广义逆矩阵求法19页PPT

第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
⎞
⎛−101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
−
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。

第六章广义逆矩阵§6.1 投影矩阵一、投影算子与投影矩阵v设L和M都是C n的子空间，且LÅM=C n．于是任意xÎC n都可唯一分解为x=y+z，yÎL，zÎM，称y是x沿着M到L的投影．v定义将任意xÎC n变为沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M ，即PL,Mx=y。

v显然，R(P L,M)=L，N(P L,M)=M．v投影算子P L,M是一个线性算子。

v定义投影算子P L,M在C n的基e1,…,e n下的矩阵称为投影矩阵．记为P。

L,Mv幂等矩阵：A2=Av引理设AÎC n×n是幂等矩阵，则N(A)=R(I-A)。

证明：A2=AÞA(I-A)=OÞ对任意xÎR(I-A),存在yÎC n,x=(I-A)y，必有Ax=0。

故R(I-A)ÌN(A)Þdim R(I-A)£dim N(A)=n-dim R(A)即rank(I-A)£n-rank A。

考虑到I=A+(I-A)Þn£rank A+rank(I-A)有rank(I-A)=n-rank A，使得dim R(I-A)=n-dim R(A)=dim N(A)，即得N(A)=R(I-A)。

v定理：P为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵为投影矩阵，则对任意xÎC n有证明：设P=PL,MP2L,M x = P L,M (P L,M x) = P L,M y = y = P L,M x故P为幂等矩阵。

反之，设P为幂等矩阵n则对任意xÎC有x=x-Px+Px=(I-P)x+Px，其中(I-P)xÎN(P)，PxÎR(P)，使得C n=N(P)+R(P)。

设zÎN(P)∩R(P)，由于N(P)=R(I-P)故存在u，vÎC n使得z=Pu=P2u=P(I-P)v Þz=Pu=(I-P)v=0故N(P)∩R(P)={0}。