《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案1

幂函数、指数函数、对数函数增长的比较一、教学目标1、知识与技能（1）利用计算工具，结合数学探究实验，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长的快慢；（2）结合实例，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.（1）学生小组合作，动手实践，借助图形计算器解决生活实例；（2）教师指导学生利用CASIOfx-CG20CN图形计算器，利用图形、表格、动态图等功能，完成3个探究实验，对指数函数、对数函数、幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；3、情感态度价值观（1）体会函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用；（2）激发学生主动探究问题的兴趣，提高自主学习能力.二、教学重点、难点重点：比较幂函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点：选择合适的数学模型分析解决实际问题.三、教学过程观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图像有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断。

首先，对于模型y=0.25x，显然当x∈(20,1000]时，y>5,因此该模型不符合要求。

其次，对于模型y=1.002x，利用casio图形计算器的求交点或解方程功能，可知1.002806≈5.05，由于y=1.002x是增函数，故当x∈(806,1000]时，y>5,因此，该模型也不符合要求。

而对于模型y=log7x+1，它在区间[10,1000]上单调递增，且当x=1000时，用计算器可求得：y= log71000+1≈4.55<5，所以它符合资金总数不超过5万元的要求。

再由上图，及下边局部放大图（标记了交点）可以看出：当x∈[10,1000]时，都有log7x+1<0.25x,这说明，按模型y=log7x+1奖励不超过利润的25%.综上所述，模型y=log7x+1确实符合公司要求。

指数函数、对数函数、幂函数增长速度比较教学设计【教学设计中学数学】区县雁塔区学校西安市航天中学姓名贾红云联系方式135********邮编*****《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计一、设计理念《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。

本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。

二、教学目标1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性；2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异；3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值.三、教学重难点教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含义。

教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异四、教学准备⒈提醒学生带计算器；⒉制作教学用幻灯片；⒊安装软件：几何画板，准备多媒体演示设备五、教学过程㈠基本环节㈡教学过程分析⒈创设情景，引起悬念杰米和韦伯的故事一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。

精 品 教 学 设 计《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》设计理念：以建构主义理论为支持，以问题思考——实践认知———实验探究————巩固知识为主线，注重新课引入，通过分析比较降次思想,构造商式函数二种方法比较函数增长的快慢更好的掌握这节课的内容教学目标：知识目标：会用二种方法比较函数增长的快慢，明确指数函数增长的快慢特点能力目标：渗透分类、比较、归纳的数学思想情感目标：注重数学知识与实际生活得紧密联系，增强数学的趣味性，提高学生学习数学的兴趣教学重点：函数增长快慢的比较教学难点：降次思想,构造商式函数教学准备：制作ppt,几何画板,学生提前预习教学过程：一、问题思考1.指数函数x y a = (1a >)，对数函数log a y x =(1a >)和幂函数n y x = (n>0)在区间(0,)+∞上的单调性如何？2、对于这三种增加的函数，它们的函数值的增长快慢有何差别呢？二、实践认知观察函数2x y =，100(0)y x x =>，2log y x =的自变量与函数值（取近似值）的对应表，思考这三个函数的增长快慢如何？三、实验探究利用几何画板画出指数函数、幂函数和对数函数的图象，观察图象比较函数增长的快慢.1、观察函数2x y =，2(0)y x x =>，2log y x =的图像，这三个函数的增长快慢如何？2、观察函数2x y =，2(0)y x x =>的图像，有几个交点？3、比较2x y =，3(0)y x x =>增长的快慢.4、比较2x y =，100(0)y x x =>增长的快慢.四、降次思想采用降次的方法可以比较函数增长的快慢：对于函数2x y =与100(0)y x x =>，由图象知不便于比较，若分别对函数2x y =，100(0)y x x =>两边取以2为底的对数，则得到函数y x =和2100log y x =，这样就只需比较函数y x =和2100log y x =的增长情况.五、构造商式函数 构造商式函数1002()(0)xh x x x=>，只需观察函数()h x 与1的大小关系. 六、归纳总结若1,0a n >>，那么当x 足够大时，一定有log .x n a a x x >>。

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计1．认识增长的概念，通过数表的直观，体会幂函数、指数函数、对数函数增长速度的差异． 2．通过函数增长的比较过程，学习比较的方法，积累选择直观方式和比较大小(快慢)的经验．重点：三类函数增长的结论，函数增长快慢比较的常用方法． 难点：通过数据分析表述函数增长快慢的理由．一、新课导入我们已经知道，给定常数a ，b ，c ，指数函数y =a x (a >1)、对数函数y =log b x (b >1)、幂函数y =x c (x >0，c >0)都是增函数；而且当x 的值趋近于正无穷大时，y 的值都是趋近于正无穷大的．那么，这3个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢?如果把自变量看作时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样?设计意图：开门见山，永上启下，温故知新；以赛跑的生活化场景，拉近数学与生活的距离，增强趣味性和探究欲.二、新知探究问题1 怎么比较三个函数增长得快慢呢?（经过短时讨论，确定：先猜增长快慢的关系，再利用猜想的中间量，分别比较另外两个量，试图印证猜想.）猜想：三类函数的增长，指数函数最快，对数函数最慢． 追问 怎样实现两个函数增长的比较呢?经过短时讨论，一致认为要借助直观，要从具体的函数入手研究． 答案：图表是直观的，利用图表分析具体函数的增长． (1)先比较具体的y =x 12和y =log 2x ，观察下表． x 20 22 23 24 26 28 210 212 214 216 y =x 12 1 2 2√2 4 8 16 32 64 128 256 y =log 2x2346810121416（学生分析数表得出增长结论．）◆教学目标◆教学重难点 ◆◆教学过程结论：可以看出，当x的取值充分大时，幂函数y=x 12比对数函数y=log2x增长快，而且快很多．(2)再比较具体的y=2x和y=x100，观察下表：结论：可以看出，当x的取值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多．设计意图：通过数形结合分析，形成全方位的直观感受．问题2：试着总结指数函数、对数函数、幂函数图象的特征．答案：追问：试对指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log b x(b>1) 、幂函数y=x c(x>0，c>0)的不同增长情况进行比较．答案：随着x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．在区间(0，+∞)上，当a>1，c>0时，当x足够大时，随着x的增大，y=a x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x c的增长速度，而y=log b x的增长速度则越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，一定有a x>x c>log b x，指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．总结：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型．（3）函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上．三、应用举例例1 从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿．“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米．”发明者说．“只是几粒米?”国王回答说．“是的，只要在棋盘的第一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上四粒米…,以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋盘为止，这就是我的愿望．”国王很高兴．“如此廉价便可以换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了．"国王想．于是国王大声地说“好!把棋盘拿出来让我的臣子们一起见证我们的协议”．国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗?解第x格放的米粒数显然符合指数函数f(x)=2x−1(x∈{1，2，3，…，64})，本题实际上是求64个函数值的和，我们不妨求f(64)=263≈9．22×1018．假定每1000颗麦子重40克，f(64)=3500亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．例2 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案?解令第x天，回报为y元方案一：y=40方案二：y=10x(x∈N+)方案三：y=2x−1∙0.4(x∈N+)投资7天及以下选择方案一投资8-10天选择方案二投资11天及以上选择方案三．)内恒成立，求实数m的取值范围．例3若不等式x2−log m x<0在(0，12解分析：由x2−log m x<0得x2<log m x，把不等式的两边分别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．在同一坐标系中作y=x2和y=log m x的图象，要使x2<log m x在(0，12)内恒成立，只需y=log m x在y=x2的图像的上方，于是0<m<1，∵x=12时，y=x2=14，∴只要x=12时，y=log m12⩾14=log m m14∴12⩽m14，即116⩽m，又0<m<1，所以116⩽m<1，故m取值范围为[116，1)．四、课堂练习1．对于函数y=3x与y=x3：(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；(2)y=3x比y=x3增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．参考答案：1．（1）通过软件绘图可以得到两个函数有两个交点．(2)这两个函数有两个交点，在第一个交点前，y=3x的图象一直在y=x3的图象上方，过了第一个交点直至第二个交点之间y=x3在y=3x的图象的上方，多了第二个交点后y=3x图象一直在y=x3的上面．五、课堂小结当b>l，c>0 时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有y=x c比y=log b x增长快．当a>1，c>0时，即使a很接近于1，c很大，都有y=a x比y=x c增长快．y=a x(a>1) 随着自变量x的增大，y=a x的函数值增长远远大于y=x c的函数值增长；而y=x c的函数值增长又远远大于y=log b x的函数值增长．当a>1时指数函数值增长非常快，因而常称这种现象为”指数爆炸”．六、布置作业教材第113页习题4-3A 组第1-6题﹒。

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。

【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。

【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。

【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。

【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 [互动过程1] 复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数222,,log x xy y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。

你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？ 二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题：x ◆ 教学重难点◆ 课前准备◆ 教学过程当1a >时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。

当1a >时，指数函数log xa y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。

当0,1x n >>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。

那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x xy y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。

《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。

【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。

【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。

【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。

【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。

【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分[互动过程1]◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学过程◆教学目标复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数222,,log x xy y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。

你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？ 二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题：当1a >时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。

当1a >时，指数函数log xa y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。

当0,1x n >>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。

那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x xy y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。

学习资料专题3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较问题导学一、比较函数增长的差异活动与探究1分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．迁移与应用下列所给函数，增长最快的是( )．A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x活动与探究2已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．迁移与应用其中关于x成指数函数变化的函数是__________．比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．二、比较大小问题活动与探究3比较下列各组数的大小：(1)3423⎛⎫⎪⎝⎭，2334⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)0.32，log 20.3,20.3.迁移与应用1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )．A ．0.76＜log 0.76＜60.7B ．0.76＜60.7＜log 0.76C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.72．试比较a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x 2＋0.3)(x ＞1)的大小．解决这类题目的关键在于构造恰当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．当堂检测1．下面对函数f (x )＝12log x 与g (x )＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )．A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快2．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )． A ．y ＝100x B ．y ＝log 100xC ．y ＝x 100D ．y ＝100x3．已知函数f (x )＝3x，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，有( )． A ．f (x )＞g (x ) B ．g (x )＞f (x ) C ．f (x )≥g (x ) D ．g (x )≥f (x )4．函数y 1＝2x 与y 2＝x 2，当x ＞0时，图像的交点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．当12＜a ＜1时，若x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，z ＝－2a，那么x ，y ，z 之间的大小关系是__________．答案：课前预习导学【预习导引】 大 小 大预习交流 提示：存在，因为函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)，y ＝x n(n ＞0)在区间(0，＋∞)上都是增加的，但随着x 的增大，y ＝a x(a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，恒有log a x ＜x n ＜a x.课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题时，应分析对于相同自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．解：指数函数y ＝2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，Δx ＝2，Δy ＝23－21＝6； 对数函数y ＝log 2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，Δx ＝2，而Δy ＝log 23－log 21≈1.585 0.由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y ＝2x随着x 的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y ＝log 2x 的增长速度逐渐变得很缓慢．迁移与应用 D活动与探究 2 思路分析：(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线对应的函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a ，b 的值．解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x .(2)依题意知x 1和x 2是使两个函数的函数值相等的自变量x 的值．当x ＜x 1时，2x ＞x 3，即f (x )＞g (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＜g (x )； 当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )．由于f (1)＝2，g (1)＝1，f (2)＝22＝4，g (2)＝23＝8， 所以x 1∈[1,2]，即a ＝1；又因为f (8)＝28＝256，g (8)＝83＝512， f (8)＜g (8)，f (9)＝29＝512， g (9)＝93＝729，f (9)＜g (9)．f (10)＝210＝1 024，g (10)＝103＝1 000，f (10)＞g (10)，所以x 2∈[9,10]，即b ＝9. 迁移与应用 y 1 解析：指数函数中的增长量是成倍增加的，函数y 1中增长量分别为6,18,54,162,486，1 458，4 374，…，是成倍增加的，因而y 1呈指数变化．活动与探究3 思路分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解．解：(1)∵函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x为R 上的减函数，又34＞23，∴23342233⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增加的，且34＞23，∴22333243⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴23343243⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)令函数y 1＝x 2，y 2＝log 2x ，y 3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作直线x ＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log 20.3＜0.32＜20.3.迁移与应用 1．D 解析：∵60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴lo g 0.76＜0.76＜60.7.2．解：1＜a ＝20.3＜2，b ＝0.32＜1，∵x ＞1，∴c ＝log x (x 2＋0.3)＞log x x 2＝2.∴b ＜a ＜c . 【当堂检测】 1．C2．D 解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝100x的增长速度最快．3．A解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )=3x ，g (x )=2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )=3x 的图像在函数g (x )=2x 的图像的上方，则f (x )＞g (x )．4．C 解析：当x ＝2、4时，y 1＝y 2，当x ＞4时，y 1＞y 2.故交点个数是2.5．y ＞x ＞z 解析：画出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝－2x的图像，由图像可知，当12＜a ＜1时，log 3a ＞log 2a ＞－2a，即y ＞x ＞z .。

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[核心必知]1．三种函数的增长特点(1)当a ＞1时，指数函数y ＝a x是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a ＞1时，对数函数y ＝log a x 是增函数，并且当a 越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x ＞0，n＞1时，幂函数y ＝x n显然也是增函数，并且当x ＞1时，n 越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y ＝x n(n ＞0)，指数函数y ＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a ＞1，n ＞0，那么当x 足够大时，一定有a x ＞x n＞log a x .[问题思考]1．2x＞log 2x ，x 2＞log 2x ，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立． 2．2x ＞x 2在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：不一定，当0＜x ＜2和x ＞4时成立，而当2＜x ＜4时，2x＜x 2.讲一讲1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数型函数变化的变量是________．[尝试解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从5开始变化，变量y 4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y 4关于x 不呈指数型函数变化；而变量y 1，y 2，y 3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y 2的增长最快，画出图像可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．答案：y 2解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．练一练1．下面是f (x )随x 的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？ 解：(1)随x 的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f (x )＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f (x )＝log 2x ，而且增长的幅度越来越小．讲一讲2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？ [尝试解答] 设第x 天所得回报是y 元． 由题意，方案一：y ＝40(x ∈N ＋)；方案二：y ＝10x (x ∈N ＋)； 方案三：y ＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．练一练 2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 50 110250 种植成本Q150108150个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，因此，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.1．下面对函数f (x )＝与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快解析：选 C 在同一坐标下分别作出函数y ＝和y ＝(12)x的图像，由图像知C正确．2．下列所给函数，增长最快的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A.4．已知函数f (x )＝3x，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g(x )的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x，g(x )＝2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )＝3x的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m ，从2016年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，，∴x 年后湖水量y ＝m ·(q %)x＝答案：y ＝6．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x ；(2)当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )．一、选择题1．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x解析：选 D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝10x的增长速度最快．2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：选 D y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.3．函数y ＝2x－x 2的图像大致是( )解析：选A 由图像可知，y ＝2x与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x成立，即y <0，故排除 D.4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：选D 在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．解析：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3，…，10年后，y ＝15(1＋x )10. 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x－1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1,1)，(－1，－1)；而③y ＝e x－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ，b ＝x 3，c ＝，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x∈(0,1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x的图像：要使x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时，有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12.∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分，第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈2 147.48(万元)．所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1000]上单调递增，当x ∈(20,1000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x ＝1000时，y ＝log 71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10, 1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10,1000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．1.指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．(2)指数函数的底数a ＞0且a ≠1，这是隐含条件．(3)指数函数y ＝a x的单调性，与底数a 有关．当底数a 与1的大小不确定时，一般需分类讨论．(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5)函数y ＝a x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图像关于y 轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．2．对数与对数函数(1)指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．(2)在使用运算性质log a M n＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝n m log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活运用．(4)对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图像关于x 轴对称．(5)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称．(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[典例1] 化简：(1)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3ab ；(2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3； (3)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.[解](1)原式＝a13a －8b 2b 132＋2a 13b 13＋a 132×a13a 13－2b 13×a 13b 13＝a 13a －8b a －8b ×a 13×a 13b 13＝a 3b .(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.36＋lg 38＝lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1.[借题发挥] 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．[对点训练]1．若2.5x ＝1 000,0.25y＝1 000，则1x－1y＝________.解析：由已知得：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，∴1x －1y＝1log 2.51 000－1log 0.251 000＝lg 2.5lg 103－lg 0.25lg 103 ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13lg 2.50.25＝13lg 10＝13.答案：132．已知log a x ＝4，log a y ＝5，试求A ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 31xy 212的值． 解：log a A ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a x ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12log a x －2log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56log a x －23log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56×4－23×5＝0.∴A ＝1.[典例2](1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，则a ，b 满足的关系是 ( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1(2)已知函数y ＝ax 2－3x ＋3，当x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．[解] (1)由图像，知该函数为增函数． ∴a ＞1.又当x ＝0时，－1＜f (0)＜0， 即－1＜log a b ＜0，即log a 1a＜log a b ＜log a 1.∴1a＜b ＜1.结合a ＞1，知0＜a －1＜b ＜1.(2)令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3，①若a ＞1，则y min ＝a 34＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意． 综合①，②知a ＝12.[答案] (1)A[借题发挥] 指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．[对点训练]3．函数f (x )＝ax －b的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 由f (x )＝a x －b的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1；函数f (x )＝ax －b的图像是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4x ≤1，x 2－4x ＋3x ＞1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像(图略)，由图像可知：两函数图像的交点有3个．5.定义在[－1,1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．∴f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a ·2x.∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝4x－a·2x，x∈[0,1]．(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－a·2x，令t＝2x，则t∈[1,2]．∴g(t)＝t2－at＝⎝⎛⎭⎪⎫t－a22－a24.当a2≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当1＜a2≤32，即2＜a≤3时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当32＜a2≤2，即3＜a≤4时，g(t)max＝g(1)＝1－a；当a2＞2，即a＞4时，g(t)max＝g(1)＝1－a.综上知，当a≤3时，f(x)的最大值是4－2a；当a＞3时，f(x)的最大值是1－a.[典例3] 比较下列各组数的大小．(1)log323与log565；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．[解] (1)∵log323＜log31＝0，而log565＞log51＝0，∴log323＜log565.(2)∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴1log0.71.1＜1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y＝为减函数，且∴b＞a＞c，而y＝2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.[借题发挥]比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．提示：作出函数y＝log1.1x与y＝log1.2x的图像，如图所示，两图像与x＝0.7相交，可知log1.10.7＜log1.20.7.[对点训练]6．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为( )A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7解析：选 D ∵0＜0.7＜1,6＞1，∴log0.76＜0，而0＜0.76＜1,60.7＞1，故log0.76＜0.76＜60.7.7．若x ∈(1,10)，则(lg x )2，lg x 2，lg(lg x )的大小顺序是 ( )A ．(lg x )2＜lg x 2＜lg(lg x ) B ．lg(lg x )＜lg x 2＜(lg x )2C ．lg x 2＜lg(lg x )＜(lg x )2D ．lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2解析：选D ∵x ∈(1,10)，∴不妨令x ＝10，则lg(lg x )＝lg(lg 10)＜0，(lg x )2＝(lg 10)2＝14，lg x 2＝lg(10)2＝1， ∴lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2.[典例4] 已知函数f (x )＝log 2(2x＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的；(2)若关于x 的方程log 2(2x－1)＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．[解] (1)证明：任取x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝＝∵x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的． (2)法一：∵m ＝log 2(2x－1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23，∴13≤1－22x ＋1≤35. ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.法二：解方程log 2(2x－1)＝m ＋log 2(2x＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ，∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2， 解得log 213≤m ≤log 235.∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.[借题发挥] 若本例中函数不变，如何解不等式f (4x)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3？[对点训练]8．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选A ∵3x＋1＞1，∴log 2(3x＋1)＞0.9．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，求k 的值．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx .∴2kx ＝log 4(4－x＋1)－log 4(4x＋1)＝log 44－x＋14x ＋1＝log 44x＋14x 4x ＋1＝log 414x ＝－x .∴2k ＝－1. ∴k ＝－12.（时间：90分钟 满分120分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2xB ．g (x )＝C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．g (x )＝log 2x解析：选C 由点(2，－1)在y ＝log a x 的图像上， 得log a 2＝－1，∴a ＝12.∴f (x )＝，从而g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.2.12log 612－log 62等于( ) A ．6 2 B ．12 2 C.12D ．3解析：选C 原式＝log 612－log 62＝log 66＝12.3．若集合A ＝，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞4．(重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23>1，c ＝log 32<log 33＝1，故a ＝b >c . 5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c解析：选D a ＝log 54＜1，log 53＜log 54＜1，b ＝(log 53)2＜log 53，c ＝log 45＞1，故b ＜a ＜c .6．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x －1的图像关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C f (x )＝lg 1＋x1－x ，则f (x )的定义域为(－1,1)，又∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg 11＋x1－x ＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴该函数的图像关于原点对称．7．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：选A 由2a＝5b＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b＝2.∴log m 10＝2. ∴m 2＝10，∵m >0，∴m ＝10.8．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a|x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 函数y ＝ax 2＋bx 的两个零点是0，－b a. 对于A 、B ，由抛物线的图像知，－b a∈(0,1)， ∴b a∈(0,1)．∴函数y ＝log|b a|x 不是增函数，错误； 对于C ，由抛物线的图像知a ＜0且－b a＜－1， ∴b ＜0且b a＞1. ∴b a＞1.∴函数y ＝log|b a|x 应为增函数，错误；对于D ，由抛物线的图像知a ＞0，－b a∈(－1,0)， ∴|b a |∈(0,1)．满足y ＝log|b a|x 为减函数． 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1x ＜2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：选C 当x 0≥2时，∵f (x 0)＞1， ∴log 2(x 0－1)＞1，即x 0＞3；当x 0＜2时，由f (x 0)＞1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0＜－1. ∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 由题意知，函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如图实线部分为f (x )的图像)可知A (4,6)为函数f (x )图像的最高点， ∴f (x )max ＝6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷＝________.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100÷10－1＝－2×10＝－20.答案：－2012．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )， 即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)， 化简得x (e －x ＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 答案：－113．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝|log 3x |的解的个数是________．解析：如图，画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝|log 3x |的图像，两图像的交点个数为2.答案：214．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )＞0的解集是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上是减函数， ∴f (log 4x )＞0⇒log 4x ＞12或log 4x ＜－12，∴x ＞2或0＜x ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg 4； (2)求不等式21－2x＞18的解集． 解：(1)原方程可化为lg(x ＋1)(x －2)＝ lg 4，∴(x ＋1)(x －2)＝4，解得x ＝－2或3，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －2＞0⇒x ＞2,∴方程的根为3. (2)原不等式可变为：21－2x＞2－3，又y ＝2x为R 上的增函数， ∴1－2x ＞－3，解得：x ＜2. 所以解集为{x |x ＜2}．16．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝(12)t －a，将点(3,1)代入得a ＝3. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3. 综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 0≤t ≤1，12t －3 t >1. (2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916个小时． 17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤1，log 3x 3·log 3x 9，x ＞1.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值．解：(1)∵log 232＜log 22＝1， ∴f (⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12， 即f (x )min ＝12. 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t ＞0，∴y ＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵t ＞0，∴当t ＝32时，y min ＝－14＜12. ∴f (x )的最小值是－14. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝0；当x >0时，f (x )＝2x －12x ，由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2×2x－1＝0.解得2x ＝1＋2或2x ＝1－2(舍去)．∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0.即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)。

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【教学目标】1．通过具体实例体会三类函数模型增长的差异，提升数学建模素养。

2．利用三类函数的图像对比研究函数的增长快慢培养直观想象素养。

【教学重难点】1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性。

重点2．会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。

难点【教学过程】一、基础铺垫1三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数＝a是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快。

当a>1时，对数函数＝og a是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快。

当>0，n>1时，幂函数＝n也是增函数，并且当>1时，n越大，其函数值的增长就越快。

思考1：在指数函数、对数函数、幂函数三类函数中，函数值增长最快的是哪个函数？[提示]指数函数2三种函数的增长对比对数函数＝og a a>1增长最慢，幂函数＝n n>0，指数函数＝aa>1增长的快慢交替出现，当足够大时，一定有a>n>og a。

思考2：在区间0，＋∞上，当a>1，n>0时，是否总有og a1，n>0，>0时，og a g1，f2g10。

∴12时，f>g，且g在0，＋∞上是增函数。

∴f2 016>g2 016>g8>f8。

【教师小结】函数＝aa>1＝og a a>1＝n n>0性质在0，＋∞上的单调性递增递增递增增长的速度先慢后快先快后慢随着n值的不同而不同图象的变化随的增大越来越陡随的增大逐渐变缓随着n值的不同而不同（二）指数、幂、对数比较大小1常用方法单调性法、图象法，中间搭桥法、作差商法。

2当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较。

3比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即先将它们分为“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小。

高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案1 北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教案1 北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较本节教材分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。

课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1、知识与技能：结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．2、过程与方法: 能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．3、情感、态度、价值观：体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点:将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学建议:1.介绍使用科学计算器计算大数的计算方法。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较|学习目标|1．会利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的意义.在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.1．实际生活中，哪些问题与指数函数有关？答：在实际应用中有关增长率(或减少率)、存款利率、或由物理概念建立起来的函数关系都与指数函数有关，常用到指数函数的概念和性质求解．2．指数函数与对数函数关系如何？答：由于指数函数与对数函数互为反函数，在指数式与对数式的计算中可以相互转化，因而指数函数、对数函数联系紧密，不可分割．3．幂函数在实际生活中有何应用？答：幂函数y＝xα，当α＝1，2，－1等值时，就是我们常说的正比例、二次、反比例等常见函数．在实际应用中，它们或由它们构成的复合函数经常遇到．解这类题目的关键是通过转化、换元等方法将问题转化为单一的幂函数求解．试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像的全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：表1x0 2 4 6 8 10 12 14 16 …y＝2x 1 4 16 64 256 1 024 4 096 16 384 65 536 …y＝x20 4 16 36 64 100 144 196 256 …x0 10 20 30 40 50 60 70 80 …y1＝2x 1 1 024 1.05E＋061.07E＋091.10E＋121.13E＋151.15E＋181.18E＋211.21E＋24…y2＝x20 100 400 900 1 600 2 500 3 600 4 900 6 400 …对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2，4)和(4，16)．结合图像可得：当x∈(0，2)时，2x>x2；当x∈(2，4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．【方法总结】(1)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(2)对数函数y＝log a x，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度平缓(越来越慢)．指数函数y＝a x，当a>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度急剧(越来越快)，常用“指数爆炸”来形容．幂函数y＝x n，当n>1时，在(0，＋∞)上是增函数，其增长速度相对平稳．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的，从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.答案：y2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x∈(20，1 000)时，y>5.因此该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)．由图像可知它是单调递减的，因此 f (x )≤f (10)≈－0.316 7<0，log 7x ＋1<0.25x . 所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x<0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．【方法总结】 数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数y ＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可以用函数y ＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可以用函数y ＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．我们先用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况，并作出三个函数的图像如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表．∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三.若不等式x 2－log m x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 由x 2－log m x <0得x 2<log m x .在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的图像， 要使x 2<log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，只需y ＝log m x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的图像在y ＝x 2的上方，于是0<m <1，如图所示．∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14. ∴12≤m 14，即116≤m .又0<m <1，∴116≤m <1. 故所求m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.【方法总结】 指数函数、对数函数与一次、二次函数比较大小问题，可利用函数图像来进行．转化和数形结合思想是此类题常用思路．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0且a ≠1)的图像有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：函数y ＝|a x －1|的图像可看作由y ＝a x 的图像向下平移1个单位，再把x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方而得到的．当0＜a ＜1时，y ＝|a x －1|的图像如图(1)所示．要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|有两个不同交点，则需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12.当a ＞1时，y ＝|a x －1|的图像如图(2)所示．要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|有两个不同交点，则需0＜2a ＜1，即0＜a ＜12(舍去)．已知a2＞a 13，求实数a 的取值范围．【错解】 设f (x )＝a x，则f (2)＝a 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝a 13，由于2＞13，∴f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则f (x )在R 上是增函数，∴a ＞1.【错因分析】 错解中构造指数函数，缩小了a 的取值范围．对指数函数与幂函数未能很好的区分开．本题可构造幂函数求解．【正解】 设y ＝x 2，y ＝x 13，在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图像，如图所示． 当x 取满足x 2＞x 13的值时，函数y ＝x 2的图像在函数y ＝x 13图像的上方．由图像可得，满足x2＞x 13的x 的取值范围是x ＜0或x ＞1，即实数a 的取值范围是a＜0或a ＞1，也就是(－∞，0)∪(1，＋∞)．1．下列函数中，随着x 的增大而增加速度最快的是( ) A ．y ＝1100e x B ．y ＝100mx C ．y ＝x 100 D ．y ＝100×2x答案：A2．函数v 随着t 变化的函数值列表如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －1解析：代入点(3.0，4.04)，(4.0，7.5)验证可知应选C ． 答案：C3．四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别为f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：在同一坐标系中画出函数f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )，f 4(x )的图像可知(图略)，当x >4时从上往下依次是f 4(x )，f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )．答案：D4．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系：y＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是()A．①②③B．①②③④C．②③④D．①②解析：当t＝1时，y＝2，即a＝2，①正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，②正确；浮萍从4 m2经过1.5个月面积为23.5＝272＝27＝128<144＝12，③不正确；随着时间的增加，浮萍每个月增加的面积逐渐增大，④不正确．答案：D5．以下是三个函数y1，y2，y3随x变化的函数值列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 …y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …y30 1 1.585 0 2 2.321 9 2.585 0 2.807 4 3 …解析：根据指数函数、幂函数、对数函数的增长趋势，可判断y3增长的比较平缓，符合对数型函数的增长情况．答案：y3。

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较问题导学一、比较函数增长的差异活动与探究1分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．迁移与应用下列所给函数，增长最快的是( )．A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x活动与探究2已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图，设两个函数的图像相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)若x1∈[a，a+1]，x2∈[b，b+1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由．迁移与应用其中关于x成指数函数变化的函数是__________．比较不同函数增长快慢时，一方面要熟记指数函数、对数函数、幂函数的不同增长特点；另一方面，要善于运用图像，根据图像特点来分析和比较函数的增长速度．一般地，(1)随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数．(2)图像趋于平缓的函数是对数函数．(3)介于两者之间的是幂函数．二、比较大小问题活动与探究3比较下列各组数的大小：(1)3423⎛⎫⎪⎝⎭，2334⎛⎫⎪⎝⎭；(2)0.32，log20.3,20.3.迁移与应用1．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )．A．0.76＜log0.76＜60.7 B．0.76＜60.7＜log0.76C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.72．试比较a ＝20.3，b ＝0.32，c ＝log x (x 2＋0.3)(x ＞1)的大小．解决这类题目的关键在于构造恰当的函数，若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；若指数不同而底数相同，则考虑指数函数；若底数不同，指数也不同，需引入中间量，利用幂函数与指数函数的单调性，也可以借助幂函数与指数函数的图像．当堂检测1．下面对函数f (x )＝12log x 与g (x )＝12x⎛⎫⎪⎝⎭在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )．A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快2．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )． A ．y ＝100x B ．y ＝log 100xC ．y ＝x 100D ．y ＝100x3．已知函数f (x )＝3x，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，有( )． A ．f (x )＞g (x ) B ．g (x )＞f (x ) C ．f (x )≥g (x ) D ．g (x )≥f (x )4．函数y 1＝2x 与y 2＝x 2，当x ＞0时，图像的交点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．当12＜a ＜1时，若x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，z ＝－2a，那么x ，y ，z 之间的大小关系是__________．答案：课前预习导学 【预习导引】 大 小 大预习交流 提示：存在，因为函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)，y ＝x n(n ＞0)在区间(0，＋∞)上都是增加的，但随着x 的增大，y ＝a x(a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x 0，使得当x ＞x 0时，恒有log a x ＜x n ＜a x.课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题时，应分析对于相同自变量的增量，比较指数函数的增量与对数函数的增量的差异．解：指数函数y ＝2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，Δx ＝2，Δy ＝23－21＝6； 对数函数y ＝log 2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，Δx ＝2，而Δy ＝log 23－log 21≈1.585 0.由此可知，在区间[1，＋∞)内，指数函数y ＝2x随着x 的增长，函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数y ＝log 2x 的增长速度逐渐变得很缓慢．迁移与应用 D活动与探究 2 思路分析：(1)由指数函数和幂函数不同的增长速度可判断曲线对应的函数；(2)通过计算比较函数值的大小关系，求出a ，b 的值．解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知：C 1对应函数g (x )＝x 3，C 2对应函数f (x )＝2x .(2)依题意知x 1和x 2是使两个函数的函数值相等的自变量x 的值．当x ＜x 1时，2x ＞x 3，即f (x )＞g (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＜g (x )； 当x ＞x 2时，f (x )＞g (x )．由于f (1)＝2，g (1)＝1，f (2)＝22＝4，g (2)＝23＝8， 所以x 1∈[1,2]，即a ＝1；又因为f (8)＝28＝256，g (8)＝83＝512， f (8)＜g (8)，f (9)＝29＝512， g (9)＝93＝729，f (9)＜g (9)．f (10)＝210＝1 024，g (10)＝103＝1 000，f (10)＞g (10)，所以x 2∈[9,10]，即b ＝9. 迁移与应用 y 1 解析：指数函数中的增长量是成倍增加的，函数y 1中增长量分别为6,18,54,162,486，1 458，4 374，…，是成倍增加的，因而y 1呈指数变化．活动与探究3 思路分析：先观察各组数值的特点，然后考虑构造适当的函数，利用函数的性质或图像进行求解．解：(1)∵函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x为R 上的减函数，又34＞23，∴23342233⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增加的，且34＞23，∴22333243⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴23343243⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)令函数y 1＝x 2，y 2＝log 2x ，y 3＝2x.在同一坐标系内作出上述三个函数的图像如图，然后作直线x ＝0.3，此直线必与上述三个函数图像相交．由图像知log 20.3＜0.32＜20.3.迁移与应用 1．D 解析：∵60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7.2．解：1＜a ＝20.3＜2，b ＝0.32＜1，∵x ＞1，∴c ＝log x (x 2＋0.3)＞log x x 2＝2.∴b ＜a ＜c . 【当堂检测】 1．C2．D 解析：由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝100x的增长速度最快．3．A解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )=3x ，g (x )=2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )=3x 的图像在函数g (x )=2x 的图像的上方，则f (x )＞g (x )．4．C 解析：当x ＝2、4时，y 1＝y 2，当x ＞4时，y 1＞y 2.故交点个数是2.5．y ＞x ＞z 解析：画出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝－2x的图像，由图像可知，当12＜a ＜1时，log 3a ＞log 2a ＞－2a，即y ＞x ＞z .。

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性．(重点)2. 会利用指数函数、幂函数和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢．(难点)[基础·初探]教材整理指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读教材P98～P103有关内容，完成下列问题．1. 三种函数的增长趋势当a>1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x>0，n>1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x>1时，n越大，其函数值的增长就越快．2. 三种函数的增长对比对数函数y＝log a x(a>1)增长最慢，幂函数y＝x n(n>0)，指数函数y＝a x(a>1)增长的快慢交替出现，当x足够大时，一定有a x>x n>log a x.1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x10比y＝1.1x的增长速度更快些．( )(2)对于任意的x>0，都有2x>log2x.( )(3)对于任意的x，都有2x>x2.( )【答案】(1)×(2)√(3)×2. 下列函数中，自变量x充分大时，增长速度最慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6D．y＝6x【解析】对数函数的增长速度最慢，即增长最慢的是y＝log6x.【答案】 B[小组合作型]A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.图3­6­1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.【导学号：04100066】【精彩点拨】先观察图像，比较相关区域函数值的大小，最后得出结论．【尝试解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，∴f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)．∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<8<x2<2 016.从图像上知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)；当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8)．三种函数模型的表达形式及其增长特点：指数函数模型：能用指数型函数f x ＝ab x＋c a，b，c为常数，a>0，b表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸对数函数模型：能用对数型函数f x＝m log a x＋n m，n，a为常数，m≠0，x>0，a表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长幂函数模型：能用幂型函数f x＝axα＋b a，b，α为常数，a≠0，α表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.[再练一题]1. 函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图3­6­2所示．图3­6­2(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x).如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？【精彩点拨】首先建立不同回报对应的函数模型，结合其图像解决问题．【尝试解答】设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天，方案一、二一样多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第30天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.案二，投资11天及其以上，应选方案三．解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题来解决，结合函数图像有助于直观认识函数间在不同范围的大小关系.[再练一题]2. 有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)【解】设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a·1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a<0，因此，乙方案能获得更多的木材．[探究共研型]探究诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是？图3­6­3【提示】 由题中图像可知，该函数模型为指数函数．20世纪90年代，气候变化专业委员会向各国政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中CO 2体积分数增加，据测，1990年，1991年，1992年大气中CO 2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位，3个可比单位，6个可比单位，若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO 2体积分数增加的可比单位数y 与年份增加数x (即当年数与1989年的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f (x )＝px 2＋qx ＋r (其中p ，q ，r 为常数)，或g (x )＝ab x＋c (a ，b ，c 为常数且b >0，b ≠1)．(1)根据题目中的数据，求f (x )，g (x )的解析式；(2)如果1994年大气中CO 2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．【精彩点拨】 (1)列出方程组求系数，从而求解析式； (2)由x ＝5得出函数值，通过比较选择模拟函数． 【尝试解答】 (1)由题目中的数据得⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝3，9p ＋3q ＋r ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝12，r ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝3，ab 3＋c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝83，b ＝32，c ＝－3，所以f (x )＝12x 2＋12x, g (x )＝83·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x－3.(2)因为f (5)＝15，g (5)＝17.25，f (5)更接近16， 所以选用f (x )＝12x 2＋12x 作为模拟函数好．解决函数应用题时的常用方法：先依据给出的数据作出散点图，大体估计函数模型，设出函数模型，列出方程组求系数，即可确定出函数模型将求出的函数通过数据比较确定出最适合的函数模型.[再练一题]3. 某地西红柿从2月1日起开始上市．通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ， Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 【解】 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c ， 即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg.1. 以下四种说法中，正确的是( )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．一定存在x0，使x＞x0，总有ax0＞x n＞log a x【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．【答案】 D2. 下列函数中，随着x的增长，函数值增长速度最快的是( )A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ln x【解析】随着x的增大，函数值增长速度最快的是指数型函数，故选C.【答案】 C3. 某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．【解析】已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2,3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…，x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N＋.【答案】y＝a(1＋r)x，x∈N＋4. 三个变量y1，y2，y3随自变量x的变化情况如下表：其中变量是____________________________________________________________________．呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________．【解析】由表中数据可知，y1随x的增加成倍增加，属于幂函数型函数变化，y2随x的增加成“几何级数”增加，属于指数型函数变化，y 3随x 的增加增加越来越慢，属于对数函数变化．【答案】 y 3 y 2 y 15. 用模型f (x )＝ax ＋b 来描述某企业每季度的利润f (x )(亿元)和生产成本投入x (亿元)的关系．统计表明，当每季度投入1(亿元)时利润y 1＝1(亿元)，当每季度投入2(亿元)时利润y 2＝2(亿元)，当每季度投入3(亿元)时利润y 3＝2(亿元)．又定义：当f (x )使[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2的数值最小时为最佳模型．(1)当b ＝23时，求相应的a 使f (x )＝ax ＋b 成为最佳模型；(2)根据题(1)得到的最佳模型，请预测每季度投入4(亿元)时利润y 4(亿元)的值.【导学号：04100067】【解】 (1)b ＝23时 ，[f (1)－y 1]2＋[f (2)－y 2]2＋[f (3)－y 3]2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋16，∴a ＝12时，f (x )＝12x ＋23为最佳模型．(2)f (x )＝x 2＋23，则y 4＝f (4)＝83.。