学生综合应用能力的培养，帮助学生将所学知识应用到实际生活中，提高学生的课堂参与度和学习成效。

矩形培优讲义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：1、若一个图形是矩形，则首先它是一个平行四边形，同时它必须有一个角是直角。

2、矩形的定义既是矩形的性质，也是矩形的一种判定方法。

性质：矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.注意：1、矩形的性质是求线段的长度、角度等问题常用的知识，它可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。

2、由于矩形四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决。

3、矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此，在解决相等问题时，常常用到等腰三角形的性质。

判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

类型一矩形的性质(2020﹒淮南模拟）在一张长为8cm,宽为6cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5cm的等腰三角形，等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上．这个等腰三角形剪法有（）A．1B．2C．3D．4【考点】等腰三角形的性质；矩形的性质．②当∠A为底角时，有两种情况：如图2，图3，此时AE＝EF＝5cm．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，矩形的性质，勾股定理的应用，能进行分类讨论是解此题的关键．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积为_ __【答案】30矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_ ，矩形的面积为__ __．【答案】40c m 400cm2类型二矩形的判定如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【答案】A如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件 _，使▱ABCD是矩形．【答案】AO＝BO(答案不唯一)基础1.如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是（）A．．．．2.如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm答案与解析1.【答案】A2.【答案】C提高1.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．2.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_ _ _．答案与解析1.【答案】52.【答案】(8，4)，(3，4)或(2，4)能力(2019春﹒锦江区期末）如图，在长方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在CD 上，且满足BE ＝CF ＝a ,AB ＝EC ＝b ．（1）判断△AEF 的形状，并证明你的结论；（2）请用含a ，b 的代数式表示△AEF 的面积；（3）当△ABE 的面积为24,BC 长为14时，求△ADF 的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变”【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形正方形；推理能力．【分析】（1）证明△ABE ≌△ECF (SAS ),得出AE ＝EF ,∠BAE ＝∠CEF ,证出∠AEF ＝90°,即可得出△AEF 是等腰直角三角形；（2）由勾股定理得出AE 2＝AB 2＋BE 2＝a 2＋b 2,由三角形面积公式即可得出答案；（3）求出ab ＝48，由题意得出(a ＋b )2＝142,求出a 2＋b 2＝100,得出(a －b )2＝4，证出b －a ＝2，由三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：(1)△AEF 是等腰直角三角形，理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°,AD ＝BC ＝a ＋b , 在△ABE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CE∠B ＝∠C BE ＝CF， ∴△ABE ≌△ECF (SAS ),∴AE ＝EF ,∠BAE ＝∠CEF ,∵∠BAE ＋∠AEB ＝90°,∴∠CEF ＋∠AEB ＝90°,∴∠AEF ＝90°,∴△AEF 是等腰直角三角形；（2）∵∠B ＝90°,BE ＝CF ＝a ,AB ＝CE ＝b ，∴AE 2＝AB 2＋BE 2＝a 2＋b 2,∴△AEF 的面积＝12AE ×EF ＝12AE 2＝12()a 2＋b 2; （3）∵△ABE 的面积＝24＝12ab , ∴ab ＝48，∵BC ＝14，∴a ＋b ＝14，∴(a ＋b )2＝142,∴a 2＋2ab ＋b 2＝196,∴a 2＋b 2＝100,∴a 2－2ab ＋b 2＝100－96＝4，即(a －b )2＝4，∵CD ＞F ,∴b ＞a ,∴b －a ＝2，∴△ADF 的面积＝12AD ×DF ＝12BC ×(b －a )＝12×14×2＝14．【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．课后练习1. 如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为（ ）2. 矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（ ）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行3. 用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A ．①④⑤B ．②⑤⑥C ．①②③D ．①②⑤答案与解析1.【答案】A ．2.【答案】C3.【答案】DS ＝4S ＝2巩固练习1. 如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．答案与解析1.【答案】：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥A D .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21B C .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝32真题预测1.(2020﹒舟山模拟）已知，如图：在矩形ABCD 中，点M 、N 在边AD 上，且AM ＝DN ，求证：BN ＝CM ．【考点】矩形的性质．【专题】证明题．【分析】首先根据AM ＝DN 得到AN ＝MD ，再由矩形的性质得到AB ＝CD ,∠A ＝∠D ，进而得到△ABN ≌△DCM ,于是得出结论．【解答】解：∵AM ＝DN ，∴AM ＋MN ＝MN ＋ND ,∴AN ＝MD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ,∠A ＝∠D ，在△ABN 和△DCM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD∠A ＝∠D AN ＝MD ， ∴△ABN ≌△DCM ,∴BN ＝CM ．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解答本题的关键是证明△ABN ≌△DCM ．2.(2020﹒龙岗区校级模拟）如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE＝AC，连接AE，点F是AE的中点，连接BF、DF，求证：BF⊥DF．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质．矩形“七十二变"证明：延长BF，交DA的延长线于点M，连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴MD∥BC,∴∠AMF＝∠EBF,∠E＝∠MAF,又FA＝FE，∴△AFM≌△EFB,∴AM＝BE,FB＝FM，∵矩形ABCD中，∴AC＝BD,AD＝BC，∴BC＋BE＝AD＋AM,即CE＝MD，∵CE＝AC，∴AC＝CE＝DM，∵FB＝FM，∴BF⊥DF．【点评】本题考查了矩形各内角为直角的性质，全等三角形的判定和对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，本题中求证DB＝DM是解题的关键．3.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．【考点】平行四边形的性质；矩形的判定．矩形的判定理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠ABC＋∠BCD＝180°,∵BH,CH分别平分∠ABC与∠BCD,∴∠HBC ＝12∠ABC ,∠HCB ＝12∠BCD , ∴∠HBC ＋∠HCB ＝12(∠ABC ＋∠BCD )＝12×180°＝90°, ∴∠H ＝90°,同理∠HEF ＝∠F ＝90°,∴四边形EFGH 是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的定义，平行线的性质。