第九章变化的电磁场

第 32 次课日期周次星期学时：2内容提要：第九章变化的电磁场§9.1 法拉第电磁感应定律一．楞次定律：电磁感应现象；感应电动势；楞次定律。

二．法拉第电磁感应定律三．应强调指出的几点四．磁流体发电目的要求：理解电动势的概念，掌握法拉第电磁感应定律。

重点与难点:1.用楞次定律判断感应电动势的方向；2.法拉第电磁感应定律的理解和应用。

教学思路及实施方案：本次课应强调：1. 法拉第电磁感应定律是电磁感应的基本实验规律。

电磁感应的关键是磁通量随时间变化。

由法拉第电磁感应定律：⎰⎰-=Φ-=∈smidsBdtddtdcos。

产生磁通量随时间的变化的方法有：（1）)(tBBϖϖ=，感生电动势；（2）导线运动，)(t ss=，动生电动势；（3）导线框转动，)(tθθ=，动生电动势；及其组合。

但是不论什么原因，只要≠Φdtdm，就要产生电动势。

2．感应电动势的方向实际上是非静电场力的方向3．楞次定律实质上是说明：感应电流的“效果”总是反抗引起感应电流的的“原因”。

是能量守恒和转化定律的必然结果。

教学内容：§9.1 法拉第电磁感应定律一．楞次定律1.电磁感应现象如图所示，将磁棒插入线圈Ａ的过程中，电流计的指针发生偏转，且偏转的角度大小与插入速度有关，插得越快，偏转角度越大。

这个现象也说明线圈A的回路中有感应电流产生。

由上述实验，当穿过闭合回路（如回路abcd，线圈A与电流计组成回路）的磁通量发生变化时，回路中将产生感应电流。

这种现象称作“电磁感应现象”。

2.感应电动势：导体闭合回路中有感应电流产生，说明回路中产生了电动势。

由磁通量随时间变化而产生的电动势叫感应电动势。

3．楞次定律感应电动势总具有这样的方向，即它产生的感应电流在回路中激发的磁场总是去阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。

以上结论又叫做楞次定律。

感应电流取楞次定律所述的方向，是能量守恒和转化定律的必然结果。

二．法拉第电磁感应定律从1822年到1831年间，法拉第做了大量有关实验，终于发现了电磁感应现象，并由实验归纳得出其规律是：感应电动势的大小与穿过回路的磁通量随时间的变化率成正比。

电 磁 学第九章时变电磁场和电磁波第九章 时变电磁场和电磁波我们已经接受了电场和磁场的各样基本规律。

作为最后一章，将要对这些规律加以总结。

麦克斯韦于 1865 年第一将这些规律概括为一组基本方程，此刻称之为麦克斯韦方程组。

依据它能够解决宏观电磁场的各种问题，特别是对于电磁波（包含光）的问题。

本章第一列出麦克斯韦方程组，并分别说明各方程的物理意义。

而后介绍电磁波的一般性质，包含此中电场和磁场的特点、能量和动量等。

§1 麦克斯韦方程组一、麦克斯韦方程组电磁学的基本规律是真空中的电磁场规律，它们是ISEdSq 1dV 00 VII SBdS 0IIIL E dld SB dSdt 0tIVLBdlI1 de0S(JEc 2dt) dSt这就是对于真空的 麦克斯韦方程组 的积分形式。

在已知电荷和电流散布的状况下， 这组特别能够给出电场和磁场的唯一散布。

特别是当初始条件给定后，这组方程还能唯一地预知电磁场今后变化的状况。

正像牛顿运动方程能完整描绘质点的动力学过程同样，麦克斯韦特别组能完整描绘电磁场的动力学过程。

二、方程组中各方程的物理意义方程 I 是写成的高斯定律，它说明电场强度和电荷的关系。

只管电场和磁场的变化也相关系（如感生电场） ，但总的电场和电荷的联系总听从这一高斯定律。

方程 II 是磁通连续定律， 它说明，当前的电磁场理论以为在自然界中没有单调的“磁荷（”磁单极子）存在。

方程 III 是法拉第电磁感觉定律，它说明变化的磁场和电场的联系。

固然电场荷电场和电荷也有联系，但总的电场和磁场的联系总切合这一规律。

方程 IV 是一般形式下的安培环路定理，它说明磁场和电流（即运动的电荷）以及变化的电场的联系。

为了求出电磁场对带电粒子的作用进而预知粒子的运动，还需要洛伦兹力公式F qE qv B这一公式其实是电场 E 和磁场 B 的定义。

§2电磁波电磁波在此刻信息技术和人类生活的各个方面已成为不行或缺的“工具”了，从电饭锅、微波炉、手机、广播、电视到卫星遥感、宇宙飞翔的控制等都要利用电磁波。

高二物理第九章总结知识点本文总结了高二物理第九章的重要知识点，旨在帮助同学们复习和回顾所学内容。

第九章主要涉及电磁感应、电磁场和电磁波三个方面的内容，并介绍了电磁振荡、交流电路和光的波动性等相关知识。

以下是本章的重点知识总结。

一、电磁感应1. 法拉第电磁感应定律：当导体相对于磁场运动或磁场发生变化时，导体中就会感应出感应电动势，其大小与导体运动速度、导体长度以及磁感应强度有关。

2. 楞次定律：感应电流的方向总是阻碍磁场发生变化的方式。

二、电磁场1. 电场和磁场：电场和磁场是相互关联的，当电场发生变化时，会产生磁场；当磁场发生变化时，会产生电场。

2. 磁场的性质：磁场有方向和大小之分，用磁感应强度表示，单位是特斯拉(T)。

3. 磁感线：磁感线是用来表示磁场方向的虚拟曲线，其方向是磁力线的方向。

三、电磁波1. 电磁波的概念：电磁波是通过自由空间以及一些介质传播的，由电场和磁场交替变化所产生的波动现象。

2. 光的电磁波性质：光既具有电磁波的特性，也具有粒子性质。

光的波长和频率之间有着确定的关系，即c=λν，其中c是光速。

3. 光的折射和反射：当光从一种介质射入另一种介质时，会发生折射现象；当光从一种介质射入另一种介质的界面上时，会发生反射现象。

四、电磁振荡和交流电路1. 电磁振荡：由于电容器和电感器之间的能量交换，电荷量和电流会周期性地发生变化。

这种周期性的变化称为电磁振荡，其频率由电容器和电感器的参数决定。

2. 交流电路：交流电路中的电压和电流大小和方向都周期性地变化，其频率通常为50Hz或60Hz，根据Ohm定律和功率公式可以计算电阻、电容和电感器上的电流和功率。

以上是本节内容的主要知识点总结。

通过对这些知识点的复习，同学们可以更好地理解和掌握高二物理第九章的内容，为进一步学习打下坚实的基础。

希望本文对同学们的学习有所帮助，祝大家学业进步！。

人教版高二物理必修第三册第九章电磁场及其应用全章知识点梳理1. 电磁场的概念和性质- 电磁场是由电荷静电场和电流产生的磁场相互作用形成的。

- 电磁场有电场强度、电场线、磁感应强度、磁感线等性质。

2. 静电场的描述和计算- 静电场的描述需要用到电势、电位能、电场强度等概念。

- 静电场的计算可以利用库仑定律、电场强度叠加原理等方法。

3. 静电场中电势的性质和计算方法- 静电场中的电势随距离的变化遵循电势线的分布。

- 计算静电场中的电势可以利用电势差和电势公式进行。

4. 静电场中的带电粒子的运动规律- 静电场中带电粒子会受到电场力的作用而产生运动。

- 带电粒子在静电场中的运动规律可以描述为受力分析和加速度公式。

5. 磁场的概念和性质- 磁场是由电流产生的磁感应强度和磁感线组成的。

- 磁场有磁感应强度、磁场线、磁感应力等性质。

6. 磁场中带电粒子的运动规律- 磁场中带电粒子会受到磁场力的作用而产生运动。

- 带电粒子在磁场中的运动规律可以描述为洛伦兹力和离心力。

7. 电磁感应现象和法拉第电磁感应定律- 电磁感应是指磁场变化或电流变化产生感应电动势的现象。

- 法拉第电磁感应定律描述了感应电动势与磁通量变化的关系。

8. 自感和互感- 自感是导体中电流自身的感应现象。

- 互感是导体中电流与相邻导体之间的感应现象。

9. 变压器的原理和应用- 变压器利用电磁感应原理实现输入输出电压的变化。

- 变压器广泛应用于电力传输和家用电器。

10. 电磁波的性质和产生- 电磁波是由变化的电场和磁场相互作用产生的。

- 电磁波有频率、波长、速度等性质。

11. 光的干涉和衍射现象- 光的干涉是指两个或多个光波相遇产生的共振和抵消现象。

- 光的衍射是指光通过物体边缘或孔隙产生的偏折现象。

12. 光的偏振现象- 光的偏振是指光波振动方向通过偏振器限制后变得单一方向的现象。

- 光的偏振有线偏振和圆偏振两种形式。

13. 光的多普勒效应- 光的多普勒效应是指光源或观察者相对运动时光的频率发生变化的现象。

第九章 电磁场理论教学基本要求：1、 了解电介质的极化，磁介质的磁化现象以及微观解释，了解铁磁质的特性，了解各项同性介质中的D 和E,H 和B 之间的关系和区别，了解介质中的高斯定理和安培环路定理。

2、 了解电容。

3、 了解电能密度和磁能密度的概念。

了解麦克斯韦方程组的物理意义。

了解电磁场的物质性§9-1 电介质和导体一、电介质的极化（一）电介质分子的偶极子模型 1. 偶极子模型：核，核外电子2. 无极分子：0=l ( ,,,222CO N H )3. 有极分子：0≠l ( ,,2CO O H（二）电介质的极化和击穿1． 极化：在外场作用下介质表面出现束缚电荷的现象 ① 无极分子的极化—位移极化 ② 有极分子的极化—以转向极化为主2． 电介质的击穿：外场强很大时，绝缘体→导体（三）电极化强度P1． 定义：单位体积内分子电矩的矢量和Vp P i ∆∑=2． 单位：2-⋅m C 3． 量纲：2-ITL 4．P 与E的关系：E P e 0εχ=EEe χ:电极化率，纯数与电介质有关5． P与σ'的关系：n P ⋅='σ（三）均匀电介质中的场强E1．相对介电常数：EE r 0=ε2．电介质中的场强: E E E E r'+==00ε e r χε+=1（四）有电介质时的环流定理和高斯定理1． 环流定理：0=⋅⎰L l d E2．高斯定理：q S d D S ∑=⋅⎰P E E E E D e r +=+===000)1(εχεεεε例１．两块无限大的导体平板Ａ、Ｂ，面积为Ｓ，间距为d ，平行放置，Ａ板带有电量Ｑ，Ｂ板不带电，求静电平衡时两板各个表面上的电荷面密度以及两板间的电势差； 另：(1)若q Q q Q ==21,2(2)若Ｂ板或Ａ板接地(3)若中间连线，则情况如何？ 例２．一半径为1R 的导体小球，带电量为q ,放在内外半径分别为2R 和3R 的同心导体球壳内，导体球带电量为Ｑ。

第九章电磁场理论本章前言◆本章学习目标理解感生电场和位移电流的概念，理解麦克斯韦电磁场理论和麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章教学内容1、位移电流，全电流的安培环路定理。

2、麦克斯韦电磁场理论的基本思想。

3、麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章重点麦克斯韦电磁场理论的基本思想和麦克斯韦方程组的积分形式。

◆本章难点位移电流与传导电流的异同及其物理本质。

§9.1 全电流定律9.1.1 位移电流假设及其本质在前面的知识点中我们知道，稳恒电流激发的稳恒磁场满足安培环路定律。

现在我们讨论安培环路定律用于非稳恒磁场所遇到的问题。

下图(a)、(b)分别表示一个平板电容器充电和放电时的情况。

我们注意到，由于电路中有电容器，所以不论是充电或放电，在同一时刻通过电路中导体上任何截面的传导电流依然相等，但在电容器两极板之间传导电流I中断。

也即是说，对于图(a)中以闭合曲线L为边界的S1和S2两个曲面来说，电流I只穿过曲面S1而不穿过曲面S2。

现在在回路L上使用安培环路定律。

(a)充电时(b)放电时位移电流对S1而言，由于穿过S1的电流为I，我们得到但对S2而言，由于穿过S1的电流为0，我们得到显然，在同一个回路上磁场环流不同，在理论上是相互矛盾。

在稳恒情况下正确的安培环路定理，在非稳恒情况下就不正确了。

麦克斯韦注意到，在考虑对安培环路定律进行修正时，矛盾的原因在于非稳恒情况下电流的不连续性，即穿过曲面S1的电流为I而穿过曲面S2的电流为零。

设想一下，如果我们能在电容的两板之间寻求到一个物理量，其大小和方向都等于电流I，再假设这个物理量能如同电流一样激发磁场，那么电流就能借助于这个物理量而实现连续，而上式的右端就应该是这个物理量，因为它也等于I，于是矛盾将不再出现。

至于这个假设的真实性的问题，即它是否真正能如同电流一样激发磁场，我们可以期待于实验的验证。

下面我们来寻求这个等于I的物理量。

在上图中，电容器中虽无电流通过，但在充电和放电的过程中，电容器极板间的电场会随着极板上电量的变化而随时间变化。

第九章 电磁感应 电磁场理论的基本概念自从1820年奥斯特发现电流的磁现象以后，1821年英国科学家法拉第就向自己提出任务，要研究这一现象的逆现象，也就是要利用磁场产生电流，经过10年的实验研究，终于在1831年发现电磁感应现象．在这一年和以后的几年中法拉第详细地研究了电磁感应现象，给出电磁感应现象的基本规律，这个发现无论在理论上或实际应用上均有重要意义．此后，麦克斯韦又指出变化的电场也会激发磁场，变化的电场和变化的磁场不是彼此孤立的，而总是互相联系、互相激发，形成一个统一的电磁场．麦克斯韦把前人从大量实验和理论中得出的规律加以概括、总结和推广，得出了描写电磁场的体系完整的方程组，称为麦克斯韦方程组(1862年)．麦克斯韦方程组的一个重要成果是预言了电磁波的存在，揭示了电磁波的传播速度恰恰等于光速．麦克斯韦由此断言光波就是一种电磁波，光的现象就是一种电磁现象，把表面看来互不相关的两种现象统一起来，使我们对光的本性和物质世界的普遍联系的认识大大深入了一步．麦克斯韦电磁场理论又导致无线电波的发现，使今天的无线电广播、电视、微波通讯和雷达等等的出现成为可能，显示了理论对实践的指导意义．§9－1 法拉第电磁感应定律下面首先介绍电磁感应现象及其产生的条件，在此基础上介绍法拉第电磁感应定律．一、电磁感应现象电磁感应现象可通过两类演示实验来说明：一类是磁场不变线圈运动．如图9－1，线圈与电流计连成闭合回路，线圈放在蹄形磁铁的磁场中，把线圈很快地向右或向左拉动，电流计发生偏转，这表明线圈中有电流产生，当线圈静止不动时便没有电流产生．在此过程中，磁铁产生的磁场是不变的，当线圈向右或向左拉动时，通过线圈的磁通量发生变化．所以这个实验表明，当通过线圈的磁通量变化时，线圈中便有电流产生；当线圈静止不动时，通过线圈的磁通量无变化，便没有电流产生．这种由于通过线圈的磁通量发生变化而在线圈中产生电流的现象称为电磁感应，所产生的电流称为感应电流．另一类实验是线圈固定磁场变化．如图9－2，线圈A 与电源E 连成一闭合回路，线圈B 与电流计连成另一闭合回路．当开关K 接通或断开时，线圈A 中图9－1图9－2的电流及其在圆环形铁芯中所产生的磁场发生变化，并导致通过线圈B 的磁通量变化，这时线圈B 中亦有电流产生．当开关K 保持接通或断开状态时，线圈A 中电流不变或无电流通过，通过线圈B 的磁通量无变化，线圈B 中便没有电流产生．图9－3(a)所示的电吉他应用了类似的原理．在靠近可以被磁化的金属弦线的不同位置上设置了一些拾波线圈，线圈内中的磁铁使紧邻的弦线磁化．当吉他弦振动时，弦线上的磁化段使拾波线圈内的磁通量随振动频率变化，从而在线圈中产生感应电流，感应电流经放大器转换为声信号输出，如图9－3(b)所示． 以上的电磁感应现象表明：引起通过回路的磁通量变化的原因或是由于磁场不变线圈运动，或是由于线圈固定磁场变化，也可以是由于在磁场变化的同时线圈也在运动．不论引起磁通量变化的原因如何，线圈中都有感应电流产生．我们知道，要在闭合回路中产生电流必须有电动势，电磁感应产生的电动势称为感应电动势．二、法拉第电磁感应定律从以上实验可以看出：感应电流的大小与通过回路所围面积的磁通量变化的快慢有关，例如在图9－1中，当线圈向右或向左运动得越快，感应电流就越大，反之就越小．感应电动势的大小的变化也是这样．感应电动势的方向即感应电流的方向与通过回路的磁通量是增加还是减少有关．例如在图9－2中当开关K 接通时，通过线圈B 的磁通量增加，感应电流沿一个方向，当开关K 断开时，通过线圈B 的磁通量减少，感应电流沿相反的方向．法拉第定量地分析和总结了大量电磁感应实验的结果得出如下定律，称为法拉第电磁感应定律：在一闭合回路上产生的感应电动势E i 与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率t d d Φ成正比，即 t k d d i Φ-=E 其中k 为比例常数．如果采用国际单位制，E i 以伏特为单位，Φ以韦伯为单位，t 以秒为单位，则k = 1，而上式化为 td d i Φ-=E （9－1） 上式中引入“-”号是为了使该式不仅能用来确定感应电动势的大小而且能用来确定感应电动势的方向．应用上式步骤如下：首先在回路上取定一个绕行方(a) (b)图9－3图9－4向，并规定回路的绕行方向和回路所包围面积的正法线e n 的方向成一右手系统，即如果右手螺旋沿回路的绕行方向转动，则螺旋前进的方向为正法线e n 的方向，如图9－4所示．这样，任意取定了回路的绕行方向以后．便可确定这回路所包围面积的正法线方向，法线e n 即有了确定的方向，通过这回路的磁通量⎰⋅=S S d n e B Φ以及t d d Φ也就有了确定的正负号．如果td d Φ< 0，则由(9－1)式E i > 0，感应电动势的方向和绕行方向相同；如果td d Φ> 0，则E i < 0，感应电动势的方向和绕行方向相反．例如有回路如图9－5(a)，磁场方向向上(图中实线)，并且随时间减弱，取绕行方向如图，则Φ为正并随时间减少，因而td d Φ为负E i 为正，此时感应电动势的方向和取定的绕行方向相同．在图9－5(b)情形，磁场方向仍然是向上．但不是随时间减弱而是增强，取绕行方向如图，则Φ为正并随时间增加，td d Φ为正，E i 为负，此时感应电动势的方向和取定的绕行方向相反． 感应电流或感应电动势的方向亦可直接用楞次定律来确定，这条定律是1834年俄国物理学家楞次在法拉第的资料的基础上通过实验总结出来的，表述如下：闭合回路中感应电流的磁场总是要反抗引起感应电流的磁通量的变化(增加或减少)．应用楞决定律得出的感应电流或感应电动势的方向与用法拉第定律得出的相同．例如在9－5 (a)中的情形，通过回路的磁通量是减少的，按照楞次定律感应电流的磁场要反抗原来磁通量减少，原来的磁感线的方向是通过回路向上，所以感应电流所产生的磁感线的方向也是通过回路向上，如图9－5(a)中虚线所示．由右手螺旋法则得知感应电流的方向与图中E i 的方向相同．在图9－5(b)中的情形，通过回路的磁通量是增加的，按照楞次定律感应电流的磁场要反抗原来磁通量增加，原来的磁感线的方向是通过回路向上，所以感应电流所产生的磁感线的方向是通过回路向下，如图9－5(b)中虚线所示．由右手螺旋法则得知感应电流的方向与图中E i 的方向相同． 例题9－1 设有长方形回路ABCD 放置在恒定磁场中如图9－6，其中AB 边可以左右滑动，磁场方向与回路平面垂直、向里．设导体（a ） （b ）图9－5图9－6AB 以速度v 向右运动，求回路上感应电动势的大小及方向．解 取ADCB 方向为回路的绕行方向，又设AB 边长为l ，AD 边长为x (变量)，则Φ = +Blx其中B 为磁场的磁感强度．根据法拉第定律(9－1)式得v Bl tx Bl t -=-=-=d d d d i ΦE （9－2） “-”号表示感应电动势的方向与取定的绕行方向相反，即沿ABCD 方向．必须指出，(9－1)式中的Φ中是通过回路的总磁通量，亦称磁通链数．如果回路由N 匝导线组成，且通过各匝的磁通量都相等，通过一匝的磁通量是φ，则总磁通量为Φ = N φ．如果闭合回路的电阻为R ，则由(9－1)式及闭合电路欧姆定律，得回路中的感应电流为tR R I d d 1i i Φ-==E （9－3） 利用(9－3)式及tq I d d =，可以计算在一段时间内通过回路中任一截面的感应电荷量．设在t 1及t 2时刻通过回路的磁通量分别为Φ1及Φ2，则在这一时间内通过回路中任一截面的感应电荷量为)(1d 1d 12i 2121ΦΦΦΦΦ-=-==⎰⎰RR t I q t t （9－4） 由上式看出，感应电荷量与通过回路面积的磁通量的改变成正比，而与磁通量改变的快慢无关．如果电路的电阻为已知，则通过对感应电荷量q 的测量可以得出通过回路的磁通量．常用的磁通计就是根据这个原理来设计的．§9－2 动生电动势和感生电动势按照磁通量变化的原因不相同，感应电动势可分为两类：(1) 磁场不变，由于导体在磁场中运动而产生的感应电动势称为动生电动势；(2) 导体回路固定，由于磁场变化而产生的感应电动势称为感生电动势．图9－1的实验中产生的感应电动势属于前一类，图9－2的实验中产生的感应电动势属于后一类．产生这两种电动势的非静电力不相同，分别讨论如下．一、动生电动势动生电动势是由洛伦兹力产生的，以图9－6中导体AB 在磁场中运动为例，当导体AB 以速度v 向右运动时，导体内的自由电子也以速度v 跟随着导体向右运动，按照洛伦兹力公式，自由电子受到的洛伦兹力为F = (-e ) v × B其中(-e )为自由电子的电荷，力F 的方向为沿导体从B 到A 的方向．自由电子在此力作用下沿BA 方向运动，因而形成ABCD 方向的电流．依定义动生电动势和其他电动势一样等于单位正电荷沿闭合回路移动一周时非静电力所作的功，在这种情形非静电力是洛伦兹力．作用于单位正电荷的洛伦兹力，即非静电性电场的电场强度为B F E ⨯=-=v e所以动生电动势为l B l E d )(d i ⋅⨯=⋅=⎰⎰v E容易看出动生电动势只存在于运动导体上，不运动的导体没有动生电动势，因此E i 可写为⎰⋅⨯=BA lB d )i (v E （9－5） 右式积分为由A 点沿着导线至B 点的线积分．在图9－6情形，由于v ⊥B ，且v × B 与d l 同向，故上式可写为v v Bl l B BA ==⎰d i E （9－6） 其中l 为导线AB 的长，此结果与上节从法拉第定律td d i Φ-=E 得出的结果相同．动生电动势的方向为矢量v × B 沿导线AB 的分量的方向．这样决定的动生电动势方向与用楞次定律得出的相同．(9－6)式只适用于图9－6的特殊情况(直导线、均匀磁场，而且导线、磁场及运动速度三者互相垂直)，但(9－5)式适用于一般情况，即任意形状的一段导线(甚至闭合线圈)，在任意恒定磁场中作任意运动，由此产生的动生电动势都可以用该式计算．如果运动导体是闭合的或与其他固定导体组成闭合回路，则亦可用法拉第定律计算，由此得出的结果与用(9－5)式算出的结果相同．如果运动导体AB 与其他固定导线无连接，如图9－7，洛伦兹力将使导体内的自由电子向A 端移动，结果A 端积聚负电荷，B 端积聚正电荷．这些正负电荷在导体内产生静电场E ，其方向为从B 到A 的方向．导体内的自由电子受到方向相反的两个力作用，即静电力-e E 及洛伦兹力-e (v × B )．开始时静电力小于洛伦兹力，因此自由电子继续向A 端移动，使两端的电荷逐渐增加，静电力逐渐增大，直至静电力与洛伦兹力成平衡为止．这时导体AB 可看作开路时的电源，A 端是负极，B 端是正极．由一段含源电路的欧姆定律，并考虑到开路时电流为零，则导体两端的电势差为 ⎰⋅⨯==-BA AB V V l B d )i (v E V B - V A 与E i 虽然数值相等但物理意义不同，V B - V A 是单位正电荷从B 端移至A 端时静电力所作的功，E i 是单位正电荷从A 端移至B 端时非静电力(此处即洛伦兹力)所作的功．例题9－2 在如图9－8所示的均匀磁场中，磁感强度为B ．一根长为L 的导体棒OA 在垂直于磁感线的平面上以角速度ω绕固定轴O 旋转，求导体棒上的动生电动势和两端的电势差．解 在棒上取距O 点为l 的一小段d l ，在这小段上的动生电动势为图9－7 图9－8lB d )d i ⋅⨯=(v E 由图看出v × B 与d l 同向，故llB d d i ω=E 所以整个棒上的动生电动势为20i 21d d d )L B l l B l lB L A O A O ωωω===⋅⨯=⎰⎰⎰l B (v E 例题9－3 图9－9(a)为交流发电机的发电原理示意图，由N 匝导线组成的平面线圈面积为S ，在永久磁铁产生的磁感强度为B 的均匀磁场中绕轴线OO ’作匀速转动，角速度为ω．轴线OO ’与磁场方向垂直，线圈中产生的感应电流经汇流环和电刷传输到输出电路中．设t = 0时，线圈平面法线e n 与B 平行同向，求线圈中的感应电动势E i ．解 设α为t 时刻线圈平面法线e n 与B 所成的角度．t 时刻通过线圈的总磁通量为Φ = NBS cos α．根据题设，t = 0时，α = 0，所以t 时刻α = ωt ，即Φ = NBS cos ωt由法拉第电磁感应定律，线圈中的感应电动势为t NBS tωωΦsin d d i =-=E 亦可写为tωsin i0i E E = 其中E i0 = NBS ω为线圈中感应电动势的最大值．上式表示，平面线圈在均匀磁场中转动时，线圈中产生的感应电动势随时间作周期性变化，周期为ωπ2，如图9－9(b)所示，即可输出角频率为ω的交变电流．二、感生电动势 涡旋电场动生电动势是洛伦兹力产生的，因为导体运动时，其内部的电子也跟随着运动，因而受到磁场的洛伦兹力作用．但在感生电动势情形，导体回路是固定的，其内部的电子并不受洛伦兹力作用，那么感生电动势是怎样产生的呢？即产生感生电动势的非静电力是什么呢？从实验结果知道，感生电动势与导体的性质，导体的温度以及其他物理状态无关，仅仅决定于磁场的变化情况．麦克斯韦分析了这种情况以后提出如下假说：变化的磁场在它的周围产生了电场，这种电场与导体无关，即使没有导体存在，只要磁场发生变化，就有这种电场存在．这种电场称为涡旋电场，它与静止电荷产生的静电场不同．静电场的电场线有始点和终点，不是闭合曲线，它的始点和终点就是产生电场的电荷所在处．涡旋电场是变化磁场产生的，不是电荷产生的，所以它的电场线没有始点和终点，是闭合曲线．例如有一磁铁处于平面ABCD 的上方(图9－10)，其轴与平面垂直，N 极正对平面(a) (b)图9－9上O 点．今使磁铁向平面运动，则在磁铁的周围，由于磁场发生变化而产生涡旋电场．在平面ABCD 上涡旋电场的电场线是一系列以O 为心的同心圆，其回转方向如图中箭头所示．如果磁铁向相反方向运动，则电场线的回转方向改为沿相反方向．涡旋电场与静电场一样都对静止的电荷有作用力．正是涡旋电场力的作用导致导体回路上产生了感生电动势．涡旋电场力就是产生感生电动势的非静电力．设E 涡表示涡旋电场的电场强度．依定义，沿闭合回路L 的感生电动势E i 等于涡旋电场力使单位正电荷沿L 绕行一周所作的功．由此定义及法拉第定律得 t L d d d i Φ-=⋅=⎰l E 涡E （9－7） 必须指出，法拉第建立的电磁感应定律的原始形式，即(9－1)式只适用于由导体构成的闭合回路．但按照麦克斯韦假说，变化磁场产生的电场E 涡与导体无关，故不论闭合回路是否由导体构成，也不论闭合回路是在真空中或介质中，(9－7)式都正确．不同的是：如果闭合回路由导体构成，便有感应电流产生，否则就没有感应电流产生，但感应电动势在这两种情形下是相同的．对涡旋电场的性质还要说明一下．我们知道，静电场的电场强度E 静沿任何闭合曲线的环流0d =⋅⎰l E 静，所以静电场是保守力场，可以引入电势概念．但按照(9－7)式，在一般情况下涡旋电场的环流不等于零，所以涡旋电场不是保守力场，不能引入电势概念．涡旋电场的存在已为许多实验所证实，下面将要介绍的电子感应加速器就是最好的例证．例题9－4 如图9－11，均匀磁场B 被局限在半径为R 的圆柱体内(如长直螺线管的情况就是这样)，磁场随时间的变化率为tB d d ，求圆柱体内外涡旋电场的场强E 涡． 解 根据磁场分布的对称性可知变化磁场激发的涡旋电场的电场线是一系列圆，圆心都在磁场的对称轴上．取半径为r 的电场线L 来考虑．E 涡必沿L 的切线方向，设Φ为通过圆周L 所围面积的磁通量，由(9－7)式有tL d d d Φ-=⋅⎰l E 涡 取圆周L 上的顺时针方向为线积分的积分方向，E 涡为E 涡沿积分方向切向的投影，因为圆周上各点的E 涡值相等，所以涡涡涡涡rE l E l E L L L π2d d d ===⋅⎰⎰⎰l E代入(9－7)式有 t rE d d π2Φ-=涡图9－10tr E d d π21Φ-=涡 (1) 在圆柱体内，r < R ，Φ = πr 2B ，则 t B r t d d πd d 2=Φ t B r E d d 2-=涡 （9－8） (2) 在圆柱体外，r > R ，Φ = πR 2B ，则 t B R t d d πd d 2=Φ 所以 tB r R E d d 22-=涡 （9－9） 如果|B |在减小，则tB d d < 0，由(9－8)或(9－9)式得知E 涡 > 0，这表示E 涡与沿L 的积分方向的切向同向，即沿顺时针方向；如果|B |在增大，则tB d d > 0，E 涡 < 0，这表示E 涡与沿L 的积分方向的切向反向，即沿逆时针方向．如果用楞次定律来判断E 涡的方向，可以得到与此相同的结论．计算感应电动势的方法 我们曾经通过例题9－2介绍过求动生电动势的方法，当导体或闭合回路在固定的磁场中运动时都可以用这种方法求动生电动势．从以上讨论我们又看到，当导体或闭合回路上各点的E 涡为已知时，我们可以应用感生电动势定义式⎰⋅=l E d i 涡E 求感生电动势，在一般情况下，即导体是运动的或磁场是变化的或两者兼有的情况下，都可以应用法拉第电磁感应定律求闭合回路上的感应电动势．应用法拉第电磁感应定律也可以求一段导体ab 上的感应电动势，但须作一辅助线与导体ab 合成一闭合回路，如果辅助线上的感应电动势为已知，则由td d Φ及辅助线上已知的感应电动势即可算出导体ab 上的感应电动势．三、电子感应加速器电子感应加速器是利用变化磁场产生的涡旋电场把电子加速以获得高能量的电子束的装置，因此它是变化磁场产生电场的最好例证．图9－12(a)表示电子感应加速器中央部分的铅直横截面，其中N 、S 为电磁铁的两极，D 为环形真空管道．图9－12(b)是环形真空管道的俯视图．电磁铁是用每秒几十周的交变电流来励磁的，在交变电流激发下两极之间出现交变磁场，其磁感线是对称分布的，某一瞬间的D 线如图中实线所示．这交变磁场又产生涡旋电场，在水平面上其电场线为许多同心圆，如图中虚线所示．当电子从电子枪射入环形真空管道时，电子便受到两个力作用，即涡旋电场的作用力和电子所在处的磁场的洛伦兹力．为了使电子在感应器中不断地被加速，第一，必须使电子作加速圆周运动；第二，必须使电子在给定的圆轨道上运动．为简单起见，下面着重讨论第一个问题．图9－11假设电子从电子枪沿如图方向射入真空管道，为了使电子作加速圆周运动，(1) 必须使洛伦兹力指向圆心；(2) 涡旋电场必须沿顺时针方向．现在来看怎样才能满足这个要求．交变磁场随时间作正弦变化，图9－13表示在一个周期内磁场变化的情况(B为正表示B 向上，B 为负表示B 向下)，在第一个41周期中B 向上，|B |增加，由(9－8)式得知E 涡是沿顺时针方向，在第四个41周期中B 向下，|B |减少，由(9－8)式得知E 涡也是沿顺时针方向，而在第二、第三个41周期中E 涡则是沿反时针方向(图9－13)，又在第一个41周期中间由于B 是向上的，洛伦兹力(-e )v × B 指向圆心[图9－12(b)]，在第四个41周期中B 是向下的，洛伦兹力(-e )v × B 指向圆外不是指向圆心，所以在整个周期中只有第一个41周期能使电子作加速圆周运动．好在电子在不到41周期的时间内已经转了几十万圈，只要在该41周期之末将电子引离轨道进入靶室，就已能使其能量达到足够的数值．例如一个100MeV 的电子感应加速器能使电子加速到0.999 986c ，其中c 是光在真空中的速度． 电子在真空管道内运动不断被加速，要维持在给定的圆轨道上运动，其向心力(洛伦兹力)必须随速度作相应增加，这就需要对真空管道内的磁感强度值提出一定要求，讨论从略．§9－3 自感现象与互感现象一、自感现象当一回路中有电流通过时，电流所产生的磁通量必然要通过该回路本身．当回路中的电流变化时，通过回路的磁通量就要发生变化，根据法拉第定律，在回路中就要产生感应电动势．这种由于回路中的电流发生变化而在它本身引起感应电动势的现象称为自感现象．所产生的感应电动势称为自感电动势． 自感现象可用如下实验进行观察．如图9－14，B 1、B 2为两个相同的小灯泡，L 为有铁芯的线圈，R 为可变电阻器，调节可变电阻器R ，使两支路的电阻相等．当开关K 按下时，两支路上的图9－12 图9－13灯泡亮的快慢不一样．B 2瞬时就达到正常亮度，但B 1却是逐渐变亮，经过一段时间后，才和B 2一样亮．这表示这两个支路电流增加的快慢不一样．当二支路的电流达到稳定后，断开电源，两个灯泡并不立刻熄灭，而是亮度逐渐减弱至熄灭．这表明切断电源后，电流并不立刻消失．这种现象的产生可解释如下：当K 按下时，电流由零增加，在L 支路中通过线圈的磁通量随电流的增加而增加，因而在线圈中引起自感电动势．根据楞次定律这自感电动势要反抗通过线圈的磁通量增加，也就是反抗线圈中的电流增加，所以L 支路的灯泡亮得慢．在没有线圈的支路上由于没有这样的自感电动势，所以这支路中的电流很快就达到稳定值．当K 断开时，电流减少，通过线圈L 的磁通量减少，这样又在线圈中引起自感电动势．根据楞次定律这个自感电动势是反抗电流减少的，因而L B 1B 2RL 回路中的电流并不立刻消失，电灯并不立刻熄灭．自感系数 设通过回路的电流强度为I ，根据毕奥—萨伐尔定律，此电流在空间中任一点产生的磁感强度都与I 成正比，所以该回路的电流所产生的通过它本身的磁通量亦与I 成正比，即Φ = LI （9－10）其中L 为比例系数，它与回路的几何形状及回路周围的磁介质的磁导率有关．当回路周围不存在铁磁质时，L 与回路中的电流I 无关，L 称为回路的自感系数，简称为自感．当I = 1单位时，Φ与L 数值相等，所以回路的自感系数在数值上等于回路中电流为l 单位时通过回路的磁通量．根据法拉第定律，当Φ变化时，回路中就产生自感电动势⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=t L I t I L t L d d d d d d ΦE 当开关K 按下时，如果回路的形状和周围的磁介质不随时间而变化，则L 亦不随时间而变化，即0d d =tL ，而上式化为 tI L L d d -=E （9－11） 在国际单位制中L 的单位为亨利，符号为H ，由(9－10)式，得Wb/A 1A11Wb H 1== 例题9－5 求长直螺线管的自感系数，设长直螺线管长度为l ，横截面积为S ，导线总匝数为N ，管中充满磁导率为μ的均匀介质(图9－15)．解 当螺线管中有电流I 通过时，通过一匝线圈的磁通量IS lN BS μϕ==，通过N 匝线圈的磁通链数为IS lN N μϕΦ2== 图9－14由自感系数定义： V n Sl l N S l N I L 2222μμμΦ==== 其中V 为长直螺线管的体积，n 为单位长度的匝数． 由于计算中忽略了边缘效应，所以得出的结果只是近似的，实际测得的L 值比上述结果要小些．而对于细螺绕环，由于没有边缘效应，结果要精确得多．例题9－6 有一同轴电缆，由半径为R a 和R b 的同轴长圆筒组成，电流I 由内筒一端流入，经外筒的另一端流回．两圆筒间充满磁导率为μ的均匀介质，求单位长度同轴电缆的自感系数．解 应用安培环路定理可以证明，在内筒之内，外筒之外磁场强度均为零，在两圆筒之间距离轴线为r 处的磁场强度为r I H π2= 由此得r I H B π2μμ== 取长为h 的一段电缆来考虑，穿过长为h ，宽为(R b - R a )的矩形截面S 的磁通量为a b b a S R R Ih r r Ih ln π2d π2d μμΦ==⋅=⎰⎰S B 由自感系数的定义，长为h 的电缆的自感系数为ab R R h I L ln π2μΦ== 所以单位长度电缆的自感系数为ab R R h L L ln π21μ== 二、互感现象假设有两个邻近的线圈1和2，如图9－17，其中各有电流I 1及I 2通过，实线表示电流I 1产生的磁感线，虚线表示电流I 2产生的磁感线，电流I 1所产生的磁感线有一部分通过线圈2，用Φ21表示电流I 1产生的磁场通过线圈2的磁通量．当I 1变化时，Φ21亦发生变化，因而在线圈2上产生感生电动势．同理，电流I 2亦产生通过线圈1的磁通量，这磁通量用Φ12表示，当I 2变化时，Φ12亦发生变化，因而在线圈1上产生感生电动势，这一现象称为互感现象．由于一个线圈上的电流发生变化而在其邻近线圈上引起的感生电动势称为互感电动势．根据毕奥—萨伐尔定律．电流I 1在空间中任一点产生的磁感强度与I 1成正比，所以电流I 1产生的磁场通过线圈2的磁通量Φ21亦与I 1成正比，即Φ21 = M 21 I 1同理，Φ12 = M 12 I 2图9－15图9－16。