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第三章 随机向量1．解：222247112121322322447722211323224477223247{0,0}0;{0,1}0;1{0,2};{1,0}0;3566{1,1};{1,2};3535312{2,0};{2,1};35353{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================3132473132472{3,0};352{3,1};{3,2}035C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========2．解：2421302 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1181813(2){1,3}[(6)]881127(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)82321(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞+∞-∞-∞+∞+∞==--=∴=∴=<<=--=<=+∞=--=-=+≤=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2422020112(46)823x x x dx -=-+=⎰⎰⎰ 3．解：20124.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0xX yY y x dy x xx f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞-∞+∞-∞⎧-=-≤≤⎪ ==⎨⎪⎩⎧-=-+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它4．解：00()(,)00()(,)0y x x X yy y Y e dy ex f x f x y dy e dx yey f y f x y dx +∞--+∞-∞--+∞-∞⎧=>⎪ ==⎨⎪⎩⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它5． 解：2222221112222000101(1)()0101,0,(,)()()20401{}[](1)121(1)(0)]0.1445X yX Y y x xx x f x ex y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx----<<⎧ =⎨⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰⎰其它因为相互独立,所以其它(2)方程有实根则=4即6． 解：（1）21114(,)121xF dx cxydy c-+∞+∞===⎰⎰ 故 214c = （2）2224121(1)214,11()80,X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它2527,01()20,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布故1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩其它 则1y e <<又xy e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y于是'1,11(ln )()00,y ey yg y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩g 其它 （2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为12()y h y e-=故 '21[()](()),0()200,0yf h y h y e yg y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩g 8．解法1： 由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量， 由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰可得当0z ≤时， ()Z f z =0当01z <<时， 0()1zy z Z f z e dy e --==-⎰当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤11()zy z z Z z f z e dy e e ----==-⎰解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。
第三章 随机向量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题与答案详解（答案在最后）1．已知随机变量()1,3~-N ξ，()1,2~N η，且随机变量ηξ,相互独立，则~72+-ηξ ．2．设随机变量ηξ,相互独立，且均服从[]3,1区间上的均匀分布，令{}a A ≤=ξ，{}a B >=η，已知()97=B A P ，则常数=a ．3．设随机变量ηξ,独立同分布，且ξ服从二点分布()5.0,1b ，则随机变量{}ηξ,max =X 的分布律为 ． 4．假设ηξ,为随机变量，且()730,0=≥≥ηξP ，()()7400=≥=≥ηξP P ，则{}()=≥0,max ηξP ． 5．设随机变量ηξ,相互独立，下表给出了()ηξ,联合分布律和边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．6．设随机变量i ξ()2,1=i 的分布律为i ξ －1 0 1P 0.25 0.5 0.25且()1021==ξξP ，则()==21ξξP ．7．假设随机变量()ηξ,的联合分布律为则q p ,应满足 ．若随机变量ηξ,相互独立，则=p ，=q ．8．假设盒子中装有3只黑球，2只红球，2只白球，从盒子中任取4只球，求黑球数ξ和红球数η的联合分布律和边缘分布律．9．掷一颗均匀骰子二次，设随机变量ξ表示第一次出现的点数，随机变量η表示两次出现点数的最大值，求二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布律和边缘分布律．10．假设随机变量ξ服从参数为1=λ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=ii i ξξη，，，10 ()2 , 1=i ，求()21,ηη的联合分布律．11．设随机变量()ηξ,的联合分布律为求：(1) 常数k ； (2) ()2,21≥≤≤ηξP ； (3) ()2≥ξP ； (4) ()2<ηP ；(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律和在2=η条件下ξ的条件分布律； (6) 随机变量ηξ,是否相互独立．12．若随机变量ηξ,相互独立，且随机变量ηξ,的分布律分别为：ξ－3 －2 －1 P 0.25 0.25 0.5 求：(1) ()ηξ,的联合分布律；(2) ηξ+2的分布律．13．设随机变量ηξ,独立同分布，均服从二点分布()p b ,1，记⎩⎨⎧++=为偶数，若，为奇数，若，ηξηξζ01问p 为何值时，ξ和ζ相互独立．14．知随机变量ηξ,互不相关，且随机变量ηξ,的分布律分别为： ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 其中b a q p ,,,均为大于零的常数，证明随机变量ηξ,相互独立．15．设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它，，，，，042206,y x y x k y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()4≤+ηξP ； (4) ()3,1<<ηξP ； (5) ()5.1<ξP ；(6) 随机变量ηξ,是否相互独立；(7) 条件密度函数()y x f ηξ，()x y f ξη．16．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=其它，，，，01,22y x y kx y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()ηξ<P ； (4) 随机变量ηξ,是否相互独立．17．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧>>=--其它，，，，，0002,2y x e y x f y x ， 求ηξζ2+=的密度函数．答案详解1．()5,0N 2．由()97=B A P 及ηξ,相互独立得，()92=B A P ，由此得 922123=-⋅-a a ，解得：35=a 或37 3．X 0 1P 0.25 0.75 4．{}()=≥0,max ηξP ()00≥≥ηξ或P()+≥=0ξP ()-≥0ηP ()=≥≥0,0ηξP 755．由()()()11211,,y P y x P y x P ====+==ηηξηξ，可得()===11,y x P ηξ241， 因为ηξ,相互独立，所以()()()1111,y P x P y x P =====ηξηξ， 由此得()==1x P ξ41，由()()121==+=x P x P ξξ，可得()==2x P ξ43，由()()()()1312111,,,x P y x P y x P y x P ====+==+==ξηξηξηξ得()===31,y x P ηξ121，因为ηξ,相互独立，所以()()()3131,y P x P y x P =====ηξηξ， 由此得()==3y P η31，由()==3y P η()()3231,,y x P y x P ==+==ηξηξ，可得()===32,y x P ηξ41，由()()()1321==+=+=y P y P y P ηηη 可得()==2y P η1，由联合分布律性质可得()===22,y x P ηξ3，6．设,的联合分布律为：由()1021==ξξP 得：011=p ，013=p ，031=p ，033=p 由()11-=ξP 11p =12p +13p +得：25.012=p ， 由()12-=ξP 11p =21p +31p +得：25.021=p ， 由()12=ξP 13p =23p +33p +得：25.023=p ， 由()11=ξP 31p =32p +33p +得：25.032=p ，由联合分布律性质可得：022=p （也可用()5.001==ξP 得到） 所以()==21ξξP ()+-=-=1,121ξξP ()0,021==ξξP ()01,121===+ξξP7．7=+q p ，101=p ，152=q 8．ξ 1 2 3 4 5 6P 61 61 61 61 61 61η 1 2 3 4 5 6 P 361 363 365 367 369 3611 10．()()2,10,021≤≤===ξξηηP P ()111--=≤=e P ξ， ()()2,11,021>≤===ξξηηP P 0=，()()2,10,121≤>===ξξηηP P ()2121---=≤<=e e P ξ， ()()2,11,121>>===ξξηηP P ()22-=>=e P ξ11．(1) 由联合分布律性质得：361=k(2) ()2,21≥≤≤ηξP ()2,1===ηξP ()3,1==+ηξP()2,2==+ηξP ()3,2==+ηξP 3615= (3) ()2≥ξP ()2==ξP ()3=+ξP 3630=(4) ()2<ηP ()1==ηP 366=(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律为()11==ξηP ()()11,1====ξηξP P 61366361==()12==ξηP ()()12,1====ξηξP P 31366362==()13==ξηP ()()13,1====ξηξP P 21366363==在2=η条件下ξ的条件分布律为()21==ηξP ()()22,1====ηηξP P 613612362==()22==ηξP ()()22,2====ηηξP P 313612364== ()23==ηξP ()()22,3====ηηξP P 213612366==(6) 因为()()()j P i P j i P =====ηξηξ,，故ξ与η独立12．(1) 因为随机变量ηξ,相互独立，所以()j i P ==ηξ,()j i P ===ηξ,，由此得()ηξ,的联合分布律为：(2) ηξ+2 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 P 0.1 0.05 0.2 0.05 0.3 0.1 0.213．()0,0==ζξP ()0,0===ηξP ()21p -=，()1,0==ζξP ()1,0===ηξP ()p p -=1， ()0,1==ζξP ()1,1===ηξP 2p =， ()1,1==ζξP ()0,1===ηξP ()p p -=1，因为ξ和ζ相互独立，所以()1,0==ζξP ()0==ξP ()1=ζP ，由此得()()()p p p p p -⋅-=-1211，从而5.0=p而随机变量ηξ,的边缘分布律分别ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 所以q p p =+1211，p p p =+2221，b p p =+2111，a p p =+2212，又因为随机变量ηξ,不相关，所以()0,22=-=-=a p p E E E Cov ηξξηηξ，由上述式子得：a p p =22，aq a p a p =-=12， pb pa p p =-=21，bq aq q p =-=11，由此容易验证时()()()j P i P j i P =====ηξηξ,， ()1,0,=j i所以随机变量ηξ,相互独立15．(1) 因()1,2=⎰⎰R dxdy y x f ，即()⎰⎰=--204216dy y x k dx ，解得81=k (2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⎰其它，，，02068142x dy y x ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，020341x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它．，，，042541y y (3) ()4≤+ηξP ()⎰⎰≤+=4,y x dxdy y x f ()326812042=--=⎰⎰-x dy y x dx (4) ()3,1<<ηξP ()83681132=--=⎰⎰dy y x dx (5) ()5.1<ξP ()42,5.1≤≤<=ηξP ()32276815.1042=--=⎰⎰dy y x dx(6) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，故ξ与η不独立(7) 当42≤≤y 时，()y x f ηξ()()y f y x f η,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，，0202106x y yx 当20≤≤x 时，()x y f ξη()()x f y x f ξ,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，042266y x yx 16．(1) 由()⎰⎰⎰⎰-==11121,22x R ydy kx dx dxdy y x f ，得421=k(2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=⎰101421122x x ydy x x ，，， ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=，，，，101182142x x x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，0102725y y (3) ()ηξ<P ()⎰⎰<=yx dxdy y x f ,2017421102==⎰⎰-y y ydx x dy(4) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，所以ξ与η不独立 17．因为()()z P z F ≤=ζζ()z P ≤+=ηξ2()⎰⎰≤+=z y x dxdy y x f 2,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰⎰---00020202z z dy e dx zx z y x ，，，⎩⎨⎧≤>--=--，，，，0001z z e z e z z 所以()()⎩⎨⎧≤>==-000z z e z dzz dF z f z ，，，ζζ。
大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。
简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。
(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。
设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。
