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五点十字交叉法 巧解一维弹性碰撞张㊀勇(安徽省濉溪中学ꎬ安徽淮北２３５１００)摘㊀要:一维弹性碰撞问题是高中物理中的典型问题ꎬ也是高考的重点和难点.碰后速度的二级结论能有效地减少计算时间ꎬ提高解题效率.但是学生在记忆结论时候容易出错ꎬ究其原因是对一维弹性碰撞不理解.笔者结合弹性碰撞创设物理情景ꎬ结合二级结论进一步计算ꎬ简化结论并把结论融合到图像中ꎬ再结合 五点十字交叉法 帮助学生深度学习一维弹性碰撞.关键词:一维弹性碰撞ꎻ五点十字交叉法ꎻ解题效率中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－０１１１－０３收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:张勇(１９８７.９－)ꎬ男ꎬ安徽省淮北人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究.基金项目:本课题系２０２３年淮北市教育科学研究课题 核心素养视角下: 情境问题式 课堂教学实践研究(ＨＢＪＫ２３２１１)阶段成果之一㊀㊀图像是数形结合的一种产物ꎬ在物理学习过程中占有重要地位.物理学习过程中要求学生掌握并理解很多概念及结论ꎬ若死记硬背则会变得枯燥无味且容易遗忘ꎬ例如一维弹性碰撞与 二级结论 的学习及记忆.虽然二级结论的记忆在解题时能够提高我们的解题速度ꎬ但是书上基本模型推导的二级结论结构繁琐ꎬ学生机械地记忆容易出错.为了提高学生对碰撞的深刻理解和掌握ꎬ我们可以结合弹性碰撞基本模型的二级结论ꎬ进一步简化并把结论融合到图像中ꎬ把抽象的结论图形化ꎬ易于学生学习.１一维弹性碰撞的基本模型如图１所示ꎬ地面光滑ꎬ物体ｍ１以速度ｖ１与物体ｍ２以速度ｖ２发生弹性碰撞ꎬ碰后它们的速度分别为ｖᶄ１和ｖᶄ２ꎬ求ｖᶄ１㊁ｖᶄ２.解㊀由动量守恒得:ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２＝ｍ１ｖᶄ１＋ｍ２ｖᶄ２图１㊀一维弹性碰撞由机械能守恒得:１２ｍ１ｖ２１＋１２ｍ２ｖ２２＝１２ｍ１ｖᶄ２１＋１２ｍ２ｖᶄ２２联立得:ｖᶄ１＝ｍ１－ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ１＋２ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ２①ｖᶄ２＝ｍ２－ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ２＋２ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ１②①②两式是常用二级结论ꎬ在高考和平时考试中有广泛应用ꎬ但是学生在记忆过程中容易出错.为了方便记忆ꎬ提高考试效率ꎬ从上述两式出发ꎬ我们能得出如下结论.１.１碰撞前后速度的相对相反性由①－②得ｖᶄ１－ｖᶄ２＝ｍ１－ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ１－２ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ１＋２ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ２－ｍ２－ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ２＝－(ｖ１－ｖ２)ꎬ令ｖᶄ１２＝ｖᶄ１－１１１ｖᶄ２(表示碰后ｍ１球相对ｍ２球的速度)ꎬｖ１２＝ｖ１－ｖ２(表示碰前ｍ１球相对ｍ２球的速度)可得:ｖᶄ１２＝－ｖ１２③由③式可知ꎬ若以小球ｍ２为参考系ꎬ那么碰撞前后ꎬｍ１相对于ｍ２的速度大小相等方向相反(同理ｖᶄ２１＝－ｖ２１也成立).结论１㊀两球发生一维弹性碰撞ꎬ那么碰撞前后两球的相对速度大小相等ꎬ方向相反.即:碰撞前两物体的 靠近速度 等于碰撞后两物体的 远离速度 .１.２碰撞过程的中心对称性图１中弹性碰撞ꎬ两球在刚接触时(速度为ｖ１和ｖ２)到两球形变最大达到共同速度ｖꎬ两球由形变最大到弹开恢复原状(两球速度为ｖᶄ１和ｖᶄ２).因为将两球相互作用力与此处形变视作一般的线性关系ꎬ为了方便观察ꎬ这一过程类比图２ꎬ两球之间加一轻质弹簧且弹簧压缩到最短时两球有共同速度ｖꎬ弹簧恢复原长两球速度为ｖᶄ１和ｖᶄ２[１].图２㊀类比含轻质弹簧碰撞现以ｍ１球为例ꎬ当弹簧被挤压至最短ꎬ小球速度由ｖ１变为ｖꎬ当弹簧被放开恢复到原长ꎬ小球速度由ｖ变为ｖᶄ１.因为弹簧弹力与此处形变量呈线性关系ꎬ压缩与放开这两个过程对称ꎬ小球ｍ１所受冲量与动量变化量均相同ꎬ即速度变化量相同:ｖ－ｖ１＝ｖᶄ１－ｖꎬ得:ｖᶄ１＝２ｖ－ｖ１④同理对小球ｍ２有ｖᶄ２＝２ｖ－ｖ２⑤其中ｖ＝ｖ共＝ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２ｍ１＋ｍ２是两球共同速度.我们用数学方法验证④⑤两式:把ｖ＝ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２ｍ１＋ｍ２带入④⑤两式:ｖᶄ１＝２ｍ１ｖ１＋２ｍ２ｖ２－ｍ１ｖ１－ｍ２ｖ１ｍ１＋ｍ２＝ｍ１－ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ１＋２ｍ２ｍ１＋ｍ２ｖ２ꎬｖᶄ２＝２ｍ１ｖ１＋２ｍ２ｖ２－ｍ１ｖ２－ｍ２ｖ２ｍ１＋ｍ２＝ｍ２－ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ２＋２ｍ１ｍ１＋ｍ２ｖ１ꎬ结果与①②两式相同.结论２㊀在弹性碰撞中知道两球碰前速度ꎬ只需将两球碰撞过程中共同速度ｖ求解出来ꎬ由ｖᶄ１＝２ｖ－ｖ１ꎬｖᶄ２＝２ｖ－ｖ２两式即可得到小球碰后速度.即:碰撞后物体的速度为两倍共同速度减去初速度[２].①②弹性碰撞的二级结论十分繁琐ꎬ虽然经过化简得到了方便学生记忆的③④⑤式ꎬ提高了学生解题效率ꎬ降低了出错率ꎬ但是公式文字的叙述枯燥无味且易遗忘.图像是数形结合的一种产物ꎬ直观的表现物理活动中两个量之间的相互关系ꎬ物理图像法是物理教学中的常用方法ꎬ若把上述公式结论图形化ꎬ能让学生对碰撞知识的学习和记忆简单化.１.３五点十字交叉法物理学中的图像是一种特殊的语言ꎬ内容丰富却又言简意赅ꎬ若把③④⑤式进一步分析ꎬ融合到图像中ꎬ学习过程中会让学生收到事半功倍的效果.由③④⑤式ꎬｖ１－ｖ２＝ｖᶄ２－ｖᶄ１ꎬｖ１－ｖ共＝ｖ共－ｖᶄ１ꎬｖ共－ｖ２＝ｖᶄ２－ｖ共ꎬ我们绘制 五点十字交叉法 示意图ꎬ图像并非故弄玄虚.如图３所示ꎬ图线交叉倾斜表示在碰撞过程中ꎬ质量为ｍ１物体由ｖ１变为ｖᶄ１做减速运动ꎬｍ２物体则加速运动.线段ｖ１ｖ２与线段ｖᶄ２ｖᶄ１长度相等这与③式符合.④⑤两式则在线段ｖ１ｖ共与线段ｖ共ｖᶄ１及线段ｖ共ｖ２与线段ｖᶄ２ｖ共长度相等中得以体现.图像中的ｖａｖｂ则是介于完全弹性碰撞与完全非弹性碰撞之间的一般碰撞情况. 五点十字交叉法 体现了物体碰撞过程中加速和减速的特点ꎬ借助图像ꎬ对于碰撞中的有些物理量的理解及计算会变得简单一些.下面我们结合示例展示 五点十字交叉法 优越性.图３㊀五点十字交叉图２１１２示例应用例１㊀如图４光滑水平面上有一质量ｍ１＝１ｋｇ的Ａ球和一质量ｍ２＝１.５ｋｇ的Ｂ球同向运动.已知Ａ球初速度ｖ１＝１０ｍ/ｓꎬＢ球的初速度ｖ２＝５ｍ/ｓꎬ运动一段时间后ꎬ两球发生对心正碰ꎬ下列说法正确的是(㊀㊀).图４㊀例１题图Ａ.碰撞后ꎬＡ球的速度可能为５ｍ/ｓＢ.碰撞的过程中ꎬ系统损失的机械能可能为８ＪＣ.当两球发生的碰撞是弹性碰撞ꎬＡ球对Ｂ球的冲量为７.５Ｎ ｓＤ.当两球发生的碰撞是完全非弹性碰撞时ꎬＡ球对Ｂ球的冲量为３Ｎ ｓ解析㊀由ｖ共＝ｍ１ｖ１＋ｍ２ｖ２ｍ１＋ｍ２＝７ｍ/ｓ由 五点十字交叉法 易得:ｖᶄ１＝４ｍ/ｓꎬｖᶄ２＝９ｍ/ｓ.故碰后Ａ的速度可能为５ｍ/ｓꎬＡ项正确.完全非弹性碰撞损失能量最大ꎬＡ球损失动能为１２ｍ１(ｖ２共－ｖ２１)＝－２５.５Ｊꎬ － 表示Ａ球碰后动能损失ꎬＢ球增加动能１２ｍ２(ｖ２共－ｖ２２)＝１８Ｊꎬ系统动能最多损失７.５Ｊꎬ故Ｂ错误.当两球发生弹性碰撞时ꎬＢ球速度增加量为４ｍ/ｓꎬ动量增加量为６ｋｇ ｍ/ｓꎬ故Ａ对Ｂ球冲量为６Ｎ ｓꎬＣ项错误.当两球发生完全非弹性碰撞时ꎬＢ球速度增加量为２ｍ/ｓꎬ动量增加量为３ｋｇ ｍ/ｓꎬ故Ａ对Ｂ球冲量为３Ｎ ｓꎬＤ项正确ꎬ故本题选ＡＤ.图５㊀例１解析图点评㊀本题由题目条件解得共同速度后ꎬ结合 五点十字交叉法 能快速解得完全弹性碰撞后的速度ꎬ比起记忆二级结论更简便且正确率高ꎬ为考试节约了时间.例２㊀质量为１ｋｇ的小球以４ｍ/ｓ的速度与质量为２ｋｇ的静止小球正碰ꎬ关于碰后的速度ｖ１ᶄ和ｖ２ᶄꎬ下面可能正确的是(㊀㊀).Ａ.ｖ１ᶄ＝ｖ２ᶄ＝４３ｍ/ｓＢ.ｖ１ᶄ＝３ｍ/ｓꎬｖ２ᶄ＝０.５ｍ/ｓＣ.ｖ１ᶄ＝１ｍ/ｓꎬｖ２ᶄ＝３ｍ/ｓＤ.ｖ１ᶄ＝－１ｍ/ｓꎬｖ２ᶄ＝２.５ｍ/ｓ答案:ＡＤ.点评㊀本题常规方法是碰撞前后总动量守恒㊁动能不增加㊁碰撞前后速度合理ꎬ学生在做这类题目耗时长ꎬ计算量大易出错.若采用 五点十字交叉法 答案显而易见ꎬ而且很大程度上简化了繁琐的计算过程ꎬ提高了学生的计算正确率及做题效率.两球发生一维弹性碰撞ꎬ那么碰撞前后两球的相对速度大小相等ꎬ方向相反.碰撞过程中心对称.即碰撞前两物体的 靠近速度 等于碰撞后两物体的 远离速度 ㊁碰撞后物体的速度为两倍共同速度减去初速度.上述两个结论融合到 五点十字交叉法 图像中ꎬ极大提高了学生解题正确率及做题效率.结合图像３令ｅ＝ｖᶄ２－ｖᶄ１ｖ１－ｖ２其中ｖᶄ２－ｖᶄ１为线段ｖᶄ２ｖᶄ１的长度ꎬｖ１－ｖ２为线段ｖ１ｖ２的长度ꎬ若ｅ＝１则是完全弹性碰撞ꎬｅ＝０则是完全非弹性碰撞ꎬ０<ｅ<１则是一般碰撞.其中ｅ就是碰撞恢复系数ꎬ有兴趣的同学可以自行学习.参考文献:[１]庞延理.巧解一维弹性碰撞[Ｊ].湖南中学物理ꎬ２０１９ꎬ３４(０６):８９－９０ꎬ９６.[２]郑金.利用弹性碰撞的结论巧解一道高考题[Ｊ].物理之友ꎬ２０１５ꎬ３１(０７):３１－３２.[责任编辑:李㊀璟]３１１。
高一物理《弹性碰撞和非弹性碰撞》知识点总结
一、弹性碰撞和非弹性碰撞
1．弹性碰撞：系统在碰撞前后动能不变．
2．非弹性碰撞：系统在碰撞前后动能减少．
二、弹性碰撞的实例分析
在光滑水平面上质量为m 1的小球以速度v 1与质量为m 2的静止小球发生弹性正碰．碰后m 1小球的速度为v 1′，m 2小球的速度为v 2′，根据动量守恒定律和能量守恒定律：
m 1v 1＝m 1v 1′＋m 2v 2′；12m 1v 12＝12m 1v 1′2＋12
m 2v 2′2 解出碰后两个物体的速度分别为
v 1′＝m 1－m 2m 1＋m 2v 1，v 2′＝2m 1m 1＋m 2v 1
. (1)若m 1>m 2，v 1′和v 2′都是正值，表示v 1′和v 2′都与v 1方向同向．(若m 1≫m 2，v 1′＝v 1，v 2′＝2v 1，表示m 1的速度不变，m 2以2v 1的速度被撞出去)
(2)若m 1<m 2，v 1′为负值，表示v 1′与v 1方向相反，m 1被弹回．(若m 1≪m 2，v 1′＝－v 1，v 2′＝0，表示m 1被反向以原速率弹回，而m 2仍静止)
(3)若m 1＝m 2，则有v 1′＝0，v 2′＝v 1，即碰撞后两球速度互换．。
1 12 1 1 2 教学设计一、引入新课1666 年，英国皇家学会做了一个实验，在当时引起了极大的轰动。
今天，我要重做这个实验，看看是否能够引起举世瞩目。
【演示实验】两个钢球的牛顿摆，演示等质量小球弹性碰撞，速度交换。
很明显，我的这个实验没有引起什么太大的轰动，因为过去的人没怎么学好物理，而我们现代人都学了物理。
【课件展示】两张动图：一张古代人用黏土容器做牛顿摆失败的动图，一张电灯泡做牛顿摆的美丽动图。
二、新课教学【知识回顾】(1)动量守恒定律的条件是什么(2)动量守恒定律的表达式？答案点拨：(1)不受外力或所受外力合力为零。
（2）m v+m v =m v' +m v'【自主预习】碰撞的特点：(1)碰撞时间非常短，可以忽略不计。
2 2(2)碰撞过程中内力往往远大于外力，系统所受外力可以忽略不计，所以系统的动量守恒。
（一）不同类型的碰撞【课件展示】利用多媒体课件展示碰撞的分类。
(1)非弹性碰撞：碰撞过程中有动能损失，即动能不守恒。
(2)完全非弹性碰撞：碰撞后物体结合在一起，动能损失最大。
(3)弹性碰撞：物体碰撞后，形变能够完全恢复，不发热、发声，没有动能损失，又称为完全弹性碰撞。
问题：日常生活中哪些是弹性碰撞，哪些是完全非弹性碰撞？答案点拨：台球的子球和母球之间的碰撞、保龄球的碰撞是弹性碰撞；子弹打入木块是完全非弹性碰撞。
问题：碰撞过程中动量和动能满足什么条件？同向运动的两小球相碰后同向运动，两小球的速度满足什么条件？【课件展示】碰撞满足的条件:(1)动量守恒，即p1＋p2 = p1′＋p2′。
(2)动能不增加，即Ek1＋Ek2 ≥ Ek1′＋Ek2′。
(3)碰撞只发生一次：碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体的速度大于或等于原来在后面的物体的速度。
【例题1】(单选)如图1 所示质量相等的A、B 两个球，原来在光滑水平面上沿同一直线相向做匀速直线运动，A 球的速度是6 m/s，B 球的速度是－2 m/s，不久A、B 两球发生了对心碰撞．对于该碰撞之后的A、B 两球的速度可能值，某实验小组的同学们做了很多种猜测，下面的各种猜测结果一定无法实现的是( )A.v A′＝－2 m/s，v B′＝6 m/sB.v A′＝2 m/s，v B′＝2 m/sC.v A′＝1 m/s，v B′＝3 m/sD.v A′＝－3 m/s，v B′＝7 m/s答案点拨：D（二）一维弹性碰撞的实验研究和规律【探究实验】猜想：引导学生先“猜一猜”质量较大的球与静止的质量较小的球发生弹性碰撞，碰撞的特点是什么样的？质量较小的球与静止的质量较大的球发生弹性碰撞，碰撞的特点又是什么样的？设计实验：引导学生提出实验方案。
高考物理备考微专题精准突破专题3.11一维碰撞问题分析【专题诠释】1．碰撞遵守的规律(1)动量守恒，即p 1＋p 2＝p ′1＋p ′2.(2)动能不增加，即E k1＋E k2≥E ′k1＋E ′k2或p 212m 1＋p 222m 2≥p ′212m 1＋p ′222m 2.(3)速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即v 后>v 前，否则无法实现碰撞．碰撞后，原来在前面的物体的速度一定增大，且原来在前面的物体速度大于或等于原来在后面的物体的速度，即v ′前≥v ′后，否则碰撞没有结束．如果碰前两物体相向运动，则碰后两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零．2．碰撞模型类型(1)弹性碰撞两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒．以质量为m 1、速度为v 1的小球与质量为m 2的静止小球发生正面弹性碰撞为例，有m 1v 1＝m 1v ′1＋m 2v ′212m 1v 21＝12m 1v ′21＋12m 2v ′22解得v ′1＝（m 1－m 2）v 1m 1＋m 2，v ′2＝2m 1v 1m 1＋m 2.结论：①当两球质量相等时，v ′1＝0，v ′2＝v 1，两球碰撞后交换了速度．②当质量大的球碰质量小的球时，v ′1>0，v ′2>0，碰撞后两球都沿速度v 1的方向运动．③当质量小的球碰质量大的球时，v ′1<0，v ′2>0，碰撞后质量小的球被反弹回来．④撞前相对速度与撞后相对速度大小相等．(2)完全非弹性碰撞①撞后共速．②有动能损失，且损失最多．【高考领航】【2016·高考全国卷Ⅲ】如图所示，水平地面上有两个静止的小物块a 和b ，其连线与墙垂直；a 和b 相距l ，b 与墙之间也相距l ；a 的质量为m ，b 的质量为34m .两物块与地面间的动摩擦因数均相同．现使a 以初速度v 0向右滑动．此后a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞．重力加速度大小为g .求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件．【答案】32v 20113gl ≤μ<v 202gl【解析】设物块与地面间的动摩擦因数为μ.若要物块a 、b 能够发生碰撞，应有12mv 20>μmgl ①即μ<v 202gl②设在a 、b 发生弹性碰撞前的瞬间，a 的速度大小为v 1.由能量守恒定律得12mv 20＝12mv 21＋μmgl ③设在a 、b 碰撞后的瞬间，a 、b 的速度大小分别为v 1′、v 2′，以向右为正方向，由动量守恒和能量守恒有mv 1＝mv 1′＋34mv 2′④12mv 21＝12mv 1′2＋12×34mv 2′2⑤联立④⑤式解得v 2′＝87v 1⑥由题意，b 没有与墙发生碰撞，由功能关系可知12×34mv 2′2≤μ·3m 4gl ⑦联立③⑥⑦式，可得μ≥32v 20113gl⑧联立②⑧式得，a 与b 发生弹性碰撞，但b 没有与墙发生碰撞的条件为32v 20113gl ≤μ<v 202gl.【2016·高考全国卷Ⅱ】如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上．某时刻小孩将冰块以相对冰面3m/s 的速度向斜面体推出，冰块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h ＝0.3m(h 小于斜面体的高度)．已知小孩与滑板的总质量为m 1＝30kg ，冰块的质量为m 2＝10kg ，小孩与滑板始终无相对运动．取重力加速度的大小g ＝10m/s 2.(1)求斜面体的质量；(2)通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？【答案】(1)20kg(2)见解析【解析】(1)规定向右为速度正方向．冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v ，斜面体的质量为m 3，由水平方向动量守恒和机械能守恒定律得m 2v 20＝(m 2＋m 3)v ①12m 2v 220＝12(m 2＋m 3)v 2＋m 2gh ②式中v 20＝－3m/s 为冰块推出时的速度，联立①②式并代入题给数据得m 3＝20kg.③(2)设小孩推出冰块后的速度为v 1，由动量守恒定律有m 1v 1＋m 2v 20＝0④代入数据得v 1＝1m/s ⑤设冰块与斜面体分离后的速度分别为v 2和v 3，由动量守恒和机械能守恒定律有m 2v 20＝m 2v 2＋m 3v 3⑥12m 2v 220＝12m 2v 22＋12m 3v 23⑦联立③⑥⑦式并代入数据得v 2＝1m/s ，由于冰块与斜面体分离后的速度与小孩推出冰块后的速度相同且处在后方，故冰块不能追上小孩．【技巧方法】1．碰撞现象满足的三个规律2．碰撞问题解题策略(1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解．(2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v ′1＝m 1－m 2m 1＋m 2v 1v ′2＝2m 1m 1＋m 2v 1(3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两球质量相等时，两球碰撞后交换速度．当m 1≫m 2，且v 2＝0时，碰后质量大的速率不变，质量小的速率为2v 1.当m 1≪m 2，且v 2＝0时，碰后质量小的球原速率反弹．【最新考向解码】【例1】(2019·四省名校高三第二次联考)某同学做了一个趣味实验，如图所示，有两个弹性小球A 、B 重叠放置，质量分别为m 1、m 2，两球球心在同一竖直线上。
2020年12月1日理科考试研究•综合版.39 •问题时往往会浅尝则止，知其然不知其所以然，不愿 意拓宽思路去做深入的分析.因此，要不断培养培育 钻研精神，提升心理承受压力的能力，从而促使自己在学科学习上更上一层楼.参考文献：[1 ]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准（2017 年版2020年修订）[M ].北京:人民教育出版社,2020:4 - 7.[2] 教育部考试中心.中国高考评价体系[M ].人民教育 出版社,2019:18 -27.[3] 程力，李勇.基于高考评价体系的物理科考试内容改 革实施路径[J ].中国考试,2019(12) :38 -44.[4] 李芬青.走出舒适区[J ].中小学心理健康教育,2019(29) ：26 -28.(收稿日期:2020-08 -12)鮮析一维殚性碰撞规律白双艳(云南师范大学附属中学云南昆明650006)摘要：本文先由一般情境下推导一维弹性碰撞的结论，再按照由一般到特殊的思路逐步揭示一维弹性碰撞规律,促进学习者运用物理核心要素——科学思维和科学探究形成正确的力与运动观.关键词：一维弹性碰撞；动量守恒；规律碰撞是应用动量守恒的重要情境之一，弹性碰撞 是碰撞的基本类型之一,一维弹性碰撞是弹性碰撞的最简单情境，也是教材重点阐述的内容.近年来高考 在考查动量守恒时，偏重于设置一维弹性碰撞情境， 如2016年全国新课标m 卷25题、2019年全国新课标 m 卷25题和2020年山东卷18题等.一维弹性碰撞的结论具有简洁性、对称性和普适 性.应用基本原理、理解并记忆结论，在分析物体作用 后的状态时，十分快捷，尤其是“等质量’和“一.动—■ 静”两种情境.本文在课本内容的基础上，推导出普适 结论，并结合常见条件，归纳弹性碰撞的重要结论.1一维弹性碰撞的普适规律实际教学中，一维弹性碰撞的规律一般是在“一 动一静”的简单情境下推导，不利于学生全面理解弹 性碰撞的本质规律，难以形成全面的力与运动观，故 笔者在这里做一般情境下的推导，再按照由一般到特 殊的思路逐步揭示一维弹性碰撞规律.①________©_____________图1如图1所示，在光滑水平面上，小球1和小球2质 量分别为叫和m 2，发生一维弹性碰撞.设碰前速度分 别为A 和,碰后速度分别为 < 和4在碰撞过程中动量守恒和机械能守恒，碰撞前、后瞬间的动能相等，有m xvx + m 2v2 =m x v \ + m 2V2①1 2 1 21,2Y m \vi +Y m ^2+ Y m 2V2②将质量相同的项移在同一侧，并提取公因式有m x{v x -v \) =m 2(v2 -v2)③y m , ( v\ - v\2 ) = Y m 2 ( V2~4)④由③和④式解得vx + v\ -v\ +v2⑤由⑤和③式可以解得<和K 为观察以上结果，不难发现公式的对称性和简洁 性.对于初、末机械能都是动能形式的系统机械能守 恒问题，上述速度的结论依然成立，这个结论具有普 适性.需要注意的是式中各项对应的并不是速率，而是速度，若其方向与规定正方向相反，需要带“负 号”运算.作者简介：白双艳（ 1975 -),女，黑龙江黑河人，教育硕士，中学高级教师，研究方向：中学物理学科教学.• 40 •理科考试研究•综合版2020年12月1日2 _维弹性碰撞的特殊规律高中阶段对弹性碰撞的考查基本都是在特殊情境 下设置问题，理解并熟记特殊结论可以快速判断运动 状态，提高应试能力.为了便于学生理解和掌握这些特 殊规律，本文采用理论推导、列表对比和口诀的形式， 展现科学思维和科学探究在物理学习中的实用价值.2. 1质量相同的情况（m , =m 2)结论:质量相等，速度交换.2.2“一动一静”的情况（巧#0，〜=0)可见，质量对碰后状态的决定作用，分情况讨论 如下：(1) m , >时，0 < 〜4 > a > 0，且 t ); < ，这意味着碰后：① 两球沿原方向运动；②动球的速度小于它的初速度，静球的速度大于动球的初速度；③ 动球的末速度小于静球的末速度.(2) m , <m 2 时，<0，< <«;,,这意味着碰后：① 动球反向运动，静球沿原方向运动；② 它们的速率均小于动球的初速率；③动球的速率与静球的速率大小关系仍和质量 有关.讨论如下：结论：当 A > 3m ,时，I I > I ；;;当 m 2 = 3m ,时，14 I = ;当< 3m ,时，I p; I <(3)极限思想的运用(1) w | ^>m 2,v '2 =21；!例如，汽车和横穿马路的行人相撞，车几乎不减速，而人将在车行驶方向上，以2倍的车速腾空飞起.(2) m ,-C 7n 2 ：v[ = -d , ,v '2 =0例如，骑自行车的人与路边乱停的汽车相撞，车 不动，而人将以原骑行速率反弹回去.表1弹性碰撞撞末速度表（规定^方向为正)ii关系\度〜#0，v 2 #0v ]7^0,v 2 =〇m丨=m 2v \ =V 2t ;； =0v ，2 =V l V2 =V l ^>m 2v lv 'l^v\t >2 =2^1 - v2t ；2 s s ：2v ]> m2同向运动且时的关系式：v2 <v \<y ,v\ <v 2 < 2t 'i -,0 << t ；2o <!；! < I ；,0 <v [ <v'2^1 <V2m丨v\=» 2l >2 - V jv2^ V2t >2 *« 〇mj < m 2同向运动且^时的关系式：2v 2 -v ]< v\ < v2 ,v 2 < 1'2 < 2v^ - v2<0,1 1 < V l ,0 <V 2 <v {m 2 > 3m ,,\v[\ >V 2；m 2=3m ,,< =l”J 1 ;m 2<3m ,,ll ；| 1 < t ；2笔者把上述特例的结论编了一个口诀，以帮助师 生记忆:全弹性、对心撞，质量相同换速度.一动一静 看质量:重撞轻,均原向，重慢轻快叹望洋；轻撞重，轻反向，三倍为界分伯仲.注意适量适用广!”2.3 系统初动量为零的情况m ,=A :w 2，j ;2 = -fa ;,.规定v 丨方向为正.I k ~ 1V'=r ^',2kV^k T \V'k + l k v .+ 1k v ', k + 1~ = 丨…'=><，,k‘ + k上式的含义是：若系统初动量为零，发生弹性碰撞后，两物体均等速率反弹.例题1如图2所示，4、B 、C 、Z ?、E 、F 六个等大的匀质 ^ (b X c X d X e X f )小球并排放在光滑的水平面_闲2上,《、C 、Z )、£质量相等,4球与厂球质量相等且小于其它四球.现4球以速度〜与 B 球相撞，所有碰撞均为弹性碰撞，下列关于碰后球 的运动情况的判断正确的是（）.A. 5个小球静止，1个小球运动2020年12月丨日理科考试研究•综合版• 41 •B. 4个小球静止,2个小球运动C. 3个小球静止，3个小球运动D. 6个小球运动解析根据以上结论，先撞，撞后反向运动，S 将沿原速度方向运动;随后B 与C 速度交换，以 此类推至£与F 相撞,£与F 均沿原方向运动，且F 比£运动快.综上，/l、£、F 共3球动，fi、C 、D 3球静 止.本题答案C.例题2如图3所示，两滑块4在光滑水平面上沿同一直线相向运动，滑块/»的质量是m ,速率为 2*；。
