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立体几何中的球与球面关系立体几何是研究三维空间中的几何图形及其性质的学科，其中球和球面是重要的研究对象之一。
在立体几何中，球体是一种特殊的立体图形，由所有到一个给定点距离相等的点组成。
而球面是指球体的表面，它包括球体的所有点。
球体和球面之间存在着一些重要的关系和性质。
在本文中，我们将探讨一些与球和球面相关的内容，并介绍它们之间的几何关系。
1. 球的定义与性质球体是一个特殊的几何体，可以由一个给定的点（球心）和一个给定的半径（球半径）确定。
球体上的每个点与球心的距离都等于球半径，这是球体的基本性质之一。
2. 球面的定义与性质球面是球体的表面，是一种特殊的曲面。
球面上的每个点与球心的距离等于球半径，这也是球面的基本性质。
球面是一个连续的曲面，没有边界，可以看作是球体的无限多个离散点的集合。
3. 球与球面的关系（1）球内的点位于球体内部，而不在球面上。
（2）球外的点位于球体外部，而不在球面上。
（3）球面上的点与球心的距离等于球半径，这些点既属于球体，又属于球面。
4. 球与球面的交点球体与球面之间相交于球面上的某些点。
具体而言，当一个球体与另一个球体相交时，它们的交点是位于两个球体的球面上的点。
5. 球与球面的切点球体与球面之间可能有一些点，它们既属于球体，又切到了球面。
这样的点称为球与球面的切点。
切点既属于球体，又属于球面，因此与球心的距离等于球半径。
6. 球之间的位置关系两个球体之间可能有以下几种位置关系：（1）相离：两个球体没有任何交点。
（2）相切：两个球体仅有一个切点，这个切点同时也属于两个球体的球面。
（3）相交：两个球体相交于球面上的某些点，交点的数量取决于两个球体的位置和大小关系。
（4）内含：一个球体完全位于另一个球体内部。
综上所述，球体和球面在立体几何中具有重要的地位。
了解球与球面之间的关系和性质，有助于我们更深入地理解立体几何中的一些基本概念和定理。
通过对球与球面的研究和探索，我们可以进一步拓展立体几何的应用，并在各个领域中有效地应用几何原理。
数学中的球面几何学在数学中，球面几何学是一门研究球面及其相关性质的分支学科。
球面几何学广泛应用于物理学、天文学、地理学等领域，也是许多数学问题的基础。
本文将介绍球面几何学的基本概念和一些重要的定理。
一、球面的定义和基本概念球面可以看作是一个由无数个点组成的集合，这些点到中心的距离都相等。
中心是球面的一个重要属性，通常表示为O。
与球面相切的直线称为切线，它在切点处与球面相切。
球面上的一条线段称为弧，两个点之间的最短路径即为弧。
球面上还有一个重要概念是球面上的两个点之间的最短距离称为球面上的距离。
球面上的距离与平面上的距离不同，因为球面具有曲率。
二、球面的坐标系统为了描述球面上的点，我们可以使用球面坐标系统。
在球面上，我们选择以球心为原点建立坐标系。
对于任意一点P，我们可以用两个角度来确定其位置：极角和方位角。
极角表示P点与球心连线与正北方向的夹角，方位角表示P点在与极角垂直的平面上与正北方向的夹角。
球面上的距离也可以通过坐标系来计算。
给定两个点P和Q，它们的坐标分别为(θ₁, φ₁)和(θ₂, φ₂)，则它们之间的距离可以通过以下公式计算：cosδ = sinθ₁sinθ₂cos(φ₁-φ₂) + cosθ₁cosθ₂其中δ表示P点和Q点之间的距离。
三、球面的面积和体积球面的面积和体积是球面几何学中的重要量度。
球面的面积公式如下：S = 4πR²其中S表示球面的面积，R表示球的半径。
球面的体积公式如下：V = (4/3)πR³其中V表示球面的体积。
四、球面几何学中的重要定理1. 定理一：球面上的内切正多边形的顶点数必为4的倍数。
2. 定理二：球面上的内切正多边形的边数受限于球的半径和所需正多边形的边数。
3. 定理三：球的表面积最小，对应于球的体积最大。
四、应用球面几何学在现实生活中具有广泛应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 天文学：天文学家使用球面几何学来计算天体之间的距离和位置。
球面几何的度量方程及其应用球面几何是研究球面上的几何性质和度量关系的数学分支。
在球面几何中，我们面对的不再是平面上的直线和角度，而是球面上的弧长和角度。
球面几何有着广泛的应用，例如在天文学、地理学、航海学等领域。
首先，我们来看看球面几何中的度量方程。
在平面几何中，我们可以通过欧氏距离来度量两个点之间的距离。
而在球面几何中，我们需要引入球面距离来度量两个点之间的距离。
球面距离可以通过球面上两点之间的弧长来定义。
对于球面上的两点P和Q，它们之间的球面距离可以表示为dpq，其中p和q分别表示两点所在的球面上的点。
球面距离dpq可以通过求解从点p到点q所对应的球面弧的弧长来计算。
在球面上，可以使用球面坐标系统来描述点的位置。
球面坐标系统包括纬度和经度两个坐标。
纬度用来表示点到球心的角度，取值范围为(-90°,90°)，赤道为0°。
经度用来表示点在球面上的偏转角度，取值范围为(-180°,180°)，其中0°和180°表示同一经线。
对于球面上的两点P和Q，可以通过纬度和经度来表示其位置，分别用(θ1, φ1)和(θ2, φ2)来表示。
我们可以使用球面三角学的一些公式来计算球面距离dpq。
球面三角学中的距离公式包括大圆弧距离公式、小圆弧距离公式和球面三角公式。
大圆弧距离公式适用于球面上的两点较远时的情况，计算两点之间的大圆弧弧长。
小圆弧距离公式适用于球面上的两点较近时的情况，计算两点之间的小圆弧弧长。
球面三角公式适用于计算三个点所形成的球面三角形的边长和角度。
在球面几何中，度量方程的应用非常广泛。
下面我们来看几个球面几何的应用。
1.天文学：球面几何在天文学中有着重要的应用。
天体的坐标位置可以使用球面坐标系统来表示。
通过计算球面距离，可以确定天体之间的距离和方向，从而帮助我们研究天体之间的相互关系。
2.地理学：球面几何在地理学中也有着重要的应用。
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
球面曲线的性质与应用刘滨赫摘要本文是在前人工作的基础上，对前人条件的总结，归纳，改进，研究了球面曲线的充要条件，又给出了球面曲线的性质，进而又对一类特殊的球面曲线（球面曲线为闭曲线）进行了讨论并对球面曲线的应用做了一些简单的介绍.关键词球面曲线充要条件闭曲线1引言球面曲线的充要条件，一直为人们所关注.1963年Y C Wong 给出了一个充要条件，1971年S Breuer and D Gottlieb又给出一个充要条件.1972年Y ＣWong对1971年的文献的结果作了改进.1975年ＲＬＢishop又给出一个充要条件.然而这个充要条件不便于用来检验给定曲线是否为球面曲线.那么对于寻找一种容易判断的方法是有必要地.在对球面曲线充要条件研究的基础上，原来空间曲线的一些性质如曲率，挠率等在这种特殊的空间曲线上又有什么其他的结论？我们有必要给出.2.球面曲线的充要条件及性质曲率与挠率是描述曲线特征重要的两个量，而且容易求得，对于以前的那些充要条件，容易理解但不便于应用，那么接下来我们就通过曲线的曲率与挠率来给出曲线为球面曲线的条件及其推论并讨论球面曲线的性质.2.1球面曲线的充要条件引理2.1.1 设为中心在原点半径为R的球面上的C的弧长参数表示.选取C的单位切向量，单位半径向量，.称[(s)；(S)；]为曲线在S处的相对平行框架[4].用“”表示对弧长参数s的导数，用κ(s)，表示曲线C的曲率和挠率，则有证：因为，，俩边求导得到.t=0，令，则(，)为右旋的相互正交的三个单位向量.因为，令则，=，即得（2.1.1）下面的定理中设=(S)，0为弧长参数表示的类正则曲线.定理2.1.1 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数R使得或者且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点，半径为R，设(s)为(s)的单位向量，令，，则由引理得到积分得(2.1.2) 由（2.1.1），（2.1.2）式得到由（2.1.1）式得故得充分性若，首先有κ(s)存在.使得κ()，则上式无意义.上边俩边对s求导，得到=0即令f(s)=则f.；==-令 (s)=(s)+则故(s)为常向量，且=故(s)在以C为中心半径为R的球面上定理2.1.2 (s)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得A且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：必要性若(s)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架，由引理得到(2.1.3)(2.1.4) 积分(2.1.4)式得R (2.1.5)因为，可设，[(s),(s),(s)，(s)]为(s)在s处的Frenet标架，俩边求导得到-比较俩边系数，得(2.1.6)(2.1.7) 积分（2.1.7）式，得到(2.1.8) 由（2.1.6）式得=(2.1.8)式代入（2.1.6）式得(2.1.9) 由（2.1.3）式得(2.1.10)由（2.1.5）和（2.1.6）消去得（2.1.11）即其中 A=B=又（2.1.8）和（2.1.10）得充分性若存在常数A，B，使得A上式对任意，记求导，得到A即（）令f(s)=则f. (2.1.12)==- (2.1.13) 令(s)=(s)+应用（2.1.12），（2.1.13），得到故C(S)为常向量，为常数，(s)在以C(s)为中心半径为==的球面上.定理2.1.3 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得-R (2.1.14) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：必要性若X(S)为球面曲线，可设球心在原点半径为R，选取相对平行标架设[(s),(s),(s)，(s)]为(s)在s处的Frenet标架.由引理知则由引理得到比较俩边系数得到-R充分性若-R则-R俩边求导，得到-R令f(s)=则f.令则，故(s)为常向量，+=，即X(S)在以C为中心半径为R的球面上由定理2.1.3容易得到.推论 2.1.1 =(s)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得κR (2.1.15) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在定理2.1.3的证明中，令，并注意可由f.和R=得到Rκ=推论2.1.2 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数A，B，使得（2.1.16）且满足这条件的曲线在半径为的球面上.证：将（2.1.14）展开且令-R推论 2.1.3 X=X(S)为球面曲线的充要条件是存在常数R，使得R (2.1.17) 且满足这条件的曲线在半径为R的球面上.证：在（2.1.16）中，令即得（2.1.17）2.2.球面曲线的性质性质 2.2.1 类曲线=(s)为球面曲线则其曲率κ(s)和挠率满足（A）其中A，B为常数，且满足上式的曲线位于半径为的球面上.证明：设曲线=(s)位于半径为a(>0)的球面上，球心向径为(常向量)，则= (2.2.1) 设沿曲线的Frenet标架为（）将（2.2.1）俩端对s求导，得（）=0这说明（）与正交，因此（）与共面.若设顺着的正向看时，到的有向角为，则有此俩端对s求导，并利用Frenet公式，整理得(-a()+a()=由于是线性无关的，故有（1- a），()=0 （2.2.2）由（2.2.2）的第一式可见再由（2.2.2）的第二式有=0积分得(2.2.3) 其中为常数.将（2.2.3）代入（2.2.2）的第一式，得aΚ(S)即a(-(s)=1令A=a则有（A）且(球面半径)3 球面曲线为封闭曲线的条件和性质上面我们对球面曲线进行了讨论，那么球面曲线加上什么条件变为封闭曲线呢？该类曲线又有什么性质呢，接下来我们一起来探讨3.1 球面曲线为封闭曲线的条件准备工作考虑平面曲线)在球极投影逆映射下的像：=（），其中s，分别代表弧长参数，为切线方向角函数，单位球心为即.熟知有(3.1.1) 将此式对s求导并取模长，经直接计算可知= (3.1.2) 记为球面曲线所对应的函数使曲率且挠率，则已知(3.1.3) 引理 3.1.1 =-证明由3.3.1）（3.3.2）可得(x，y)=()=代入（3.1.3）易得===-=注引理 3.1.2取球面内法向，则的测地曲率证明由公式易得球面曲线封闭的条件设：：（-）是单位球面上的一条曲线，其曲率和挠率都是弧长周期函数，为正数，由[3]可知，所对应的函数周期函数，其中=，注意到引理1.2，亦为周期函数，若封闭，以为封闭周期，则任取一点为北极向南极切平面作球极投影所得平面曲线一定是封闭的，且适当选取弧长起点后有确定的方向函数和封闭周期L，其中s为的弧长参数.由平面闭曲线切线的旋转指标定理和平面曲线基本定理易知，的封闭条件等价于(3.1.4)其中为的切线的旋转指标，记满足（1）式的非常值光滑函数的全体为，则是以L为封闭周期（未必是最小周期）的平面闭曲线的方向角函数族.注意到和分别是和内在确定的量，且反之在刚性运动等意义下和分别唯一确定和，由引理3.1.1易得下述结论.定理 3.1.1设单位球面上具有弧长参数的曲线所对应的函数为，则封闭的充要条件是存在使（i）=(ii)=-注若球面不是单位的，则有类似结果.为简明起见，以后也总考虑单位球面曲线.3.2 球面闭曲线的性质预备知识定义一条空间闭曲线（C）: =(s)，0称为曲线（C）的总挠率（或全挠率）.一般地，空间闭曲线的总挠率的取值范围是：-设（C）是半径为R上的球面曲线，将（C）相似映射到单位球面（s）上，像曲线为（）.设（）：引理 3.2.1κ(c)=证()=｜｜，κ(c)=由于(3.2.1) 故κ(c)=引理3.2.2证，(s)=注意到，利用（3.2.1）式即得(s)=推论3.2.1（c）与（）有相同的总挠率.证由于相似映射是保形映射，所以俩球面上第一基本形式成比例，比例系数为R，因而曲线（c）的弧长=RS，d，所以有引理 3.2.3 单位球面上的曲线（），若，则，其中. （3.2.2）证设（）：，由于从而有=0上式俩段求导，注意到，=，有即1+=0 (｜｜=1)再对上式求导，得+利用弗雷内公式，化简后得-若令由于.=-，因而有+但是，单位球面上曲线的法曲率并由+= ，得其中因此，，有，.定理3.2.1 球面上正规闭曲线的总挠率等于零证：将球面曲线（c）作相似变换，变换到单位球面（s）上.象曲线记为（）.由引理3.2.2推论知，=设在整个闭曲线（）上，则恒为正或恒为负，此时===-由于=因而(κ(L)=κ(0)).设在闭曲线（）上一些点处，这时假定在0上有有限个这样的点，例如0=各点因而在开区间（）里不变号.若在闭区间[则该区间对应（）上的是一段测地线，即大圆弧，因而是一段平面曲线，故，有若在开区间（）上总大于零或小于零，则值固定，此时=-=0把各小区间上积分相加，得（）的总挠率定理3.2.1得证定理3.2.2 对于球面上任意闭曲线，有其中是曲线的挠率，κ是曲线的曲率.证：设有半径为R上的球面闭曲线（c），作相似映射，映射到单位球面（S）上，得闭曲线（）. 按引理3.2.1、3.2.2，有，又，(C)上曲线的弧长 d=Rds，故Rds=R再由引理3.2.3，所以=-命κ==-=-=0(κ(l)=κ(0))=0定理3.2.2得证4球面曲线的应用在我们生活的地球上,地球表面十分接近于一个球面.因此,在实际生活中,球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的应用.例如,大地(天体)测量、航空、卫星定位和镜面成像等方面都需要利用球面几何知识.在理论上,球面几何是一个与欧氏几何不同的几何模型,是一个重要的非欧几何的数学模型.球面几何在几何学的理论研究方面,具有特殊的重要作用.本讲重点讲述球面几何的一些基本知识,包括球面对称性与叠合公理、极与赤道、球面三角形的内角和以及球面三角形的正、余弦定理等.通过比较球面几何与欧氏平面几何的差异和联系,感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型.下一讲重点介绍球面几何在理论与实际中的应用,例如运用球面几何定理证明欧拉公式及正多面体的分类,球面几何理论在航空导航中的应用以及球面反射和镜面成像等.5 结束语几何学是由于人类生活的需要在人类的社会实践中产生的，因此它所研究的对象，也不外是与人类生活有关的现实世界的各种物体，他们的物理性质和化学性质千差万别，但它们都无例外的有一种共同的性质，那就是它们的形状，大小和相互位置关系，几何学就是研究现实世界物体的这种几何性质的科学.球面上的曲线属于欧氏几何的范畴，比较具体并且容易理解，单独的曲线和球面我们都有了系统和深入的研究，但是对于球面上的曲线知识体系还是不成系统的，鉴于这一点，本文从一般的空间曲线出发进而研究曲线在球面上的充要条件并讨论了球面曲线的性质，接着给出了一种特殊的球面曲线即球面上的闭曲线，相应的又对它进行了在球面上的条件即性质的研究.本文依照传统几何学中对几何对象研究的方法，旨在对球面上曲线的知识做系统的整理，为初学者的学习做一个铺垫，也为今后进一步研究球面曲线作出一点贡献.本文仍有许多不足之处，希望能够批评指正.参考文献[1]杨正清.球面曲线的充要条件.华南师范大学学报，1990年第1期.[2]王幼宁.刘继志.球面闭曲线和Jacobi定理.数学学报，第40卷第2期.[3]姜树民.球面曲线一个充要条件的初等证明.松辽学刊（自然科学版），1989年第2期.[4]梅向明.黄敬之.《微分几何》.高等教育出版社，2008年5月第四版.[5]韦煜.球面上闭曲线某些性质的讨论.黔南民族师专学报.第19卷第3 期.致谢我在写毕业论文期间，孟令江老师倾注了极大的心血悉心指导，在这里我首先对孟令江老师敬以衷心的感谢，感谢他的关心、指导和教诲．孟令江老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益匪浅，终生难忘！在整个论文写作过程中，孟令江老师总是耐心地给我讲解与论文内容相关的专业知识，细心地对论文进行修改．孟令江老师追求真理、献身科学、严于律己、宽以待人的崇高品质将永远激励我认真学习、努力工作！感谢与孟令江老师同一办公室的樊丽丽、杨景飞、李艳老师的关心和帮助．感谢我的学友和朋友们对我的关心和帮助!Some Properties of spherical CurveKong Fanxin Directed by Lecturer Fan LiliAbstract This paper has a summarize conclude improvemeent about the foregong conditions and studys the conditions and the properties of spherical curves .Then it gives a discussion about a special spherical curve(closed curve)Κey word Spherical Curve condition Closed curve。
球面是空间几何中的一种重要几何体，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在空间几何中，球面可以用方程来表示和研究。
本文将介绍空间几何中的球面方程及其性质。
在三维坐标系中，球面可以由中心坐标和半径来确定。
设空间中有一点O(x0, y0, z0)为球心，半径为r，我们可以使用以下方程来表示球面：(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2其中，(x, y, z)为球面上的任意一点。
这个方程就是球面的一般方程，也是空间中球面的标准方程。
从这个方程可以看出，球面上的每一个点到球心的距离都是r，这也是球面的特性之一。
另外，根据方程，我们可以得知球面的对称性：如果(x, y, z)满足方程，则(x, y, z)的反对称点(-x, -y, -z)也满足方程。
这意味着球面在所有方向上都是对称的。
根据球面方程，我们可以进一步研究球面的性质。
对于已知球心和半径的球面方程，我们可以求解球面上的一些特殊点和特殊线。
首先，如果(x, y, z)是球面上的一点，并且满足x = x0，则该点在球面的横向平面上。
同理，如果y = y0，则该点在球面的纵向平面上，如果z = z0，则该点在球面的垂直平面上。
其次，如果(x, y, z)满足方程x = x0, 则该点在球面上的经度为0度。
类似地，如果y = y0，则该点的经度为90度，如果z = z0，则该点的经度为180度。
因此，球面上的点(x, y, z)的经度范围是[0, 180]度。
最后，如果点P(x, y, z)在球面上，则点O(x0, y0, z0)到点P的直线与球面的交点是P。
这意味着球面上的每一条线都与球心相交，且该直线的长度等于球面的半径。
这也说明了球面上每一个点都是球心的对称点。
除了以上性质，球面方程还可以用来解决一些实际问题。
例如，在物理学中，通过球面方程可以计算物体表面的曲率半径和法线方向。
在航天工程中，球面方程可以用来描述卫星轨道。
中学数学教案球面几何的性质与计算（二）中学数学教案球面几何的性质与计算（二）一、引言球面几何作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
在中学数学课程中，学生需要深入了解球面几何的性质与计算方法，以便能够灵活运用于实际问题的解决中。
本教案将继续介绍球面几何的性质与计算方法，使学生能够更加深入地理解和掌握。
二、球面角的计算1. 球面角的定义球面上的任意两条弧所夹的角称为球面角。
球面角的单位通常用弧度表示。
2. 弧度制与度数制的换算（此处可以插入一个表格，以便理解弧度制与度数制的换算关系）3. 球面角的计算方法(1) 已知半径和球冠的面积，如何计算球面角？- 解析：根据球冠的面积公式，面积S = 2πrh，其中r为球的半径，h为球冠的高。
我们可以根据已知的半径和面积，求得球冠的高h，然后再利用球冠的弧长公式计算球面角。
(2) 已知半径和球面角，如何计算球冠的面积？- 解析：根据球冠的面积公式，面积S = 2πrh，其中r为球的半径，h为球冠的高。
我们可以根据已知的半径和球面角，求得球冠的高h，然后再利用球冠的面积公式计算球冠的面积。
4. 实例演练(1) 已知半径为5cm的球，球冠的面积为50πcm²，求球冠所对应的球面角。
(2) 已知半径为8cm的球，球冠的面积为100πcm²，求球冠的高和球面角。
三、球面三角形的性质与计算1. 球面三角形的定义球面上由三条弧所围成的图形称为球面三角形。
2. 球面三角形的性质(1) 球面上任意两点之间的最短弧段为弦。
(2) 球面三角形的三个内角之和大于180°。
3. 球面三角形的计算方法(1) 已知三边求角- 解析：利用球面余弦定理可以求得球面三角形的内角。
(2) 已知两边及夹角求边- 解析：利用球面正弦定理可以求得球面三角形的边长。
(3) 已知两边和夹角求面积- 解析：利用球面正弦定理可以求得球面三角形的面积。
4. 实例演练(1) 已知球的半径为6cm，球面三角形的三边分别为7cm，8cm，9cm，求球面三角形的三个内角。
球面几何及其应用（II ）430062 湖北大学数学与计算机科学学院 李光汉４ 球面几何和欧拉定理由于同半径的球面都是相似的，在不影响研究的具体问题时，我们通常取单位球面作为研究平台。
本节我们介绍球面几何定理在欧拉定理中的应用，而且所涉及的球面都是单位球面。
4.1 球面多边形的内角和在第一讲中我们已经知道，单位球面上，任意二点、的距离是连接这两点的不超过的大圆弧AB 的长。
因此我们可以定义球面凸边形n A A A A 321是指1+i i A A (1,2,1-=n i )和1A A n 均由长度不超过的大圆弧连接而成的图形。
特别地，球面三角形ABC ∆是指AB 、BC 、分别由长度不超过的大圆弧AB 、BC 和连接而成的图形。
球面三角形的内角是指构成该角的两条大圆弧的切线的夹角。
由第一讲命题2.2我们知道，球面三角形的内角和大于，即引理4.1 在单位球面上任给球面三角形ABC ∆，其面积为ABC S ∆，则三角形的三内角和为ABC S ∆+π，即ABC S C B A ∆+=∠+∠+∠π。
球面三角形的内角和公式可以推广到球面凸多边形上去。
推论4.２ 在单位球面上任给球面凸边形n A A A A 321，其面积为，则该边形的个内角和为S n +-π)2(，即S n A A A n +-=∠++∠+∠π)2(21 。
(#)证明(用归纳法) 当3=n 时，它就是引理1.1，球面三角形的内角和定理。
假设推论４.2对于单位球面上的球面凸边形成立，现在考虑单位球面上的球面凸1+n 边形，设之为1321+n n A A A A A ，其面积为121+n A A A S 。
用大圆弧把、连接起来，并使得31A A 的弧长不超过。
由于多边形是凸的，这时大圆弧31A A 一定位于凸多边形的内部。
于是原来的球面凸1+n 边形1321+n n A A A A A 被分成球面三角形321A A A ∆和球面凸边形131+n n A A A A 。
设球面三角形321A A A ∆的顶点所对应的三角形内角记为11A ∠,顶点所对应的内角记为31A ∠，而球面凸边形131+n n A A A A 的顶点所对应的球面多边形的内角记为12A ∠，顶点所对应的球面多边形的内角记为32A ∠。
由前面的做法显然有11211A A A ∠=∠+∠， 33231A A A ∠=∠+∠，其面积有下列关系121131321++=+∆n n A A A A A A A A A S S S 。
故由归纳假设知.}2)1[(])2[()()()()()(1211431321143212312111432312121121+++-+=+-++=∠++∠+∠+∠++∠∠+∠=∠++∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠++∠+∠∆++n n A A A A A A A A A A n n nS n S n S A A A A A A A A A A A A A A A A A πππ此即我们证明了推论4.2成立。
4.2 欧拉定理的证明首先我们来定义空间中的凸(胞)腔.定义4.1 空间中的一个凸二维(胞)腔是指平面上的一个凸集, 它的边界含有有限多条线段,称为棱, 这些线段相会于点，称为顶点。
一个凸三维（胞）腔是指空间中的一个凸集，它的边界是有限多个二维（胞）腔的集合，这些二维(胞)腔称为面。
它所有二维（胞）腔的棱和顶点也称为该三维（胞）腔的棱和顶点。
一个凸三维（胞）腔的边界顶点数用表示，棱数用表示，二维（胞）腔数，即面数用表示。
于是我们有下面关于三维（胞）腔的顶点数、棱数和面数的欧拉公式命题4.3（欧拉定理） 三维（胞）腔的顶点数，棱数和面数有下列关系：2=+-k f e 。
（$）证明 设是所给的凸三维(胞)腔的边界,显然它由个平面凸多边形构成, 而每个凸多边形都是一个二维(胞)腔(见定义4.1)。
设是内一点，即它不在所给凸三维（胞）腔的边界上，把边界投影到以为中心的单位球面)1(2S 上。
由于是凸的， 这是可能的。
实际上，可以取的一个二维（胞）腔的一条棱，该棱和点决定一个平面， 平面和单位球面)1(2S 的交线即为该棱在单位球面上的投影。
通过此法每条棱在单位球面上都有投影，从而三维（胞）腔的整个边界都投影到了单位球面上。
根据上面的做法及凸集理论，球面上每点刚好被覆盖一次，这样就得到了单位球面上由球面凸多边形构成的网络。
这时是由个球面凸多边形构成的。
而且每个球面凸多边形都是所给的原凸三维（胞）腔的边界的二维（胞）腔在单位球面上的投影。
因此单位球面上的网络所含的球面凸多边形的个数、边（或棱）数和顶点数分别与所含的平面凸多边形的个数（即三维胞腔的面数）、边（或棱）数和顶点数相同。
用),2,1(f j P j =表示第个球面凸多边形。
对每个球面凸多边形，由球面凸多边形的内角和定理（#）有j j j j n i ji S n S n j +-=+-=∑=πππα2)2(1。
（%）其中为该球面凸多边形的边数, 为该球面凸多边形的面积。
对于固定的，是该球面凸多边形的个内角。
现对一切球面凸多边形求和，则因为每个顶点处的诸角和是（球面上一点处，过该点的大圆弧的切线在一个平面上），由于共有个顶点，从而所有多边形的内角和应为e π2，即e ej n i ji j πα211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==。
由于每条棱为两个多边形共有，故,221k n n n f =+++ 即∑==fj j k n 12ππ。
显然又有∑==f j f 122ππ 且 =∑=f j j S1整个单位球面的面积π4=。
于是（%）式对求和有ππππ4222+-=f k e 。
整理即得（$）式，从而完成了欧拉定理的证明。
4.3 空间中正多面形的讨论此小节我们利用欧拉定理($)式讨论空间中的正多面形的个数问题。
给定空间中一个任意的凸多面形，它是一个凸三维(胞)腔的边界，设其面数、边（棱）数和顶点数分别为、和。
设为该多面形上具有边（棱）凸二维(胞)腔的个数，也就是边（棱）数为的面的个数。
显然3≥n 且∑≥=3n n f f 。
（1）由于每边属于两个相邻的多边形，所以∑≥=32n n nf k （即所有多边形的边数和）。
（2）设为多边形上有条棱相会的顶点的个数。
由于空间中的一个多面形至少有4个面，故过每个顶点至少有3条棱，即有∑≥=3m m e e 。
（3）由于每条棱有两个顶点，于是有∑≥=32m m me k （即汇聚于所有顶点的边数的总和）。
（4）把（1）、（2）和（3）代入欧拉定理（$）式得∑∑∑≥≥≥=-+333422n n m n n m nf f e 。
（5）把（1）、（3）和（4）代入欧拉定理（$）式得∑∑∑≥≥≥=-+333422m m m n n m me f e 。
（6）上述两式相加得∑∑∑∑≥≥≥≥+=-+3333844m m n n m n n m me nf f e, 或者08)4()4(33=+-+-∑∑≥≥m n n m f n em 。
把求和中的3=m 、和3=n 、写成单项并合并有∑∑≥≥-+-+=+5533)4()4(8m m n n e m f n f e 。
由于上式右端全为非负的数，故有推论4.4 每一个凸多面形(或多面体)或者有三角形的面，或者有三棱形的顶点，也可能兼有二者。
以2乘以（5）式，再与（6）式相加得∑∑∑∑≥≥≥≥+=-+333321266m m n n m n n m me nf f e， 或者∑∑≥≥-+-=-33)62()6(12m n n m f n e m 。
移项使方程两边只含有正项得∑∑≥≥-+-+=++73543)6()62(1223m m n n e m f n e e e 。
于是1223543≥++e e e 。
与此类似也有1223543≥++f f f 。
由这两个不等式可以得到空间中的凸多面形有如下限止：推论4.5 (i) 每个凸多面形必含有三棱、或四棱或五棱的顶点。
(ii) 每个凸多面形必有三角形、四角形或五角形的面。
正因为一个凸多面形有上述限止，空间中的正多面形必然不会有任意多的边数。
下面我们就利用欧拉定理来讨论空间中的正多面形的个数问题。
设一个正多面形的各面有相同的边数，它的各顶点有相同的棱数，于是m e e =， n f f =。
此时（2）、（4）式和欧拉定理($)式变为nf me k ==2 和 2=+-f k e 。
已知、由上式便可解得mnn m n e -+=)(24, mnn m mn k -+=)(22, mn n m m f -+=)(24。
故当3=m 时，分母都是n -6，因此53≤≤n 。
同样，当3=n 时，53≤≤m 。
我们把一切可能的和的取值列成下表：我们把上述表格用一个定理来表述即为命题4.6空间中只有五种正多面形，即正四面形、正六面形、正八面形、正十二面形和正二十面形。
５球面坐标系与导航问题本节我们给出球面几何在飞行导航系统中的一个应用。
在民航飞行中常常会遇到这样一个问题：同一个点的坐标，使用我国民航总局制定的航图查出来的坐标值，与使用杰普逊公司的航图查出来的往往不是完全相同，有着或多或少的差别。
比如，在一个机场，当输入停机位置的全球定位系统（Global Positioning System - GPS）的坐标时，飞机明明停在跑道的南侧停机坪上，但是在中国飞行图（Ｆlying Maps of China –FMC）上却显示飞机到了跑道的北侧。
而实际跑道北侧根本就没有飞机的影子。
这是什么原因造成的呢？如下我们可以看到，由于使用了不同的球面坐标系，才导致了上述差异。
为了说明上述原因，我们首先了解球面坐标系。
在飞行中所涉及的有地理坐标系（即通常的经纬度坐标系，也称球面坐标系）和平面坐标系。
经纬度坐标系可以确定地球上任何一点的位置。
如果我们将地球看作一个椭球体，经纬网线就是加在这个椭球表面的地理坐标参照系格网。
穿过椭球（或地球）自转的子午面与椭球表面的交线称为子午线或经线，其中穿过英国格林尼治天文台的子午线称为起始子午线。
通过椭球旋转中心且与旋转轴垂直的赤道面与椭球（或地球）的交线称为赤道，其他与旋转轴垂直但不通过旋转中心的平面与椭球的交线称为纬线。
经度是任一子午面与起始子午面的夹角，从起始子午面向东为东经，向西为西经。
从椭球（或地球）上某点做椭球的切平面，过点做垂直于切平面的法线（显然这个法线并不过椭球或地球的中心），法线与赤道面的夹角称为纬度，赤道向北称为北纬，向南称为南纬。
由于经纬度坐标系是一种球面坐标系，而度并不是衡量长度的单位，不能用它来测量长度和面积，所以我们需要通过一定的数学方法将这样的球面坐标系投影到二维平面上，进而形成平面坐标系，也就是航图－－地图中采用的坐标系。
