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化工应用数学3

化工应用数学3


A）杜利特尔（Doolittle）分解 L是单位下三角阵；U是非奇异的上三角阵
1
u11 u12
u1n u2 n unn
L
l21 1 l31 l32 1 ln1 ln 2 1
U
u22
B）克劳特（Crout）分解
1 u12 u13 u1n u2 n
l11
U
1 u23
L
l21 l22 ln1 ln 2 lnn
3. 代数方程（组）的数值解法
3.1 线性方程组的直接解法
3.1.1 高斯消去法
A）正消过程（使系数矩阵变成三角阵） B）回代过程
3.1.2 高斯主元素消去法
为减小舍入误差，应尽可能选绝对值大元素作为主元素。 A）行主元；B）列主元；C）全主元。
3.1.3 高斯-约当消去法及矩阵求逆
3.1.4 解三对角线方程组和三对角块方程组的追赶法
h2 y ( xi 1 ) y ( xi ) hy '( xi ) y ''(i ) 2! 2 h y( xi 1 ) y( xi ) hf ( xi , y( xi )) f '(i , y(i )) 2! 取上式前两项，并用 ui y( xi )
uij (aij lik ukj ) / lii
k 1
可以三阶方阵为例说明，略（P77）
方程组
AX b
可改写为
LUX b LY b
第一步：令 UX Y
方程变为
由于L是下三角阵，自上而下逐步代入，即可求出Y
yi (bi lik yk ) / lii
k 1
i 1
gk k 2 f ( xk 1 ) k 2 f ( xk ) (k k ) f ( xk 1 )
化工应用数学 1第一章 绪论

化工应用数学 1第一章 绪论


静态模型 七桥问题模型
七孔桥问题
在18世纪初，哥尼斯堡城有一 条河，河中有两个小岛，有七 座桥把它们连接起来。当时有 人提出：能否从岛上或岸上任 一A点出发，当且仅当通过每座 桥一次而回到A点。
1736年Euler解决了这个问题!! 七孔桥问题
要回到原点，每个中间点必须 一进一出，因此为偶数条线。
第一章 绪论
1.1 化工中的数学模型
1.2 何为数学模型 1.3 化工传递及反应动力学模型 1.4 化工数学建模及求解方法
1.1 化工中的数学模型
化工无论作为一个行业还是作为一种学科，在过去
的一个世纪里得到了突飞猛进的发展。在这期间数学和计算 机在化工发展过程中起到了巨大的推动作用。可以说没有数 学就不会有今天的化学工业。
按建模方法分类
(1) 机理模型； (2) 经验模型； (3) 半经验模型
按建模方法分类
(1) 数值模型； (2) 数量级模型； (3) 定性模型； (4) 布尔模型
随机性模型
在Fortran，C语言中都是一些伪随机数，在统计力 学的书中有大量的随机数发生器。
怎样利用随机数
求解日常中的基本问题？
（举例说明，在日常生活中用到随机数的事件）
多边形逼近法求解圆周率
Pi *R=L
能否利用其他的方法来求 圆周率呢？
1 Random x，y If(x**2+y**2 <= 1) then N1=N1+1 Endif N1/Nt= ?
-1
1
-1
怎样利用随机数得到圆周率Pi的计算式呢 ？
1
S square 2* 2 4
(c )
控制体内任一时刻的流体质量为 dxdydz ，因此累积率为
化工制图讲座PPT课件

化工制图讲座PPT课件


橡皮擦
用于擦除绘图中的错误 或不需要的部分。
计算机绘图软件
AutoCAD
专业的CAD绘图软件，广泛应用于化工设计 领域，支持二维和三维绘图。
SketchUp
三维建模软件，适用于化工工艺流程的建模 和可视化。
SolidWorks
三维CAD软件，可用于化工设备的设计和建 模。
Adobe Illustrator
THANKS
感谢观看
化工制图讲座ppt课件
• 化工制图概述 • 化工制图的工具和软件 • 化工制图的技巧和方法 • 化工制图的实例和案例 • 化工制图的发展趋势和展望
01
化工制图概述
化工制图的意义和作用
化工制图是化工行业中的重要技术，它能够将复杂的工艺流程、设备结构和操作原 理等以图形化的方式呈现出来，方便技术人员理解和交流。
制图中的技巧和方法
选择合适的比例
根据图纸幅面和视图配置，选择合适的比例，使 图形清晰易读。
注意线型、线宽和颜色的选择
选择合适的线型、线宽和颜色，使图形更加清晰、 美观。
ABCD
合理使用图层和块
利用图层和块功能，对图形进行分层管理，提高 绘图效率。
标注和注释的技巧
掌握标注和注释的技巧，使图纸中的信息准确、 完整。
化工制图是工程设计和生产过程中的基础，它能够为工艺流程设计、设备选型、工 厂布局等提供重要的技术支持和依据。
化工制图还能够提高生产效率、降低能耗和减少安全事故等方面发挥重要作用。
化工制图的基本原则和标准
化工制图应遵循国家 相关标准和规范，如 《化工工艺图示表示 法》等。
图纸应清晰、准确、 完整地表达设计意图， 方便技术人员理解和 使用。
制图后的检查和修改
青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料

青海大学 化工应用数学 拉普拉斯变换资料


例2 求函数 f (t ) e

st
s R. 的拉氏变换
解 ℒ f (t ) est e pt dt e( p s ) t dt 1 0 0 ps
Re p s
1 e ps
st
例3 解
0 求单位斜坡函数 t t
二 位移性质
1
L [ F ( p a)] e f (t )
at
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
三 延迟性质
L [e
1
pa
F (p)]=u(t-a)f(t-a)
四 相似性质
1 p L F (ap ) f ( ) a a
1
1.拉普拉斯逆变换的性质
五 微分性质
L [ F ( p)] (1) t f (t )
解：
1 令 f (t ) 1 由于 F ( p ) 所以 p d d 1 1 L[t ] F ( p) ( ) 2 dp dp p p n! n 可以依次类推 L[t ] n 1 。 p
2）拉氏变换式对参数P的导数
利用导数性质求解：L[t cos t ] 和L[t e2t ]
Hale Waihona Puke p L[sin t ] [ p 2 cos 0] p 1 p [ p 2 1] p 1
1 2 p 1
2）拉氏变换式对参数P的导数
dn 若L[f(t)] F(p), 则， n L[f(t)] F (n) p L[( t) n f (t )] dp
1 n 2 3 例已知 L[1] ，求 t , t , t 和 t 的拉普拉斯变换。 p
1 PS
所以
f t 1 et
全套课件 化工问题的建模与数学分析方法

全套课件 化工问题的建模与数学分析方法


kAcA
B c pB
T t
g
c
pg
v
T z
kz
2T z2
(H )k AcA
2h R
(Tw
T)
Danckwerts边界条件：
c x
x 1 0
第一章数学模型——典型问题
§7 色谱过程的数学模型
色谱：非均相的流动吸附分离过程
1. 平衡色谱
t
ci
1
ni
v
ci x
Dz
2 ci x2
第一章数学模型——模型有什么用？
化学工程发展史上的几个重要阶段
1901～1920’s：工业化学→化学工程 1923～1930‘s：单元操作，化工数学 1940～1950‘s：传递现象，数学模拟 1957～1960‘s：化学反应工程 1970‘s～ ：过程系统工程 趋势——模型化，数学化
第一章数学模型——模型有什么用？
1
p x
v
2u x2
2u y2
u
x
y
1
p y
v
2
x2
2
y2
第一章数学模l, y~
u
u x
O
u2 l
;
2u x2
O
u l2
;
u y
O
u2 l
2u y 2
O
u2
2 0
主要结果
2u x2
2u y2
p 0 y
第一章数学模型——典型问题
第一章数学模型——建模方法
§3 化工问题的数学表述
1. 守恒方程（balance equations) 质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒
通用公式：
化工基础知识ppt演示课件.ppt

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物理变化：只改变物质的外部状态和形状，而没有改变物质的 组成，更没有新物质产生，这种变化称作物理变化。如物质的 顔色、形态等的变化。
化学变化：由一种物质生产新物质的变化称作化学变化，如铁 氧化后生成铁锈；炭燃烧后生成二氧化碳等。
精心整理
前处理→核心处理→后处理
核心部分：化学反应过程及其设备（反应器）是 整个化工生产过程的核心。
位 升
精心整理
(') (°) r/min t
u
L,(l)
1'=60"(π/108000)rad 1°=60'(π/180)rad 1r/min=(1/60)s-1 1t=103kg
1u≈1.6605655×10-27kg
1L=10-3m3
第三章 管路相关知识
管路：由管子、管件、法兰、垫片、紧固件 、阀门以及管道特殊件等管道组成件及管道支吊 架（管道支承件）等组成，是管子、管件、法兰 、螺栓连接、垫片、阀门、其他组成件或受压部 件和支承件的装配总成。所谓管道特殊件，是指 非普通标准组成件。是按工程设计条件特殊制造 的管道组成件，包括膨胀节、特殊阀门、爆破片 、阻火器、过滤器、挠性接头及软管等。
精心整理
3.1 压力管道 3.2 阀门 3.3 精心整理 法兰
定义 分类 管道规格 钢号
8.1 压 力 管 道
精心整理
定义
从广义上理解，所谓压力管道，应当是指所有承 受内压或外压的管道，无论其管内介质如何。但从 我国颁发《压力管道安全管理与监察规定》以后， “压力管道”便成为受监察管道的专用名词。在 《压力管道安全管理与监察规定》第二条中将压力 管道定义为：“在生产、生活中使用的可能引起燃 爆或中毒等危险性较大的特种设备”。
化工应用数学

化工应用数学

化工应用数学——MATLAB与Origin在化学化工中的应用汤吉海编南京工业大学化学化工学院2006年1月目录第一章绪论 (5)1.1 数学在化工中的重要作用 (5)1.2 数学模型 (7)1.2.1 数学模型 (8)1.2.2 建立数学模型的一般方法 (8)1.2.3 在化工工程中应用数学的步骤 (8)1.3 求解数学模型的计算机工具 (8)1.3.1 求解数学模型的计算机工具 (8)1.3.2 MA TLAB简介 (10)1.3.3 MA TALB在化学化工中的应用 (11)第二章MATLAB基础 (13)2.1 MATLAB的图形窗口界面 (13)2.2 用MA TLAB做简单数学运算 (17)2.2.1 如何做简单运算 (18)2.2.2 获取工作空间信息 (18)2.2.3 变量名称限制及特殊符号 (18)2.2.4 常见数学符号 (19)2.2.5 关于复数 (20)2.3 向量及矩阵的处理 (20)2.3.1 向量的处理 (20)2.3.2 向量的运算 (22)2.3.3 矩阵的处理 (23)2.4 循环及运算元 (27)2.4.1 for循环 (27)2.4.2 while循环 (28)2.4.3 if-else-end结构 (29)2.4.4 script文件与function文件 (30)2.4.5 如何做文字处理 (32)2.4.6 关系运算符（relation operation） (33)2.4.7 逻辑运算符（logical operator） (34)2.5 用MA TLAB画图 (35)2.5.1 如何画图？ (35)2.5.2 定义图示信息 (37)2.5.3 绘制特殊图形 (38)2.5.4 在同一视窗图中绘多个图 (39)2.5.5 在同一图中绘制多条曲线 (40)2.6 MATLAB在化工中的简单应用实例 (44)2.6.1 向量的应用 (44)2.6.2 在复合反应系统中的独立反应 (44)2.6.3 利用沉降法求液体粘度 (45)2.6.4 连续釜式反应器的设计 (48)第三章线性方程组的数值求解 (51)3.1 解线性方程组的直接法 (51)3.1.1 高斯（Gauss）消去法 (51)3.1.2 直接三角分解法 (55)3.1.3 解三对角方程组的追赶法 (58)3.2 解线性方程组的迭代法 (60)3.2.1 雅可比（Jacobi）迭代法 (60)3.2 2 高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法 (61)3.2.3 松弛法 (61)3.3 利用MATLAB求解线性方程组 (63)3.3.1 求线性方程组的直接解法 (63)3.3.2 求线性方程组的其他解法 (65)3.4 线性方程组在化工中的应用实例 (67)3.4.1 乙醇精馏过程的物料平衡 (67)3.4.2 六板吸收塔 (72)第四章非线性方程（组）的数值求解 (75)4.1 解非线性方程Newton迭代法 (75)4.1.1 Newton法 (75)4.1.2 弦截法 (75)4.1.3 抛物线法（Muller法） (76)4.2 非线性方程组的解法 (77)4.2.1 Newton-Raphson法 (77)4.2.2 Broyden法 (79)4.2.3 Wegstein加速收敛法 (81)4.3 非线性方程（组）的MATLAB求解 (81)4.3.1 代数方程的图解法 (81)4.3.2 多项式型方程的求根 (83)4.3.2 多项式型方程的准解析解法 (84)4.3.3 一般非线性方程数值解 (86)4.3.4 Newton-Raphson法求解非线性方程 (89)4.4 线性方程组在化工中的应用实例 (91)4.4.1 根据PVT关系计算摩尔体积 (91)4.4.2 多组分溶液体系的沸点 (93)4.4.3 绝热连续搅拌釜式反应器的转化率 (95)第五章数值逼近方法 (100)5.1 插值 (100)5.1.1 拉格朗日插值 (100)5.1.2 分段低次插值 (102)5.1.3 三次样条插值 (104)5.2 曲线拟合的最小二乘法 (104)5.2.1 线性最小二乘法 (105)5.2.2 非线性最小二乘法 (108)5.3 数值积分 (111)5.3.1 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 (111)5.4 利用MATLAB进行数值逼近 (113)5.4.1 插值 (113)5.4.2 曲线拟合 (116)5.4.3 数值积分 (120)5.5 数值逼近在化工中的应用实例 (122)5.4.1 蒸气压关系式 (122)5.4.2 逆流操作的填料塔的总传质单元数 (123)5.4.3 Lewis法计算双组分简单精馏塔的理论板数 (125)第六章常微分方程（组）的数值求解 (128)6.1 解常微分方程初值问题的离散化方法 (128)6.2 解常微分方程初值问题的欧拉法 (129)6.2.1 欧拉（Euler）方法 (129)6.1.2 改进的欧拉方法 (130)6.3 解常微分方程初值问题的龙格－库塔（Runge-Kutta）法 (131)6.3.1 Runge-Kutta法的基本思想 (131)6.3.2 Runge-Kutta法的构造 (132)6.3.3 变步长的Runge-Kutta法 (133)6.4 线性多步法 (134)6.5 常微分方程（组）初值问题的MATLAB求解 (136)6.6 常微分方程组初值问题在化工中的应用实例 (139)6.6.1 管式反应器的计算的温度分布 (139)6.6.2 固定床反应器内转化率及温度沿床层高度的分布 (141)第七章科技绘图与数据分析软件Origin (145)7.1 Origin入门 (145)7.1.1 Origin的窗口界面 (145)7.1.2 Origin的使用步骤 (147)7.2 数据工作表格 (149)7.2.1 输入、编辑和保存工作表格 (149)7.2.2 调整工作表格的基本操作 (151)7.3 Worksheet 数据分析 (152)7.3.1 工作表格计算 (152)7.3.2 统计 (154)7.4 数据绘图 (154)7.4.1 数据绘图的基本术语 (155)7.4.2 单层二维图的绘制 (156)7.4.3 绘制多层图形 (161)7.4.4 用户自定义函数绘图 (168)7.5 数据图的格式化 (171)7.5.1 改变数据图型、格式、组的格式 (172)7.5.2 坐标轴的调整 (172)7.5.3 文字及图例说明 (176)7.6 曲线拟合 (177)7.6.1 线性拟合 (177)练习题 (186)一MATLAB练习题 (186)二Origin练习题 (191)参考文献 (193)第一章绪论1.1 数学在化工中的重要作用数学对化学工业的发展所起的作用非常巨大，没有数学就没有今天的化学工业。

化工常用基础数据培训资料PPT课件( 20页)

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关的手册，本书附录中也收录了一些常见物质的标准生成热数据。
第三节 化学反应和热化学数据
二、标准燃烧热
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ在25℃， 101.3kPa下，由各种处于稳定状态的1mol物质
进行燃烧反应生成指定燃烧产物时的焓变，称为物质的标准
燃烧热，以H
θ c
表示。常见物质的 H cθ可查有关的手册，本书
附录中也收录了一些常见物质的标准燃烧热数据。
•
9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，
人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。
•
10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。
H V C 1 T b 8 3 8.6 0 2 77 .8 J 0 m 6 1 o 8l
（2）用（2-17）式计算，由 TC46.76K、pc3.631 760Pa、Tb 30.67K
Tbr
Tb Tc
30.760.66 46.67
Hv1.09R3cTbtln 0p .9 C310 T .2 5br26
•
2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。
•
3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力!
•
4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟
lg p 水 oA t B C 7 .96 6 1 18 0 6 .2 2 1 0 6 2 12 8 .8 8808
化工基础PPT分解66页PPT

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46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
化工基础PPT分解
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
化工制图基本知识PPT课件

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总结词
工艺流程图是化工制图中最为基础和重要的部分，用于表示化工生产过程中的工艺流程和设备操作。
详细描述
工艺流程图绘制需要遵循国家制图标准和行业规范，使用专业的绘图软件，如AutoCAD等。在绘制过 程中，需要将生产过程中的各个单元操作和设备按照实际流程顺序绘制出来，并标注相关参数和技术 要求。工艺流程图是化工企业进行工艺设计、操作、维护和改造的重要依据。
制图标准与规范
制图标准
化工制图应遵循国家颁布的制图标准 和规范，如《化工工艺流程图设计规 范》、《化工设备布置图设计规范》 等。
符号与代号
化工制图中有特定的符号和代号来表 示不同的设备和元件，如阀门、管道、 仪表等，应遵循相关规定。
制图工具与软件介绍
制图工具
传统的化工制图通常使用丁字尺、三角板、圆规等绘图工具，现代化工制图则更多地使用计算机辅助设计软件。
象。
应用
03
常用于绘制建筑物的立体效果图、机械零件的立体图等。
透视投影法
定义
透视投影法是一种通过观察者的 视线，将物体投影到二维平面上 的方法，以表达物体的立体效果
和空间感。
特点
透视投影法能够产生强烈的立体感 和空间感，使图纸更加生动逼真。
应用
常用于绘制建筑效果图、室内设计 图、产品展示图等。
03
软件介绍
常用的化工制图软件有AutoCAD、SolidWorks、Inventor等，这些软件具有强大的绘图和编辑功能，能够帮助 工程师快速准确地完成化工制图工作。
02
化工制图的投影法
正投影法
定义
正投影法是一种将物体投影到二 维平面上的方法，通过将物体的 所有可见轮廓线投射到投影面上， 以表达物体的形状、大小和相对
数学与化工工程的应用

数学与化工工程的应用


过程控制：通过数学模型和控制系统理论，实现对化学反应过程的精确控制，提高产品质量和降低能耗。
数值模拟：利用数学方法对化学反应过程进行数值模拟，通过模拟可以深入了解反应过程，发现潜在的问题并进行优化。
反应过程控制与优化
数学模型在化学反应工程中的应用，用于描述和预测反应过程
添加标题
通过数学模型对反应过程进行优化，提高产物的收率和选择性
数学与化工工程的应用
汇报人：XX
目录
01
数学在化工工程中的应用
02
数学在化学反应工程中的应用
03
数学在化工分离工程中的应用
04
数学在化工系统工程中的应用
05
数学在化工工艺工程中的应用
数学在化工工程中的应用
PART 01
数学建模在化工工程中的应用
过程控制和监控：通过数学模型对化工过程进行实时监控和调整，保证生产过程的稳定性和安全性。
过程控制：通过数学模型和算法对化工工艺过程进行实时监控和控制，确保生产过程的稳定性和可靠性。
流程改进：利用数学方法和计算机技术对化工工艺流程进行改进和优化，提高生产效率和降低成本。
工艺过程安全与环保分析
数学在化工工艺工程中用于安全分析，预测和优化工艺流程，降低事故风险。
数学模型可用于环保评估，预测和优化化工工艺的污染物排放，降低环境污染。
系统分析与设计
数学在化工系统工程中用于描述和建模
添加标题
数学模型用于优化和预测
添加标题
系统分析中数学的应用，如稳定性、灵敏度等
添加标题
数学在系统设计中的应用，如参数优化、流程改进等
添加标题
系统控制与优化
优化技术：利用数学方法和算法，对化工过程进行优化，降低能耗和减少环境污染，提高经济效益和社会效益。

化工计算机应用ppt课件


y(x)

y2

x x2 x3 x2
( y3

y2 )
T=28℃， H=119kJ/kg
• 非线性插值 曲线拟合得出y=f(x)yi=f(xi)
6
1.1问题的提出 200
150
• 实验数据拟合
100
Y
Y
实验测量得到的常常是一组离散数 据序列（xi ,yi）。
含有不可避免的误差（或 称“噪声”）
0
10
20
30
40
50
t 图1-3 DME饱和蒸汽压和温度之间的线性拟合
p 0.30324 0.0121t
相关系数R为0.97296，平均绝对偏差SD为0.0707。
10
Excel计算+Origin
二次拟合
1.2 拟合的标准
通过计算下述均方误差
1.0
m
m
Q(a0 , a1, a2 ) ( p(ti ) pi )2 (a0 a1ti a2ti2 pi )2 0.8
i1
m
(xi 273)0.5
i1
m
(xi
i1
m
(xi
i1
m
(xi
i1
273)1.5 273)0.5 273)3

a0 a1 a2



m i1
m i1
[(xi
m
ln yi
m

m
xi


i 1 m
xi2
i1
m
xi
i 1
m
xi2
i 1

化工应用数学.ppt


A1In
– Method (2)
a
1 ij
|
1 A
|
(cof
actor
of
a ji
in
A)
|
1 A
|
(1)i
j
M
ji
• Why find A-1 ?
X A1B (if AX B)
Cramer’s Rule
• If A is an n x n nonsingular matrix, the unique solution of the nonhomogeneous system AX = B is given by X =A-1 B
combinations: F1+F2 – rank (A) = 1
The Determinant of a Square Matrix
• A number produced from the matrix A:
| A |, or det (A)
• It is defined as a sum of multiples of (n-1) x (n-1) determinants formed from the elements of A.
called an eigenvalue of A if, for some nonzero n x 1 matrix X,
AX X
• Any nonzero n x 1 matrix X satisfying this equation for
some number is called an eigenvector of A associated with the eigenvalue .
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erf xdx x erf x x 2 ex2 dx C
x erf x 1 ex2 C
The above equation is tabulated under the symbol “ ierf x” with C 1
(Therefore, ierf 0 = 0)
Another related function is the complementary error function “erfc x”
– We have studied many elementary functions such as polynomials, powers, logarithms, exponentials, trigonometric and hyperbolic functions.
– Four kinds of Bessel functions are useful for expressing the solutions of a particular class of differential equations.
2 ez2
erf x
erf x 2 x ez2 dz
0
z: dummy variable
0x
z
Proof in next slide
1
I R ex2 dx R e y2 dy x and y are two independent Cartesian coordinates
0
0
I 2 R R e(x2 y2 )dxdy 00 in polar coordinates
I 2 R
1 2
er2 rdrd
00
1 R2eR2
2
I 2 1 1 eR2
44
Error between the volume determined by x-y and r-
The volume of has a base area which is less than 1/2R2 and a maximum height of e-R2
– Legendre polynomials are solutions of a group of differential equations. Learn some more now….
The error function
• It occurs in the theory of probability, distribution of residence times, conduction of heat, and diffusion matter:
R , I 2 1
4
erf x 2 x ez2 dz
0
erf 1
More about error function
erf x
2 x ez2 dz
0
Differentiation of the error function: d erf x 2 ex2
dx
Integration of the error function:
(n) t e n1 t dt 0
t n e 1 t
0
(n 1)
t n2etdt
0
(n 1)(n 1)
repeat
(n) (n 1)(n 2)...( 2)(1)(1) (n 1)!
The gamma function is thus a generalized factorial, for positive integer values of n, the gamma function can be replaced by a factorial.
(Fig. 5.3 pp. 147)
More about the gamma function
1
t
1 2
e
t
dt
t x2
1 x1ex2 2xdx 2 ex2 dx
2 0
dt 2xdx 2 0
0
1 erf
2
Evaluate
3
1
2
3 1 2
(n) (n 1)(n 1)
erfc x 1 erf x 2 ez2 dz
x
The gamma function
(n) t e n1 tdt 0
for positive values of n. t is a dummy variable since the value of the definite integral is independent of t. (N.B., if n is zero or a negative integer, the gamma function becomes infinite.)
5 2 1 5 3 1 1 5 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
化工應用數學
授課教師： 郭修伯
Lecture 6
Functions and definite integrals Vectors
Chapter 5
Functions and definite integrals
There are many functions arising in engineering which cannot be integrated analytically in terms of elementary functions. The values of many integrals have been tabulated, much numerical work can be avoided if the integral to be evaluated can be altered to a form that is tabulated.
Ref. pp.153
We are going to study some of these special functions…..
Special functions
• Functions
– Determine a functional relationship between two or more variables