第11章 数的开方11.1.1平方根

教版课题名称平方根 三维目标 1.了解一个数的平方根与算术平方根的意义。

2.会用根号表示一个数的平方根、算术平方根。

3.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根。

重点目标 平方根、算术平方根的概念和求法。

难点目标 有关平方根、算术平方根的运算的区别于联系。

导入示标 一、 知识回顾活动一:复习平方数 22= 22-）（=231）（= 231-⎪⎭⎫ ⎝⎛= 25.0= ()25.0-= 探究交流：一对互为相反数的的数的平方有什么关系？活动二：填底数因为因为 25= ()25-=探究交流：平方得25的数有几个？分别是什么？这两个数有什么关系?它们的和等于多少呢?目标三导 学做思一：如图所示, 面积为25cm 2的正方形, 其边长为多少呢？根据正方形的面积公式，应该是边长2 = 25由此我们得出, 其边长应该为 =23=-2)3(所以( )2=9 所以( )2=25 25cm 2教版如果：面积为16，则边长应该为______；面积为9，则边长为________；面积为a ，则边长又如何呢？可设边长为x ，则得到：__________。

新知概念1：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 叫做a 的平方根。

就是说, 当 x 2=a (a ≥0)时, 称x 是a 的平方根。

而a 称为x 的平方数。

学做思二：怎么求一个数的平方根？探究交流:25的平方根只有一个吗?还有没有别的数的平方也等于25?探究交流:如何求一个数的平方根?求一个数的平方根的关键是什么呢?例1、求下列各数的平方根:（试着考虑，每个数，有几个平方根？）⑴ 100 ⑵ 0.49 ⑶ 1.69⑷ 2516 ⑸ 412 （6）36例2、（1）16的平方根是什么？（2）0的平方根是什么？（3）91的平方根是什么？（4）-4有没有平方根？为什么？ 概括：⑴一个正数的平方根有（ ）,它们是互为（ ）3、填表 平方根 算术平方根 a(a ≥0)2)3( 128 非负数教版 ⑵ 0的平方根是（ ）, 就是它（ ）; ⑶（ ）没有平方根.新知概念2：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。

平方根1教学目标知识与技能：1、了解平方根的概念、开平方的概念.会用根号表示一个数的平方根.2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算.3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根.过程与方法：1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平.2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点. 情感态度与价值观：创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐.提高学生“用数学”的意识.教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根.教学难点：对只有非负数才有平方根的理解.课堂导入到目前为止我们已学过哪些运算？一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的逆运算是什么呢？ 教学过程一、创设问题情景学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？二、探索归纳(1) 平方根的概念若a x 2，则x 叫做a 的平方根.(2) 举例：∵2552=∴5是25的一个平方根问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？(3)总结求一个数平方根的方法.三、举例应用例1 求100的平方根.解 因为102＝100， （－10）2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.例2 求36的平方根.解：因为,36)6(2=±所以36的平方根为±6. 四、试一试（1） 144的平方根是什么？（2） 0的平方根是什么？（3） －4有没有平方根？为什么？答案：（1）12144±=± 00)2(=±、（3）－4没有平方根，因为没有一个数的平方是－4. 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.通过以上题目的解答，你发现了什么？概括：一个正数必定有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.五、课堂练习1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .2、平方根是它本身的数是 .3、如果-b 是a 的平方根，那么A.2a b =；B.2b a = ；C.2a b -=；D.2b a -=4、求下列各式中的x 的值⑴1962=x ⑵01052=-x答案：1、±9，±9，2、03、B4、x=±16，x=±2六、课堂小结1、平方根的定义.2、平方根的性质：正数有两个平方根它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 课堂作业1、求下列各数的平方根： （1）49（2）8116（3）36（4）()22-.2、已知2a-1的一个平方根是+3，求2a-1的另一个平方根及a 的值.答案：1、（1）∵()4972=± （3）∵()4972=± ∴±7是49的平方根. ∴±7是49的平方根.（2）∵8116942=⎪⎭⎫ ⎝⎛± （4）∵()422=- ∴94±是8116的平方根.()422=± ∴±2是()22-的平方根.2a-1的一个平方根是+3，所以2a-1的另一个平方根是-3.∵2a-1=()23±∴ a=5教学反思易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解.（1）在求一个正数的平方根时，容易只写正的平方根，丢掉负的平方根.（2）如果已知一个数的一个平方根，求这个数.不知道该怎么做.。

11.1.1平方根一、学习目标1、理解平方根、算术平方根定义及它们之间的区别和联系，学会平方根的表示方法；2、掌握平方根的性质；3、理解什么是“开平方运算”，学会对非负数进行开平方。

二、学习重点1、理解什么是平方根、算术平方根，学会平方根的表示方法；2、掌握平方根的性质；3、学会对非负数进行开平方。

三、学前准备1、查阅七年级数学上册关于乘方的相关知识。

2、预习课本第1－4页内容。

四、探究过程 （一）相关知识回顾：平方等于9的数是 ；平方等于0的数是 ； （填“有”或“没有”）平方等于负数的数。

（二）阅读课本第1至4页 平方根定义和性质1、平方根的定义：如果 ，那么这个数叫a 的平方根。

即：如果a x =2，则a 是x 的 ，x 是a 的 ． 2、填空：因为932=，所以 是3的平方，3是9的 ； 因为()932=-，所以9是-3的 ，-3是 的平方根．3、应用：()2__64=，64的平方根是 ； ()2___0.25=，0.254、 填空，并仔细观察，你能发现了什么结论？1的平方根是 ， 254的平方根是 ， 0.810的平方根是 ； -4有平方根吗？ ． 正数有 个平方根，它们 ； 小结： 平方根的性质 0的平方根是 ； 负数 。

5、算术平方根，叫做a 的算术平方根．记作： ，读作：正数a 的两个平方根互为相反数，则另一个负的平方根记作 ，所以：正数a 的平方根记作： ．a 称为： ． 练习：（1）9的平方根是 ，算术平方根是，即=，= ；（2）16的平方根是 ，算术平方根是，即=，=；5=表示什么意义： 另外规定：0的算术平方根是0． 6、开平方求一个 的运算，叫做开平方．例如：对49开平方，就是求49的平方根是多少，表示为49±，则49±=±7． （三）、师生合作1．算术平方根和平方根有什么联系和区别？2.开平方运算和平方运算的关系？（四）、例题探究1．阅读并补充完教材第3页的例2，并将下列各数开平方．（1）49144 （2）()23- （3）812．求下列各式的值，并说明它们各表示的意义；0001.0-；３．11±表示11的，11表示11的．其中被开方数是．４．16的平方根是，16的平方根是，()216-的平方根是．５．完成第4页练习五、目标检测1．在0，213-，()22-，|41|-，121中，有平方根的数有（）个．2．2x=7，则x叫做7的，x= ；若a=2，则a= ．3．下列说法中，正确的有（）①5是25的平方根；②25的平方根是5；③-9的平方根是±3；④平方根等于0的数是0；⑤49的算术平方根是7；⑥64的平方根是±8A、1个B、2个C、3个D、4个4．将下列各数开平方（1）100 （2）0.09 （3）4964（4）412（5）3(9)--5．填空：25= ；81±=六、拓展提高1．若a的平方根是±2，则a=2．求下列各式中字母的值：（1）2732=x（2）()4572=+y3．一个数的平方根是3+a 与152-a ，求这个数．七、学习体会11.1.2平方根一、学习目标1、掌握开平方中被开方数的非负性质，并运用这一性质求待定系数的值。

平方根这一节是《数的开方》的第一课时，主要是一节以概念为主的新授课。

求平方根与开平方是互逆运算，因此在本课的教学中，我充分利用这一点来引人新课的教学。

在新课引入时，我先利用已知正方形边长求面积，然后反过来已知正方形面积求边长，一个面积是恰好能开出来的，另一个面积是开不出来的，从而让学生明白以上两种运算过程恰好是相反的，同时让学生明白已知正方形面积边长用现有的知识是不能准确表示出来的。

这样顺利成章的引出本课的概念平方根。

第二部分是利用平方根的定义求平方根，先让学生填空，什么数的平方等于16，反之，16的平方根是多少，0的平方是0，0的平方根是多少，负数的平方是什么数，从而说明了什么。

在这部分教学中我重在多举出实例，让学生通过例子自己去归纳总结平方根的求法和正数、零、负数的平方根的情况，理解负数没有平方根。

然后是平方根和算术平方根的表示方法，这部分主要是学生多练，逐步熟悉平方根和算术平方根的符号。

然后是处理练习，进行小结，在小结时对比了平方运算和开平方运算这两者之间的关系，也运用表格对比平方根、算术平方根、负的平方根之间的区别，同时指出开不出来的数应该保留在根号里，是一个精确数。

在这堂课的教学中，由于我所教的班级接手时数学基础较差，所以在教学中以实例为主，尽量引导学生去观察、去归纳总结，整个教学的节奏虽然比较快，但是进度却是比较慢的，因此在习题的处理上时间显得比较仓促。

同时部分学生对用符号表示仍然显得不熟练，需要在今后的教学中进一步加强。

4 应用二元一次方程组——增收节支【知识与技能】1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.2.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.【过程与方法】进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.【情感态度】培养学生勤于思考,勇于探索的精神.【教学重点】用列表的方式分析题目中的各个量的关系.【教学难点】借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.一、创设情境，导入新课在现实生活中,我们常常会听到这样一个词语,增收节支.当我们遇到实际问题的时候,该如何解决呢？例如:某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?如果设去年的总产值为x万元,总支出为y万元.为了帮助同学们理清各个数量之间的关系,你能否采用表格的形式用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢?【教学说明】以一道生活热点问题引入具有现实意义和教育意义,激发学生学习兴趣,同时培养学生勤俭节约的优良传统.理解题意是关键通过解题,旨在培养学生的解题能力和收集信息能力.二、思考探究，获取新知采用列表格的形式解决实际问题.同学们,根据上面的方法你能解决下面的问题吗?【教学说明】本例所涉及的数据较多,数量关系较以前复杂,具有一定的挑战性.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法,以提升他们解决问题的能力.为了给学生一个参考,教师展示完整的过程.【分析】设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,则有:解:设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,根据题意得:0507350440，.x .y x .y .+=+=⎧⎨⎩ 解这个方程组得2830，x y .==⎧⎨⎩所以每餐需甲原料28g,乙原料30g.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两仓库共有粮450吨,甲仓库运出60%,乙仓库运出40%,结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨,若设甲仓库原有粮食x 吨,乙仓库原有粮食y 吨,则可列方程组为 .2.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ）A.400,225B.300,335C.400,335D.225,4003.某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg 到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:问:他当天卖完西红柿和豆角能赚多少钱?【教学说明】让学生自主完成,加深如何利用表格的形式解决稍微复杂的数量关系的应用题,检测学生应用能力,对有困难的学生及时点拨纠正,得以强化提高.【答案】1.45016030140（）（）x y %x %y;+=-+=-⎧⎨⎩2.A.3.解:设批发了xkg 西红柿,ykg 豆角,则12166040，.x .y x y .+=+=⎧⎨⎩ 解得1030x y .==⎧⎨⎩（1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=6+27=33（元）答:他当天卖完西红柿和豆角能赚33元.四、师生互动，课堂小结1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?2.这节课你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流.【教学说明】引导学生思考、归纳、总结得出,便于及时纠正,达到共同提高.1.布置作业：习题5.5第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.对于较复杂的应用题,我们可以采用多种形式辅助解答.学生考虑的角度和思考方法比较单一,不利于问题的解答,平时的教学要让学生逐步得到体验,不断提高他们解决实际问题的能力.什么是函数的图象？怎样画函数的图象？答：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．函数的图象概念的基础是有序实数对与坐标平面内的点之间一一对应的原理，概念的实质是建立了函数的解析式与其图象间对应关系，开创了数(式)与形互相转化的雏型．函数的图象，以满足函数解析式的每个有序实数对为坐标的点都在函数的图象上；函数图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数的解析式．于是，根据函数解析式与其图象的相依关系，可以由函数解析式的结构特征研究函数的图象的形状、升降等形态，或利用函数的图象发现、研究函数的一些性质，渗透数形结合的思想方法．【例1】已知函数y＝－2x3＋1，不作函数的图象，解答：(2)若点C(a，17)在这个函数的图象上，求a的值．解：(1)因为9≠－2×23＋1，所以点A(2，9)不在函数y＝－2x3＋1的图象上．(2)因为点C(a，17)在已知函数的图象上，所以17＝－2a3＋1，解得a＝－2．由函数的解析式画其图象的一般步骤是：(1)列表．列表给出自变量与函数的一些对应值，关键是选取自变量的值，通常要求是：在函数自变量的取值范围内，按从小到大的顺序均匀取值；还应根据函数解析式的结构特点，决定自变量取值的对称分布，疏密程度，等等．(2)描点．以表中的对应值为点的坐标，在坐标平面内描出相应的点时，要明白、记住自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，顺序不能巅倒(横、纵坐标相等例外)．必要时需复习一下平面直角坐标系一节，根据坐标找出对应点的知识．(3)连线．按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描各点连结起来．其中，“平滑”的意义是根据所描各点之间的变化趋势连成曲线(包括直线)，从整体看是平滑的，其近似程度也会更好些．如果相邻两点间的变化趋势不太清楚时，可在两点之间再多描几个点．一般说来，描出的点越多，图象就越精确．以上是由函数解析式画其图象的一般步骤，通过画图，能进一步体会函数的图象的意义，为利用图象研究其性质、解决实际问题作准备．。

平方根教学目标知识与技能了解算术平方根的概念、会用根号表示一个数的平方根与算术平方根。

进一步明确平方与开平方是互为逆运算，会利用开方运算求某些非负数的平方根与算术平方根。

会用计算器求某些非负数的算术平方根。

过程与方法让学生经历概念形成过程，提高学生学习兴趣。

鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神。

情感态度与价值观培养学生在学习中互相帮助、相互合作的团队精神。

培养学生认真仔细的学习态度，以及思维的严谨性。

教学重点会利用开方运算求某些非负数的平方根与算术平方根。

教学难点如何理解是非负数及被开方数是非负数。

教学内容与过程教法学法设计一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题：1、36、1.44、各是什么数的平方？2.有没有平方得负数的数？为什么？3.数面向全体学生提出相关的问题。

明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。

.留给学生一定的思考和回顾知识的时间。

是什么数的平方？4.平方得9的数有几个？是什么数？二. 导入课题，研究知识：今天我们来学习平方的逆运算--------------------开平方。

为学生创设表现才华的平台。

三.归纳知识，培养能力：1、算术平方根定义以及表示。

我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0.2、平方根的表示法3.平方根的意义。

正数a的平方根表示为四.运用知识，分析解题：例2将下列各数开平方：（1）49；（2）1.69解（1）因为7＝创设问题情境，把学生置于研究新的未知的问题气氛中，使学生提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中学习问题。

通过对数的平方根的运算，说明求正数的正的平方根叫做这个正数的算术平方根。

0的算术平方根是0.3、若有意义，则a能取的最小整数为______.六.课后小结：平方根的意义及表示。

七.课后作业：复印给学生必须手写，是检查备课的重要依据。

教学反思。

八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时算术平方根【拓展提升】例4 错误!的算术平方根为________；错误!的算术平方根是________．例5 若错误!＝2，则（m＋2)2＝________．例6 算术平方根等于它本身的数有________．例7 若已知错误!＋错误!＝0,则x－y的算术平方根为________．使学生通过所学的知识,在原来的基础上有拓宽、有提升，并能与过去的知识相结合，达到综合应用的目的。

活动四：课堂总结反思当堂训练:1．求下列各数的算术平方根：36，错误!,15，0.64，错误!。

2．已知错误!＋错误!＝0，求y x的算术平方根．当堂检测,及时反馈学习效果。

【知识网络】提纲挈领,重点突出。

【教学反思】①[授课流程反思］A.新课导入□B．情景导入□要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概反思，更进一步提升。